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1. Nello spazio M

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Academic year: 2021

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(1)

Tutorato 3

Dipendenza lineare, generatori, basi

1. Nello spazio M

2×2

(R) delle matrici 2×2 a coefficienti reali si considerino le seguenti matrici:

A =  0 1 1 1



, B =  1 2 1 1



, C =  1 0 3 3

 .

• Stabilire A,B, e C se sono indipendenti;

• Stabilire se {A, B, C} e’ una base di hA, B, Ci;

• Stabilire se {A, B, C} e’ una base di M

2×2

(R);

• Stabilire se  0 0 4 4



∈ hA, B, Ci;

• Stabilire se  1 0 0 1



∈ hA, B, Ci;

• Completare {A, B, C} a una base di M

2×2

(R).

2. Nello spazio vettoriale R

≤3

[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado al massimo 3 si considerino i polinomi

p(x) = x

3

+ x + 1, q(x) = 2x

3

+ x

2

+ 1, r(x) = x

2

+ x + 1, s(x) = x(x − 1), t(x) = x.

• Stabilire se p(x) e q(x) sono indipendenti;

• Stabilire se p(x), q(x) e r(x) sono indipendenti;

• Stabilire se {p(x), q(x), r(x), s(x), t(x)} e’ una base di R

≤3

[x];

• Stabilire se {p(x), q(x), r(x), s(x)} e’ una base di R

≤3

[x];

• Estrarre da {p(x), q(x), r(x), s(x), t(x)} una base di R

≤3

[x].

3. In R

4

si considerino i vettori

v

1

=

 1 2 0 k

, v

2

=

 0 k 0 k

, v

3

=

 0 1 1 0

, v

4

=

 0 0 0 k

 , u =

 0 1 1 k

 .

• Al variare di k stabilire se {v

1

, v

2

, v

3

, v

4

} e’ base di R

4

• Al variare di k stabilire se u ∈ hv

1

, v

2

, v

3

, v

4

i e scriverlo come loro combinazione lineare;

• Al variare di k, stabilire se u ∈ hv

1

, v

2

, v

3

i;

• Al variare di k, stabilire se u ∈ hv

1

, v

2

, v

4

i.

4. Nello spazio R

≤4

[x] dei polinomi di grado al massimo 4 e con coefficeinti reali, si consideri il seguenti insieme di polinomi:

{237x

4

+ 37x

3

+ 23x

2

, 12x

3

+ 7x

2

+ 1, 2x

2

+ 73x + 59, 27x + 67, 71}

Si stabilisca se e’ una base.

(2)

5. Sia considerino 4 vettori in R

3

: v

1

, v

2

, v

3

, v

4

∈ R

3

e si stabilisca queli delle seguenti affermazioni sono sicuramente vere e quali no:

(a) {v

1

, v

2

, v

3

, v

4

} potrebbe essere una base oppure no;

(b) Se {v

1

, v

2

, v

3

, v

4

} e’ un sistema di generatori allora e’ una base;

(c) Se {v

1

, v

2

, v

3

, } e’ un sistema di generatori allora e’ una base;

(d) {v

1

, v

2

} potrebbe essere un sistema di generatori;

(e) v

1

, v

2

, v

3

, v

4

sono sicuramente dipendenti;

(f) v

1

, v

2

, v

3

sono indipendenti se e solo se sono una base;

(g) v

1

, v

2

possono essere indipendenti oppure no;

(h) se v

1

, v

2

sono indipendenti allora o v

3

∈ hv

1

, v

2

i o v

4

∈ hv

1

, v

2

i;

(i) se v

1

, v

2

, v

3

sono indipendenti allora v

4

∈ hv

1

, v

2

, v

3

i;

(j) se v

1

, v

2

, v

3

sono indipendenti allora v

1

, v

2

, v

3

sono generatori;

(k) se v

1

, v

2

sono dipendenti allora esiste λ ∈ R tale che v

1

= λv

2

oppure v

2

= 0;

(l) se v

1

, v

2

, v

3

sono dipendenti allora v

1

∈ hv

2

, v

3

i;

(m) se v

1

e’ dipendente allora v

1

= 0;

(n) se v

1

, v

2

, v

3

sono indipendenti allora esistono λ

1

, λ

2

, λ

3

∈ R tali che v

4

= λ

1

v

1

+ λ

2

v

2

+ λ

3

v

3

;

(o) se {v

1

, v

2

, v

3

, v

4

} e’ un sistema di generatori allora esiste una base fatta da 3 vettori scelti fra {v

1

, v

2

, v

3

, v

4

}

(p) se {v

1

, v

2

, v

3

} e’ una base allora {v

1

, v

2

, v

3

, v

4

} e’ una base ;

(q) se {v

1

, v

2

, v

3

} e’ una base allora {v

1

, v

2

, v

3

, v

4

} e’ un sistema di generatori;

(r) se {v

1

, v

2

, v

3

} e’ una base allora {v

1

, v

2

} sono indipendenti;

(s) se v

1

, v

2

sono indipendenti allora o v

3

∈ hv

1

, v

2

i o {v

1

, v

2

, v

3

} e’ una base.

6. Sia W un K-spazio vettoriale di dimensione 3 e sia {w

1

, w

2

, w

3

} ⊂ W una sua base.

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) {w

1

, w

1

+ w

2

, w

1

+ w

2

+ w

3

} e’ base (b) {w

1

+ w

3

, w

2

+ w

3

, w

1

} e’ base

(c) {w

1

+ w

2

, w

2

+ w

3

, w

1

+ 2w

2

+ w

3

} e’ base.

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