UNIVERSIT `A DEGLI STUDI DI FERRARA FACOLT `A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

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UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI FERRARA

FACOLT `A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea Triennale in Matematica Indirizzo Didattica della Matematica e Divulgazione

Scientifica

IL TEOREMA DI METRIZZAZIONE DI URYSON

Relatore:

Chiar.mo Prof.

Josef Eschgf ¨aller

Laureanda:

Michela Gasperoni

Anno Accademico 2009-2010

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Indice

Introduzione 3

1. Notazioni 5

2. Il lemma di Uryson 6

3. Spazi di Lindel¨of 9

4. Costruzione di immersioni 13

5. Il teorema di metrizzazione di Uryson 16

6. Spazi paracompatti 18

7. Il teorema di metrizzazione di Smirnov 21 8. La metrica euclidea in alta dimensione 26

9. Metriche non archimedee 32

Bibliografia 37

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Introduzione

Come è noto la topologia nasce con l’intento di interpretare un qual- siasi spazio in modo che esso acquisti e generalizzi particolari caratteristiche proprie degli spazi metrici. L’obbiettivo di questa tesi è invece quello di analizzare sotto quali condizioni si possa trovare per un insieme una topologia che risulti indotta da una metrica, ovvero sotto quali condizioni uno spazio risulti metrizzabile. Come punto di arrivo di questa ricerca segnaliamo il teorema di metrizzazione di Uryson, enunciato e dimostrato nel capitolo 5, e il teorema di metrizzazione di Smirnov, di cui ci occupiamo nel capitolo 7. Approfondiremo inoltre alcune propriet à degli spazi metrici, introducendo ad esempio il teorema di Stone; analizzeremo infine le paradossali propriet à, nelle alte dimensioni, della metrica euclidea e le interessanti caratteristiche delle metriche non archimedee.

Le definizioni di spazio regolare (e completamente regolare) e di spazio normale sono introdotte nel capitolo 2; a seguire vengono esposti diversi risultati che ci aiutano a capire il rapporto reciproco tra queste due propiet à. Nello stesso capitolo inoltre enunciamo e dimostriamo il celebre lemma di Uryson, che ci d à una definizione operativa di spazio normale ed è il punto di partenza fondamentale di tutta la teoria della metrizzazione.

Nel terzo capitolo esponiamo il primo e il secondo assioma di numerabilit à, definiamo quindi gli spazi di Lindelöf e gli spazi separabili soffermandoci sulle loro propriet à. Lo studio, che si sviluppa a seguire, delle connessioni esistenti tra gli spazi che soddisfano il secondo assioma, gli spazi di Lindelöf e quelli separabili ci conduce ad enunciare l’interessante teorema 3.20. Esso afferma che, sotto la condizione che lo spazio sia metrico, le tre propriet à citate sono in effetti equivalenti.

Nel capitolo 4 diamo alcune importanti definizioni. Introduciamo in particolare i concetti di topologia debole, di famiglie che separano i punti di uno spazio, di collezione che separa i punti dai chiusi e di immersioni. A questo proposito enunciamo il primo e il secondo teorema d’immersione; quest’ultimo in particolare sar à utile nella dimostrazione del teorema di metrizzazione di Uryson, di cui ci occupiamo nel capitolo successivo. Questo teorema afferma che nel caso di uno spazio Xdi Hausdorff le tre affermazioni: X è regolare e A₂, X può essere immerso come sottospazio in[0, 1]^Ne X è separabile e metrizzabile sono di fatto equivalenti.

Per introdurre il teorema di Stone nel sesto capitolo diamo la definizione di spazio paracompatto: uno spazio si dice paracompatto se ogni suo ricoprimento aperto ha un raffinamento aperto localmente finito.

Il teorema di Stone afferma che ogni spazio metrico `e paracompatto, ne consegue dunque una forte caratterizzazione degli spazi metrici.

Nel capitolo successivo troviamo una serie di interessanti teoremi sulla metrizzazione, coronati dal teorema di Smirnov. Questi teoremi ci forniscono diverse condizioni necessarie e sufficienti per la metriz-

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zabilit `a di uno spazio topologico, ad esempio in termini dell’esistenza di successioni normali compatibili o di famiglie di ricoprimenti con de- terminate propriet `a.

Nello studio della metrica euclidea nelle alte dimensioni scopriamo poi che essa si comporta in un modo decisamente inaspettato. Tale metrica infatti non `e, sorprendentemente, adatta all’uso in statistica: ci`o

`e legato al fatto che il volume di una palla di raggio unitario al crescere della dimensione dello spazio si rivela essere sempre pi `u prossimo allo zero. Ne consegue che il volume di un cubo n-dimensionale si con- centra nei bordi della figura. Da questo strano comportamento della metrica euclidea prendono vita due paradossi, da noi riportati sotto il nome di paradosso della sfera centrale e paradossi delle pareti.

Una metrica d su uno spazio X si dice non archimedea se per ogni x, y, z ∈ X vale d(x, z) ≤ d(x, y) ∨ d(y, z). Questa versione forte della disuguaglianza triangolare, nata prima nella teoria dei numeri, viene usata per una teoria metrica delle variet `a aritmetiche ed algebriche, e allo stesso tempo in statistica multivariata ad esempio nella costruzione di raggruppamenti gerarchici.

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1. Notazioni

Definizione 1.1.Sia X un insieme. Una pseudometrica su X `e un’applicazione d: X × X −→ R tale che per ogni x, y, z ∈ X valgano le seguenti rela-

zioni:

(1) d(x, x) = 0.

(2) d(x, y) = d(y, x).

(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

La coppia(X, d) si chiama allora uno spazio pseudometrico.

d si chiama una metrica, se `e soddisfatta anche la seguente condizione:

(4) d(x, y) = 0 =⇒ x = y.

In tal caso(X, d) si chiama uno spazio metrico.

Osservazione 1.2.Sia(X, d) uno spazio pseudometrico.

Allora d(x, y) ≥ 0 per ogni x, y ∈ X.

Dimostrazione. Grazie alle condizioni (1), (2) e (3) della definizione 1.1 abbiamo :

0 = d(x, x) ≤ d(x, y) + d(y, x) = 2d(x, y)

Lemma 1.3. Sia(X, d) uno spazio pseudometrico. Per x, y, u, v ∈ X allora

|d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v)

Dimostrazione. Facile verifica. Cfr. Chiodera, pag. 11.

Corollario 1.4. Sia(X, d) uno spazio pseudometrico. Allora l’applicazione d: X × X −→ R `e uniformemente continua (rispetto alla pseudometrica naturale su X× X) .

Definizione 1.5.In uno spazio topologico X denotiamo conU(x) l’insieme degli intorni di un punto x.

Osservazione 1.6.Sia(X, d) uno spazio pseudometrico. Per x ∈ X ed ε >0 poniamo

Uε(x) := (d(X, x) < ε) = {y ∈ X | d(y, x) < ε}

e

U(x) := {U ⊂ X | esiste ε > 0 con U^ε(x) ⊂ U }

Si verifica facilmente che in questo modo X diventa uno spazio topologico che `e di Hausdorff se e solo se d `e una metrica.

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2. Il lemma di Uryson

Situazione 2.1.X sia uno spazio topologico di Hausdorff.

Definizione 2.2.X si dice regolare, se per ogni x ∈ X ed ogni chiuso A ⊂ X esistono due aperti disgiunti U e V tali che x ∈ U ed A ⊂ V . Definizione 2.3.X si dice normale se per ogni coppia A, B di insiemi chiusi e disgiunti di X esistono due aperti disgiunti U e V tali che A ⊂ U e B ⊂ V .

Lemma 2.4. Sono equivalenti:

(1)X `e normale.

(2) Per ogni coppiaA, B di chiusi disgiunti di X esiste un aperto U diX con A ⊂ U e U ∩ B = ∅.

Dimostrazione. SianoA, B due chiusi disgiunti di X.

(1) =⇒ (2): Se è soddisfatta la condizione (1), allora esistono due aperti disgiuntiU e V tali che A ⊂ U e B ⊂ V . Perciò U ⊂ X \ V , per cuiU ⊂ X \ V = X \ V ⊂ X \ B, cosicché U ∩ B = ∅.

(2)=⇒ (1): Sia soddisfatta la condizione (2) e sia U un aperto scelto come nell’enunciato. AlloraV := X \ U ⊂ X \ U `e un aperto con U ∩ V = ∅. Per ipotesi B ⊂ X \ U = V .

Osservazione 2.5. SeX `e normale, allora X `e regolare.

Dimostrazione. In uno spazio di Hausdorff ogni punto `e chiuso, perci`o l’enunciato segue direttamente dalla definizione.

Definizione 2.6. Q_bin sia l’insieme dei numeri razionali diadici, ovvero l’insieme dei numeri razionali della formar = k/2ⁿ con n > 0 e k ∈ {1, ..., 2ⁿ− 1}.

Teorema 2.7 (lemma di Uryson).X `e normale se e solo se per ogni coppiaA, B di chiusi di X con A ∩ B = ∅ esiste una funzione continua f : X −→ [0, 1] tale che (f = 0, in A) ed (f = 1, in B).

Dimostrazione. Seguiamo le dimostrazioni in Willard, pag. 102, ed Engelking, pagg. 41-42.

(1) Supponiamo che X sia normale e che A, B siano due suoi chiusi disgiunti. Per il lemma 2.4. esiste un insieme apertoU_1/2tale che A ⊂ U_1/2 e U_1/2∩ B = ∅. Gli insiemi A ed X \ U_1/2 sono disgiunti e chiusi; lo stesso vale per U_1/2 e B. Ancora per il lemma 2.4. esistono quindi due insiemi apertiU_1/4eU_3/4tali che:

A ⊂ U_1/4⊂ U_1/4⊂ U_1/2⊂ U_1/2⊂ U_3/4

con U_3/4∩ B = ∅. Assumiamo di aver definito gli insiemi U_k/2ⁿ con k = 1, ..., 2ⁿ− 1 in modo che

A ⊂ U_1/2ⁿ ⊂ U_1/2ⁿ ⊂ ... ⊂ U_k−1/2ⁿ ⊂ U_k/2ⁿ ⊂ ... ⊂ U₍₂ⁿ−1)/2ⁿ

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conU₍₂ⁿ−1)/2ⁿ ∩ B = ∅. Allora, usando sempre il lemma 2.4, possiamo definire gli insiemiU_k/2ⁿ⁺¹perk = 1, ..., 2ⁿ⁺¹− 1 con le stesse propriet `a viste sopra. Per induzione troviamo cos`ı un insieme apertoU_rper ogni r ∈ Q_bin in modo tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

A ⊂ U_r eU_r∩ B = ∅ per ogni r ∈ Q_bin U_r⊂ U_sper ognir, s ∈ Q_binconr < s.

Ora definiamof : X −→ [0, 1] nel modo seguente:

f (x) :=

(1 sex /∈ U_rper ognir ∈ Q_bin

inf{r ∈ Q_bin| x ∈ U_r} altrimenti

E evidente che avremo` (f = 0, in A) e (f = 1, in B). Ora però dobbiamo mostrare che la funzionef è continua, ma ciò segue facilmente dalle seguenti osservazioni (considerando semprer, s ∈ Qbin) :

Sex /∈ U_r, alloraf (x) ≥ r (continuit `a nei punti x in cui f (x) = 1);

sex ∈ Ur, alloraf (x) ≤ r (continuit `a nei punti x in cui f (x) = 0);

sex ∈ Ur− U_s, doves < r, allora s ≤ f (x) ≤ r (continuit `a in tutti gli altri punti).

Infatti `e sufficiente mostrare che gli insiemi(f < a) ed (f > b), con a ≤ 1 e b ≥ 0, sono aperti.

La disuguaglianza f (x) < a `e valida se e solo se esiste un r ∈ Q_bin tale cher < a e x ∈ Ur, perci`o l’insieme(f < a) = S

r∈(Qbin<a)

Ur `e un aperto.

La disuguaglianza f (x) > b invece è valida se e solo se esiste un s ∈ (Qbin > b) tale che x /∈ U_s. Ma affinchéx /∈ U_s deve esistere un r ∈ (Q_bin> b) tale che x /∈ U_r. Perciò l’insieme

(f > b) = S

r∈(Qbin>b)

X \ Ur= X \ T

r∈(Qbin>b)

Ur

`e anch’esso un aperto.

(2) Supponiamo ora che A e B siano sottoinsiemi chiusi di X e che f : X −→ [0, 1] sia una funzione continua tale che (f = 0, in A) ed (f = 1, in B). Allora evidentemente (f < ¹₂) e (f > 1/2) saranno insiemi aperti e disgiunti inX che conterranno rispettivamente A e B.

Definizione 2.8.X si dice completamente regolare, se per ogni x ∈ X ed ogni chiusoA di X con x /∈ A esiste una funzione continua

f : X −→ [0, 1] tale che f (x) = 1 e (f = 0, in A).

Osservazione 2.9. SeX `e completamente regolare, allora X `e regolare.

Dimostrazione. Baldini, osservazione 6.7.

Corollario 2.10. SeX `e normale, allora X `e completamente regolare.

Dimostrazione. Ci`o `e una conseguenza diretta del lemma di Uryson.

Proposizione 2.11. Se X `e compatto, allora X `e normale e quindi

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completamente regolare.

Dimostrazione. Chiodera, pag. 19.

Proposizione 2.12. SeX `e metrico, allora X `e normale e quindi com- pletamente regolare e regolare.

Dimostrazione. Sia (X, d) uno spazio metrico e siano A e B chiusi disgiunti diX. Per ogni x ∈ A scegliamo un δx > 0 in modo tale che Uδx(x) non incontri B e per ogni y ∈ B possiamo scegliere un εy > 0 in modo tale cheU_ε_y(y) non incontri A. Siano inoltre

U := S

x∈A

U_δ_x_/3(x) e V := S

y∈B

U_ε_y_/3(y)

Allora U e V sono aperti di X che contengono rispettivamente A e B. Dimostriamo che U ∩ V = ∅. Supponiamo, per assurdo, che esista un elemento z ∈ U ∩ V . Allora d(x, z) < δ_x/3 per qualche x ∈ A e d(z, y) < ε_y/3 per qualche y ∈ B. Perciò d(x, y) < δ_x/3 + ε_y/3. Se adesso ad esempio εx ≤ δx, allora d(x, y) < δx e quindi y ∈ U_δ_x, ma ciò è impossibile perchéy ∈ B.

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3. Spazi di Lindel ¨ of

Situazione 3.1.SianoX ed Y spazi topologici.

Definizione 3.2.Uno spazio topologico in cui ogni punto possiede una base numerabile degli intorni `e detto soddisfare il primo assioma di numerabilit `a.

Utilizzeremo la notazioneA1 per indicare uno spazio topologico che soddisfa il primo assioma di numerabilit `a.

Definizione 3.3.Uno spazio topologico soddisfa il secondo assioma di numerabilit `ase possiede una base numerabile degli aperti.

Utilizzeremo la notazioneA₂ per indicare uno spazio topologico che soddisfa il secondo assioma di numerabilit `a.

Osservazione 3.4.Se uno spazio topologico soddisfa il secondo assioma di numerabilit à allora soddisfa anche il primo assioma. Il vice versa non è vero: ogni spazio discreto non numerabile èA1 senza essere A₂.

Proposizione 3.5. L’immagine di uno spazioA₂ tramite una funzione continua aperta `e uno spazioA₂.

Dimostrazione. Sia f : X −→ Y una funzione continua e aperta. `E sufficiente mostrare che se B `e una base perX, allora {f (B) | B ∈ B}

`e una base per Y .

Siano V un aperto di Y ed y ∈ V . Allora f⁻¹(V ) è un aperto in X e se scegliamo un punto x ∈ f⁻¹(y), allora x ∈ f⁻¹(V ). Siccome B è una base di X, per qualche B ∈ B abbiamo x ∈ B ⊂ f⁻¹(V ). Perciò y ∈ f (B) ⊂ V .

Proposizione 3.6. Ogni sottospazio di uno spazioA2 è ancoraA2. Dimostrazione. Se B è una base perX ed A è un sottoinsieme di X, allora{A ∩ B | B ∈ B} è una base degli aperti di A.

Proposizione 3.7. Il prodotto di spazi topologici èA₂ se e solo se ogni fattore èA₂e, a parte un insieme numerabile di essi, tutti i fattori sono spazi contenenti al massimo un punto (se uno dei fattori è vuoto, anche il prodotto è vuoto).

Dimostrazione. (1) Supponiamo che X = Q

i∈I

Xi sia A2. Grazie alla proposizione 3.5 ogni Xi è A2, mentre è immediato che ci può essere solo un numero numerabile di fattori non banali.

(2) Vice versa, supponiamo che {B_in| n = 1, 2, ...} sia una base per Xiper ognii ∈ I. Allora gli insiemi della forma

Bi1n1× ... × B_ikn^k×Q

{X_i | i 6= i₁, ..., ik}

costituiscono una base per il prodotto degliAi. `E immediato che questa base `e numerabile.

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Definizione 3.8. Uno spazio topologicoX `e detto separabile se in X esiste un sottoinsieme numerabile e denso.

Definizione 3.9. SiaΓ := R²:{(x, y) ∈ R²| y ≥ 0} il semipiano supe- riore chiuso. Gli intorni dei punti appartenenti all’insieme{(x, y) ∈ R²

| y > 0} siano gli intorni derivati dalla topologia euclidea. Per ogni punto x sull’asse reale invece scegliamo come base degli intorni gli insiemi {x} ∪ A, dove A `e un disco contenuto in Γ e tangente all’asse reale in x. In questo modo si ottiene uno spazio topologico che viene chiamato piano di Moore.

Proposizione 3.10.X sia separabile ed f : X −→ Y un’ applicazione continua e suriettiva. AlloraY `e separabile.

Dimostrazione.A sia un sottoinsieme denso di X. Per la continuit `a dif allora f (X) = f (A) ⊂ f (A) ⊂ Y . Ma f `e suriettiva, per cui f (X) coincide conY . Quindi anche f (A) = Y .

Osservazione 3.11. Un sottospazio di uno spazio separabile non `e necessariamente separabile.

Dimostrazione. Il piano di Moore è separabile. Ma il sottospazio costituito dall’asse reale nella topologia indotta porta la topologia discreta e non è numerabile. Perciò questo sottospazio non può essere separabile − infatti è chiaro che uno spazio discreto è separabile se e solo se è numerabile.

Proposizione 3.12. Un sottospazio aperto di uno spazio separabile `e separabile.

Dimostrazione.X sia separabile ed A un aperto di X. Sia D un sottoinsieme denso diX. La chiusura di A ∩ D in A `e uguale ad A ∩ A ∩ D.

E quindi sufficiente dimostrare che` A ⊂ A ∩ D.

Supponiamo, per assurdo, che esistaa ∈ A tale che a /∈ A ∩ D. Allora esiste un intornoU di a con U ∩ A ∩ D = ∅. Ma anche U ∩ A è un intorno dia, e ciò è in contraddizione all’ipotesi che D sia denso in X.

Definizione 3.13. X `e di Lindel¨of se ogni ricoprimento aperto di X possiede un sottoricoprimento numerabile.

Teorema 3.14. Uno spazio Lindel¨of regolare `e normale.

Dimostrazione. Siano A e B due chiusi disgiunti in uno spazio Lin- delöf regolareX. Per ogni a ∈ A sia Uaun aperto contenentea tale che Ua∩ B = ∅ (ciò è possibile per la regolarit à). Analogamente per ogni b ∈ B troviamo un aperto Vb con b ∈ Vb e Vb ∩ A = ∅. Poiché A e B sono sottospazi di Lindelöf diX, un insieme numerabile di aperti U_a ricopreA; quindi A ⊂ U_a1∪ U_a2∪ ..., analogamente B ⊂ V_b1∪ V_b2∪ ....

Costruiamo induttivamente gli apertiS_neT_n nel seguente modo:

S₁ = U_a1, T₁ = V_b1\ S₁

S₂ = U_a2\ T₁, T₂= V_b2\ (S₁∪ S₂)

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S₃ = U_a3\ (T₁∪ T₂), T₃= V_b3\ (S₁∪ S₂∪ S₃) E facile verificare che` S = S

S_n eT =S

T_n sono aperti disgiunti contenenti rispettivamenteA e B.

Proposizione 3.15. X sia uno spazio di Lindelöf ed f : X −→ Y una funzione continua e suriettiva. AlloraY è di Lindelöf.

Dimostrazione.X sia di Lindelöf. Sia {U_α| α ∈ A } un ricoprimento aperto diY . Allora {f⁻¹(U_α) | α ∈ A } è un ricoprimento aperto di X, di cui possiamo scegliere un sottoricoprimento numerabile{f⁻¹(Uαi) | i = 1, 2, ...}.{U_αi | i = 1, 2, ...} sar à allora un sottoricoprimento numerabile del ricoprimento dato.

Proposizione 3.16. Un sottospazio chiuso di uno spazio di Lindelöf è di Lindelöf.

Dimostrazione. X sia uno spazio di Lindel¨of ed F un chiuso in X.

Se{U_α | α ∈ A } `e un ricoprimento aperto di F , consideriamo per ogni α l’aperto V_α = (X \ F ) ∪ U_α. Allora gli aperti V_α formano un ricoprimento aperto di X dal quale possiamo procurarci un sottoricoprimento numerabile{V_α1, V_α2, ...}. Allora il corrispondente ricoprimento {Uαi| i = 1, 2, . . .} ricopre F e perci`o {Uα | α ∈ A } ha un sottoricoprimento numerabile.

Osservazione 3.17. Un sottospazio di uno spazio di Lindelöf non è necessariamente uno spazio di Lindelöf (Willard, pag. 110).

Osservazione 3.18. Il prodotto di due spazi di Lindelöf non è in generale di Lindelöf.

Dimostrazione. Consideriamo lo spazio topologico eR formato dalla retta reale con la topologia la cui base è l’insieme degli aperti della forma[a, b), a < b. Si può dimostrare che eRè di Lindelöf. Invece, per il teorema 3.11., eR× eRnon è di Lindelöf perché tale spazio è regolare (eR è regolare) senza essere normale.

Proposizione 3.19. SeX è A2, alloraX è di Lindelöf e separabile.

Dimostrazione. (1) Sia B una base numerabile diX e sia U un qual- siasi ricoprimento aperto diX. Per ogni U ∈ U ed ogni x ∈ U esiste un B_x,U ∈ B tale che x ∈ B_x,U ⊂ U . L’insieme B^′ = {B_x,U | x ∈ U , U ∈ U}

`e numerabile, poich´e B^′⊂ B .

Se scriviamo {B_x,U | x ∈ U , U ∈ U} = {B_x1,U¹, B_x2,U², ...}, vediamo cheU₁, U₂, ... `e un sottoricoprimento numerabile di U.

(2) Se prendiamo un punto da ciascuno degli elementi della base numerabile, allora l’insieme che ne risulta `e denso.

Teorema 3.20. Per uno spazio metrico X le seguenti condizioni sono equivalenti:

(1)X `e A₂.

(2)X `e di Lindel¨of.

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(3)X `e separabile.

Dimostrazione. Per la proposizione 3.19 `e sufficiente mostrare (2)=⇒

(1) e (3)=⇒ (1).

(2) =⇒ (1): Supponiamo che X sia di Lindelöf. Per ogni n ∈ N + 1, sia U_n ={U_1/n(x) | x ∈ X}. U_n è un ricoprimento aperto di X e quindi esiste per ognin un sottoricoprimento numerabile V_n. Allora U= V₁∪ V₂∪ ... è una collezione numerabile di aperti di X. Sia W un aperto non vuoto di X ed x ∈ W . Allora U_1/m(x) ⊂ W per qualche m. Ora, poiché V_2m ricopre X, esiste qualche y ∈ X tale che x ∈ U_1/(2m)(y).

Perci`o

U_1/(2m)(y) ⊂ U_1/m(x) ⊂ W .

U_1/(2m)(y) `e quindi un elemento di U contenente x e contenuto in W , e vediamo che U `e una base numerabile perX.

(3)=⇒ (1): Sia {a1, a2, ...} un sottoinsieme numerabile e denso di X e siaU_nm = U_1/m(a_n), con n = 1, 2, ..., m = 1, 2, ....

Allora U= {Unm | n = 1, 2, ..., m = 1, 2, ...} è numerabile. Dimostria- mo che U è una base per X. Sia x ∈ W con W aperto non vuoto di X, allora U_1/m(x) ⊂ W per qualche m. Poiché qualche a_n ∈ U_1/(2m)(x) avremoU_1/(2m)(a_n) ⊂ U_1/m(x).

Otteniamo cos`ı chex ∈ U_n2m= U_1/(2m)(a_n) ⊂ W , perci`o U `e una base.

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4. Costruzione di immersioni

Situazione 4.1.SianoX ed I insiemi e per ogni i ∈ I siano dati uno spazio topologicoYi e un’applicazionefi: X −→ Yi.

Definizione 4.2. La pi `u piccola topologia suX che rende le funzioni ficontinue `e detta topologia debole indotta suX dalla collezione

i∈I

fi. Una sottobase per questa topologia `e formata dagli insiemif_i⁻¹(Ui), coni ∈ I ed Ui aperto diYi. Otteniamo quindi dalle intersezioni finite di tali insiemi una base per la topologia debole suX.

Lemma 4.3. Siano T ed S due spazi topologici e g : T −→ S un’applicazione. S sia una sottobase degli aperti di S. Per ogni A ∈ S la controimmagineg⁻¹(A) sia aperta. Allora g `e continua.

Dimostrazione. Consideriamo la collezione di tutte le intersezioni finite di elementi di S. Essa costituisce una base perS.

Osserviamo che valgono i seguenti fatti:

(a) la controimmagine di un’unione di insiemi coincide con l’unione delle controimmagini degli insiemi;

(b) la controimmagine di un’intersezione finita di insiemi coincide con l’intersezione finita delle controimmagini degli insiemi.

Perci`o la controimmagine di un qualunque aperto diS `e un aperto diT .

Teorema 4.4 (propriet `a universale della topologia debole).

SiaX dotato della topologia debole indotta dalla collezione di funzioni fi : X −→ Yi. SianoT uno spazio topologico e g : T −→ X un’ applicazione. Allorag `e continua se e solo se la composizione fi◦ g `e continua per ognii ∈ I.

Dimostrazione. (1) Se g è continua allora fi ◦ g è continua perché composizione di funzioni continue.

(2) Supponiamo fi ◦ g continua per ogni i ∈ I. Gli insiemi della forma f_i⁻¹(Ui), con i ∈ I ed Ui aperto di Yi, costituiscono una sottobase della topologia debole per X. Osserviamo che vale la relazione g⁻¹(f_i⁻¹(Ui)) = (fi◦ g)⁻¹(Ui). Quindi, poiché fi◦ g è continua, le controimmagini attraverso g degli elementi della sottobase sono aperti diX. Perciò, grazie al lemma 4.3, g risulta continua.

Definizione 4.5.L’applicazione

x

i

fi(x) : X −→ Q

i∈I

Yi `e detta applicazione di valutazioneassociata alla famiglia

i

fi. Definizione 4.6. Diremo che la famiglia

i

fi separa i puntidiX se per ogni coppia x, y di punti distinti di X esiste un i ∈ I tale che fi(x) 6= fi(y).

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Definizione 4.7.SianoT ed S spazi topologici. Definiamo immersione di T in S un’applicazione continua f : T −→ S tale che f : T −→

f (T ) `e omeomorfismo. In tal caso diciamo anche che T `e immerso in S tramitef .

Teorema 4.8 (primo teorema d’immersione.). La funzione di va- lutazione e :=

x

i

fi(x) : X −→ Q

i∈I

Yi `e un’immersione se e solo se la topologia di X coincide con la topologia debole indotta dalle funzioni

i

fi e tale collezione separa i punti diX.

Dimostrazione. Per ognij ∈ I sia πj : Q

i∈I

Yi−→ Yj la proiezione canonica. Osserviamo chefj= πj◦ e.

(1) Supponiamo che e sia un’immersione. La topologia prodotto su Q

i∈I

Yi `e la topologia debole indotta dalla collezione

i∈I

πi. La topologia sue(X) coincide con la topologia debole indotta dalle restrizioni delle proiezioni, come si dimostra facilmente. Quindi, poiché e ristretto al suo codominio è un omeomorfismo, la topologia suX coincide con la topologia debole indotta dalle funzionifi= πi◦ e. Inoltre, essendo la e iniettiva, presi x 6= y in X, si ha e(x) 6= e(y). Perciò fi(x) 6= fi(y) per qualchei ∈ I.

(2) Supponiamo che la topologia suX sia la topologia debole indotta dalle funzioni fi e che la collezione

i∈I

fi separi i punti di X. Per il teorema 4.4 per ognii ∈ I la composizione fi= πi◦ e è continua, perciò e è continua.

Inoltre, se prendiamox 6= y in X, allora fi(x) 6= f₍y) per qualche i in I, ne consegue che e(x) 6= e(y). Quindi e `e iniettiva.

Mostriamo ora che e : X −→ e(X) è un’applicazione aperta. Poiché e è iniettiva, è sufficiente mostrare che e(U ) è un aperto in e(X) ogni volta cheU è un elemento della sottobase. Sia quindi U = f_i⁻¹(V ) per qualchei ∈ I e qualche V aperto in Yi. Allora

U = (πi|_e(X)◦ e)⁻¹(V ) = e⁻¹◦ ((πi|_e(X))⁻¹(V ))

per cui e(U ) = (πi|_e(X))⁻¹(V ) = π⁻_i ¹(V ) ∩ e(X) è un aperto in e(X) poichéπ_i⁻¹(V ) è un aperto in Q

i∈I

Yi.

Definizione 4.9.X sia uno spazio topologico. Diciamo che la collezione

i∈I

fi separa i punti dai chiusi, se per ogni chiuso B di X ed ogni x /∈ B si ha fi(x) /∈ fi(B) per qualche i ∈ I.

Proposizione 4.10.X sia uno spazio topologico e le applicazioni fi : X −→ Yi siano continue. La collezione

i

fi separa i punti dai chiusi in X se e solo se gli insiemi f_i⁻¹(V ), con i ∈ I e V aperto di Yi, formano una base per la topologia diX.

Dimostrazione. (1) Supponiamo che la collezione di funzioni separi i punti dai chiusi inX.

(16)

SeV è un aperto di Yiper qualchei ∈ I, allora f_i⁻¹(V ) è un aperto di X per la continuit à di fi.

Siano orax ∈ X e U ∈ U (x). Allora B = X \ U è un chiuso di X. Di conseguenza si hafi(x) /∈ fi(B) per qualche i ∈ I, o equivalentemente fi(x) ∈ Yi\ fi(B). Consideriamo l’insieme f_i⁻¹(Yi\ fi(B)); esso è aperto e contienex. Vogliamo mostrare che vale f_i⁻¹(Yi\ fi(B)) ⊂ U . Ma ciò è evidente grazie alla seguente relazione:

x ∈ f_i⁻¹(Yi\ fi(B)) = X \ f_i⁻¹(fi(B)) ⊂ X \ B = U

(2) Supponiamo che gli aperti della forma f_i⁻¹(V ), con i ∈ I e V aperto diYi, costituiscano una base perX. Sia B un chiuso di X e x /∈ B. Poich´e la collezione costituisce una base, esiste un aperto U ∈ U (x) tale che U ∩ B = ∅. Perci`o esiste a ∈ I tale che U = f_a⁻¹(A) per qualcheA aperto in Ya. Possiamo scrivere

U ∩ B = f_a⁻¹(A) ∩ B = ∅ ⇐⇒ A ∩ fa(B) = ∅, con fa(x) ∈ A

Perci`o esiste un apertoA di Yacontenentefa(x) tale che A ∩ fa(B) = ∅, e quindifa(x) /∈ fa(B).

Corollario 4.11. Se

i∈I

fi `e una collezione di funzioni continue su uno spazio topologico X che separa i punti dai chiusi, allora la topologia suX `e la topologia debole indotta dalle funzioni fi.

Teorema 4.12 (secondo teorema d’immersione.).X sia uno spazio topologico di Hausdorff e le applicazionifi : X −→ Yi siano continue.

La collezione

i

fisepari i punti dai chiusi. Allora la funzione di valu- tazione `e un’immersione.

Dimostrazione. Ci`o `e una conseguenza diretta del teorema 4.8 e del corollario 4.11.

(17)

5. Il teorema di metrizzazione di Uryson

Proposizione 5.1. Siano dati spazi metrici (X1, d1), (X2, d2), .... Per x, y∈ X :=

Q∞ i=1

X_isia d(x, y) :=

Q∞ i=1

1

2ⁱmin(1, di(xi, y_i))

Allora d `e una metrica su X compatibile con la topologia del prodotto.

Dimostrazione. Dimostriamo che la metrica d `e compatibile con la topologia prodotto. Sia x = (x1, x2, ...) ∈

Q∞ i=1

X_i. Un aperto U di una base degli intorni di x avr `a la forma

U = U d1ε1(x1) × U d2ε2(x2) × ... × U dnεn(xn) × Q∞ i=n+1

X_i

Scegliamo ε in modo tale che ε= min(^ε₂¹,₂^ε²2, ...,^ε₂ⁿn). Allora se d(x, y) < ε necessariamente d_i(x_i, y_i) < ε_i per ogni i= 1, ..., n. Perciò U d_ε⊂ U . Ne consegue che la topologia prodotto è pi ù debole della topologia indotta da d.

Viceversa, per ogni ε > 0 possiamo scegliere N sufficientemente grande di modo che

P∞ i=N +1

1

2ⁱ < ^ε₂. Allora

U d1ε/2N(x1) × U d2ε/2N(x2) × ... × U d_nε/2N(x_n) × Q∞ i=n+1

X_i⊂ U d_ε(x) Perciò la topologia indotta da d è pi ù debole della topologia prodotto.

Osservazione 5.2. La proposizione 5.1, opportunamente riformula- ta, `e valida naturalmente anche quando `e data una successione finita (X1, d1), ..., (Xn, d_n) di spazi metrici.

Corollario 5.3. Sia T un insieme numerabile. Allora[0, 1]^T `e uno spa- zio metrizzabile.

Teorema 5.4 (teorema di metrizzazione di Uryson). Sia X uno spazio di Hausdorff. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(1) X `e regolare e A2.

(2) X pu`o essere immerso come sottospazio in[0, 1]^N. (3) X `e separabile e metrizzabile.

Dimostrazione. (1) =⇒ (2): Sia B una base di X tale che |B| = |N|.

Sia A:= {(U, V ) | U, V ∈ B e U ⊂ V }. Osserviamo che A `e numerabile.

Poiché X è uno spazio di Lindelöf regolare, per il teorema 3.14 X è normale. Quindi, seguendo il teorema 2.7, per ogni coppia(U, V ) ∈ A esiste una funzione continua f_{U V} : X −→ [0, 1] tale che f (U ) = 0 e f(X \ V ) = 1. Sia F l’insieme delle funzioni f_{U V}. Allora F è numerabile e separa i punti dai chiusi in X. Consideriamo ora la funzione di valu- tazione e:=

x f(x) : X −→ [0, 1]^F. Dal teorema 4.12 sappiamo che e `e

(18)

un’immersione. Ma F `e numerabile.

(2) =⇒ (3): [0, 1]^N `e separabile e metrico e lo stesso vale per i suoi sottospazi.

(3) =⇒ (1): Ci`o segue dalla proposizione 2.12 e dal teorema 3.20.

Corollario 5.5. Siano X uno spazio compatto metrizzabile ed Y uno spazio di Hausdorff. Sia f : X −→ Y un’applicazione continua e suri- ettiva. Allora Y `e metrizzabile.

Dimostrazione. Y è compatto, perciò utilizzando la proposizione 2.11 otteniamo che Y è regolare. Grazie al teorema 5.4 è sufficiente mostrare che Y è A2.

Siano B una base numerabile per X e C la collezione di tutte le unioni finite di insiemi di B. Allora D:= {Y \ f (X \ C) | C ∈ C} `e una collezione numerabile di aperti di Y . Mostriamo che costituisce una base per Y .

Sia V un aperto di Y e sia y ∈ V . Allora f⁻¹(y) ⊂ f⁻¹(V ), inoltre f⁻¹(y) `e un chiuso di X e quindi compatto. Usando ancora la compat- tezza di X si trova che esistono insiemi B1, ..., B_n di B che soddisfano alla condizione f⁻¹(y) ⊂ B1∪ ... ∪ B_n⊂ f⁻¹(V ). Posto

C := B1∪ ... ∪ Bn, allora C∈ C e y ∈ Y \ f (X \ C) ⊂ V . Perci`o D `e una base per Y .

(19)

6. Spazi paracompatti

Situazione 6.1.X sia uno spazio di Hausdorff.

Definizione 6.2. Siano U e V ricoprimenti di X. Se ogni U ∈ U è contenuto in qualcheV ∈ V diciamo che U è pi ù fine di V, o che U è un raffinamentodi V. In tal caso scriviamo U< V.

Definizione 6.3. Siano U e V ricoprimenti di X e sia A ⊂ X. La U- stelladiA `e l’insieme

stella(A, U) :=S

{U ∈ U | A ∩ U 6= ∅}

Posto

U^∗:= {stella(U, U) | U ∈ U}

diciamo che U `e uno stella-raffinamento di V, se U^∗< V.

Definizione 6.4.Diciamo che una collezione U di sottoinsiemi diX `e localmente finita se ognix ∈ X possiede un intorno che incontra solo un numero finito di elementi di U.

Diciamo che U `e una collezione puntualmente finita se ogni x ∈ X appartiene solo ad un numero finito di elementi di U.

Se invece ognix ∈ X ha un intorno che incontra al pi ù un elemento di U diciamo che U è discreta. `E chiaro che in tal caso U è localmente finita.

Definizione 6.5.Una collezione V di sottoinsiemi diX si dice σ-localmente finita, se V =

S∞ n=1

V_n, dove ogni V_n `e una collezione localmente finita.

Similmente, una collezione V di sottoinsiemi diX si dice σ-puntual- mente finita, se V =

S∞ n=1

V_n, dove ogni Vn `e una collezione puntualmente finita.

Una collezione V di sottoinsiemi diX si dice σ-discreta, se V=

S∞ n=1

V_n, dove ogni Vn `e una collezione discreta.

Osservazione 6.6.SianoV un aperto di X e P ⊂ X tale che U ∩P = ∅.

AlloraV ∩ P = ∅.

Dimostrazione. Sia x ∈ V ∩ P . Allora V `e un intorno di x, perci`o V ∩ P 6= ∅, ma contraddizione.

Lemma 6.7. U sia una collezione localmente finita di sottoinsiemi diX.

Allora anche il sistema{U | U ∈ U} `e localmente finito.

Dimostrazione. Sianox ∈ X e V un intorno di x scelto in modo che V ∩ U = ∅ eccetto che per un numero finito di elementi U di U. Allora V ∩ U = ∅ eccetto che per gli stessi U , come si vede dall’osservazione 6.6.

(20)

Definizione 6.8. X si dice paracompatto se ogni suo ricoprimento aperto ha un raffinamento aperto localmente finito.

Definizione 6.9. Un insieme totalmente ordinato(A, ≤) si dice ben ordinato e ≤ si dice un buon ordine su A, se ogni sottoinsieme non vuoto diA possiede un elemento pi `u piccolo.

Teorema 6.10. Ogni insieme pu`o essere ben ordinato.

Dimostrazione. Ci`o `e equivalente all’assioma della scelta, cfr. Wil- lard, pag. 10.

Teorema 6.11 (teorema di Stone). Ogni spazio metrico `e paracom- patto.

Dimostrazione. Sia U un ricoprimento aperto dello spazio metrico (X, d).

Per ognin ∈ N ed ogni U ∈ U sia Un := {x ∈ U | d(x, X \ U ) ≥ 1/2ⁿ}.

Allorad(Un, X \ Un+1) ≥ 1/2ⁿ− 1/2ⁿ⁺¹= 1/2ⁿ⁺¹. Sia≺ un buon ordine su U. Definiamo allora U_n^∗:= Un\S

{Vn+1 | V ∈ U e V ≺ U }

PerU, V ∈ U abbiamo che vale U_n^∗ ⊂ X \ Vn+1 oppureV_n^∗ ⊂ X \ Un+1. In entrambi i casid(U_n^∗, V_n^∗) ≥ 1/2ⁿ⁺¹.

Definiamo ora per ognin ∈ N \ {0} e per ogni U ∈ U Ufn := {x ∈ X | d(x, Un^∗) < 1/2ⁿ⁺³}

Abbiamo allorad(fUn, fVn) ≥ 1/2ⁿ⁺¹−2/2ⁿ⁺³≥ 1/2ⁿ⁺². Perci`o la collezione Vn= {fUn | U ∈ U} `e discreta per ogni n. Inoltre essendo V =

∞S

n=1

V_n σ-discreto, risulta essere anche σ-localmente finita. Infine `e chiaro che V `e un ricoprimento aperto di X e che raffina U.

Proposizione 6.12. Sia X uno spazio di Hausdorff regolare. Le se- guenti affermazioni sono equivalenti:

(1)X `e paracompatto.

(2) Ogni ricoprimento aperto diX ha un raffinamento aperto σ-localmente finito.

(3) Ogni ricoprimento aperto ha un raffinamento localmente finito (che non `e necessariamente aperto).

(4) Ogni ricoprimento aperto ha un raffinamento chiuso localmente finito.

Dimostrazione. Willard, pag. 146.

Corollario 6.13. Ogni spazio di Hausdorff regolare e di Lindel¨of `e paracompatto.

Dimostrazione. Un sottoricoprimento numerabile è un raffinamento σ-localmente finito. Infatti esso è un raffinamento del ricoprimento da cui proviene, ed èσ-localmente finito poiché è numerabile.

(21)

Osservazione 6.14.La classe degli spazi paracompatti comprende sia gli spazi compatti di Hausdorff che gli spazi metrici ed è infatti la pi ù piccola classe interessante di spazi topologici con questa propriet à . Proposizione 6.15. Ogni spazio paracompatto è normale.

Dimostrazione. SiaX uno spazio paracompatto.

(1) Dimostriamo innanzitutto che X `e regolare. Siano A un chiuso di X ed x /∈ A. Per ogni y ∈ A sia Vy un intorno di y tale che x /∈ Vy. Allora gli insiemiVyal variare diy in A e formano, insieme a X \ A, un ricoprimento aperto di X. Sia quindi W un suo raffinamento aperto localmente finito e sia V = S

{W ∈ W | W ∩ A 6= ∅}. `E chiaro che V `e aperto e che V = S

W | W ∈ W e W ∩ A 6= ∅

. Poiché ogni W è contenuto in qualcheVy, ciascun W è contenuto in qualche Vy. Perciò x /∈ V e quindi x ed A sono separati da aperti disgiunti.

(2) Siano oraA e B chiusi disgiunti di X. Grazie alla regolarit `a di X per ogniy ∈ A esiste qualche Vytale cheVy∩ B = ∅. Ragionando come nel punto (1) troviamo un apertoV che contiene A e tale che V ∩B = ∅.

Ne consegue cheX `e normale.

(22)

7. Il teorema di metrizzazione di Smirnov

Situazione 7.1.X sia uno spazio di Hausdorff.

Seguiamo Willard, pagg. 166-172.

Definizione 7.2. Una successione normale in uno spazioX `e una successione U₁, U₂, ... di ricoprimenti aperti di X tali che U^∗_n+1 < U_n per ognin∈ N + 1.

Una successione normale

n

U_n `e detta compatibile se per ogni x∈ X {stella(x, Un)| n ∈ N + 1} `e una base per gli intorni di x.

Un ricoprimento aperto diX che sia il primo elemento di una qualche successione normale nello spazioX si dice ricoprimento normale.

Teorema 7.3. X `e metrizzabile se e solo se possiede una successione normale compatibile.

Dimostrazione. (1) Assumiamo che X sia metrizzabile e poniamo U_n := {U1/3ⁿ(x) | x ∈ X}. Osserviamo che gli insiemi stella(x, Un) formano una base degli intorni per ogni x. Inoltre dalla disuguaglianza triangolare si vede che stella(U_1/3ⁿ(x), Un) ⊂ U1/3ⁿ⁻¹(x) per ogni n ∈ N + 2, per cui . . . U^∗3 < U^∗₂ < U₁. Perci`o la successione U₁, U₂, ...

`e normale e compatibile.

(2) Supponiamo di avere una successione normale e compatibile

n

U_n inX. Definiamo un’applicazione t : X×X −→ [0, 1] nel modo seguente:

t(x, y) = 0 se y∈ stella(x, Un) per tutti gli n t(x, y) = 1 se y /∈ stella(x, U1)

t(x, y) = ₂¹ⁿ sey∈ stella(x, U1) ed y /∈ stella(x, Un+1)

Definiamo ora per ognix, y∈ X l’insieme S(x, y) di tutte le successioni finite s = {x1, ..., x_n} di punti di X tali che x1 = x e x_n = y oppure x₁= y e x_n = x. Sia allora

d(x, y) = inf{Pⁿ

i=2

t(x_i−1, xi)| {x1, ..., xn} ∈ S(x, y)}

Si dimostra facilmente ched `e una metrica. Dimostriamo ora che questa metrica `e compatibile con la topologia suX.

Per ognin∈ N consideriamo il ricoprimento aperto

V_n :=U_1/2ⁿ(x)| x ∈ X . `E sufficiente dimostrare che per ognin valgono le relazioni

U_n< V_n−1 V_n< U_n−1

perch´e allora le due successioni definiscono la stessa topologia.

(a) Siano U ∈ Un ex ∈ U. Se y ∈ U, allora y ∈ stella(x, Un) e perciò t(x, y)≤ 1/2ⁿ, cosicchéd(x, y)≤ 1/2ⁿ< 1/2ⁿ⁻¹. Ne consegue che y∈ U1/2ⁿ⁻¹(x) e vediamo che U ⊂ U1/2ⁿ⁻¹(x). Perciò Un< V_n−1.

(b) `E sufficiente dimostrare che sed(x, y) < 1/2ⁿ, allorax e y appar-

(23)

tengono a qualche elemento di U_n, perch´e allora vale U_1/2ⁿ(x)⊂ stella(x, Un)⊂ U per qualche U ∈ Un−1.

Supponiamo quindi ched(x, y) < 1/2ⁿ. Allora inf{P^k

i=2

t(x_i−1, x_i)| {x1, ..., x_k} ∈ S(x, y)} < 1/2ⁿ

ovvero per qualche successione{x1, ...x_k} in S(x, y) vale

k

P

i=2

t(x_i−1, x_i) < ₂¹ⁿ

Procediamo ora per induzione suk.

Sek = 2 allora t(x, y) < 1/2ⁿ, cio`ey∈ stella(x, Um) e y /∈ stella(x, Um+1) per qualchem > n. Da ci`o in particolare abbiamo che y∈ stella(x, Un+1).

Cos`ıx, y∈ U per qualche U ∈ Un+1e quindix, y∈ U^′anche per qualche U^′∈ Un.

Supponiamo ora il risultato vero per le successioni di lunghezza mi- nore di k e supponiamo P^k

i=2

t(x_i−1, x_i) < 1/2ⁿ. Sia j l’ultimo numero compreso fra 2 ek per cui valga

j

P

i=2

t(x_i−1, xi) < ₂n+1¹

Allora

j+1

P

i=2

t(x_i−1, x_i)≥ ₂ⁿ⁺¹¹ ed inoltre

Pk i=j+2

t(x_i−1, x_i) < ₂¹n − ₂ⁿ⁺¹¹ = ₂n+1¹

Per ipotesi di induzione x₁ ex_j sono contenuti in qualcheU₁ ∈ Un+1. Poich´et(x_j, x_j+1) < 1/2ⁿ analogamente ricaviamo che

x_j, x_j+1 ∈ U2 ∈ Un+1. Infine troviamo che x_j+1 e x_k appartengono ad uno stesso aperto U3 ∈ Un+1. Perci`o x1 e x_k sono contenuti in stella(U2, Un+1)⊂ U per qualche U ∈ U.

Teorema 7.4 (teorema di Nagata).X `e metrizzabile se e solo se ogni puntox∈ X ha una base degli intorni numerabile {Uxn | n ∈ N} con le seguenti propriet `a :

(a)y∈ Uxn =⇒ Uyn⊂ Ux,n−1. (b)y /∈ Ux,n−1 =⇒ Uyn∩ Uxn=∅.

Dimostrazione. (1) Supponiamo cheX sia metrizzabile. Allora (a) e (b) sono soddisfatte ponendoU_xn:= U_1/2ⁿ(x).

(2) Sia U_n :={Uxn| x ∈ X}. Vogliamo mostrare che stella(U_xn, U_n)⊂ Ux,n−2per ognin > 2.

SupponiamoU_zn∩ Uxn 6= ∅. Allora per la propriet`a (b) z ∈ Ux,n−1. Se ora utilizziamo (a) otteniamoU_zn⊂ Ux,n−2, cio`e

stella(Uxn, Un) ⊂ Ux,n−2. Di conseguenza U^∗_n < U_n−2 per ogni n > 2 e quindi U₁, U3, U5, . . . `e una successione normale. Osserviamo anche

(24)

che stella(x, Un) ⊂ Ux,n−2 per ogni n > 2 e pertanto U1, U3, ... `e una successione normale compatibile. Grazie al teorema 7.3,X risulta metrizzabile.

Definizione 7.5. Diciamo sviluppo di uno spazio X una successione U₁, U₂, ... di ricoprimenti aperti di X per cui U_n < U_n−1 e tale che, per ogni x ∈ X, {stella(x, Un) | n = 1, 2, ...} forma una base degli intorni dix.

Uno spazio che possiede una sviluppo `e detto sviluppabile.

Definizione 7.6. Uno spazio di Moore `e uno spazio di Hausdorff rego- lare e sviluppabile.

Osservazione 7.7. La congettura sugli spazi di Moore afferma che ogni spazio di Moore normale `e metrizzabile. Questa congettura `e ancora aperta e probabilmente intrattabile.

Teorema 7.8 (teorema di Alexandrov/Uryson). SiaX uno spazio di Hausdorff. AlloraX `e metrizzabile se e solo se possiede uno svilup- po U₁, U2, ... con la propriet `a aggiuntiva che per ogni coppia di aperti U, V ∈ Un conU∩ V 6= ∅ si abbia U ∪ V ⊂ W per qualche W ∈ Un−1.

Dimostrazione. (1) Supponiamo chex sia metrizzabile. Allora `e sufficiente definire U_n:=U_1/4ⁿ(x)| x ∈ X .

(2) Sia U₁, U2, ... uno sviluppo di X con le propriet `a richieste. Per n > 1, U ∈ Un e x ∈ U abbiamo allora stella(U, Un) ⊂ stella(x, Un−1).

Per ognin > 1 ed x ∈ X poniamo Uxn := stella(x, U_n). Dobbiamo solo dimostrare che sono soddisfatte le condizioni (a) e (b) nel teorema 7.4.

(a) Siay∈ Uxn. Allorax, y∈ V per qualche V ∈ Un. Vale quindi U_yn = stella(y, U_n)⊂ stella(V, Un)⊂ stella(x, Un−1) = U_x,n−1

(b) Se fosseU_yn∩ Uxn6= ∅ avremmo qualche U, V ∈ Unla cui intersezione `e non vuota. Allora per ipotesiU∪V ⊂ W per qualche W ∈ Un−1, e quindiy∈ stella(x, Un−1) = U_x,n−1.

Definizione 7.9. Lo spazio di Hilbert generalizzato di peso|A|

(modellato suA), H^[A], `e l’insieme di tutte le funzionix : A−→ R tali che:

(1)x(a)6= 0 per al pi `u un insieme numerabile di a ∈ A;

(2)P

a∈A

x²(a) <∞.

La distanza in questo spazio `e definita ponendo:

d(x, y) =r P

a∈A

(x(a)− y(a))²

Definizione 7.10.X si dice perfettamente normale se per ogni coppia di chiusi disgiuntiA e B in X esiste una funzione continua

f : X −→ [0, 1] tale che f⁻¹(0) = A ed f⁻¹(1) = B.

Osservazione 7.11. Si dimostra facilmente che X è perfettamente normale se e solo se X è normale ed ogni aperto di X è un Fσ; cfr.

(25)

Willard, pag. 105.

Teorema 7.12 (teorema di Smirnov).X `e metrizzabile se e solo se `e regolare e possiede una base degli apertiσ-localmente finita.

Dimostrazione. (1) SiaX metrizzabile. Utilizzando il teorema 6.11 esso risulta paracompatto. Sia U_n un ricoprimento diX formato dalle palle di raggio 1/2ⁿ e sia V_n il raffinamento localmente finito di U_n. Allora S^∞

n=1

V_n `e una base degli aperti σ-localmente finita. Infine sappiamo che uno spazio metrico `e Hausdorff e regolare.

(2) Sia B = ^∞S

n=1

B_n una base σ-localmente finita per X. Ogni ricoprimento aperto ha unσ-raffinamento localmente finito costituito da elementi della base, perci`oX `e paracompatto e quindi normale per la prop. 6.15.

(3) Mostriamo ora cheX `e perfettamente normale.

SiaG un aperto di X. Poich´e X `e regolare, per ogni x∈ G esiste un elementoB_xdella base tale cheB_x⊂ G.

SiaB_n := S

B^x∈Bⁿ

B_x. Osserviamo cheB_n è l’unione di una collezione localmente finita di insiemi chiusi e perciò è anch’esso chiuso. Inol- tre G = S^∞

n=1

Bn. Pertanto ogni aperto in X `e un Fσ, cosicch´e X risulta essere perfettamente normale per l’osservazione 7.11. Ne consegue che per ogni elementoB_nα della base esiste un’applicazione continua f_nα : X −→ [0, 1] tale che Bnα={x ∈ X | fnα(x)6= 0}. Consideriamo lo spazio di Hilbert generalizzato H^[B].

DefiniamoF :=

x

nαF_nα(x) : X −→H^[B]nel modo seguente:

F_nα(x) := 1 (√

2)ⁿ

f_nα(x) r1 +P

β

f_nβ² (x)

Notiamo che il denominatore ha senso perch´e, per ognix∈ X, x ∈ Bnα

solo per un numero finito diB_nα∈ Bn, cosicch´e, fissaton, f_nα 6= 0 solo per un numero finito di α. Ne consegue che F_nα(x) 6= 0 solo per un insieme numerabile di coppien, α.

Poich´e P^∞

α=1

F_nα² (x) < ₂¹n troviamo che P

n,α

F_nα² (x) < P^∞

n=1 1

2ⁿ = 1. Perci`o F (x) `e in effetti un elemento di H^[B].

(4) Vogliamo ora dimostrare cheF è un’immersione di X in H^[B]. PoichéX è di Hausdorff, presi x, y ∈ X con x 6= y esiste un aperto Bnα ∈ B tale che x ∈ B^nα e y /∈ B^nα. Perciò fnα(x) 6= 0 e f^nα(y) = 0.

Abbiamo allora cheFnα(x)6= Fnα(y) e quindi che F (x)6= F (y).

F `e perci`o iniettiva.

Per dimostrare la continuit `a partiamo osservando che ciascuna delle

(26)

applicazioni

x Fnα(x) : X −→ R `e continua.

Sia quindi x0 ∈ X e sia ε > 0 dato. Prendiamo N in N + 1 grande abbastanza da soddisfare la disuguaglianza

P∞ n=N +1

1 2ⁿ < ^ε₄²

Sia poiU un intorno di x₀ che incontra solo un numero finito deiB_nα, che chiamiamoB_n1α1, ..., B_nkα^k. Sia oraV ⊂ U un intorno di x0tale che per ognix∈ V

|Fnⁱαⁱ(x)− Fnⁱαⁱ(x₀)| < ^√^ε_2k peri = 1, ..., k.

Abbiamo cos`ı che per ognix ∈ V ed ogni coppia n, α diversa da ni,αi

coni = 1, ..., k vale F_nα(x) = F_nα(x₀) = 0. Quindi per ogni x∈ V P

n≤N

P

α |Fnα(x)− Fnα(x₀)|²= P^k

i=1|Fnⁱαⁱ(x)− Fnⁱαⁱ(x₀)|²< ^ε₂² D’altra parte possiamo scrivere anche

P

n>N

P

α |Fnα(x)− Fnα(x0)|²≤ P

n>N

P

α

(F_nα² (x) + F_nα² (x0))

< P

n>N

(₂¹ⁿ + ₂¹ⁿ) = 2 P

n>N 1 2ⁿ < ^ε₂² E perci`o, per ognix∈ V

P

n,α|Fnα(x)− Fnα(x0)|²< ε²

Allora per ognix∈ V d(F (x), F (x0)) < ε, per cui F `e continua.

Dimostriamo infine cheF `e chiusa. Sia A un chiuso in X. Vogliamo dimostrare cheF (A) = F (A).

Sia x ∈ X tale che x /∈ A, allora F (x) /∈ F (A). Certamente esiste una coppia nα per cui x ∈ Bnα e Bnα ∩ A = ∅. Quindi fnα(x) 6= 0 ef_nα(A) = 0, e perci`o F_nα(x) 6= 0 e Fnα(A) = 0. Da quest’ultimo fatto segue ched(F (x), F (A)) > 0. Allora F (x) /∈ F (A) e perci`o F (A) ⊂ F (A).

L’insiemeF (A) `e quindi chiuso.

(27)

8. La metrica euclidea in alta dimensione

Situazione 8.1.Sianom ∈ N ed r ∈ R con r > 0.

m `e la dimensione dello spazio in cui si trovino i nostri dati.

Nota 8.2. La statistica multidimensionale si occupa delle relazioni tra dati quando questi sono rappresentati da punti di spazi ad alta dimensione. In tali spazi, per`o, i concetti metrici perdono gran parte del loro significato. Infatti il volume della palla di raggio 1 converge rapidamente a 0 al crescere di m, cos`ı il cubo unitario multidimensionale ha il volume concentrato vicino al bordo. Le difficolt `a che ne conseguono vanno sotto il nome di maledizione dell’alta dimensione o, in inglese, curse of dimensionality.

Un metodo che almeno in parte riesce a superare le difficolt `a dell’alta dimensione `e la teoria delle proiezioni ottimali, iniziata da Friedman e Tukey. Questo metodo, comunque piuttosto impegnativo nei calcoli, cerca proiezioni R^m−→ R^lottimali conl = 1, 2, 3, valutandole tramite un indice di rilevanza e forniscono spesso risultati migliori di quelli che si ottengono con i metodi classici della statistica multivariata (come l’analisi delle componenti principali e l’analisi delle discriminanti).

Definizione 8.3.Siam 6= 0. V^m(r) rappresenta il volume di una palla di raggior in R^m.

Useremo l’abbrevizioneVm := Vm(1/2). Perci`o Vmrappresenta il volume di una palla inscritta in un cubo di lato 1.

Inoltre, indipendentemente dar, poniamo V⁰(r) := 1.

Osservazione 8.4.V1(r) = 2r e quindi V1= 1.

Teorema 8.5. Il volume della palla unitaria in R^m `e dato da Vm(1) = π^m²

Γ(^m2 + 1) = π^m²

m 2!

Dimostrazione. Per la dimostrazione rimandiamo ai corsi di Analisi.

ConΓ abbiamo denotato la funzione gamma, definita per Re z > 0 da

Γ(z) =R^∞

0

t^z−1e^−tdt .

Proposizione 8.6. Siam ≥ 2. Vale la seguente formula di ricorsione:

Vm(r) = ²^πr_m²V_m−2(r)

E quindi in particolare valgono:

Vm(1) = ²_m^πV_m−2(1) Vm= ₂^π_mV_m−2

Dimostrazione. Dimostriamo la formula per il casor = 1. Da questa si ottiene facilmente la formula generale perch´e `e chiaro che aumen- tando la dimensione di due il volume deve essere moltiplicato conr².

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Vm(1) = π^m²

m

2! = π · π^m−2²

m

2(^m−2₂ )! = 2π

mV_m−2(1) Corollario 8.7. Per ognir si ha

m−→∞lim Vm(r) = 0

Dimostrazione. Perm ≥ 4πr²abbiamo Vm(r) = ^2πr_m²V_m−2(r) ≤ ¹2V_m−2(r)

Nota 8.8.Con semplici calcoli dalla proposizione 8.6 otteniamo la seguente tabella in cui tutte le cifre sono corrette eccetto l’ultima che `e stata arrotondata.

m Vm

1 1.00000000000000 2 0.78539816339745 3 0.52359877559830 4 0.30842513753404 5 0.16449340668482 6 0.08074551218828 7 0.03691223414321 8 0.01585434424382 9 0.00644240020066 10 0.00249039457019 11 0.00091997259736 12 0.00032599188693 13 0.00011116073667 14 0.00003657620418 15 0.00001164072512 16 0.00000359086045 17 0.00000107560049 18 0.00000031336169 19 0.00000008892365 20 0.00000002461137

Osservazione 8.9.Nella tabella della nota 8.9 vediamo che

V²⁰ < 10⁻⁷. Assumiamo di aver raccolto i dati della concentrazione di 20 molecole nel sangue di un milione di pazienti. Assumiamo inoltre che le concentrazioni siano rappresentate da valori nell’intervallo [0, 1]. Se consideriamo vicini i dati x, y di due pazienti nel caso in cui

|x − y| < 0.5 nella metrica euclidea in R²⁰, la probabilit `a che per un puntox ce ne sia uno distinto e vicino ad esso `e solo ∼ 0.1. Evidente- mente un simile concetto di vicinanza risulta poco pratico.

Osservazione 8.10.Il raggio della palla inscritta al cubo unitario in R^m `e ¹₂ per ognim. Invece la diagonale d del cubo che unisce l’origine con il punto (1, ..., 1) ha lunghezza uguale a √

m, perci`o il suo valore varia con m. Ci`o implica che la palla, nonostante tocchi il bordo del