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Analisi Matematica 1 - Canale Lj-O Foglio di esercizi n. 13 1.

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Academic year: 2021

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Analisi Matematica 1 - Canale Lj-O

Foglio di esercizi n. 13 1. Siano

f(x) = q

1 + log(sinh(x2) + cos(2√

x)) − ex e g(x) = r

sin(x2) −x2− x4 1 + 3x2. Determinare gli sviluppi di Taylor di ordine n = 2 di f e g in x0 = 0 e calcolare

x→0lim+ f(x)

g(x) e lim

x→+∞

f(x) g(x). 2. Tracciare il grafico della funzione

f(x) = |3 − x|e1/(2−x)

specificando: dominio, eventuali asintoti, intervalli di monotonia, eventuali punti di mas- simo/minimo relativo, eventuali punti di non derivabilit`a, intervalli di convessit`a/concavit`a ed eventuali flessi.

3. Discutere la convergenza del seguente integrale improprio al variare di α ∈ R, Z 4

0

(5 + 3√x)(arctan(x))2α−1 (4x − x2)α dx e calcolarlo per α = 12.

4. Risolvere il seguente problema di Cauchy

((1 + x2)y(x) = xy(x)(y2(x) + 1) y(0) = −1

e determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore di {y(x) : x ∈ I} dove I `e l’intervallo di esistenza della soluzione y(x).

5. Risolvere le seguenti equazioni in C.

(z − 2i)2 = −4

a. b. ||z| − 2i|2 = 4

(z4+ 16)(z2+ 4iz − 13) = 0

c. d. (1 + i)2((z + 4i)2− i) = 6

(z + 3)3 = 64

e. f. z2(12 + |z|2) = −64

|z| + izRe(z) = z2

g. h. |3z − 2i| = |6 − iz|

6. Fare un esempio di:

un numero complesso z tale che (1 + i)z + (1 − i)z = −2 e limn→∞|z|n= 0;

a.

due numeri interi positivi n e m tali che il sistema

(zn = 1

zm = −1 ha esattamente 4 soluzioni.

b.

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