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1) Una particella libera di massa m vincolata a muoversi su una retta si trova al tempo t = 0 in uno stato per cui

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Academic year: 2021

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Corso di laurea in Fisica

Esame di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 6 Febbraio 2018

studente/ssa:

matricola:

1) Una particella libera di massa m vincolata a muoversi su una retta si trova al tempo t = 0 in uno stato per cui

hxi = 0 hx 2 i = σ 2 hpi = p 0

- Scrivere una possibile funzione d’onda normalizzata per il sistema.

- Si determini hx(t)i e hp(t)i in funzione del tempo.

- Si determini hx 2 (t)i e hp 2 (t)i in funzione del tempo.

Un pacchetto gaussiano che soddisfi i requisiti richiesti potrebbe essere ψ(x) = Ae ikx e −x

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/2σ

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. Bisogna determinare A per la corretta normalizzazione. Per la determinazione dei valori medi nel tempo ` e utile considerare le equazioni del moto per gli operatori. Queste sono

formalmente identiche a quelle di un moto unidimensionale uniforme per cui l’impulso si conserva nel tempo e quindi anche in media < p(t) >=< p(0) > e < p 2 (t) >=< p 2 (0) >...

2) Due particelle identiche non-interagenti di spin 1/2 e massa m sono confinate in un quadrato di lato L.

- Determinare lo stato fondamentale, la sua energia e la sua eventuale degenerazione.

- Determinare il primo stato eccitato, la sua energia e la sua eventuale degenerazione.

- Determinare l’energia dello stato fondamentale qualora si aggiunga il potenziale d’interazione V = −J~ s 1 · ~s 2

indipendente dalle coordinata con J > 0.

Le energie delle due particelle sono la somma delle energie di una particella isolata dato che le particelle sono interagenti. L’energia di una particella in un quadrato assume la forma

E ~ k = ¯ h 2 |~k| 2 2m

dove ~ k = π L (n x , n y ) e sia n x che n y sono numeri naturali ≤ 1.

Gli autostati della parte dipendente dalle coordinate sono quindi il prodotto di autostati di singola particella che posso identificare con 4 numeri quantici

|n x , n y i 1 |m x , m y i 2

lo stato fondamentale ` e |1, 1i 1 |1, 1i 2 . Esso dovr` a moltiplicarsi per l’opportuno spinore autostato della somma dei due spin 1/2...

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3) Considerare un gas perfetto quantistico di particelle massive non-relativistiche racchiuse in un volume V e tali che il loro potenziale chimico sia nullo. Considerando separatamente il caso bosonico e fermionico

- Fornire la dipendenza dell’energia interna dalla temperatura.

- Fornire la dipendenza della pressione dalla temperatura e dal volume.

La semplificazione di questo problema deriva dal fatto che il potenziale chimico ` e nullo.

Quindi tutti gli integrali che definiscono l’energia interna in termini della densit` a degli stati e del numero medio d’occupazione (bosonico o fermionico) possono essere adimensionalizzati introducendo la variabile x = β dove  ` e l’energia di singola particella...

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Riferimenti