CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA – 16 Gennaio 2008
1) Meccanica:
Due corpi di massa M1 = 1 kg ed M2 = M1/2 sono collegati mediante una fune inestensibile ed una carrucola, entrambe di massa trascurabile, come mostrato in figura. Il corpo di massa M1 si muove lungo il piano orizzontale scabro, mentre il corpo M2 è sospeso in aria.
Determinare:
a) La tensione T della fune ed il coefficiente di attrito statico µs del piano, affinché i due corpi
siano all’equilibrio;
b) la velocità con cui il corpo M2 tocca il suolo, supponendo di tagliare la fune quando il corpo M2 si
trova a quota H = 2 m dal suolo.
2) Elettrostatica:
Nell’origine O di un sistema di assi ( x,y) è fissata una carica positiva Q = + 10 -7 C. Una particella P con carica positiva q = + 4 10 -9 C e massa m = 10 -9 kg, si sta muovendo lungo l’asse x , verso la carica Q. Nel punto A di coordinate (10 m, 0 m) ha velocità pari a 30 m/s. Si calcoli :
a) La forza elettrostatica ( specificare anche direzione e verso ) nel punto A e nel punto B di coordinate (5 m, 0 m).
b) La velocità della particella P nel punto B.
3) Fluidi:
Una cisterna cilindrica di altezza H e base A1 presenta in corrispondenza della base inferiore un foro di sezione A2 = A1/100. Sapendo che la velocità di deflusso dell’acqua dal foro è pari a v2 = 14 m/s, determinare:
a) la velocità v1 con cui si abbassa il livello dell’acqua nella cisterna;
b) l’altezza H della cisterna, facendo le opportune approssimazioni.
4) Termodinamica:
Una mole di un gas perfetto monoatomico passa dallo stato iniziale A di coordinate termodinamiche : pA = 2 atmosfere, VA = 10 litri allo stato finale D , attraverso le seguenti trasformazioni:
AB , isobara con VB = 20 litri : BC, isoterma con VC = 40 litri ; CD, isovolumica con pD = 0.5 atmosfere.
a) Si disegnino le tre trasformazioni AB, BC , CD in un diagramma ( V, p) e si calcoli la quantità di calore totale scambiata nel passaggio del gas dallo stato iniziale A allo stato finale D attraverso le tre trasformazioni date. Si precisi se la quantità di calore è assorbita o ceduta .
b) Si calcoli la variazione di energia interna del gas nel passaggio dallo stato iniziale A allo stato finale D.
(R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atm /K mol ; k=8.99 109 N m2 /C2)
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI.
SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD), fisbio.webhop.net (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)
M
1M2
H
M
1M2
M
1M2
H
SOLUZIONE ESERCIZIO 1 (Meccanica)
a) Scriviamo separatamente le equazioni del moto per il corpo M1 ed M2 nella configurazione di equilibrio:
0
0
2 2
2 2
1 1
1 1
= +
=
=
= + + +
=
=
g
g d
F T a M F
F T N f a M
Fr r r r
r r r r
r r
Proiettiamo le equazioni sugli assi x ed y:
corpo M2
asse y: -F2g + T = 0
⇒ T = M2g
= 0.5 kg × 9.8 m/s2 = 4.9 N corpo M1
asse x: -fd + T = 0
asse y: -F1g + N = 0 ⇒ N = M1 g da cui segue : fd = µs N = µs M1 g = T
⇒ µs = T / (M1 g) = M2g / (M1 g)
= M2 / M1 = (M1/2)/ M1 = 0.5
b) Supponiamo ora che il corpo di massa M2 si trovi al taglio della fune a quota H = 2m rispetto al suolo.
La sola forza a cui è soggetto è la forza peso F2g e per il teorema di conservazione dell’ Energia Meccanica:
s m m
s m gH v
gH M v
M
gH M g M v
M v
M
U L
K
f f
i f
g g
/ 26 . 6 ) 2 ( ) / 8 . 9 ( 2 2 2 0 1
) 0
2 ( 1 2
1
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
=
×
×
=
=
=
−
−
−
=
−
∆
−
=
=
∆
M
1M2
H Fr2g
Fr1g
frd Nr Tr
Tr
M
1M2
M
1M2
H Fr2g
Fr1g
frd Nr Tr
Tr
SOLUZIONE ESERCIZIO 2 (Elettrostatica)
a) La forza agente sulla carica q in A e in B è repulsiva ( entrambe le cariche hanno segno positivo ) ed ha pertanto direzione e verso del semiasse positivo x . Il modulo vale : F = k Q q / d2 ( d è la distanza tra le due cariche nel punto considerato e k = 1/ ( 4 π ε o ) ) . Nei due punti A e B vale pertanto rispettivamente : F(A)= 36 10 -9 N e F ( B) = 144 10 -9 N .
b) L’energia totale del sistema delle due cariche E, somma di quella potenziale elettrostatica U e di quella cinetica K della carica q , è E = ( kQq/d ) + ½ m v2 , dove v è la velocità della carica q nel punto considerato . Nel punto A , E = (36+45)10 -8 J = 81 10 -8 J . Nel punto B E ha lo stesso valore , mentre U vale 72 10 -8 J e pertanto K = 9 10 -8 J , da cui la velocità in B è 13.4 m/s .
SOLUZIONE ESERCIZIO 3 (Fluidi)
a) Per l’equazione di continuità la velocità v1 con cui la superficie libera dell’acqua nella cisterna si abbassa è data da:
s m v
A v A A v v A
/ 14 . 0 10
100
2 2
2 2 2
2 1 2 1
=
=
=
=
−
b) L’altezza H della cisterna si può ottenere dall’equazione di Bernoulli:
0
2 1 2
1 2
2 0
2 1
0 + v + gH = p + v +
p ρ ρ ρ
22 12 22
2 1 2
1 2
1 v v v
gH ρ ρ ρ
ρ = − ≈ :
s m m
s m g v
/ 10 8 . 9 2
) / 14 ( H 2
2 2 2
2
× =
=
=
SOLUZIONE ESERCIZIO 4 (Termodinamica) a)
A B
C
D p
V
