Verifica guidata di alcune disuguaglianze notevoli (continuazione) Usando le disuguaglianze di Young dimostrate in precedenza, x
λy
1−λ≤ λx + (1 − λ)y se x, y ≥ 0 , 0 < λ < 1
ab ≤
app+
bpp00se a, b ≥ 0 dove p > 1 , p
0=
p−1psono esponenti coniugati (verificano
1p+
p10= 1) ,
dimostrare le seguenti (importanti) disuguaglianze.
(1) Disuguaglianza di H¨ older finita
Siano n ≥ 2; x
1, . . . , x
n, y
1, . . . , y
n∈ R; p > 1, p
0=
p−1pil coniugato di p. Dimostrare che
n
X
i=1
|x
iy
i| ≤
n
X
i=1
|x
i|
p!
1p nX
i=1
|y
i|
p0!
p01[ Se A = ( P
ni=1
|x
i|
p)
1p= 0 oppure B = P
ni=1
|y
i|
p0p01= 0
`
e ovvia; in caso contrario usando la disuguaglianza di Young 2 per (
|xAi|)(
|yBi|) e sommando su i . . . ]
(2) Disuguaglianza di Minkowski finita
Siano n ≥ 2; x
1, . . . , x
n, y
1, . . . , y
n∈ R; p ≥ 1. Dimostrare che
"
nX
i=1
|x
i+ y
i|
p#
1p≤
n
X
i=1
|x
i|
p!
1p+
n
X
i=1
|y
i|
p!
p1e quindi kxk
p= ( P
ni=1
|x
i|
p)
1p` e una norma su R
N.
[ Ovvia se p = 1 oppure se x
i= y
i= 0 per ogni i = 1, . . . , n, altrimenti P
ni=1
|x
i+ y
i|
p= P
ni=1
|x
i+ y
i| |x
i+ y
i|
p−1≤ P
ni=1
|x
i| |x
i+ y
i|
p−1+ P
ni=1
|y
i| |x
i+ y
i|
p−1, e applicando la disuguaglianza di H¨ older con esponenti p, p
0=
p−1palle due sommatorie . . . ]
(3) Disuguaglianza di H¨ older per le serie
Siano p > 1, p
0=
p−1pl’ esponente coniugato di p. Siano {x
n}
n∈N, {y
n}
n∈Nsuccessioni reali e supponiamo che
P
+∞i=1
|x
i|
p< +∞, P
+∞i=1
|y
i|
p0< +∞ . Dimostrare che la serie P
+∞i=1
x
iy
iconverge assolutamente e che vale la disuguaglianza
+∞
X
i=1
|x
iy
i| ≤
+∞
X
i=1
|x
i|
p!
1p +∞X
i=1
|y
i|
p0!
p01[ Come per la disuguaglianza finita sommando per infiniti termini, passando al limite sulle somme finite . . . ]
1
2
(4) Disuguaglianza di Minkowski per le serie
Sia p ≥ 1, e siano {x
n}
n∈N, {y
n}
n∈Nsuccessioni reali tali che P
+∞i=1
|x
i|
p< +∞, P
+∞i=1
|y
i|
p< +∞. Dimostrare che P
+∞i=1
|x
i+ y
i|
p< +∞ e che vale la disuguaglianza
"
+∞X
i=1
|x
i+ y
i|
p#
1p≤
+∞
X
i=1
|x
i|
p!
1p+
+∞
X
i=1
|y
i|
p!
p1e quindi kxk
p= ( P
ni=1
|x
i|
p)
1p` e una norma sullo spazio l
p, spazio delle successioni reali {x
n}
n∈N, tali che P
+∞i=1
|x
i|
p< +∞.
[ Come per la disuguaglianza finita sommando per infiniti termini, passando al limite sulle somme finite . . . ]
(5) Disuguaglianza di H¨ older per gli integrali
Siano p > 1, p
0=
p−1pl’ esponente coniugato di p e siano f, g due funzioni continue nell’ intervallo [a, b]. Dimostrare che vale la disuguaglianza
Z
b a|f (x) g(x)| dx ≤
Z
b a|f (x)|
pdx
1 p
Z
ba
|g(x)|
p0dx
1 p0
[ Come per la dis. finita, se A = ( R
ba
|f (x)|
pdx)
p1, B = ( R
ba
|g(x)|
p0dx)
p016= 0, applicando la disuguaglianza di Young a
f (x)A g(x)Be integrando invece che sommare . . . ]
(6) Disuguaglianza di Minkowski per per gli integrali Sia p ≥ 1, e siano f, g due funzioni continue nell’ intervallo [a, b]. Dimostrare che vale la disuguaglianza
Z
b a|f (x) + g(x)|
p1 p
≤
Z
b a|f (x)|
p1 p
+
Z
b a|g(x)|
p1 p
e quindi kf k
p= R
ba
|f (x)|
pdx
1p`
e una norma su C
0([a, b]).
[ Come per la disuguaglianza finita integrando invece che sommare . . . ]
(1) Data la funzione di due variabili f (x, y) =
(
y( ex−1)x
se x 6= 0
y se x = 0 , calcolare le derivate parziali, studiare la differenziabilit` a e dire se la funzione ` e di classe C
1(R
2).
[ Le derivate parziali esistono ovunque e sono
3
f
x=
(
y(xex−ex+1)x2
se x 6= 0
y
2
se x = 0 , f
y(x, y) = (
ex−1x
se x 6= 0 1 se x = 0 La funzione ` e di classe C
1(R
2) ]
(2) Studiare esistenza delle derivate parziali e direzionali, continuit` a e differenziabilit` a della funzione
f (x, y) =
( cos ((x − 1)(y − 2)) +
2 (x−1)(x−1)23+(y−2)+3(y−2)23se (x, y) 6= (1, 2)
1 se (x, y) = (1, 2)
[ f
x(1, 2) = 2, f
y(1, 2) = 3,
∂f∂v= 2v
13+ 3v
23, la funzione non
`
e differenziabile nel punto (1, 2). ] (3) Data la funzione di due variabili
f (x, y) = ((x
2+ y
2) sin( √
1x2+y2
) se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
,
studiarne la continuit` a e differenziabilit` a. Dire se la funzione ` e di classe C
1in R
2.
[ Differenziabile ma non di classe C
1in R
2. ] (4) Data la funzione di due variabili
f (x, y) =
(
|x|α(ey−1)x2+y2
se x 6= 0
0 se x = 0
studiare in funzione del parametro α ∈ R , α 6= 0 ,
a) l’ esistenza delle derivate parziali (calcolandole nei punti in cui esistano)
b) la continuit` a di f c) la differenziabilit` a di f
[ In (x, y) con x 6= 0 la funzione ` e di classe C
∞in un intorno (quindi continua e differenziabile).
In (0, y) con y 6= 0 ` e continua se α > 0, non continua se α < 0;
non esiste la derivata f
x(0, y) se α ≤ 1 (mentre f
y(0, y) = 0) quindi se α ≤ 1 la funzione non ` e differenziabile, mentre lo ` e se α > 1.
In (0, 0) la funzione ` e continua se e solo se α > 1, differenziabile se e solo se α > 2. ]
Usando opportunamente le disuguaglianze di Young:
(5) Dimostrare che la funzione f (x, y) =
|x|54|y|12
|x|32+y2
se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)
`
e continua, ma non differenziabile in (0, 0), mentre la funzione
4
f (x, y) =
|x|94|y|12
|x|32+y2
se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)
`
e ovunque (continua e) differenziabile.
Pi` u in generale
(6) Studiare in funzione del parametro α > 0 l’ esistenza delle de- rivate parziali e direzionali, la continuit` a e la differenziabilit` a della funzione
f (x, y) =
|x|α|y|12
|x|32+y2
se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)
[ Continua se e solo se α >
98, differenziabile se e solo se α > 2 ]
(7) Studiare in funzione del parametro α > 0 l’ esistenza delle de- rivate parziali e direzionali, la continuit` a e la differenziabilit` a della funzione
f (x, y) =
(
|x|α|y|32|x|6+y4
se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)
[ Continua se e solo se α >
154, differenziabile se e solo se α >
194(8) Studiare esistenza delle derivate parziali e direzionali, continuit` a e differenziabilit` a della funzione
f (x, y) =
( |
x2y|
αx4+y2