Computer Graphics

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1 Computer Graphics

Marco Tarini Università dell’Insubria

Facoltà di Scienze MFN di Varese Corso di Laurea in Informatica Anno Accademico 2012/13

Lezione 6:

Lezione 6: attributi per vertice

asdad asdsad fadfasdf asdf asdf asd asdfasdf asd fasdf asdasdf asd asdf asd asdf asd asdf asd asdad asdsad fadf asdf asdf asdf asd asdfasdf asd fasdf asdasdf asd asdf asd asdf asd asdf asd

asdad asdsad fadfasdf asdf asdf asd asdfasdf asd fasdf asdasdf asd asdf asd asdf asd asdf asd

Un pre-preambolo

• Ho uno spazio vettoriale A con elementi a,b,c … – Traduz: ho delle entità a,b,c… su cui ho definito:

• prodotto, con numeri reali (ottengo un elemento di A)

• somma, fra 2 elementi di A (ottengo un elemento di A)

• somma e prod hanno tutte le prop. matematiche che mi aspetto

• Allora se faccio: dico:

d = k

0

a + k

1

b + k

2

c “d è una combinazone lineare combinazone lineare combinazone lineare combinazone lineare di a,b,c (con pesi pesi pesi pesi k

₀

k

₁

k

₂

)”

se k

₀

+ k

₁

+ k

₂

= 1 “d è una interpolazione interpolazione interpolazione interpolazione di e k

0

, k

1

, k

2

>= 0 a,b,c (con pesi pesi pesi pesi k

0

k

1

k

2

)”

se k

0

+ k

1

+ k

2

= 1 “d è una estrapolazione estrapolazione estrapolazione estrapolazione di ma almeno uno <0 a,b,c (con pesi pesi pesi pesi k

0

k

1

k

2

)”

M a r c o T a r i n i ‧ C o m p u t e r G r a p h i c s ‧ 2 0 1 2 / 1 3 ‧ U n i v e r s i t à d e l l ’ I n s u b r i a

Preambolo:

• Le coordinate baricentriche

Cosa è un segmento?

V ₁

V ₂

con v ₁ , v ₂ ∈ R ² ^o R ³ ^o R ⁴ ...

Cosa è un segmento?

V ₁

V ₂

posso definirlo così:

un segmento avente estremi v

₁

e v

₂

è l'insieme di tutti i punti x esprimibili come

x = a v ₁ + b v ₂

a e b scalari positivi con a ⁺ b ^{= 1}

0.5 v

₁

+ 0.5 v

₂

0.0 v

₁

+ 1 v

₂

0.75 v

₁

+ 0.25 v

₂

1 v

1

+ 0 v

2

0.1 v

1

+ 0.9 v

2

0.66 v

1

+ 0.33 v

2

≪ x è una

interpolazione interpolazione interpolazione interpolazione

di v1 e v2 ≫

Parentesi notazione

V ₁ V ₂ x = a v ₁ + b v ₂ a e b scalari non negativi con a + b = 1

x interpolazione:

interpolazione:

V ₁ V ₂ x ⁼ a ^v 1 + b ^v 2

a e b scalari non negativi con a + b = 1

x estrapolazione:

estrapolazione:

(quindi 0 ≤ a ≤ 1 e 0 ≤ b ≤ 1 )

(2)

2 Cosa è un triangolo?

V ₁

V ₂

con v ₁ , v ₂ , v ₃ ∈ R ² ^o R ³ ^o R ⁴ ...

V ₃

≪ è l'insieme di tutti i punti x tali che... ≫

Cosa è un triangolo?

V ₁

V ₂ V ₃

p

q q = k ₁ v ₁ + k ₂ v ₂

k 1 + k 2 = 1 k 1 ,k 2 >= 0

p = h 1 v ₃ + h 2 q

h ₁ + h ₂ = 1 h ₁ ,h ₂ >= 0 esercizio: sostituiamo e...

Cosa è un triangolo?

V ₁

V ₂ V ₃

un triangolo di vertici v

1

v

2

v

3

é l'insieme di tutti i punti x esprimibili come

x = a ₁ v ₁ + a ₂ v ₂ + a ₃ v ₃ a 1 a 2 a 3 scalari non negativi

a 1 + a 2 + a 3 = 1

Per esempio...

V ₁

V ₂ V ₃

0 v

1

+ 0 v

2

+ 1 v

3

0 v

₁

+ 1 v

₂

+ 0 v

₃

0.33 v

1

+ 0.33 v

2

+ 0.33 v

3

(il baricentro del triangolo) 0.5 v

1

+ 0.5 v

2

+ 0 v

3

(punto in mezzo al lato v

₁

v

₂

) 0.65 v

1

+ 0.2 v

2

+ 0.15 v

3

Ebbene...

V ₁

V ₂ V ₃

dati a ₁ a ₂ a ₃ scalari tali positivi con a ₁ ⁺ a ₂ ⁺ a ₃ ⁼ 1

→ → →

x = a ₁ v ₁ + → a ₂ v ₂ + a ₃ v ₃

è un punto del triangolo

E anche viceversa

V ₁

V ₂ V ₃

dato un punto p nel triangolo

→

esistono unici a 1 a 2 a 3 tali che

p = a ₁ v ₁ + a ₂ v ₂ + a ₃ v ₃

e a 1 a 2 a 3 sono positivi e a somma 1

diciamo che a ₁ a ₂ a ₃ sono le coordinate baricentriche di p

(3)

3 Le coordinate baricentriche

V ₁

V ₂ V ₃

p

p ha coordinate baricentriche

(a ₁ a ₂ a ₃ ) sse

p = a ₁ v ₁ + a ₂ v ₂ + a ₃ v ₃

a 3 ^Kg

a ₂ ^Kg

Le coordinate baricentriche

Interpretazione fisica (storica) (buffa)

V ₁

V ₂ V ₃

p ha coordinate baricentriche

(a ₁ a ₂ a ₃ ) ^sse

è il baricentro di:

p

a 1 ^Kg

Le coordinate baricentriche Interpretazione geometrica

V ₁

V ₂ V ₃

p

1 1

p = v 1 + x ( v 2 -v 1 ) + y ( v 3 -v 1 ) x

y

= (1- x - y ) v 1 + x v 2 + y v 3

y

x

Le coordinate baricentriche come rapporti fra aree

• Trovare le coord baricentriche di un punto dato p

V ₁

V ₂ V ₃

p

p = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3

A2 A3

A1

3 2 1 3

3 2 2 1

1 a a

a A A A A

A A A

A A

A

tot tot tot

tot

+ +

=

Coordinate baricentriche:

improtante proprietà

V

1

V

2

V

₃

p

R 3 R ²

f(p)

f( v

1

)

f( v

₂

) f( v

3

)

trasformazione affine ffff

p ha coord.

baricentriche a,b,c nel triangolo v

1

v

2

v

3

f(p) ha ancora coord.

baricentriche a,b,c nel triangolo f(v

1

) f(v

2

) f(v

3

)

il "diviso due"

lo possimo ignorare.

Tanto ci interessano solo i rapporti

fra le aree

Parentesi: area di un triangolo

• In R ³ posso calcolarla con il prodotto esterno

V ₁ A

V 2

V 3

d

₁

d

2

A = | d ₁ x d ₂ | /2

= | (v ₃ – v ₁ ) x (v ₂ – v ₁ ) | /2

e nel caso particolare di R2 ?

proviamo...

(4)

4 Attributi nel pipeline

Fr am m en ti & at tri bu ti & at tri bu ti & at tri bu ti & at tri bu ti in te rp ol at i in te rp ol at i in te rp ol at i in te rp ol at i Ve rti ci & lo ro a ttr ib ut i & lo ro a ttr ib ut i & lo ro a ttr ib ut i & lo ro a ttr ib ut i

pixel finali

(nello screen-buffer)

Ve rti ci pr oi et ta ti & va ry in g & va ry in g & va ry in g & va ry in g

rasterizer triangoli

co m pu ta zi on i pe r f ra m m en to set- up

rasterizer segmenti set- up

rasterizer punti set-

up

co m pu ta zi on i pe r v er tic e

rasterizer triangoli set- up

associamo degli attributi attributi attributi attributi

ai vertici mandiamo che

es: colore RGB

qui gli attributi possono subire varie computazioni,

ottenendo varying varying varying varying

ogni frammento avrà un valore

interpolato dei varying computati per vertice qui i varying

vengono interpolati

Attributi nella rasterizzazione

• Quindi il rasterizer deve fare DUE cose:

1 trovare i frammenti che compongono la primitiva

• i frammenti interni al triangolo,

• o i frammenti che compongono un segmento 2 interpolare gli attributi per questi frammenti

• tramite le coordinate baricentriche

• Il rasterizer produce frammenti CON attributi associati

– (interpolazione degli attributi computati per vertice)

Con terminologia di opengGL

Fr ag m en ts + va ry in g + va ry in g + va ry in g + va ry in g s in te rp ol at i in te rp ol at i in te rp ol at i in te rp ol at i Ve rti ce s + at tri bu te + at tri bu te + at tri bu te + at tri bu te s

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