ex/y+ xy + 2 , P = (1, 0) Facendo le derivate parziali necessarie e applicando la formula si ottiene ³ f (x, y

Appunti sul corso di Analisi Matematica 1 complementi (a) - prof. B.Bacchelli

Appunti 10:

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9, 4.1.

Esercizi 3.4, 3.9, 4.1 Esercizi

Scrivere la formula di Taylor di ordine due, resto di Peano e centro nel punto P indicato.

f (x, y) = e^x/y+ xy + 2 , P = (1, 0)

Facendo le derivate parziali necessarie e applicando la formula si ottiene

³ f (x, y) = 3 + 2y + y²/2 + o((x − 1)² + y²), (x, y) → (1, 0) f (x, y) = x³+ y² + 2e^xy , P = (−1, −1)

Facendo le derivate parziali necessarie e applicando la formula si ottiene

³ f (x, y) = 2e + (3 − 2e)(x + 1) + (−2 − 2e)(y + 1) − (3 − e)(x + 1)² +2(1 + e)(x + 1)(y + 1) + (1 + e)(y + 1)² + o((x + 1)² + (y + 1)²), (x, y) → (−1, −1)

f (x, y) = x⁵− 3xy + sin y², P = (0, 0)

In questo caso, senza fare derivate, si pu`o usare lo sviluppo di McLaurin di sin t

³ f (x, y) = −3xy + y²+ o((x²+ y²), (x, y) → (0, 0)

Da questa formula si pu`o dedurre che f_xx(0, 0) = 0, f_xy(0, 0) = −3, f_yy(0, 0) = 2

f (x, y) = log(3x²+ y), P = (0, 1)

Senza fare derivate, si pu`o usare lo sviluppo di McLaurin di log(1 + t)

³ f (x, y) = log((3x² + y − 1) + 1)

= (3x²+ y − 1) − 1

2(3x²+ y − 1)² + ...

= (y − 1) + 3x²− 1

2(y − 1)²+ o((x²+ (y − 1)²), (x, y) → (0, 1) f (x, y) = e^x−2y, P = (3, 0)

Senza fare derivate, si pu`o usare lo sviluppo di McLaurin di e^t

³ f (x, y) = e^x−3+3−2y = e³e^(x−3)−2y = e³[((x − 3) − 2y) + 1

2((x − 3) − 2y)²+ ...]

= e³(x − 3) − 2e³y +e³

2(x − 3)²+ e³y²− 2e³(x − 3)y + o((x − 3)²+ y²), (x, y) → (3, 0)

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Scrivere la formula di Taylor di ordine 6, resto di Peano e centro nel punto (0, 0)

f (x, y) = x⁴+ cos(x³y) − 1

Senza fare derivate, si pu`o usare lo sviluppo di McLaurin di cos t

³ f (x, y) = x⁴+ o((x²+ y²)³), (x, y) → (0, 0)

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