l’applicazione data da g

Geometria 9. Matrici, nucleo, immagine. Roma, 17 Aprile 2014.

1. Sia g : R

³

−→ R

²

l’applicazione data da g



 x y z



 =

 x + y − z

−2x − 2y + 2z



. Calcolare una base per ker(g) e una base per im(g).

2. Sia A la matrice n × n data da

A =

















0 1 0 0 · · · 0 0 0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 · · · 0 .. . .. . .. . . . . .. . 0 0 0 0 · · · 1 0 0 0 0 · · · 0















 .

(a) Sia f : R

ⁿ

−→ R

ⁿ

data dalla moltiplicazione per A. Sia e

₁

, e

₂

, . . . , e

_n

la base canonica di R

ⁿ

. Far vedere che f (e

1

) = 0 e che

f (e

i

) = e

i−1

; per i = 2, 3, . . . , n.

(b) Per m > 0, sia f

^m

l’applicazione f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

m volte

e sia A

^m

= A · A · · · A

| {z }

m volte

. Per ogni m > 0, calcolare la matrice A

^m

e determinare il nucleo e l’immagine di f

^m

. 3. Siano n, m ≥ 1 e

A =





a

11

. . . a

n1

.. . .. . a

1m

. . . a

nm



 , b =



 b

1

.. . b

m



 e A

⁰

=





a

11

. . . a

n1

b

1

.. . .. . .. . a

1m

. . . a

nm

b

m



 .

(a) Dimostrare che il sistema di equazioni lineari







a

11

x

1

+ . . . + a

n1

x

n

= b

1

.. . .. . .. .

a

1m

x

1

+ . . . + a

nm

x

n

= b

m

ammette una soluzione se e solo se b ` e contenuto nello span delle colonne di A.

(b) (Rouch´ e-Capelli) Dimostrare che il sistema di equazioni ammette una soluzione se e solo se il rango di A

⁰

` e uguale al rango di A.

4. Sia V = {





 x

1

x

₂

x

3

x

4





 ∈ R

⁴

: x

₁

+ x

₂

− x

₃

= 0} e sia W = {





 x

1

x

₂

x

3

x

4





 ∈ V : x

₂

= x

₄

}.

(a) Osservare che W ⊂ V (!) e determinare la dimensione di W . (b) Esibire un complemento W

⁰

di W in R

⁴

.

(c) Dimostrare che per ogni complemento W

⁰

si ha che dim(V ∩ W

⁰

) = 1.