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≤ λx + (1 − λ)y se x, y ≥ 0 , 0 < λ < 1

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Academic year: 2021

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(1)

Verifica guidata di alcune disuguaglianze notevoli (continuazione) Usando le disuguaglianze di Young dimostrate in precedenza, x

λ

y

1−λ

≤ λx + (1 − λ)y se x, y ≥ 0 , 0 < λ < 1

ab ≤

app

+

bpp00

se a, b ≥ 0 dove p > 1 , p

0

=

p−1p

sono esponenti coniugati (verificano

1p

+

p10

= 1) ,

dimostrare le seguenti (importanti) disuguaglianze.

(1) Disuguaglianza di H¨ older finita

Siano n ≥ 2; x

1

, . . . , x

n

, y

1

, . . . , y

n

∈ R; p > 1, p

0

=

p−1p

il coniugato di p. Dimostrare che

n

X

i=1

|x

i

y

i

| ≤

n

X

i=1

|x

i

|

p

!

1p n

X

i=1

|y

i

|

p0

!

p01

[ Se A = ( P

n

i=1

|x

i

|

p

)

1p

= 0 oppure B = P

n

i=1

|y

i

|

p0



p01

= 0

`

e ovvia; in caso contrario usando la disuguaglianza di Young 2 per (

|xAi|

)(

|yBi|

) e sommando su i . . . ]

(2) Disuguaglianza di Minkowski finita

Siano n ≥ 2; x

1

, . . . , x

n

, y

1

, . . . , y

n

∈ R; p ≥ 1. Dimostrare che

"

n

X

i=1

|x

i

+ y

i

|

p

#

1p

n

X

i=1

|x

i

|

p

!

1p

+

n

X

i=1

|y

i

|

p

!

p1

e quindi kxk

p

= ( P

n

i=1

|x

i

|

p

)

1p

` e una norma su R

N

.

[ Ovvia se p = 1 oppure se x

i

= y

i

= 0 per ogni i = 1, . . . , n, altrimenti P

n

i=1

|x

i

+ y

i

|

p

= P

n

i=1

|x

i

+ y

i

| |x

i

+ y

i

|

p−1

≤ P

n

i=1

|x

i

| |x

i

+ y

i

|

p−1

+ P

n

i=1

|y

i

| |x

i

+ y

i

|

p−1

, e applicando la disuguaglianza di H¨ older con esponenti p, p

0

=

p−1p

alle due sommatorie . . . ]

(3) Disuguaglianza di H¨ older per le serie

Siano p > 1, p

0

=

p−1p

l’ esponente coniugato di p. Siano {x

n

}

n∈N

, {y

n

}

n∈N

successioni reali e supponiamo che

P

+∞

i=1

|x

i

|

p

< +∞, P

+∞

i=1

|y

i

|

p0

< +∞ . Dimostrare che la serie P

+∞

i=1

x

i

y

i

converge assolutamente e che vale la disuguaglianza

+∞

X

i=1

|x

i

y

i

| ≤

+∞

X

i=1

|x

i

|

p

!

1p +∞

X

i=1

|y

i

|

p0

!

p01

[ Come per la disuguaglianza finita sommando per infiniti termini, passando al limite sulle somme finite . . . ]

1

(2)

2

(4) Disuguaglianza di Minkowski per le serie

Sia p ≥ 1, e siano {x

n

}

n∈N

, {y

n

}

n∈N

successioni reali tali che P

+∞

i=1

|x

i

|

p

< +∞, P

+∞

i=1

|y

i

|

p

< +∞. Dimostrare che P

+∞

i=1

|x

i

+ y

i

|

p

< +∞ e che vale la disuguaglianza

"

+∞

X

i=1

|x

i

+ y

i

|

p

#

1p

+∞

X

i=1

|x

i

|

p

!

1p

+

+∞

X

i=1

|y

i

|

p

!

p1

e quindi kxk

p

= ( P

n

i=1

|x

i

|

p

)

1p

` e una norma sullo spazio l

p

, spazio delle successioni reali {x

n

}

n∈N

, tali che P

+∞

i=1

|x

i

|

p

< +∞.

[ Come per la disuguaglianza finita sommando per infiniti termini, passando al limite sulle somme finite . . . ]

(5) Disuguaglianza di H¨ older per gli integrali

Siano p > 1, p

0

=

p−1p

l’ esponente coniugato di p e siano f, g due funzioni continue nell’ intervallo [a, b]. Dimostrare che vale la disuguaglianza

Z

b a

|f (x) g(x)| dx ≤

Z

b a

|f (x)|

p

dx



1 p

Z

b

a

|g(x)|

p0

dx



1 p0

[ Come per la dis. finita, se A = ( R

b

a

|f (x)|

p

dx)

p1

, B = ( R

b

a

|g(x)|

p0

dx)

p01

6= 0, applicando la disuguaglianza di Young a

f (x)A g(x)B

e integrando invece che sommare . . . ]

(6) Disuguaglianza di Minkowski per per gli integrali Sia p ≥ 1, e siano f, g due funzioni continue nell’ intervallo [a, b]. Dimostrare che vale la disuguaglianza

Z

b a

|f (x) + g(x)|

p



1 p

Z

b a

|f (x)|

p



1 p

+

Z

b a

|g(x)|

p



1 p

e quindi kf k

p

=  R

b

a

|f (x)|

p

dx 

1p

`

e una norma su C

0

([a, b]).

[ Come per la disuguaglianza finita integrando invece che sommare . . . ]

(1) Data la funzione di due variabili f (x, y) =

(

y( ex−1)

x

se x 6= 0

y se x = 0 , calcolare le derivate parziali, studiare la differenziabilit` a e dire se la funzione ` e di classe C

1

(R

2

).

[ Le derivate parziali esistono ovunque e sono

(3)

3

f

x

=

(

y(xex−ex+1)

x2

se x 6= 0

y

2

se x = 0 , f

y

(x, y) = (

ex−1

x

se x 6= 0 1 se x = 0 La funzione ` e di classe C

1

(R

2

) ]

(2) Studiare esistenza delle derivate parziali e direzionali, continuit` a e differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =

( cos ((x − 1)(y − 2)) +

2 (x−1)(x−1)23+(y−2)+3(y−2)23

se (x, y) 6= (1, 2)

1 se (x, y) = (1, 2)

[ f

x

(1, 2) = 2, f

y

(1, 2) = 3,

∂f∂v

= 2v

13

+ 3v

23

, la funzione non

`

e differenziabile nel punto (1, 2). ] (3) Data la funzione di due variabili

f (x, y) = ((x

2

+ y

2

) sin( √

1

x2+y2

) se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

,

studiarne la continuit` a e differenziabilit` a. Dire se la funzione ` e di classe C

1

in R

2

.

[ Differenziabile ma non di classe C

1

in R

2

. ] (4) Data la funzione di due variabili

f (x, y) =

(

|x|α(ey−1)

x2+y2

se x 6= 0

0 se x = 0

studiare in funzione del parametro α ∈ R , α 6= 0 ,

a) l’ esistenza delle derivate parziali (calcolandole nei punti in cui esistano)

b) la continuit` a di f c) la differenziabilit` a di f

[ In (x, y) con x 6= 0 la funzione ` e di classe C

in un intorno (quindi continua e differenziabile).

In (0, y) con y 6= 0 ` e continua se α > 0, non continua se α < 0;

non esiste la derivata f

x

(0, y) se α ≤ 1 (mentre f

y

(0, y) = 0) quindi se α ≤ 1 la funzione non ` e differenziabile, mentre lo ` e se α > 1.

In (0, 0) la funzione ` e continua se e solo se α > 1, differenziabile se e solo se α > 2. ]

Usando opportunamente le disuguaglianze di Young:

(5) Dimostrare che la funzione f (x, y) =

|x|54|y|12

|x|32+y2

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

`

e continua, ma non differenziabile in (0, 0), mentre la funzione

(4)

4

f (x, y) =

|x|94|y|12

|x|32+y2

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

`

e ovunque (continua e) differenziabile.

Pi` u in generale

(6) Studiare in funzione del parametro α > 0 l’ esistenza delle de- rivate parziali e direzionali, la continuit` a e la differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =

|x|α|y|12

|x|32+y2

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

[ Continua se e solo se α >

98

, differenziabile se e solo se α > 2 ]

(7) Studiare in funzione del parametro α > 0 l’ esistenza delle de- rivate parziali e direzionali, la continuit` a e la differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =

(

|x|α|y|32

|x|6+y4

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

[ Continua se e solo se α >

154

, differenziabile se e solo se α >

194

(8) Studiare esistenza delle derivate parziali e direzionali, continuit` a e differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =

( |

x2y

|

α

x4+y2

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) a) nel caso di α = 1

b) nel caso di α = 2

c) * nel caso generale di α > 0

[ Se α = 1 non ` e continua, quindi non ` e differenziabile.

Nel caso α = 2, la funzione ` e differenziabile, come si pu` o dedur- re utilizzando opportunamente la disuguaglianza di Young con p = p

0

= 2.

Nel caso generale ` e continua se e solo se α > 1, ed ` e differenzia- bile se e solo se α >

54

.

]

Riferimenti