Quadratura in Matlab
Alvise Sommariva
Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pura e Applicata
Regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson
Due tipiche regole per calcolare integrali definiti, sono quelle dei trapezi e di Cavalieri-Simpson.
Sia f : [a, b] → R, −∞ < a < b < +∞ una funzione continua.
La formula dei trapezi, che `e esatta per polinomi di grado al pi`u 1, corrisponde ad approssimare I = Z b a f (x )dx con ST(f ) = b − a 2 (f (a) + f (b))
mentre quella di Cavalieri-Simpson, che `e esatta per polinomi di grado al pi`u 3, con SCS(f ) = b − a 6 f (a) + 4f a + b 2 + f (b)
Formula dei trapezi e Cavalieri-Simpson
Esempio
Vogliamo approssimare mediante la regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson
I = Z1 0 1 1 + xdx ≈ 0.6931471805599453. Nota.
Posto t = 1 + x , abbiamo dt = dx , e quindi, per sostituzione e il teorema fondamentale del calcolo integrale:
I = Z 1 0 1 1 + xdx = Z2 1 1 tdt = loge(2) − loge(1) = loge(2)
Regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson
Definiamodemo quadratura1come segue.
Regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson
Lanciando tale codice da command-window >> d e m o _ q u a d r a t u r a 1
I n t e g r a l e e s a t t o : 6 . 9 3 1 4 7 1 8 0 5 5 9 9 4 5 3 e−01 R e g o l a dei T r a p . : 7 . 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e−01 R e g o l a di Ca . Si . : 6 . 9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 e−01 Err . Ass . T r a p . : 5 . 6 8 5 2 8 1 9 4 4 0 0 5 4 7 1 e−02 Err . Ass . Ca . Si . : 1 . 2 9 7 2 6 3 8 8 4 4 9 9 0 2 3 e−03 >>
Formula dei trapezi composta
Nelle ipotesi della sezione precedente, la quantit`a
I = Z b
a f (x )dx
`e approssimabile mediante laformula dei trapezi composta
SN(T )(f ) =h 2f (x1) + hf (x2) + . . . + hf (xN) + h 2f (xN+1) (2) ove xk= a + k · h, k = 1, . . . , N + 1, h = b−aN .
Si vede facilmente che tale formula `e del tipoPN+1i =1 wif (xi) con w1= wN+1= h2,
w2= . . . = wN= h. ove
Formula dei trapezi composta
Tale formula si ottiene suddividendo [a, b] inN subintervalliaventi la stessa ampiezza, applicando in ognuno di loro la regola dei trapezi. La funzionetrapezi compostaappena esposta calcola i nodi e i pesi della omonima formula composta.
Formula di Cavalieri-Simpson composta
Similmente alla formula dei trapezi composta, si pu´o approssimare l’integrale definito
I =Rb
a f (x )dxmediante la formula di Cavalieri-Simpson composta
SN(CS)(f ) = h 3f (x1) + h 3f (x2N+1) + 4h 3 N X s=1 f (x2s) + 2h 3 N−1 X s=1 f (x2s+1)
ove xk= a + (k − 1)h, con k = 1, . . . , 2N + 1, oveh =b−a2N. Si vede facilmente che tale formula `e del tipoP2N+1
i =1 wif (xi)dove w1= w2N+1=h3, w2= w4= . . . = w2N=4h3, w3= w5= . . . = w2N−1=2h3, con h =b−a2N. Nota.
Si osservi che spesso si scrive pure SN(CS)(f ) = h ∗ 6f (x1) + h∗ 6f (x2N+1) + 4h∗ 3 N X s=1 f (x2s) + 2h∗ 6 N−1 X s=1 f (x2s+1)
Formula di Cavalieri-Simpson composta
La funzionecavalieri simpson compostasotto esposta calcola i nodi e i pesi della omonima formula.
Formula di Cavalieri-Simpson composta
Osserviamo che fissato il numero di subintervalli N la formula deitrapezi compostahaN + 1punti;
la formula diCavalieri-Simpsoncomposta ha2N + 1punti;
Modifichiamodemo quadratura1indemo quadratura2, cos`ı da testare tali formule.
Affinch`e il numero di valutazioni sia uguale,
Formula di Cavalieri-Simpson composta
Digitandodemo quadratura2nella command-window
>> d e m o _ q u a d r a t u r a 2
I n t e g r a l e e s a t t o : 6 . 9 3 1 4 7 1 8 0 5 5 9 9 4 5 3 e−01 R e g o l a dei T r a p . : 6 . 9 3 7 7 1 4 0 3 1 7 5 4 2 8 0 e−01 R e g o l a di Ca . Si . : 6 . 9 3 1 5 0 2 3 0 6 8 8 9 3 0 4 e−01 Err . Ass . T r a p . : 6 . 2 4 2 2 2 6 1 5 4 8 2 6 7 2 4 e−04 Err . Ass . Ca . Si . : 3 . 0 5 0 1 2 8 9 8 5 1 6 0 3 2 7 e−06 >>
Commento.
Esercizio
Si scriva una functionesercizio quadraturache 1 Definisca la funzione f (x ) = exp(−x2),a=0,b=1.
2 Dopo aver confrontato l’help della funzioneerf, calcoli il valore Z1
0
exp(−x2)dx
utilizzandoerfe lo assegni alla variabilesol. 3 Per k = 1, . . . , 8
Calcoli il valore ottenuto dalla formula dei trapezi composta in N = 2k subintervalli e lo salvi inS T(k).
Calcoli il valore ottenuto dalla formula di Cavalieri-Simpson composta in N = 2ksubintervalli e lo salvi inS CS(k).
Assegni aE T(k)il valoreabs(sol-S T(k))e aE CS(k)il valore abs(sol-S CS(k)).
4 In una sola figura disegni in scala semilogaritmica
il grafico delle coppie (2k, E T (k)), k = 1, . . . , 8 (con linea rossa, di spessore 2),
il grafico delle coppie (2k, E CS(k)), k = 1, . . . , 8 (con linea blu, di spessore 2).
5 Nella stessa figura, usi come titolo