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Se una particella di carica q p si muove sotto l’effetto di un campo elettrico creato da una carica q, questo compie un lavoro;

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Academic year: 2021

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(1)

Energia potenziale elettrostatica

Se una particella di carica q p si muove sotto l’effetto di un campo elettrico creato da una carica q, questo compie un lavoro;

Il lavoro ` e dato dal prodotto scalare di forza e spostamento, quindi dW = ~ F · d~ x = q p E · d~ ~ x

Se il campo ` e generato da una carica puntiforme E = ~ q

4πε 0

~r r 3

In questo modo il lavoro fatto dal campo elettrico diventa dW = q p q

4πε 0

~r · d~x

r 3

(2)

Lo spostamento si pu` o spezzare in una parte perpendicolare ad ~r, che ha prodotto scalare nullo con questo, e perci` o non contribuisce al lavoro, ed una parte parallela ad ~r

La variazione di d~ x parallela ad ~r ` e semplicemente la variazione della distanza dalla carica che origina il campo, moltiplicata per il versore radiale

d~ x k = dr ˆ r il lavoro svolto dal campo elettrico vale quindi

dW = q p q 4πε 0

r dr

r 3 = q p q 4πε 0

dr

r 2

(3)

Propriet` a del lavoro

Come si vede, il lavoro compiuto dipende solo dal valore assoluto del raggio

Calcolando un lavoro finito, si integra da un punto A ad un punto B ottenendo

W A→B = q p q 4πε 0

Z r

B

r

A

dr

r 2 = q p q 4πε 0

 1 r B − 1

r A



Il risultato precedente ci dice che il lavoro fatto dipende solo dai punti di partenza e di arrivo, e quindi il campo elettrico ` e una forza

conservativa.

Posso quindi definire un’energia potenziale U, attraverso la relazione

∆U = U A − U B = −W A→B = q p q 4πε 0

 1 r A

− 1 r B



da cui ricaviamo che

U(r ) = q p q 4πε 0

1 r + C

dove C ` e una costante che pu` o essere scelta arbitrariamente

(4)

Energia potenziale

Il risultato precedente vale per il potenziale generato da una carica puntiforme;

Ogni distribuzione di cariche, per` o, pu` o essere pensata come una somma di cariche puntiformi;

Il campo elettrico totale ` e, per il principio di sovrapposizione, la somma dei campi elettrici di queste cariche;

Il lavoro fatto ` e quindi la somma dei lavori fatti dal campo elettrico di ciascuna di queste cariche, ed ` e perci` o indipendente dal percorso fatto.

Il campo elettrico ` e quindi espressione di una forza conservativa, ed

ammette un’energia potenziale (nel caso elettrostatico)

(5)

Potenziale

Come si definisce il campo elettrico come la forza divisa per la carica di prova, si definisce il potenziale come l’energia potenziale divisa per la carica di prova

V = U/q p

La differenza di energia potenziale sar` a quindi

∆U = q p ∆V

La conservazione dell’energia si pu` o ora riscrivere includendo l’energia elettrostatica

W NC = ∆E Mecc + ∆E El = ∆K + ∆U Mecc + ∆U El

(6)

Esempio

Suppongo di avere una particella in un punto A dove il potenziale ` e V A e la velocit` a v A . Questa particella si sposta, sotto l’effetto delle sole interazioni elettrostatiche, in un punto B . Quale sar` a la sua velocit` a in B?

La conservazione dell’energia da’

K A + V A = K B + V B

Esplicitando le espressioni dell’energia cinetica e potenziale 1

2 mv A 2 + qV A = 1

2 mv B 2 + qV B Isolando il termine che contiene v B trovo

1

2 mv A 2 + q (V A − V B ) = 1 2 mv B 2 v B =

r

v A 2 + 2 q

m (V A − V B )

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