UNIVERSIT `A DEGLI STUDI DI FERRARA FACOLT `A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

(1)

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI FERRARA

FACOLT `A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea Triennale in Matematica Indirizzo Modelli Matematici per l’Economia

TEORIA SPETTRALE DI

SERIE TEMPORALI STAZIONARIE

Relatore:

Chiar.mo Prof.

Josef Eschgf ¨aller

Laureanda:

Eleonora Loss

Anno Accademico 2009-2010

(2)

(3)

Indice

1. Preliminari e notazioni 3

2. Serie temporali stazionaria 8

3. La misura spettrale 18

4. Spazi vettoriali con un prodotto scalare 31 5. Approssimazione in uno spazio di Banach 38

6. Operatori lineari continui 44

7. Spazi di Hilbert 45

8. Il teorema di Fr´echet-Riesz 52

9. Il rapporto di Rayleigh 56

10. Sistemi ortonormali completi 58

11. Ortogonalizzazione 64

12. Predizione lineare 66

13. Matrici di Toeplitz 68

Bibliografia 74

(4)

(5)

1. Preliminari e notazioni

Situazione 1.1.In tutta la tesi(Ω, A, p) sia uno spazio di probabilit `a finito e in genere sottinteso.

Per le dimostrazioni degli enunciati in questo capitolo rimandiamo ai corsi di analisi e di calcolo delle probabilit `a.

Per applicazioni X: Ω −→ Ω^′useremo, per B ⊂ Ω^′, la notazione (X ∈ B) := {ω ∈ Ω | X (ω) ∈ B} = X⁻¹(B)

e, nel casoΩ^′ = R,

(X ≤ a) := {ω ∈ Ω | X (ω) ≤ a}

come d’uso nel calcolo delle probabilit `a.

Definizione 1.2. Un’applicazione X : Ω −→ R si dice misurabile, se

`e A-Borel(R)-misurabile; similmente un’applicazione X : Ω −→ C si dice misurabile, se `eA-Borel(C)-misurabile.

Identificheremo in maniera naturale le applicazioni X : Ω −→ R con le applicazioni X : Ω −→ C con X (ω) ⊂ R; per esse i due concetti di misurabilt `a evidentemente coincidono.

Definizione 1.3. Una variabile aleatoria reale `e un’applicazione mi- surabile X : Ω −→ R, una variabile aleatoria complessa `e un’applica- zione misurabile X: Ω −→ C.

Nel senso della def. 1.2 le variabili aleatorie reali sono identificate con le variabili aleatorie complesse a valori reali.

Definizione 1.4.Per l’integrale (quando esiste) di una funzione f rispetto a una misura µ su un insieme A utilizziamo la notazione

Z

A

f(a) dµ (a)

Definizione 1.5.Per k >0 siano L^k_R:= L^k_R(Ω, A, p) :=

X : Ω −→ R | X misurabile e Z

Ω

|X (ω)|^kdp(ω) < ∞

L^k:= L^k(Ω, A, p) :=

X: Ω −→ C | X misurabile e Z

Ω

|X (ω)|^kdp(ω) < ∞

In genere ci limiteremo ai casi k= 1, 2.

Si osservi che X ∈ L^k ⇐⇒ X^k ∈ L¹. Utilizzando la disuguaglianza di H¨older si dimostra (nella nostra ipotesi che p sia una misura di probabilit `a) cheL²⊂ L¹.

Definizione 1.6. (Ω^′,B) sia uno spazio misurabile ed X : Ω −→ Ω^′ un’applicazioneA-B- misurabile. Per B ∈ B poniamo allora

p[X] (B) := p (X ∈ B)

(6)

Si dimostra facilmente che p[X] `e una misura di probabilit `a su B.

Teorema 1.7 (formula astratta di trasformazione).(Ω^′,B) sia uno spazio misurabile e X : Ω −→ Ω^′ un’applicazioneA-B-misurabile. Sia data una funzione misurabile g: Ω^′ −→ C e sia k > 0. Allora:

(1) g◦ X ∈ L^k(Ω, A, p) ⇐⇒ g ∈ L^k(Ω^′,B, p[X]).

(2) g◦ X ∈ L^k(Ω, A, p) =⇒ R

Ωg(X (ω)) dp (ω) =R

Ω^′g(ω^′) dp[X] (ω^′).

Definizione 1.8.Sia X ∈ L¹. Allora M X :=

Z

Ω

X(ω) dp (ω) si chiama la media di X.

Osservazione 1.9.Siano X, Y ∈ L². Allora X+ Y, XY, XY ∈ L¹. In particolare si ha|X|² ∈ L¹.

E chiaro che ci`o implica anche che` (X − M X) (Y − M Y ) ∈ L¹ e|X − M X|² ∈ L¹.

Definizione 1.10.Siano X, Y ∈ L². Allora

cov (X, Y ) := M (X − M X) (Y − M Y ) si chiama la covarianza di X ed Y .

Si osservi checov (X, Y ) = cov (Y, X).

Definizione 1.11.Sia X∈ L².

σ²(X) := cov (X, X) = M |X − M X|² si chiama la varianza di X.

La deviazione standard σ(X) `e definita come la radice quadrata (≥ 0) della varianza.

Lemma 1.12. Siano X, Y ∈ L²

Alloracov (X, Y ) = M XY − M X · M Y . Dimostrazione. Infatti

cov (X, Y ) = M (X − M X) (Y − M Y ) = M (X − M X) Y − M Y

= M XY − X · M Y − M X · Y + M X · M Y

= M XY − M X · M Y − M X · M Y + M X · M Y

= M XY − M X · M Y perch´e naturalmente M Y = M Y .

Corollario 1.13. Sia X ∈ L². Allora σ²(X) = M |X|²− |M X|².

(7)

Proposizione 1.14.

(1) Siano X₁, ..., X_r, Y₁, ..., Y_r∈ L²ed α₁, ..., α_r, β₁, ..., β_r ∈ C. Allora cov

r

P

j=1

αjXj,

r

P

k=1

βkYk

!

=

r

P

j=1 r

P

k=1

αjβkcov (Xj, Yk) (2) Siano X, Y ∈ L². Allora

σ²(X + Y ) = σ²(X) + σ²(Y ) + 2 Re cov (X, Y ).

Dimostrazione. (1) Tralasciando i limiti di sommazione abbiamo cov (α₁X₁+ ... + αrXr, β₁Y₁+ ... + βrYr)

= MX

j

X

k

αjXjβkYk−X

j

αjM Xj

X

k

βkM Yk

=X

j

X

k

α_jβ_k M X_jY_k− M XjM Y_k

=X

j

X

k

α_jβ_kcov (Xj, Y_k)

(2)

σ²(X + Y ) = cov (X + Y, X + Y )

= cov (X, X) + cov (X, Y ) + cov (Y, X) + cov (Y, Y )

= σ²(X) + cov (X, Y ) + cov (Y, X) + σ²(Y )

Macov (X, Y ) + cov (Y, X) = cov (X, Y ) + cov (X, Y ) = 2 Re cov (X, Y ).

Definizione 1.15.Le variabili aleatorie complesse X ed Y si dicono indipendenti, se per ogni A, B∈ Borel (C) vale

p(X ∈ A, Y ∈ B) = p (X ∈ A) · p (X ∈ B)

Proposizione 1.16. Le variabili aleatorie complesse X ed Y siano in- dipendenti.

Alloracov (X, Y ) = 0 e quindi σ²(X + Y ) = σ²(X) + σ²(Y ).

Definizione 1.17.Due variabili aleatorie complesse X ed Y si dicono identicamente distribuitese per ogni A∈ Borel (C) vale

p(X ∈ A) = p (Y ∈ A).

La stessa definizione si applica a pi `u di due variabili aleatorie.

Proposizione 1.18. X ed Y siano variabili aleatorie complesse. Allora sono equivalenti:

(1) X ed Y sono identicamente distribuite.

(2) p(Re X ≤ a, Im X ≤ b) = p (Re Y ≤ a, Im Y ≤ b) per ogni a, b ∈ R.

Dimostrazione. L’enunciato discende dal fatto che Borel(C) = σ-algebra ({(−∞, a] × (−∞, b] | a, b ∈ R})

Proposizione 1.19. X ed Y siano variabili aleatorie complesse iden- ticamente distribuite. Allora:

(8)

(1) Se X ∈ L¹, allora anche Y ∈ L¹ e si ha M X = M Y . (2) Se X ∈ L², allora anche Y ∈ L² e si ha σ²(X) = σ²(Y ).

Dimostrazione. Ci`o segue dalla definizione dell’integrale.

Definizione 1.20. La distribuzione di probabilit `a di una variabile aleatoria reale X `e la funzione

t

p(X ≤ t) : R −→ [0, 1].

Proposizione 1.21. X ed Y siano due variabili aleatorie reali. Allora sono equivalenti:

(1) X ed Y sono identicamente distribuite.

(2) X ed Y possiedono la stessa distribuzione di probabilit `a .

Dimostrazione. Si ottiene come caso speiale della prop. 1.18 oppure dal fatto che Borel(R) = σ-algebra ({(−∞, a] | a ∈ R}).

Proposizione 1.22. X ed Y siano variabili aleatorie reali. Allora sono equivalenti:

(1) X ed Y sono indipendenti.

(2) p(X ≤ a, Y ≤ b) = p (X ≤ a) p (Y ≤ b) per ogni a, b ∈ R.

Dimostrazione. Ci`o segue di nuovo da Borel(R) = σ-algebra ({(−∞, a] | a ∈ R}).

Osservazione 1.23. X sia una variabile aleatoria reale. Allora:

(1) Se X ∈ L¹, allora M X = Z

R

t dp[X] (t).

(2) Se X ∈ L¹e µ:= M X, allora σ²(X) = Z

R

(t − µ)²dp[X] (t).

Dimostrazione. Ci`o segue direttamente dal teorema 1.7.

Definizione 1.24.Una serie temporale (unodimensionale) `e una suc- cessione

n∈Z

X_ndi variabili aleatorie complesse.

Una serie temporale

n

Xn si dice reale, se Xn `e reale per ogni n.

Con una leggero abuso di notazione scriveremo talvolta

n

X_n ∈ L^kse X_n∈ L^kper ogni n.

Definizione 1.25.Un rumore bianco `e una serie temporale

n

B_ncon le seguenti propriet `a :

(1) Bn∈ L² per ogni n.

(2) M Bn= 0 per ogni n.

(3) La varianza σ²(Bn) =: σ²non dipende da n.

(4) σ² >0.

(5) cov (Bn, B_m) = 0 per n 6= m.

(9)

Diremo allora che

n

B_n `e un RB σ².

Osservazione 1.26.

n

B_nsia una serie temporale per la quale siano soddisfatte le seguenti condizioni:

(1) Bn∈ L² per ogni n.

(2) Le variabili aleatorie Bnsono identicamente distribuite.

(3) La loro media comune `e uguale a zero.

(4) La loro varianza comune `e maggiore di zero.

(5) Le variabili aleatorie Bnsono indipendenti a due a due.

Allora

n

Bn `e un RB σ².

Dimostrazione. Affinch´e la serie temporale

n

B_nsia unRB σ² de- vono valere le condizioni della def. 1.25:

(1) Per ipotesi.

(2) Per ipotesi. Che la media non dipende da n segue dalla prop.

1.19.

(3) La prop. 1.19 implica anche che la varianza non dipende da n.

(4) Per ipotesi.

(5) Dalla condizione (5) e per la prop. 1.16 segue che cov (B_n, B_m) = 0 per n 6= m.

Definizione 1.27.SuL²possiamo introdurre un semiprodotto scalare con

kX, Y k :=

Z

Ω

X(ω) Y (ω)dp (ω) = M XY

che possiede tutte le propriet `a di un prodotto scalare (complesso) tran- ne chekX, Xk = 0 non implica X = 0.

Identificando due variabili aleatorie X ed Y se p(X = Y ) = 1, otteniamo uno spazio di Hilbert L². Quando necessario, la classe di equi- valenza di X in L²viene denotata con X, in L². Cfr. Weidmann, pag.

25.

Osservazione 1.28. Con la notazione della def. 1.27 per X, Y ∈ L² abbiamo

M X = kX,

ω

1k

cov (X, Y ) = kX − M X, Y − M Y k kXk² = σ²(X) + |M X|²

Qui la seminormakXk := pkX, Xk = q

M|X|² `e definita rispetto al semiprodotto scalare, per cui la terza equazione segue dal cor. 1.13.

(10)

2. Serie temporali stazionarie

Situazione 2.1.Sia data una serie temporale

n

Xn∈ L². Definizione 2.2.La serie temporale

n

Xnsi dice

(1) strettamente stazionaria, se per ogni k ∈ N + 1 e per ogni m ed ognit₁, ..., t_k∈ Z le variabili aleatorie k-dimensionali

(Xt₁, ..., Xtk) e (Xt₁+m, ..., Xtk+m) sono identicamente distribuite, cio`e sep (Xt₁+m ≤ a₁, ..., Xtk+m≤ a_k) = p (Xt₁ ≤ a₁, ..., Xtk≤ a_k) per ognia₁, ..., a_k∈ R;

(2) stazionaria, seµ := M Xt non dipende dat e cov (Xt+m, Xt) per ognim ∈ Z fissato non dipende da t.

In particolare quindi σ_X² := cov (X_t, X_t) = σ²(X_t) non dipende dat.

Osservazione 2.3.Se

n

X_n`e strettamente stazionaria, allora `e anche stazionaria.

Osservazione 2.4.Le seguenti condizioni sono equivalenti:

(1) Per ognim ∈ Z fissato cov (X_t+m, X_t) non dipende da t.

(2) Per ognim, t, s ∈ Z vale cov (Xt+m, Xs+m) = cov (Xt, Xs).

Dimostrazione.(1) =⇒ (2):

cov (X_t+m, X_s+m) = cov X_s+(t−s)+m, X_s+m

= cov X_s+(t−s), Xs

= cov (Xt, Xs)

(2) =⇒ (1) : cov (X_t+m, Xt) = cov (Xm, X₀) non dipende da t.

Definizione 2.5.La serie temporale

n

X_nsia stazionaria. Allora possiamo definire una funzioneγ : Z −→ C ponendo

γ (m) := cov (X_m, X₀)

Per ipotesi alloraγ (m) = cov (X_t+m, Xt) per ogni m, t ∈ Z.

γ si chiama la funzione di autocovarianza di

n

Xn.

Siaµ := M X0 (uguale aM Xtper ognit). Allora diciamo che

n Xn `e unaSTS (µ, γ).

n

X_nsia unaSTS (µ, γ). Usando la notazione della def. 1.27 per ognim, t ∈ Z abbiamo

γ (m) = kX_m− µ, X₀− µk = kX_t+m− µ, X_t− µk Osservazione 2.7.

n

Xnsia unaSTS (µ, γ). Per ogni t, s ∈ Z allora cov (X_t, X_s) = γ (t − s)

Dimostrazione. Per l’oss. 2.4 abbiamo

(11)

cov (Xt, Xs) = cov (Xt−s, X₀) = γ (t − s) Osservazione 2.8.

n

Xnsia unaSTS (µ, γ). Allora γ (0) = σ²(Xt) per ognit ∈ Z. In particolare γ (0) `e reale e ≥ 0.

Definizione 2.9.

n

Xnsia unaSTS (µ, γ) con γ (0) > 0.

Allora la funzione

m

γ (m) /γ (0) : Z −→ C si chiama la funzione di autocorrelazionedi

n

Xn. Osservazione 2.10.

n

Xnsia unaSTS (µ, γ). Allora per ogni t₁, ..., t_k, m ∈ Z si ha

γ (m) = MX_t₁_+mX_t₁+ ... + X_tk+mX_tk

k

n

X_nsia unaSTS (µ, γ).

Alloraγ (−m) = γ (m) per ogni m ∈ Z.

Se la serie temporale

n

X_n `e reale, abbiamo quindiγ (−m) = γ (m) per ognim ∈ Z.

Dimostrazione. Usando l’oss. 2.6 abbiamo

γ (−m) = kX⁻m− µ, X0− µk = kX0− µ, Xm− µk

= kXm− µ, X₀− µk = γ (m)

Esempio 2.12.

n

Xnsia unRB σ²

. Allora

n

Xn `e una STS (0, γ) con

γ (m) =

(0 perm 6= 0 σ² perm = 0

La funzione di autocorrelazione `e quindi data da ρ (m) =

(0 perm 6= 0 1 perm = 0 Dimostrazione. Per ipotesi

n

Xn `e un RB σ²

, quindiM Xn= 0 per ognin. Per m 6= 0 inoltre cov (X_t+m, X_t) = 0 per ogni t.

Infinecov (X_t, X_t) = σ².

Definizione 2.13. Siaq ∈ N + 1.

n

Xn si dice una serie temporale a media mobiledi ordine q, se esistono un rumore bianco B =

n

B_n e coefficienti costantiθ1, ..., θq ∈ C con θq 6= 0 tali che

Xt= Bt+ θ₁B_t−1+ .. + θqBt−q

(12)

pert ∈ Z. Diciamo allora che

n

Bn `e una serie temporale di tipo MM (θ1, ..., θq, B). Come nella def. 2.2 denotiamo con σ_B² la varianza del rumore bianco.

Nella terminologia inglese una tale serie temporale si dice di tipo moving average (MA).

n

Xn sia di tipoMM (θ₁, ..., θq, B). Allora

n

Xn `e unaSTS (0, γ) con

γ (m) =









σ²_B· θm+ θ_m+1θ₁+ ... + θqθq−m

per0 ≤ m ≤ q

0 perm > q

γ (−m) perm < 0

dove abbiamo postoθ0 := 1.

Dimostrazione. (1) `E immediato cheXn∈ L² eM Xn= 0 per ogni n.

(2) Ponendo θj := 0 per j /∈ {0, 1, ..., q} e sommando da −∞ a ∞, abbiamo

cov (X_t+m, X_t) = cov



X

j

θ_jB_t+m−j,X

k

θ_kB_t−k





= σ_B² X

j

X

k

θjθkδm−j,−k = σ_B² X

j

θjθj−m

= σ_B² X

j

θ_j+mθ_j

Questa somma non dipende da t e quindi la serie temporale

n

X_n `e stazionaria.

(3) Perm ≥ 0 otteniamo σ_B² θ_mθ₀+ θ_m+1θ₁+ ... + θ_m+qθ_q Questa somma si annulla perm > q.

Perm < 0 usiamo la prop. 2.11.

Corollario 2.15.

n

Xnsia di tipoMM (θ₁, ..., θq, B). Allora la varianza comune delle variabili aleatorieX_n `e data da

σ²_X = γ (0) =

1 + |θ₁|²+ ... + |θq|² σ²_B Corollario 2.16.

n

X_nsia di tipoMM (θ, B) con θ ∈ R. Allora

γ (m) =







1 + θ²

σ²_B perm = 0 θ · σ²_B perm = ±1

0 altrimenti

Nota 2.17.

n

Xn sia di tipo MM (θ, B) con θ ∈ R. Assumiamo di co- noscere (in genere approssimativamente mediante considerazioni em-

(13)

piriche)γ (0) =: γ₀ eγ (1) =: γ₁. Vogliamo calcolare i parametriθ e σ²_B, entrambi6= 0 per definizione.

Poniamoρ1 := ρ (1) = γ1

γ₀ 6= 0.

Dal cor. 2.16 abbiamo

σ_B²(1 + θ²) = γ₀ σ_B²θ = γ1

Ci`o implica θ

1 + θ² = γ1

γ₀ = ρ₁, per cui ρ₁θ²− θ + ρ₁

cosicch´e θ = 1 ±p

1 − 4ρ²₁ 2ρ₁ Inoltreσ²_B= γ₁

θ e siccome 1 + θ²

θ = 1

ρ1 implica 1 θ = 1

ρ1

− θ, otteniamo

σ_B² = γ₁ 1 ρ1

−1 ±p

1 − 4ρ²₁ 2ρ1

!

= γ₁ ρ1

1 ±p

1 − 4ρ²₁ 2

!

e quindi

σ_B² = γ₀1 ±p

1 − 4ρ²₁ 2

Possiamo perci`o distinguere i seguenti casi:

(1) Se|ρ₁| > 1

2, il problema non ha soluzione (perch´e abbiamo postu- lato cheθ ∈ R).

(2) Perρ₁ = 1

2 otteniamoθ = 1 e σ_B² = γ₀ 2. (3) Perρ₁ = −1

2 otteniamoθ = −1 e σ²_B= γ₀ 2 . (4) Se|ρ₁| < 1

2 otteniamo due soluzioni distinte.

Cfr. Neusser, pag 18-19.

Definizione 2.18.La serie temporale

n

Xn si dice autoregressiva di ordine1, se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

(1)

n

X_n `e stazionaria.

(2) Esistonoa ∈ C \ 0 e un rumore bianco B tali che Xt− aX_t−1= Bt

(14)

per ognit ∈ Z

(3)cov (Xt, Bs) = 0 per t, s ∈ Z con s > t (indipendenza dal futuro).

Diremo allora che

n

X_n `e di tipo AR (a, B).

n

X_nsia di tipo AR (a, B).

Allora0 < |a| < 1 e γ(0) = σ²_B 1 − |a|² . Dimostrazione. Per ipotesia 6= 0.

Abbiamo in particolareX1 = aX0+ B1e inoltre cov (X0, B1) = 0 per la condizione (3) nella def. 2.18.

Dalla sesquilinearit `a della covarianza (cfr. oss. 1.28) otteniamo γ (0) = cov(X₁, X₁) = cov(aX₀+ B₁, aX₀+ B₁)

= aa cov(X₀, X₀) + cov(B₁, B₁)

= |a|²γ (0) + σ²_B e quindi

1 − |a|²

γ (0) = σ²_B.

Siccomeσ²_X > 0, ciò implica 1 − |a|²6= 0, per cui γ (0) = σ_B² 1 − |a|². Peròγ (0) deve essere reale e ≥ 0 e ciò implica |a| < 1.

n

Xnsia di tipoAR (a, B).

AlloraM X_n= 0 per ogni n .

Dimostrazione. Per la stazionariet `aµ := M X_nnon dipende dan.

Per ipotesiX₁= aX₀+ B₁ conM B₁ = 0, per cui µ = M X₁= aM X₀ = aµ

Per`oa 6= 1 per l’oss. 2.19 e ci`o implica µ = 0.

Osservazione 2.21.SianoB un rumore bianco e a ∈ C con 0 < |a| < 1.

Non sappiamo ancora se esiste una serie temporale di tipo AR (a, B).

Assumiamo per`o che

n

Allora per ognit ∈ Z per ogni n ∈ N si ha Xt= aⁿXt−n+

n−1P

k=0

a^kBt−k (∗) Perci`o

kXt−

n−1P

k=0

a^kBt−kk = |a|ⁿkXt−nk = |a|ⁿσX

perch´eM Xt−n= 0 per l’oss. 2.20.

Siccome|a| < 1 per l’oss. 2.19, ci`o implica che X_t^L=² P∞ k=0

a^kB_t−k.

(15)

Nel prossimo teorema dimostreremo che in questo modo otteniamo veramente una serie temporale di tipoAR (a, B).

Dimostrazione. Dobbiamo solo dimostrare la relazione (*). Essa si ottiene applicando ripetutamente la ricorrenza al punto (2) della def.

2.18:

Xt= aX_t−1+ Bt

= a (aX_t−2+ B_t−1) + B_t= a²X_t−2+ aB_t−1+ B_t

= a²(aXt−3+ Bt−2) + aBt−1+ Bt= a³Xt−3+ a²Bt−2+ aBt−1+ Bt

ecc.

Teorema 2.22. SianoB un rumore bianco ed a ∈ C con 0 < |a| < 1.

Allora la serie temporale

t

Xtdefinita daXt:=

P∞ k=0

a^kBt−k `e ben definita ed `e (inL²) l’unica serie temporale di tipoAR (a, B).

Perm ∈ N si ha γ (m) = σ_B² a^m 1 − |a|².

Dimostrazione. In questa dimostrazione lavoriamo in L², senza distinguere esplicitamente tra una funzione X ∈ L² e la sua classe (X, in L²).

(1) L’unicit `a deriva dall’oss. 2.21.

(2) `E chiaro che pert fissato la serie

n

Pn k=0

a^kBt−k `e sempre una serie di Cauchy inL², per cui il limiteX_t `e un ben definito elemento di L².

(3) Dimostriamo la relazione di ricorrenza per ognit:

Xt− aX_t−1 = lim

n→∞

_n P

k=0

a^kB_t−k− aⁿ⁻¹P

k=0

a^kB_t−k−1

= Bt

(4) Sianot, s ∈ Z con s > t. Allora per la continuit `a del prodotto scalare

cov (X_t, B_s) = cov

_∞ P

k=0

a^kB_t−k, B_s

= P∞ k=0

a^kcov (B_t−k, B_s) = 0 perch´es > t − k per ogni k ∈ N.

(5) Rimane da dimostrare la stazionariet `a della serie temporale

t

Xt. Utilizzando ad esempio la prima equazione nell’oss. 1.28 `e chiaro che M Xt= 0 per ogni t. Siano t ∈ Z e m ∈ N. Allora

(16)

cov (X_t+m, Xt) = cov



 X∞ k=0

a^kB_t+m−k, X∞ j=0

a^jBt−j





= σ_B² X∞ k=0

X∞ j=0

δ_{t+m−k,t−j}a^ka^j

= σ_B² X∞ j=0

a^j+ma^j = σ²_Ba^m X∞ j=0

|a|^2j = σ²_B a^m 1 − |a|² Quindicov (X_t+m, Xt) non dipende da t.

Nota 2.23.Costruiamo ora una funzione in R per impostare la visua- lizzazione dei grafici che faremo negli esempi successivi.

Fileps = function (file,larg,alt)

postscript(file,width=larg/2.54,height=alt/2.54, horizontal=FALSE,onefile=FALSE,paper=’special’)

Impostagrafica = function (x1,x2,y1,y2,cornice=1,rxy=40, assi=FALSE,marg=rep(0,4),file=NA,larg=9,alt=4, par=c(bg=’yellow’))

{if (!is.na(file)) Fileps(file=file,larg=larg,alt=alt) par(mai=marg,lwd=1.2,cex=0.4); par(par)

plot(c(x1,x2),c(y1,y2),type=’n’,xlab=’t’,ylab=’’,asp=rxy, axes=assi,frame.plot=as.logical(cornice))}

Nota 2.24.Le tre seguenti funzioni generano rispettivamente una serie temporale autoregressiva, un rumore bianco con deviazione stan- derd uguale a 1 e una serie temporale a media mobile

autoregressiva1 = function (t1,t2,a,B,N=t1) sapply(t1:t2,function (t) ruffini(B[(t-N):t],a))

biancounif = function (n,ds=1) {B=runif(n); ds*(B-mean(B))/sd(B)}

mediamobile = function (t1,t2,theta,B) {q=length(theta); theta=c(1,theta)

X=sapply(t1:t2,function (t) sum(B[t:(t-q)]*theta))}

Esempio 2.25.Con le istruzioni

n=100

B=biancounif(n,ds=0.1) X=mediamobile(3,n,c(0.5,0.3),B) t1=8; Y=autoregressiva1(t1,n,0.7,B)

Impostagrafica(3,n,-0.3,0.3,file=’0223-1.ps’) lines(3:n,X)

dev.off()

Impostagrafica(3,n,-0.3,0.3,file=’0223-2.ps’) lines(t1:n,Y)

dev.off()

otteniamo ad esempio le figure

(17)

Queste serie temporali sono molto simili. Ci`o non `e un caso:

La prima corrisponde a una serie temporale

t

X_tin cui X_t= B_t+ 0.5B_t−1+ 0.3B_t−2

la seconda `e una serie temporale

t

Ytin cui Y_t= B_t+ 0.7B_t−1+ 0.7²B_t−2+ 0.7³B_t−3+ ...

dove si usa la stessa realizzazione dello stesso rumore biancoB, come approssimazione della sommatoria infinita eY :=

P∞ k=0

0.7^kB_t−k.

n

Yn `e infatti di tipo MM 0.7, 0.7², ..., B

, mentre una serie temporale di tipoAR (a, B) pu`o essere detta di tipo MM (∞, B), come vedremo.

Con le stesse istruzioni per un’altra realizzazione di B otteniamo le figure (di nuovo molto simili)

(18)

Nota 2.26.

n

Per calcolare la funzione di autocovarianza di

n

Xn non abbiamo bisogno della rappresentazione esplicita data nel teorema 2.22. Infatti dall’oss. 2.19 sappiamo che0 < |a| < 1 e che γ (0) = σ_B²

1 − |a|², mentre daXm = aXm−1+ Bm nel casom > 0 otteniamo

γ (m) = cov (Xt+m, Xt) = σ_B² a^m

1 − |a|² = aσ²_B a^m−1

1 − |a|² = aγ (m − 1) Da questa relazione otteniamo direttamente la formula per γ (m) del teorema 2.22. Le equazioni

γ (1) = aγ (0) γ (0) = σ_B²

1 − |a|²

sono dette equazioni di Yule-Walker della serie temporale data.

Esse mostrano che le autocovarianzeγ (0) e γ (1) da sole determinano i parametria e σ_B² tramite

a = γ (1) γ (0) = ρ1

σ_B² = γ (0)

1 − |ρ₁|²

Definizione 2.27.Siap ∈ N + 1. La serie temporale

n

Xnsi dice au- toregressiva di ordine p, se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

(1)

n

Xn `e stazionaria.

(2) Esistonoa₁, ..., ap ∈ C con ap6= 0 e un rumore bianco B tali che Xt= a1Xt−1+ ... + apXt−p+ Bt

per ognit ∈ Z.

(3) cov (X_t, B_s) = 0 per t, s ∈ Z con s > t.

Diremo allora che

n

X_n `e di tipo AR (a₁, ..., a_p, B).

Definizione 2.28.Sianop, q ∈ N + 1 ed a₁, ..., a_p, θ₁, ..., θ_q∈ C con ap 6= 0, θq6= 0. La serie temporale

n

Xnsi dice di tipo

ARMM (a₁, ..., a_p; θ₁, ..., θ_q; B), se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

(1)

n

X_n `e stazionaria.

(2) Xt= a1Xt−1+ ... + apXt−p+ Bt+ θ1Bt−1+ ... + θqBt−q

per ognit ∈ Z

(3) cov (X_t, B_s) = 0 per t, s ∈ Z con s > t.

Definizione 2.29.

n

Xn si chiama un cammino casuale (in inglese random walk), se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

(19)

(1)Xt= 0 per t < 0.

(2) Esiste un rumore bianco B tale che X₀ = B₀ e

Xt= X_t−1+ Bt per ogni t ∈ N + 1.

Diremo allora che

n

Xn `e il cammino casuale generato dal rumore biancoB.

n

Xnsia il cammino casuale generato dal rumore biancoB. Allora:

(1)X_t= P^t

k=0

B_k pert ≥ 0.

(2)M Xt= 0 per ogni t ∈ Z.

(3)cov (Xt, Bs) = 0 per 0 ≤ t < s.

(4)cov (X_t+m, X_t) = (t + 1) σ²_Bpert, m ∈ N.

Dall’ultima relazione vediamo in particolare che un cammino casuale non `e stazionario.

Dimostrazione.

(1) Chiaro.

(2) Immediato da (1).

(3) Sia0 ≤ t < s. Allora cov (X_t, B_s) = cov

_t P

k=0

B_k, B_s

= P^t

k=0

cov (B_k, B_s) = 0.

(4) Abbiamo in primo luogo

cov (Xt, Xt) = cov



 Xt k=0

B_k, Xt j=0

Bj



 = Xt k=0

Xt j=0

cov (B_k, Bj)

= Xt k=0

cov(Bk, Bk) = (t + 1) σ_B²

Perm > 0 abbiamo inoltre cov(X_t+m, X_t) = cov(X_t+

t+mX

k=t+1

B_k, X_t)

= cov(Xt, Xt) +

t+mX

k=t+1

cov(Bk, Xt)⁽³⁾= cov(Xt, Xt)

(20)

3. La misura spettrale

Definizione 3.1.Una funzioneϕ : Z −→ C si dice positivamente semi- definita, se per ognir ∈ N + 1, ogni λ₁, ..., λ_r ∈ C ed ogni n1, ..., n_r ∈ Z si ha

r

X

j=1 r

X

k=1

λ_jλ_kϕ (n_j − nk) ≥ 0 (∗)

Chiediamo quindi in particolare che questa somma sia reale.

Se ogni volta che(λ1, ..., λr) 6= 0 la somma in (*) `e > 0, la funzione ϕ si dice positivamente definita.

Lemma 3.2. Sianoa, b ∈ C tali che a + b ∈ R, a − b ∈ iR.

Alloraa = b.

Dimostrazione. Per ipotesi abbiamoIm (a + b) = 0 e Re (a − b) = 0, quindiIm (a) = − Im (b) e Re (a) = Re (b), e vediamo che a = b.

Proposizione 3.3. La funzioneϕ : Z −→ C sia positivamente semide- finita. Allora:

(1) ϕ (0) ≥ 0.

(2) ϕ (−m) = ϕ (m) per ognim ∈ Z.

(3) |ϕ (m)| ≤ ϕ (0) per ognim ∈ Z.

Dimostrazione. Seguiamo Kreiss/Neuhaus, pag 48-49.

(1) Ponendo r = 1, λ₁ = 1 e n₁ = 0 in (*) dalla def. 3.1 otteniamo ϕ (0) ≥ 0.

(2) Perr = 2, n1= m, n2 = 0 la (*) nella def. 3.1 diventa λ₁λ₁ϕ (0) + λ₁λ₂ϕ (m) + λ₂λ₁ϕ (−m) + λ₂λ₂ϕ (0)

ovvero

|λ1|²+ |λ₂|² ϕ (0) + λ₁λ₂ϕ (m) + λ₁λ₂ϕ (−m) ≥ 0

Ponendoλ₁:= λ₂ := 1 si ha 2ϕ (0) + ϕ (m) + ϕ (−m) ≥ 0. Siccome ϕ (0)

`e reale anche ϕ (m) + ϕ (−m) deve essere reale.

Ponendoλ₁ := 1, λ₂ := i si ottiene 2ϕ (0) − i (ϕ (m) − ϕ (−m)) ≥ 0, quindiϕ (m) − ϕ (−m) ∈ iR.

Dal lemma 3.2 otteniamoϕ (−m) = ϕ (m).

(3) Utilizzando il punto (2) abbiamo quindi

|λ1|²+ |λ₂|² ϕ (0) + 2 Re λ₁λ₂ϕ (m) ≥ 0

(31) Consideriamo prima il casoϕ (0) = 0. In questa ipotesi Re λ₁λ₂ϕ (m) ≥ 0 per ogni λ₁, λ₂ ∈ C.

Perλ₁= 1, λ₂= −ϕ (m) otteniamo − Re |ϕ (m) |² ≥ 0 e quindi ϕ (m) = 0.

(32) Siaϕ (0) 6= 0. Ponendo a := ϕ (0) , b := ϕ (m) abbiamo

(21)

|λ₁|²+ |λ₂|² a + 2 Re λ₁λ₂b ≥ 0 per ogni λ₁, λ₂ ∈ C.

Per ipotesia 6= 0 e quindi a > 0 per il punto (1), cosicch´e anche

|λ1|²+ |λ₂|²+ 2 Reλ₁λ₂b

a ≥ 0 per ogni λ1, λ₂∈ C.

Ponendoλ1 := 1, λ2 := −b/a abbiamo perci`o 1 + |b/a|²a − 2 Re bb

aa ≥ 0

ovvero1 + |b/a|²− 2|b/a|² ≥ 0 e quindi 1 ≥ |b/a|² e questo implica|b| ≤ a.

Osservazione 3.4.La funzioneϕ : Z −→ R sia tale che ϕ (m) = ϕ (−m) per ogni m ∈ Z. Se per ogni r ∈ N + 1,

ognia1, ..., ar∈ R ed ogni n1, ..., nr∈ Z si ha

r

X

j=1 r

X

k=1

ajakϕ (nj − nk) ≥ 0

alloraϕ `e positivamente semidefinita nel senso della def. 3.1, se consi- deriamoϕ come funzione Z −→ C.

Dimostrazione. Sianoλ₁, ..., λr ∈ C ed n1, ..., nr∈ Z conλ_k= a_k+ ib_k, e con a_k, b_k∈ R. Allora

(aj+ ibj) (ak− ibk) = ajak+ bjbk+ i (bjak− ajbk)

Perci`o l’ipotesi di simmetria implica che (tralasciando i limiti di sommazione)

X

j

X

k

bja_kϕ (nj − nk) =X

j

X

k

bja_kϕ (n_k− nj)

=X

j

X

k

ajbkϕ (nj− nk)

e vediamo che ci siamo ricondotti al caso reale.

Osservazione 3.5.SianoX, Y ∈ L² eda, b ∈ C.

Alloracov (X + a, Y + b) = cov (X, Y ).

Dimostrazione. Ci`o `e immediato dalla def. 1.10.

Proposizione 3.6. La funzione di autocovarianza di una serie tempo- rale stazionaria `e positivamente semidefinita.

Dimostrazione.

n

X_nsia unaSTS (µ, γ).

(22)

Sianoλ₁, ..., λr∈ C ed n₁, ..., nr∈ Z. Allora

r

X

j=1 r

X

k=1

λjλkγ (nj − nk) =

r

X

j=1 r

X

k=1

λjλkcov Xnj, Xnk

= cov



 X

j

λjXnj,X

k

λkXnk





= σ²



 X

j

λjXnj



≥ 0

Teorema 3.7.ϕ : Z −→ C sia una funzione positivamente semidefinita. Allora esiste una serie temporale stazionaria

n

Yn

la cui funzione di autocovarianza coincide conϕ.

Seϕ `e reale, anche la serie temporale

n

Ynpu`o essere scelta reale.

Dimostrazione. Ci`o `e una conseguenza non difficile del teorema di esistenza di Kolmogorov. Una dimostrazione si trova ad esempio in Brockwell/Davis, pag. 27.

Definizione 3.8.Siaϕ : Z −→ C un’applicazione. Una misura spett- raleperϕ `e una misura finita ν su Borel ((−π, π]) tale per ogni m ∈ Z si abbia

ϕ (m) = Z

(−π,π]

e^imtdν (t)

Nel seguito dimostreremo che la funzioneϕ possiede una misura spettrale se e solo se `e positivamente semidefinita.

Proposizione 3.9. Se una funzioneϕ : Z −→ C possiede una misura spettrale, alloraϕ `e positivamente semidefinita.

Dimostrazione. Siano λ1, ..., λr ∈ C e n1, ..., nr ∈ Z. Tralasciando di nuovo i limiti di sommazione abbiamo

X

j

X

k

λjλkϕ (nj− nk) =X

j

X

k

λjλk

Z

(−π,π]

eⁱ⁽ⁿ^j⁻ⁿ^k^)tdν (t)

= Z

(−π,π]

X

j

X

k

λ_jλ_keⁱ⁽ⁿ^j⁻ⁿ^k^)tdν (t)

= Z

(−π,π]



 X

j

λ_jeⁱⁿ^j^tX

k

λ_keⁱⁿ^k^t



dν (t)

= Z

(−π,π]

|X

k

λ_keⁱⁿ^k^t|²dν (t) ≥ 0

(23)

Proposizione 3.10. Se una funzioneϕ : Z −→ C possiede una misura spettrale, questa `e univocamente determinata.

Dimostrazione. Sianoν₁, ν₂ due misure spettrali perϕ.

SiccomeBorel ((−π, π]) = σ-algebra ({(a, b] | −π < a ≤ b ≤ π}), `e sufficiente dimostrare cheν₁((a, b]) = ν₂((a, b]).

(1) Sia quindi−π < a < b ≤ π.

E evidente che la funzione caratteristica` χ_(a,b] pu`o essere approssimata da una successione monotona decrescente

n

fndi funzioni continue (che possiamo scegliere lineari a tratti)f_n : [−π, π] −→ [0, 1] e tali chef (−π) = f (π). Per il teorema di Levi sulla convergenza monotona abbiamo allora

νk((a, b]) = Z

(−π,π]

χ_(a,b]dνk(x) = lim

n→∞

Z

(−π,π]

fn(x) dνk(x) perk = 1, 2.

(2) `E quindi sufficiente dimostrare che Z

(−π,π]

f (x) dν₁(x) = Z

(−π,π]

f (x) dν₂(x)

per ogni funzione continuafn: [−π, π] −→ [0, 1] con f (−π) = f (π).

Per per il teorema di approssimazione di Weierstrass ogni tale funzione pu`o essere approssimata uniformemente tramite polinomi trigo- nometrici della forma

t

PN m=−N

a_me^imte quindi `e sufficiente dimostrare che

Z

(−π,π]

e^imtdν₁(t) = Z

(−π,π]

e^imtdν₂(t)

per ognim ∈ Z. Ma per ipotesi i due integrali sono uguali a ϕ (m).

Definizione 3.11.Per uno spazio topologigoX denotiamo con M(X) l’insieme delle misure finite suBorel(X).

C_b(X, R) sia, come d’uso, l’insieme delle funzioni reali continue e limitate definite suX.

Definizione 3.12.SiaX uno spazio topologico. Un insieme N ⊂ M(X) si dice concentrato sui compatti (in inglese tight), se per ogni

ε > 0 esiste un sottoinsieme compatto K ⊂ X tale che ν (X \ K) < ε per ogniν ∈ N .

N si dice limitato, se l’insieme {ν (X) | ν ∈ N } `e limitato.

Definizione 3.13.X sia uno spazio topologico, θ ∈ M(X) e

n

ν_n una successione di elementi diM(X). Diciamo che la successione

n

νncon- verge debolmente aθ e scriviamo

n

νn deb

−→ θ, se per ogni f ∈ Cb(X, R) si ha

n

Z

f (X) dνn(X) −→

Z

f (X) dθ (X)

(24)

Definizione 3.14.SiaX uno spazio topologico. Un insieme N ⊂ M(X) si dice relativamente sequenzialmente compatto, se per ogni successio- ne

n

νn di elementi di N esistono una sottosuccessione

k

νnk e un elementoθ ∈ M(X) tali che

k

ν_n_k−→ θ.^deb

Teorema 3.15 (teorema di Prokhorov). X sia uno spazio metrico completo edN ⊂ M(X). Allora sono equivalenti:

(1)N `e relativamente sequenzialmente compatto.

(2)N `e concentrato sui compatti e limitato.

Dimostrazione. La dimostrazione di questo teorema `e molto compli- cata e si trova ad esempio in Elstrodt, pagg. 392-398, e Billingsley, pagg. 57-64.

Lemma 3.16. Sianog : Z −→ C una funzione ed n ∈ N + 1. Allora

n−1

X

k=−(n−1)

(n − |k|) g (k) =

n

X

j=1 n

X

k=1

g (j − k)

Dimostrazione. Questa formula si trova in Kreiss/Neuhaus, pag. 364. La dimostriamo per induzione sun.

n = 1: Sia a sinistra che a destra abbiamo soltanto g (0).

n −→ n + 1:

n

X

k=−n

(n + 1 − |k|) g (k) =

n

X

k=−n

g (k) +

n

X

k=−n

(n − |k|) g (k)

=

n

X

k=−n

g (k) +

n−1

X

k=−(n−1)

(n − |k|) g (k)

ind=

n

X

k=−n

g (k) +

n

X

j=1 n

X

k=1

g (j − k)

=

n

X

k=−n

g (k) +

n+1

X

j=1 n

X

k=1

g (j − k)

−

n

X

k=1

g (n + 1 − k)

=

n

X

k=−n

g (k) +

n+1

X

j=1 n+1

X

k=1

g (j − k)

−

n

X

k=1

g (n + 1 − k) −

n+1

X

j=1

g (j − n − 1)

Per`o

n

P

k=1

g (n + 1 − k) +

n+1

P

j=1

g (j − n − 1) =

n

P

k=−n

g (k).

(25)

Lemma 3.17.ϕ : Z −→ C sia una funzione positivamente semidefinita.

Per ognin ∈ N + 1 definiamo una funzione f_n: [−π, π] −→ C tramite fn(t) := 1

2π

n−1

X

k=−(n−1)

1 −|k|

n

ϕ (k) e^−ikt Per ognin ∈ N + 1 e per ogni t ∈ [−π, π] allora:

(1) fn(t) = 1 2πn

n

X

j=1 n

X

k=1

ϕ (j − k) e^−ijte^ikt. (2) fn(t) `e reale e ≥ 0.

(3) f_n∈ Cb([−π, π], R).

(4) Per ognim ∈ Z tale che n > |m| vale Z π

−π

fn(t) e^imtdt =

1 −|m|

n

ϕ (m) (5)

Z π

−π

fn(t) dt = ϕ (0).

Dimostrazione. (1) Ci`o segue dal lemma 3.16.

(2) Ci`o segue dal punto (1), usando l’ipotesi chef sia positivamente semidefinita.

(3) Chiaro.

(4) Z π

−π

f_n(t) e^imtdt = 1 2π

n−1

X

k=−(n−1)

1 −|k|

n

ϕ (k)

Z π

−π

e^i(m−k)dt

= 1 2π

1 −|m|

n

ϕ (m) 2π =

1 −|m|

n

ϕ (m) perch´e, come noto,

Z π

−π

e^i(m−k)tdt =

(2π perm = k 0 altrimenti

(5) Caso particolare del punto (4) perm = 0.

Teorema 3.18 (teorema di Herglotz). Una funzioneϕ : Z −→ C possiede una misura spettrale se e solo se `e positivamente semidefinita.

Dimostrazione. (1) Seϕ possiede una misura spettrale allora `e positivamente semidefinita per la prop. 3.9.

(2) Sia viceversaϕ positivamente semidefinita.

Per B ∈ Borel ([−π, π]) ed n ∈ N + 1 sia ν_n(B) :=

Z

B

f_n(t) dt, dove l’integrale `e calcolato nel senso di Lebesgue.

Per il punto (5) del lemma 3.17νn∈ M ([−π, π]); per la stessa ragio- ne l’insiemeN := {νn| n ∈ N + 1} `e limitato.

Siccome[−π, π] `e compatto, N `e inoltre sicuramente concentrato sui

(26)

compatti. Per il teorema 3.15 esistono una sottosuccessione

k

νnk e un elementoθ ∈ M([−π, π]) tali che

k

νnk

−→ θ.deb

Siam ∈ Z. Siccome

k

nk−→ ∞, dal punto (4) del lemma 3.17 vediamo che lim

k→∞

Z π

−π

fnk(t) e^imtdt = ϕ (m).

Per la formula di trasformazione degli integrali nota dall’analisi per`o

Z π

−π

f_n(t) e^imtdt = Z

[−π,π]

e^imtdν_nt

cosicch´e, tenendo conto del punto (3) del lemma 3.17 e della def. 3.13, ϕ (m) = lim

k→∞

Z π

−π

fnk(t) e^imtdνnk(t) = lim

k→∞

Z

[−π,π]

e^imtdνnk(t)

= Z π

−π

e^imtdθ (t) = Z

(−π,π]

e^imtdθ (t) + e^−iπmθ ({−π})

= Z

(−π,π]

e^imtdν (t)

se perB ∈ Borel ((−π, π]) poniamo ν (B) :=

(θ (B) seπ /∈ B

θ (B) + θ ({−π}) seπ ∈ B ν `e allora una misura spettrale per ϕ.

Abbiamo seguito Kreiss/Neuhaus, pagg. 49-51. Un’altra dimostrazione si trova in Katznelson, pagg. 38-39. La dimostrazione in Brock- well/Davis, pagg. 117-119, `e molto simile alla nostra.

L’analogo del teorema di Herglotz per processi stocastici a tempo continuo `e il teorema di Wiener-Khintchin, al quale il teorema di Her- glotz pu`o essere ricondotto; cfr. Priestley, pagg. 218-224.

Corollario 3.19. Per una funzioneϕ : Z −→ C sono equivalenti:

(1) ϕ `e la funzione di autocovarianza di una serie temporale stazio- naria.

(2) ϕ `e positivamente semidefinita.

(3) ϕ possiede una misura spettrale.

Definizione 3.20.La misura spettrale di una serie temporale stazionaria `e la misura spettrale della sua funzione di autocovarianza.

Questa definizione `e giustificata in virt `u del corollario 3.19.

Definizione 3.21.Una serie temporale

n

Xnsi dice armonica, se esistono numeriω₁, ..., ω_N ∈ (0, π], variabili aleatorie reali

A₁, ..., AN, B₁, ..., BN tali che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

(1) Xt=

N

P

k=1

(Akcos ωkt + Bksin ωkt) per ogni t ∈ Z.

(27)

(2) Ak, Bk∈ L²per ognik.

(3) M A_k= M B_k= 0 per ogni k.

(4) cov (A_k, B_k) = 0 per ogni k.

(5) cov (A_j, A_k) = cov (B_j, B_k) = 0 per j 6= k.

(6) σ²(Ak) = σ (Bk) =: σ²_kper ognik.

Diremo allora che

n

Xn `e una STA ω₁, ..., ωN, σ₁², ..., σ_N² Proposizione 3.22.

n

X_nsia unaSTA ω₁, ..., ω_N, σ₁², ..., σ²_N.

Allora

n

X_n `e unaSTS (0, γ) con γ (m) =

N

P

k=1

σ_k²cos ω_km per ognim ∈ Z.

Dimostrazione. (1) `E chiaro cheX_t∈ L² (cfr. oss. 1.9).

(2) `E immediato anche cheM Xt= 0 per ogni t ∈ Z.

(3) Sianot, m ∈ Z. Con la notazione della def. 3.21 abbiamo X_t+m =

N

X

k=1

(A_kcos ω_k(t + m) + B_ksin ω_k(t + m))

=

N

X

k=1

A_k(cos ω_kt cos ω_km − sin ω_kt sin ω_km) +

+

N

X

k=1

B_k(sin ω_kt cos ω_km + sin ω_km cos ω_kt)

X_t=

N

X

k=1

A_kcos ω_kt +

N

X

k=1

B_ksin ω_kt

cosicch´e dalla prop 1.14 e dalle condizioni di ortogonalit `a della def. 3.21 otteniamo

cov (Xt+m, Xt) =

N

X

k=1

σ²_k cos²ωkt cos ωkm − sin ωkt sin ωkm cos ωkt

+

N

X

k=1

σ_k² sin²ωkt cos ωkm + sin ωkm cos ωkt sin ωkt

=

N

X

k=1

σ²_kcos ωkm cos²ωkt + sin²ωkt

=

N

X

k=1

σ²_kcos ω_km (4) Ci`o mostra la stazionariet `a di

n

Xne in particolara che la funzione di autocovarianza si calcola come nell’enunciato.

(28)

n

Xnsia unaSTA ω₁, ..., ωN, σ²₁, ..., σ²_N. Allora la misura spettrale di

n

X_n `e data da ν (B) :=

N

P

k=1

λ_kσ_k² con

λ_k:=







χ_B(ω_k) + χ_B(−ω_k)

2 per0 < ω_k< π

χB(π) perω_k= π

Dimostrazione. Ci`o segue facilmente dalla prop. 3.22 tenendo conto della relazione

cosω_km = e^iω^k^m+ e^−iω^k^m 2

Lemma 3.24 (teorema della convergenza maggiorata).(Ω^′, B, µ) sia uno spazio di misura e g, f, f₁, f₂, ... : Ω −→ C funzioni misurabili tali che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

(1)

n

fn−→ f quasi dappertutto rispetto a µ.

(2)g ∈ L¹(µ).

(3)|fn| ≤ |g| quasi dappertutto rispetto a µ.

Allora:

(A) lim

n→∞

Z

|fn(x) − f (x) |dµ (x) = 0.

(B) lim

n→∞

Z

fn(x) dx = Z

f (x) dx.

Dimostrazione. Corsi di analisi. Si noti che (B) segue da (A) per la disuguaglianza

Z

h (x) dx

≤ Z

|h (x)| dx valida per ogni funzione µ- integrabile h.

Osservazione 3.25. Per A ⊂ Z sia µ := |A|, quindi µ (A) = ∞ se A non è finito. Alloraµ è una misura su P (Z) che verr à detta misura di conteggio. Perf ∈ C^Z si haf ∈ L¹(µ) ⇐⇒ P^∞

n=−∞|f (n) | < ∞ e in tal caso

Z

f (k) dµ (k) =

∞

X

n=−∞

f (n).

Cfr. Elstrodt, 139.

Lemma 3.26 (Kronecker). Sia

n

cn∈ Z tale che P^∞

n=−∞

|cn| < ∞.

Allora lim

n→∞

1 n

n

X

k=−n

|kck| = 0.