Quadratura in Matlab

Quadratura in Matlab

Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pura e Applicata

Regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson

Due tipiche regole per calcolare integrali definiti, sono quelle dei trapezi e di Cavalieri-Simpson.

Sia f : [a, b] → R, −∞ < a < b < +∞ una funzione continua.

La formula dei trapezi, che `e esatta per polinomi di grado al pi`u 1, corrisponde ad approssimare I = Z b a f (x )dx con ST(f ) = b − a 2 (f (a) + f (b))

mentre quella di Cavalieri-Simpson, che `e esatta per polinomi di grado al pi`u 3, con SCS(f ) = b − a 6  f (a) + 4f a + b 2  + f (b) 

Formula dei trapezi e Cavalieri-Simpson

Esempio

Vogliamo approssimare mediante la regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson

I = Z1 0 1 1 + xdx ≈ 0.6931471805599453. Nota.

Posto t = 1 + x , abbiamo dt = dx , e quindi, per sostituzione e il teorema fondamentale del calcolo integrale:

I = Z 1 0 1 1 + xdx = Z2 1 1 tdt = log_e(2) − log_e(1) = log_e(2)

Regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson

Definiamodemo quadratura1come segue.

Regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson

Lanciando tale codice da command-window >> d e m o _ q u a d r a t u r a 1

I n t e g r a l e e s a t t o : 6 . 9 3 1 4 7 1 8 0 5 5 9 9 4 5 3 e−01 R e g o l a dei T r a p . : 7 . 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e−01 R e g o l a di Ca . Si . : 6 . 9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 e−01 Err . Ass . T r a p . : 5 . 6 8 5 2 8 1 9 4 4 0 0 5 4 7 1 e−02 Err . Ass . Ca . Si . : 1 . 2 9 7 2 6 3 8 8 4 4 9 9 0 2 3 e−03 >>

Formula dei trapezi composta

Nelle ipotesi della sezione precedente, la quantit`a

I = Z b

a f (x )dx

`e approssimabile mediante laformula dei trapezi composta

S_N(T )(f ) =h 2f (x1) + hf (x2) + . . . + hf (xN) + h 2f (xN+1) (2) ove xk= a + k · h, k = 1, . . . , N + 1, h = b−a_N .

Si vede facilmente che tale formula `e del tipoPN+1_{i =1} wif (xi) con w1= wN+1= h₂,

w2= . . . = wN= h. ove

Formula dei trapezi composta

Tale formula si ottiene suddividendo [a, b] inN subintervalliaventi la stessa ampiezza, applicando in ognuno di loro la regola dei trapezi. La funzionetrapezi compostaappena esposta calcola i nodi e i pesi della omonima formula composta.

Formula di Cavalieri-Simpson composta

Similmente alla formula dei trapezi composta, si pu´o approssimare l’integrale definito

I =Rb

a f (x )dxmediante la formula di Cavalieri-Simpson composta

S_N(CS)(f ) = h 3f (x1) + h 3f (x2N+1) + 4h 3 N X s=1 f (x2s) + 2h 3 N−1 X s=1 f (x2s+1)

ove xk= a + (k − 1)h, con k = 1, . . . , 2N + 1, oveh =b−a2N. Si vede facilmente che tale formula `e del tipoP2N+1

i =1 wif (xi)dove w1= w2N+1=h3, w2= w4= . . . = w2N=4h3, w3= w5= . . . = w2N−1=2h3, con h =b−a_2N. Nota.

Si osservi che spesso si scrive pure S_N(CS)(f ) = h ∗ 6f (x1) + h∗ 6f (x2N+1) + 4h∗ 3 N X s=1 f (x2s) + 2h∗ 6 N−1 X s=1 f (x2s+1)

Formula di Cavalieri-Simpson composta

La funzionecavalieri simpson compostasotto esposta calcola i nodi e i pesi della omonima formula.

Formula di Cavalieri-Simpson composta

Osserviamo che fissato il numero di subintervalli N la formula deitrapezi compostahaN + 1punti;

la formula diCavalieri-Simpsoncomposta ha2N + 1punti;

Modifichiamodemo quadratura1indemo quadratura2, cos`ı da testare tali formule.

Affinch`e il numero di valutazioni sia uguale,

Formula di Cavalieri-Simpson composta

Digitandodemo quadratura2nella command-window

>> d e m o _ q u a d r a t u r a 2

I n t e g r a l e e s a t t o : 6 . 9 3 1 4 7 1 8 0 5 5 9 9 4 5 3 e−01 R e g o l a dei T r a p . : 6 . 9 3 7 7 1 4 0 3 1 7 5 4 2 8 0 e−01 R e g o l a di Ca . Si . : 6 . 9 3 1 5 0 2 3 0 6 8 8 9 3 0 4 e−01 Err . Ass . T r a p . : 6 . 2 4 2 2 2 6 1 5 4 8 2 6 7 2 4 e−04 Err . Ass . Ca . Si . : 3 . 0 5 0 1 2 8 9 8 5 1 6 0 3 2 7 e−06 >>

Commento.

Esercizio

Si scriva una functionesercizio quadraturache 1 Definisca la funzione f (x ) = exp(−x2),a=0,b=1.

2 Dopo aver confrontato l’help della funzioneerf, calcoli il valore Z1

0

exp(−x2)dx

utilizzandoerfe lo assegni alla variabilesol. 3 Per k = 1, . . . , 8

Calcoli il valore ottenuto dalla formula dei trapezi composta in N = 2k subintervalli e lo salvi inS T(k).

Calcoli il valore ottenuto dalla formula di Cavalieri-Simpson composta in N = 2k_{subintervalli e lo salvi inS CS(k).}

Assegni aE T(k)il valoreabs(sol-S T(k))e aE CS(k)il valore abs(sol-S CS(k)).

4 In una sola figura disegni in scala semilogaritmica

il grafico delle coppie (2k_{, E T (k)), k = 1, . . . , 8 (con linea rossa, di} spessore 2),

il grafico delle coppie (2k_{, E CS(k)), k = 1, . . . , 8 (con linea blu, di spessore} 2).

5 Nella stessa figura, usi come titolo