Calcolare valore atteso, varianza e legge di Z, indicando dove si usa l’indipendenza

Esercizio. Sia X una v.a. N (0; 1). Trovare la densità f_Y della v.a. Y = jXj (calcolare fY (y) per tutti i valori di y 6= 0). Una volta trovata, veri…care che valeR₊₁

1 fY (y) dy = 1 (anche se si sa già).

1

Esercizio. Siano X, Y , v.a. indipendenti, esponenziali di parametri e . Sia Z = X + Y . Calcolare valore atteso, varianza e legge di Z, indicando dove si usa l’indipendenza.

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1 Soluzioni

1. Con ovvie notazioni f_X, f_Y, F_X, F_Y, abbiamo F_Y (y) = P (jXj y) = 0 per y < 0, da cui f_Y (y) = 0 per y < 0, e

F_Y (y) = P (jXj y) = P ( y X y) = F_X(y) F_X( y) per y > 0, da cui

f_Y (y) = f_X(y) + f_X( y) = 2

p2 e ^y22 : In de…nitiva,

fY (y) = 2

p2 e ^y22 1y>0: Veri…ca: Z ₊₁

1

f_Y (y) dy = 2 Z ₊₁

0

p1

2 e ^y22 dy = Z ₊₁

1

p1

2 e ^y22 dy = 1 dove il passaggio intermedio cruciale è dovuto al fatto che

Z 0 1

p1

2 e ^y22 dy^{x= y}= Z ₊₁

0

p1

2 e ^x22 dx:

2. Vale

E [Z] = E [X + Y ] = E [X] + E [Y ] = 1 + 1 (per questo conto non si è usata l’indipendenza);

V ar [Z] = V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ] (per l’indipendenza)

= 1

2 + 1

2: In…ne, per l’indipendenza,

fZ(z) =

Z ₊₁

1

fX z z⁰ fY z⁰ dz⁰

= Z z

0

f_X z z⁰ f_Y z⁰ dz⁰ = Z z

0

e ^{(z z0)}e ^z0dz⁰

= e ^z

Z z 0

e^{( )z0}dz⁰ = e ^z

"

e^{( )z0}#z 0

= e ^z e^{( )z} 1 !

= e ^z e ^z :

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