Econometria applicata all’intermediazione ﬁnanziaria Esercizio eteroschedasticit´a

(1)

finanziaria

Esercizio eteroschedasticit´ a

Tiziano Razzolini Universit` a di Siena.

mail: [email protected]

3 aprile 2012

(2)

Esercizio eteroschedasticit´ a

Ipotizzate la seguente funzione di risparmio:

sav

i

=

β0

+

β1

Inc

i

+ e

i

, e

i

= √ inc

i

u

i

con u

i

tale che E ( u

i

) = 0, e Var ( u ) =

σ_u²

. u ´ e indipendente da inc

_i

.

1.

Mostrate che E ( e | inc ) = 0,e che quindi la prima assunzione dei minimi quadrati ´ e soddisfatta

2.

Mostrate che Var ( e

_i

| inc

_i

) =

σ_u²

inc

_i

,e che l’ipotesi di omoschedasticit´ a ´ e violata. La varianza di sav

_i

infatti aumenta con inc.

3.

Perch´ e la varianza del risparmio dovrebbe aumentare con il

reddito?

(3)

Esercizio eteroschedasticit´ a

1.

Quando condizioniamo su inc, √

inc

_i

diventa una costante.

Quindi E ( e | inc

_i

) = E ( √

inc

_i

u

_i

| inc

_i

) = √

inc

_i

E ( u

_i

| inc

_i

) =

√ inc

i

0 = 0 poich´ e E ( u | inc

i

) = 0

2.

Nuovamente, quando condizioniamo su inc, √

inc diventa una costante. Quindi,

var ( e

i

| inc

i

) = var ( √

inc

i

u

i

| inc

i

) = inc

i

var ( u

i

| inc

i

) = ´ uinc

iσ_u² 3.

Le famiglie con basso reddito utilizzano la maggior parte del

reddito per consumi di base. Famiglie con redditi maggiori

possono decidere se consumare di piu’, e quindi risparmiare di

meno, o risparmiare di piu’. La possibilit´ a di maggiore scelta

per le famiglie con redditi maggiori crea questa variabilit´ a nel

risparmio dipendente dal livello di reddito.

(4)

Si supponga che un ricercatore, utilizzando i dati sulla dimensione delle classi (DC) e i punteggi medi dei test di 100 classi relative a un terzo livello di istruzione (TS), stimi con il metodo OLS la seguente regressione:

TS c = 520, 4

(20,4)

− 5, 82

(2,21)

× DC R

²

= 0, 08 SER = 11, 5 (1)

1.

Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 95% per β

1

,

il coefficiente angolare della regressione

2.

Si calcoli il valore-p di un test bilaterale per l’ipotesi nulla H

₀

: β

1

= 0. Si rifiuta l’ipotesi nulla al livello di significativit´ a del 5%? E all’1%?

3.

Si calcoli il valore-p di un test bilaterale per l’ipotesi nulla H

₀

: β

1

= − 5, 6. Senza fare alcun calcolo aggiuntivo, si determini se − 5, 6 ´ e contenuto nell’intervallo di confidenza al 95% per β

1

4.

Si costruisca un intervallo di confidenza al 99% per β

0

(5)

1. Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 95% per β1, il coefficiente angolare della regressione

{ˆβ1±1.96×SE(ˆβ1)} = {−5, 82±1, 96×2, 21} = {−10, 15;−1, 49} (2) 2. Si calcoli il valore-p di un test bilaterale per l’ipotesi nulla

H₀: β1=0. Si rifiuta l’ipotesi nulla al livello di significativit´a del 5%? E all’1%?

t^act= ^ˆβ¹− (0) SE ˆβ1

= −5, 82

2, 21 = −2, 63 (3)

Valore−p=2Φ(−|tâct|) =2×_Φ(−| −2, 63|) =2×0, 0043=0, 0086 (4) Il valore-p é minore di 0, 01, sicché possiamo rigettare l’ipotesi nulla al livello di significativitá del 5% e anche al livello di significativitá del 1%.

(6)

3. Si calcoli il valore-p di un test bilaterale per l’ipotesi nulla

H₀: β1= −5, 6. Senza fare alcun calcolo aggiuntivo, si determini se

−5, 6 ´e contenuto nell’intervallo di confidenza al 95% per β1

t^act= ^ˆβ¹− (−5, 6) SE ˆβ1

= −0, 22

2, 21 = −0, 10 (5)

Il valore-p per il test H₀: β1= −5, 6 contro H₁: β16= −5, 6 ´e valore−p=2Φ(−t^act

) =2Φ(−0, 10) =0, 92 (6) Il valore-p é maggiore di 0, 10, sicché non possiamo rigettare l’ipotesi nulla al livello di significativitá del 10%, 5% o 1%. Poich´e β1= −5, 6 non é rigettato al 5%, tale valore é contenuto nell’intervallo di confidenza al 95%.

4. Si costruisca un intervallo di confidenza al 99% per β0

{520, 4±2, 58×20, 4} cio´e (467, 7≤β0≤573, 0) (7)

(7)

Si supponga che un ricercatore, utilizzando i dati su 250 lavoratori uomini e 280 lavoratrici donne selezionati casualmente, stimi con il metodo OLS la seguente regressione

Wage[ = 12, 52

(0,23)

+ 2, 12

(0,36)

× Male R²= 0, 06 SER= 4, 2 (8) dove Wage é misurato in $/ora e Male é una variabile binaria che é uguale a 1 se la persona é di genere maschile e 0 se di genere femminile. Si definisca la differenza salariale di genere come la differenza tra il salario medio di uomini e donne.

1. Qual ´e la differenza di genere stimata?

2. La differenza di genere ´e significativamente diversa da zero? (Si calcoli il valore-p per verificare l’ipotesi nulla che non ci sia alcuna differenza dovuta al genere)

3. Si costruisca un intervallo di confidenza del livello 95% per la differenza di genere

4. Nel campione, qual ´e il salario medio delle donne? E degli uomini?

5. Un altro ricercatore usa gli stessi dati ma effettua una regressione di Wage su Female, una variabile che ´e uguale a 1 se la persona ´e di genere femminile e a 0 se di genere maschile. Quali sono le stime di regressione calcolate da tale regressione?

(8)

1. Qual ´e la differenza stimata dovuta al genere?

Gli uomini sono pagati 2, 12 $/ora pi´u delle donne

2. La differenza dovuta al genere ´e significativamente diversa da zero?

(Si calcoli il valore-p per verificare l’ipotesi nulla che non ci sia alcuna differenza dovuta al genere)

t^act= ^ˆβ¹− (0) SE ˆβ1

= ^{2, 12}

0, 36=5, 89 (9)

Valore−p=2Φ(−|tâct|) =2×_Φ(−|5, 89|) =numero molto piccolo (10) Il valore-p é estremamente basso, sicché rigettiamo l’ipotesi nulla anche al livello di significativitá del 1% (e quindi anche del 10% e 5%).

3. Si costruisca un intervallo di confidenza del livello 95% per la differenza dovuta al genere

{ˆβ1±1, 96×SE(ˆβ1)} = {2, 12±1, 96×0, 36} = {1, 41; 2, 83} (11)

(9)

4.

Nel campione qual ´ e il salario medio delle donne? E degli uomini?

Wage

_donne

= 12, 52$/ora Wage

_uomini

= 14, 64$/ora

5.

Un altro ricercatore usa gli stessi dati ma effettua una

regressione di Wage su Female, una variabile che ´ e uguale a 1 se la persona ´ e di genere femminile e a 0 se di genere

maschile. Quali sono le stime di regressione calcolate da tale regressione?

Wage = 14, 64 − 2, 12 × Female R

²

= 0, 06 SER = 4, 2

(12)

(10)

Si supponga che un campione casuale di 200 uomini di 20 anni sia selezionato da una popolazione e siano registrati le loro altezze e il loro peso.

Attraverso una regressione del peso sull’altezza si ottiene Weight \ = 2, 15

(−99,41)

+ 3, 94

(0,31)

× Height R

²

= 0, 81 SER = 10, 2 (13) dove Weight ´ e misurato in libbre e Height in pollici.

Un uomo ha uno scatto ritardato di crescita e cresce di 1, 5 pollici nel corso di un anno.

1.

Si costruisca un intervallo di confidenza al 99% per il peso

guadagnato dalla persona.

(11)

1.

L’intervallo di confidenza al 99% ´ e 1, 5 × { 3, 94 ± 2, 58 × 0, 31 } o

4, 71 libbre ≤ WeightGain ≤ 7, 11 libbre.

(12)

Si legga il riquadro “Il valore economico di un anno di istruzione:

eteroschedasticit´ a o omoschedasticit´ a?”nel paragrafo 5.4. Si usi la regressione riportata nella (5.23) per rispondere ai seguenti punti.

1.

Un lavoratore di 30 anni selezionato casualmente presenta un livello di istruzione di 16 anni? Qual ´ e la retribuzione oraria attesa del lavoratore?

2.

Un diplomato (con 12 anni di istruzione) considera la

possibilit´ a di andare all’universit´ a per una laurea biennale. Di quanto ci attende che cresca la sua retribuzione oraria media?

3.

Un consulente scolastico di una scuola superiore dice a uno

studente che, in media, i laureati guadagnano 10 dollari all’ora

in pi´ u rispetto ai diplomati. Questa affermazione ´ e coerente

con l’evidenza della regressione? Quale intervallo di valori ´ e

coerente con l’evidenza della regressione?

(13)

1. Un lavoratore di 30 anni selezionato casualmente presenta un livello di istruzione di 16 anni? Qual ´e la retribuzione oraria attesa del lavoratore?

−3, 13+1, 47×16=20, 39$ per ora

2. Un diplomato (con 12 anni di istruzione) considera la possibilit´a di andare all’universit´a per una laurea biennale. Di quanto ci attende che cresca la sua retribuzione oraria media?

Ci si attende che la sua retribuzione oraria aumenti da 14,51$ a 17,45$ ovvero di 2,94$ all’ora.

3. Un consulente scolastico di una scuola superiore dice a uno studente che, in media, i laureati guadagnano 10 dollari all’ora in piú rispetto ai diplomati. Questa affermazione é coerente con l’evidenza della regressione? Quale intervallo di valori é coerente con l’evidenza della regressione?

L’aumento nella retribuzione dovuta all’avere frequentato l’universit´a

´e β1×4. Pertanto, l’affermazione del consulente é che β1=10/4=2, 50. La statistica-t per tale nulla ipotesi é t=^1,47−2,50_0,07 = −14, 71, che ha un p-valore di 0,00. Pertanto, l’affermazione del consulente puó essere rigettata al livello di significativit´a dell’1%. Un intervallo di confidenza per β1×4 é 4× {1,47±1,97×0,07} ovvero 5, 33$≤Gain≤6, 43$.

(14)

Negli anni 80, il Tennessee ha condotto un esperimento in cui gli studenti dell’asilo sono stati assegnati casualmente a classi “regolari”o a classi

“piccole”, e quindi sono stati esaminati con test standardizzati alla fine dell’anno. (Le classi regolari erano approssimativamente formate da 24 studenti, mentre le classi piccole contenevano approssimativamente 15 studenti). Si supponga che nella popolazione, il test standardizzato abbia un punteggio medio di 925 punti e una deviazione standard di 75 punti.

Sia SmallClass una variabile binaria uguale a 1 se lo studente ´e assegnato a una classe piccola e uguale a 0 altimenti. Attraverso una regressione di TestScore su SmallClass si ottiene

\

TestScore= 918, 0

(1,6)

+ 13, 9

(2,5)

× SmallClass R² = 0, 01 SER= 74, 6 (14) 1. Le classi piccole migliorano i punteggi? Di quanto? L’effetto ´e

grande? Si spieghino le risposte.

2. L’effetto stimato della dimensione della classe sui punteggi ´e statisticamente significativo? Si effettui un test al livello 5%.

3. Si costruisca un intervallo di confidenza al 99% per l’effetto di SmallClass sul punteggio del test.

(15)

1. Le classi piccole migliorano i punteggi? Di quanto? L’effetto ´e grande? Si spieghino le risposte.

Il guadagno stimato trovandosi in una classe piccola ´e di 13,9 punti.

Tale guadagno ´e uguale a circa 1/5 della deviazione standard del risultato del test: si tratta quindi di un aumento di moderata entit´a.

2. L’effetto stimato della dimensione della classe sui punteggi ´e statisticamente significativo? Si effettui un test al livello 5%.

La statistica-t ´e t^act= ^13,9_2,5 =5, 56, che ha un p-valore di 0, 00.

Pertanto, l’ipotesi nulla ´e rifiutata al livello del 5% (e dell’1%).

3. Si costruisca un intervallo di confidenza al 99% per l’effetto di SmallClass sul punteggio del test.

{13, 9±2, 58×2, 5} = {13, 9±6, 45}

(16)

Si faccia riferimento alla regressione descritta nell’esercizio 5.5.

1. Si ritiene che gli errori di regressione siamo plausibilmente omoschedastici? Si spieghi.

2. SE(β1)´e stato calcolato usando l’equazione 5.3. Si supponga che gli errori di regressione siamo omoschedastici: tale ipotesi influirebbe sulla validit´a dell’intervallo di confidenza costruito al punto (3.) dell’esercizio 5.5?

(17)

1. Si ritiene che gli errori di regressione siamo plausibilmente omoschedastici? Si spieghi.

Per rispondere alla domanda occorre chiedersi se la variabilitá del risultato del test nelle classi grandi e nelle classi piccole é la medesima. Non é facile rispondere a questa domanda. Da un lato, gli insegnanti delle classi piccole potrebbero dedicare piú tempo a portare gli studenti al medesimo livello migliorando la performance degli studenti meno preparati. D’altro lato, la maggior parte della variabilitá nel risultato del test potrebbe essere al di lá del controllo degli insegnanti.

2. SE(β1)´e stato calcolato usando l’equazione 5.3. Si supponga che gli errori di regressione siamo omoschedastici: tale ipotesi influirebbe sulla validit´a dell’intervallo di confidenza costruito al punto (3.) dell’esercizio 5.5?

La formula 5.3 ´e valida indipendentemente dalla

eteroschesdasticitá o dalla omoschedasticitá; pertanto, l’inferenza condotta usando tale formula é valida in entrambi i casi.