Quadratura in Matlab

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Quadratura in Matlab

Alvise Sommariva Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pura e Applicata

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Regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson

Due tipiche regole per calcolare integrali definiti, sono quelle dei trapezi e di Cavalieri-Simpson.

Sia f : [a, b] → R, −∞ < a < b < +∞ una funzione continua.

La formula dei trapezi, che `e esatta per polinomi di grado al pi`u 1, corrisponde ad approssimare I = Z b a f (x )dx con ST(f ) = b − a 2 (f (a) + f (b))

mentre quella di Cavalieri-Simpson, che `e esatta per polinomi di grado al pi`u 3, con SCS(f ) = b − a 6 f (a) + 4f a + b 2 + f (b)

Vediamone un esempio in Matlab.

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Formula dei trapezi e Cavalieri-Simpson

Esempio

Vogliamo approssimare mediante la regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson I = Z1 0 1 1 + xdx ≈ 0.6931471805599453. Nota.

Posto t = 1 + x , abbiamo dt = dx , e quindi, per sostituzione e il teorema fondamentale del calcolo integrale:

I = Z 1 0 1 1 + xdx = Z2 1 1 tdt = log_e(2) − log_e(1) = log_e(2)

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Regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson

Definiamo demo quadratura1 come segue. f u n c t i o n d e m o _ q u a d r a t u r a 1 % d e m o per p a r a g o n a r e la r e g o l a dei t r a p e z i e di C a v a l i e r i S i m p s o n . % i n t e g r a n d a f = @ ( x ) 1 . / ( 1 + x ) ; % i n t e r v a l l o di i n t e g r a z i o n e a =0; b =1; % r i s u l t a t o e s a t t o sol =log(2) ; % r e g o l a dei t r a p e z i S_T =(( b - a ) /2) *( f ( a ) + f ( b ) ) ; % r e g o l a di C a v a l i e r i - S i m p s o n c =( a + b ) /2; % p u n t o m e d i o S _ C S =(( b - a ) /6) *( f ( a ) +4* f ( c ) + f ( b ) ) ; % d i s p l a y r i s u l t a t i ed e r r o r i a s s o l u t i f p r i n t f(’ \ n \ t I n t e g r a l e e s a t t o : % 1 . 1 5 e ’, sol ) ; f p r i n t f(’ \ n \ t R e g o l a dei T r a p .: % 1 . 1 5 e ’, S_T ) ; f p r i n t f(’ \ n \ t R e g o l a di Ca . Si .: % 1 . 1 5 e ’, S _ C S ) ; f p r i n t f(’ \ n ’)

f p r i n t f(’ \ n \ t Err . Ass . T r a p . : % 1 . 1 5 e ’,abs( sol - S_T ) ) ; f p r i n t f(’ \ n \ t Err . Ass . Ca . Si .: % 1 . 1 5 e ’,abs( sol - S _ C S ) ) ; f p r i n t f(’ \ n \ n ’)

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Regola dei trapezi e Cavalieri-Simpson

Lanciando tale codice da command-window >> d e m o _ q u a d r a t u r a 1

I n t e g r a l e e s a t t o : 6 . 9 3 1 4 7 1 8 0 5 5 9 9 4 5 3 e−01 R e g o l a dei T r a p . : 7 . 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e−01 R e g o l a di Ca . Si . : 6 . 9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 e−01 Err . Ass . T r a p . : 5 . 6 8 5 2 8 1 9 4 4 0 0 5 4 7 1 e−02 Err . Ass . Ca . Si . : 1 . 2 9 7 2 6 3 8 8 4 4 9 9 0 2 3 e−03 >>

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Formula dei trapezi composta

Nelle ipotesi della sezione precedente, la quantit`a I =

Z b

a f (x )dx

`e approssimabile mediante laformula dei trapezi composta S_N(T )(f ) =h 2f (x1) + hf (x2) + . . . + hf (xN) + h 2f (xN+1) (2) ove xk= a + k · h, k = 1, . . . , N + 1, h = b−a_N .

Si vede facilmente che tale formula `e del tipoPN+1_{i =0} wif (xi) con w1= wN+1= h₂,

w2= . . . = wN= h. ove

le ascisse xk, con k = 1, . . . , N + 1 sono dettenodi, i valori wk, con k = 1, . . . , N + 1 sono dettipesi.

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Formula dei trapezi composta

Tale formula si ottiene suddividendo [a, b] inN subintervalliaventi la stessa ampiezza, applicando in ognuno di loro la regola dei trapezi. La funzione trapezi composta appena esposta calcola i nodi e i pesi della omonima formula composta.

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Formula di Cavalieri-Simpson composta

Nelle ipotesi della sezione precedente, la quantit`a I =

Z b

a f (x )dx

`e approssimabile mediante la formula di Cavalieri-Simpson composta

S_N(CS)(f ) = h 3f (x1) + h 3f (x2N+1) + + 4h 3 N X s=1 f (x2s) + 2h 3 N−1 X s=1 f (x2s+1) ove xk= a + (k − 1)h, con k = 1, . . . , 2N + 1, ove h =b−a

2N . Si vede facilmente che tale formula `e del tipo

2N+1 X i =0 wif (xi) w1= w2N+1=h₃, w2= w4= . . . = w2N =4h₃, w3= w5= . . . = w2N−1= 2h 3, con h =b−a 2N .

Tale formula si ottiene suddividendo [a, b] in N subintervalli aventi la stessa ampiezza, applicando in ognuno di loro la regola di Cavalieri-Simpson.

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Formula di Cavalieri-Simpson composta

La funzione cavalieri simpson composta sotto esposta calcola i nodi e i pesi della omonima formula.

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Formula di Cavalieri-Simpson composta

Osserviamo che fissato il numero di subintervalli N

la formula deitrapezi compostahaN + 1punti;

la formula diCavalieri-Simpsoncomposta ha2N + 1punti;

Modifichiamo demo quadratura1 in demo quadratura2, cos`ı da testare tali formule.

Affinch`e il numero di valutazioni sia uguale,

utilizziamo N = 10 intervalli per la formula dei trapezi composta, utilizziamo N = 5 intervalli per Cavalieri-Simpson composta, cos`ı che entrambe eseguano 11 valutazioni dell’integranda.

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Formula di Cavalieri-Simpson composta

Digitando demo quadratura2 nella command-window >> d e m o _ q u a d r a t u r a 2

I n t e g r a l e e s a t t o : 6 . 9 3 1 4 7 1 8 0 5 5 9 9 4 5 3 e−01 R e g o l a dei T r a p . : 6 . 9 3 7 7 1 4 0 3 1 7 5 4 2 8 0 e−01 R e g o l a di Ca . Si . : 6 . 9 3 1 5 0 2 3 0 6 8 8 9 3 0 4 e−01 Err . Ass . T r a p . : 6 . 2 4 2 2 2 6 1 5 4 8 2 6 7 2 4 e−04 Err . Ass . Ca . Si . : 3 . 0 5 0 1 2 8 9 8 5 1 6 0 3 2 7 e−06 >>

Commento.

A parit`a di nodi, la formula composta di Cavalieri-Simpson ha fornito un risultato migliore di quella dei trapezi composta.