Prova scritta di FISICA – 08 settembre 2011
1) Due corpi di massa M1 = 1 kg ed M2 = M1/2 sono collegati mediante una fune inestensibile ed una carrucola, entrambe di massa trascurabile, come mostrato in figura. Il corpo di massa M1 si muove lungo il piano orizzontale scabro, mentre il corpo M2 è sospeso in aria.
Determinare:
a) La tensione T della fune ed il coefficiente di attrito statico s del piano, affinché i due corpi siano all’equilibrio;
b) la velocità con cui il corpo M2 tocca il suolo, supponendo di tagliare la fune quando il corpo M2 si trova a
quota H = 2 m dal suolo.
2) Dato un sistema d’assi cartesiani di origine O, una particella di carica q = - 4 10-8 C e massa m = 5
10-7 kg , viene lanciata nel piano (x,y) partendo da O, con velocità v0= 10 m/s inclinata di un angolo
=30°, rispetto al semiasse positivo x. In O è posta, perpendicolarmente all’asse y, una lamina piana, uniformemente carica di densita = + 8.85 10-8 C/m2. Calcolare, trascurando la gravità, :
a) l’accelerazione della particella dovuta alla presenza della lamina;
b) la massima distanza dalla lamina a cui si troverà la carica q.
[Nota: 0 = 8.85 10-12 C2/Nm2 ]
3) Quattro moli di gas perfetto monoatomico passano dallo stato iniziale A allo stato finale C attraverso una espansione isobara AB, seguita da una espansione adiabatica BC.
La temperatura in A e C è la stessa e vale TA=TC= 20 °C, inoltre pA = 2 atmosfere e VB=2 VA. Calcolare:
a) il valore assunto dalle variabili termodinamiche (p,V,T) nei tre punti e disegnare il grafico della trasformazione nel piano V- p;
b) la quantità di calore scambiata ed il lavoro compiuto dal gas nelle trasformazioni A-B , B-C e A-C.
[Nota: R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole]
4) Un recipiente cilindrico, aperto superiormente , ha diametro pari a 1 m. Contiene acqua ed ha sul fondo un foro, che ha sezione s= 4 cm2, ed è inizialmente chiuso da un tappo. Tolto il tappo, l’acqua esce dal foro con portata volumetrica Q pari a 2 l/s. Calcolare:
a) la velocità con cui l’acqua esce inizialmente dal foro e la velocità dell’acqua in un punto della superficie libera superiore.
b) il volume di acqua inizialmente contenuto nel recipiente.
Nota: Supporre l’acqua nel recipiente un fluido ideale in moto stazionario e irrotazionale.
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI. SOSTITUIRE I
VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD), www.mi.infn.it/~sleoni (PE-Z)
M
1M2
H
M
1M2
M
1M2
H
(Meccanica)
a) Scriviamo separatamente le equazioni del moto per il corpo M1 ed M2 nella configurazione di equilibrio:
0
0
2 2
2 2
1 1
1 1
g
g d
F T a M F
F T N f a M
F
Proiettiamo le equazioni sugli assi x ed y:
corpo M2
asse y: -F2g + T = 0
T = M2g
= 0.5 kg 9.8 m/s2 = 4.9 N corpo M1
asse x: -fd + T = 0
asse y: -F1g + N = 0 N = M1 g da cui segue : fd = s N = s M1 g = T
s = T / (M1 g) = M2g / (M1 g)
= M2 / M1 = (M1/2)/ M1 = 0.5
b) Supponiamo ora che il corpo di massa M2 si trovi al taglio della fune a quota H = 2m rispetto al suolo.
La sola forza a cui è soggetto è la forza peso F2g e per il teorema di conservazione dell’ Energia Meccanica:
s m m
s m gH v
gH M v
M
gH M g M v
M v
M
U L
K
f f
i f
g g
/ 26 . 6 ) 2 ( ) / 8 . 9 ( 2 2 2 0 1
) 0
2 ( 1 2
1
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
M
1M
2H F2g
F1g
fd N T
T
M
1M
2M
1M
2H F2g
F1g
fd N T
T
(Elettrostatica)
a) La forza elettrostatica F esercitata dalla lamina sulla carica q ha modulo F = (/q/ ) / 20 = 2 10-4 N ed ha direzione e verso( -j ). L’accelerazione della carica q è pertanto a = 0.4 103 m/s2 (-j ). A partire dal punto O , la carica q descrive una traiettoria parabolica con vertice nel punto di massima distanza dalla lamina.
b) La posizione della carica q nel piano ( x,y) varia nel tempo t secondo le seguenti:
x = vox t
y = - ½ a t 2 + voy t
dove vox e voy sono le componenti x e y della velocità iniziale vo
La velocità v di q ha componenti : vx = vox
vy = -at + voy
dove vox = vo cos e voy = vo sen
La massima distanza dalla lamina viene raggiunta all’istante in cui vy = 0 e pertanto per t = voy/a = 0.0125 s.
La massima distanza dalla lamina è pertanto ymax = 0,03 m
(Termodinamica)
a) Calcolo delle coordinate termodinamiche di A, B, C : Punto A:
TA = 20 0C = (20+273) K = 293 K
pA = 2 105 Pa
VA = nRTA/pA = 0.048 m3 Punto B:
pB = pA = 2 105 Pa VB = 2 VA = 0.096 m3 TB = pBVB/nR = 2TA =586 K Punto C:
TC = TA = 293 K
La trasformazione BC è adiabatica , pertanto TB (VB ) -1 = TC (VC ) -1 dove = cp / cV = 5/3, da cui si ricava VC = 2.83 VB = 0.27 m3 .
Dalla legge dei gas perfetti applicata al punto C si ricava poi pC = 0.36 105 Pa.
A V
V 2VA
A B
C
p
b) La quantità di calore QAB = ncp (TB -TA) = n (5/2) R TA = 24.35 103 J, mentre QBC = 0 J.
Il lavoro LAB = pA (VB - VA ) = pA VA = 9.75 103 J; LBC = - n cV (TC -TB) = n (3/2) R (TA) = 14.60 103 J. Risulta quindi QAC = 24.35 103 J ed LAC = 24.35 103 J e pertanto EAC =0, come aspettato visto che TA = TC .
(Fluidi)
a) La portata volumetrica Q, costante, è Q= v S dove v è la velocità del fluido attraverso la sezione S del condotto . La velocità di efflusso dell’acqua dal foro vF si calcola quindi dalla vF = Q / SF dove SF è la sezione del foro. Sostituendo i valori numerici si ottiene:
vF = 2 10 –3 (m 3 / s) / 4 10–4 (m2) = 5 m/s. Analogamente la velocità alla superficie libera
superiore vL è vL = Q / SL dove SL è la sezione del cilindro. Sostituendo i valori numerici si ottiene : vL
= 2 10 –3 (m 3 / s) / 0.5 2 (m2 ) = 2.6 10 –3 (m / s).
b) Applicando il teorema di Bernoulli ai punti della superficie libera dell’acqua e a quelli del foro si ha:
½ vL2 + g hL = ½ v F2 dove hL è l’altezza dell’ acqua contenuta nel cilindro . Il termine ½ vL2 è trascurabile rispetto a ½ v F2 e pertanto h ½ v F2 / g = 1.28 m. Il volume di acqua inizialmente contenuto è pertanto V= SL hL = 0.5 2 (m2 ) 1,28 (m) =1 m3.
