Prova Scritta 19 Settembre 2012
1) Sono dati due vettori a e
b . Sapendo che
a = 4
b determinare l’angolo θabfra di essi compreso in modo tale che il vettore
c = a +
b sia ortogonale a b .
Soluzione Se i vettori
c e
b sono perpendicolari il loro prodotto scalare è zero:
0= (a + b )⋅
b = a
b cosθab+ b 2 ⇒
⇒ cosθab = − b
a = −1
4 ⇒ θab = arccos −1 4
⎛
⎝⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
⎟ 1.82 104° .
2) Una motocicletta si muove su una strada rettilinea ad una velocità vm = 120 km / h . Ad un certo istante essa transita di fronte all’auto della polizia che la insegue, partendo da ferma, e muovendosi di moto uniformemente accelerato con accelerazione a0 = 2m / s2. Quanto tempo impiega l’auto della polizia per raggiungere la motocicletta?
Soluzione
Se Δt è l’intervallo di tempo che intercorre fra la partenza dell’auto della polizia e l’istante in cui essa raggiunge il motociclista (ovvero la quantità che si richiede) allora lo spazio percorso dall’auto in questo intervallo è
Δsa = 1
2a0Δt2.
Nel frattempo il motociclista ha percorso uno spazio pari a Δsm = vmΔt e deve essere:
Δsm = Δsa ⇒ vmΔt = 1
2a0Δt2 ⇒ Δt = 2vm a0 =
2×120×1000m 3600s 2m
s2
=100
3 s 33.3 s .
3) Un satellite ruota intorno alla luna su un’orbita circolare ad una quota (distanza del satellite dalla superficie lunare) pari ad h = 1000 km . Determinare il modulo dell’acce- lerazione del satellite
as ed il tempo Δt che esso impiega per compiere un giro com-
pleto intorno alla luna.
Soluzione
Sull’orbita circolare l’accelerazione del satellite ha solo la componente centripeta. Quindi dalla
F = msa ed essendo il satellite soggetto alla sola forza di attrazione gravitazionale (centripeta anch’essa) avremo:
ms as = γ msML RL+ h
( )
2 ⇒as = γ ML RL+ h
( )
2 4.9 m / s2 .Dalla definizione dell’accelerazione centripeta possiamo ottenere il modulo della velocità del satellite:
vs 2
RL+ h = as ⇒
vs =
(
RL+ h)
as .Il tempo Δt sarà uguale allo spazio percorso dal satellite per compiere un giro completo intorno alla luna diviso il modulo della velocità:
Δt = 2π R
(
L+ h)
vs = 2π R
(
L+ h)
RL+ h
( )
as= 2π
(
RL+ h)
as 2837 s 0.79 h .
4) Un corpo puntiforme scende su un piano inclinato di θ = 45° rispetto al suolo, in assen- za di attrito. Determinare con quale velocità arriva al suolo sapendo che il piano è lun- go L = 5 m e che il corpo è inizialmente fermo.
Soluzione
L’energia meccanica totale del corpo si conserva. Inizialmente il corpo è fermo e la sua energia meccanica è solo potenziale. A terra, invece, l’energia meccanica è solo cinetica:
mgh =1
2mvf2 ⇒ vf = 2gh = 2gL 8.33 m / s .
5) Un corpo di massa m = 1kg , su un piano inclinato di α = 30° rispetto al suolo, scivola verso il basso. Sapendo che il corpo si muove di moto rettilineo uniforme, determinare il coefficiente di attrito dinamico del piano µ .
Soluzione
Il moto del corpo è rettilineo ed uniforme quindi la risultante delle forze agenti su di esso è nulla. Il corpo è soggetto alla forza peso
P , diretta ortogonalmente al suolo, alla reazione vincolare del piano inclinato
R e alla forza d’attrito
Fa. Sarà
P +
R +
Fa = 0 .
Proiettiamo questa relazione lungo le direzioni ˆn ed ˆt rispettivamente perpendicolare al piano, diretta verso l’alto (la prima) e parallela al piano, diretta verso terra (la seconda):
−mg cosα ˆn + mg sin α ˆt−Fa t + R ˆˆ n = 0 .
Uguagliando le componenti:
R = mg cos30° = 3 2 mg
Fa = mg sin 30°=mg 2 .
La forza di attrito dinamico, per definizione vale
Fa = µR = µ 3
2 mg e quindi:
µ 3
2 mg =mg
2 ⇒ µ = 3
3 0.58 .
Costanti: g = 9.81m /s2 , γ = 6.67·10−11N m2kg−2 , MT = 5.971·1024kg , RT = 6.37·106m , ML = 7.35·1022kg , RL = 1738 km .
