Econometria applicata all’intermediazione ﬁnanziaria Richiami di probabilit`a

(1)

Richiami di probabilit` a

Tiziano Razzolini Universit`a di Siena.

mail: razzolini4@unisi.it 12 novembre 2018

(2)

Variabili casuali

I risultati sono gli esiti potenziali, mutualmente esclusivi, di un processo casuale

Es: numero da lancio di un dado

Es: numero di volte il computer si blocca durante la scrittura di un documento

La probabilit`a di un risultato `e la proporzione di volte in cui il risultato si verifica nel lungo periodo.

L’insieme di tutti i risultati possibili `e lo spazio campionario L’evento `e un sottospazio dello spazio campionario

Es: numero minore di 3 da lancio di un dado{1,2}

Es: il computer si blocca meno di due volte {0,1}

(3)

Variabili casuali

Una variabile casuale `e un indicatore sintetico di un risultato casuale.

Es: numero di volte il computer si blocca durante la scrittura di un documento

Es: numero di volte la somma del numero di due dadi `e pari a 5.

Le variabili casuali possono essere:

I variabili casuali discrete se assumono valori discreti.

Es: 1, 2, 3, 4, 5, 6

I variabili causali continue se assumono un numero infinito di valori

(4)

Variabili casuali discrete

La distribuzione di probabilit`a di una variabile discreta assegna ad ogni risultato della variabile casuale la probabilit`a di ottenere tale valore.

Esempio 1: n^o blocchi al computer

Risultato numero di blocchi

0 1 2 3 4

Distribuzione di probabilit`a 0,80 0,10 0,06 0,03 0,01 Distribuzione di probabilit`a cumulata 0,80 0,90 0,96 0,99 1,00

Esempio 2: n^o numero estratto con lancio di un dado

Numero da lancio dado

1 2 3 4 5 6

Distribuzione di probabilit`a ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆

Distribuzione di probabilit`a cumulata ¹₆ ²₆ ³₆ ⁴₆ ⁵₆ 1

(5)

Variabili discrete

La probabilit`a di un evento si ottiene dalla funzione di probabilit`a dei risultati

Esempio: La probabilit`a di ottenere 3 o 4 blocchi `e pari a:

Prob(M =3 o M =4) =0, 03+0, 01=0, 04

La funzione di ripartizione: La distribuzione di probabilit`a cumulata

`e pari alla probabilit`a che una variabile casuale assuma valori inferiori ad un determinato valore.

Esempio: La probabilit`a che da un lancio di un dado si abbia un numero inferiore a 6 `e pari a ⁵₆

(6)

Distribuzione di Bernoulli

Considerate una variabile casuale binaria. As esempio: genere della prima persona che uno incontra.

G =

(1 con probabilit`a p 0 con probabilit`a 1−p

(7)

Variabili continue

Nel caso di una variabile continua la probabilità è rappresentata dalla funzione di densità di probabilità, fY(y).

(8)

Variabili continue

La funzione di ripartizione di una variabile continua `e la probabilit`a che la variabile casuale sia inferiore ad un certo valore.

Pr(Y ≤a) =Ra

−_∞f_Y(y)dy

(9)

Valore atteso e media

Il valore atteso o (media) o aspettativa `e il valore medio di una variabile casuale ottenuto su un elevato numero di realizzazioni; il valore medio `e indicato con E(Y) _{e/o µ}_Y.

Sia Y una variabile casuale che assume k valori y₁, y2, . . . , yk con probabilit`a rispettivamente pari a p₁, p2, . . . , pk il valore atteso `e:

E(Y) =y1p1+y2p2+ · · · +ykpk =_∑^k_i₌₁piyi

Esempio: Immaginiamo un prestito di 100 $ ad un tasso di interesse r pari al 10%.La probabilità di restituzione è p=0, 99, la probabilità di non restituzione è 1−p =0, 01. Il valore atteso è E(Y) =_110$×_{0, 99}+_0$×_{0, 01}=_{108, 90$}

Esempio: Il valore atteso di un lancio di un dado `e:

E(Y) = ¹₆1+ ¹₆2+ ¹₆3+¹₆4+¹₆5+¹₆6=3, 5

(10)

Valore atteso e media di un v.c. Bernoulli

I valore atteso di una variabile casuale distribuita come una Bernoulli `e: E(Y) =1×p+0× (1−p) =p

Valore atteso e media di un v.c. continua I valore atteso di una variabile casuale continua:

E(Y) =µY =R

yf_Y(y)dy

(11)

Varianza e deviazione standard

La varianza di una v.c. Y , indicata con σ_Y², `e il valore atteso del quadrato della deviazione di Y dalla sua media µY La deviazione standard `e il quadrato σY della varianza.

La varianza di una v.c. discreta `e:

σ_Y² =VAR(Y) =E[(Y −µY)²] =_∑^k_i₌₁(y_i−µy)²p_i La varianza di una v.c. continua `e:

σ_Y² =VAR(Y) =E[(Y −µy)²] =R (y−µy)²f_Y(y)dy

(12)

Varianza e deviazione standard

Esempio: La varianza del numero M di blocchi `e:

σ_Y² =VAR(Y) =

= (0−0, 35)²0, 80+ (1−0, 35)²0, 10+ (2−0, 35)²0, 06+ (3− 0, 35)²0, 03+ (4−0, 35)²0, 01=0, 6475

σ_Y =^p(0.6475) '_{0, 80}

Esempio: La varianza di una v.c. Bernoulli `e pari a : VAR(G) =σ_Y² = (0−p)²(1−p) + (1−p)²p=p(1−p) σY =^p(0−p)²(1−p) + (1−p)²p =pp(1−p)

(13)

Media e varianza di una funzione lineare di variabili casuali Se una v.c. Y `e una funzione lineare di una v.c. X,Y =a+bX , si ha:

µY =a+_bµ_X e σ_Y² =b²σ_X²

(14)

Altri momenti della distribuzioni

Oltre al valore atteso e alla varianza esistono altri indicatori sulla forma della distribuzione:

I L’asimmetria della distribuzione di una v.c. Y `e:

Asimmetria= ^E^[(^Y⁻^µ^Y⁾³^]

σ_Y³ =f(E(Y), E(Y²), E(Y³)) I La Curtosi indica quanta massa c’`e nelle code della

distribuzione

Curtosi = ^E^[(^Y⁻^µ^Y⁾⁴^]

σ_Y⁴ ==f(E(Y), E(Y²), E(Y³), E(Y⁴))

(15)

Variabili casuali doppie Distribuzione congiunta

Con pioggia Senza pioggia Totale

(X=0) (X=1)

Percorrenza lunga (Y=0) 0, 15 0, 07 0, 22

Percorrenza breve (Y=1) 0, 15 0, 63 0, 78

Totale 0, 30 0, 70 1

La distribuzione di probabilit`a congiunta di due variabili casuali X e Y assegna una probabilit`a a ciascuna realizzazione simultanea di x e y .

Esempio:

Pr(X =0, Y =0) =0, 15,Pr(X =1, Y =0) =0, 07, Pr(X =0, Y =1) =0, 15, Pr(X =1, Y =1) =0, 63

(16)

Variabili casuali doppie

Distribuzione marginale

La distribuzione marginale di Y non `e altro che la distribuzione di probabilit`a di Y ; nel contesto di distribuzione congiunte di variabili discrete, con la variabile X che assume l valori diversi x₁, x2, . . . , xl

`e:

Pr(Y =y) =

∑

l i=1

Pr(X =xi, Y =y) Lo stesso vale per la distribuzione marginale di X:

Pr(X =x) =

∑

s i=1

Pr(Y =yi, X =x)

(17)

Variabili casuali doppie

Distribuzione condizionata

La distribuzione condizionata della v.c. Y dato un valore assunto dalla v.c. X `e:

Pr(Y =y|X =x) = ^Pr(X =x, Y =y) Pr(X =x) Esempio:

La probabilit`a di un percorso breve data la presenza di pioggia `e Pr(Y =0|X =0) = ^Pr⁽_Pr^Y⁼₍_X^0,X₌₀⁼₎⁰⁾ =0, 15/0, 30 =0, 50

(18)

Esempio:

Distribuzione congiunta

M=0 M=1 M=2 M=3 M=4 Totale

Computer vecchio A=0 0,35 0,065 0,05 0,025 0,01 0,50 Computer nuovo A=1 0,45 0,035 0,01 0,005 0,00 0,50

Totale 0,80 0,10 0,06 0,03 0,01 1,00

Distribuzione condizionata di M data A

M=0 M=1 M=2 M=3 M=4 Totale

Pr(M|A=0) 0,70 0,13 0,10 0,05 0,02 1,00 Pr(Ml|A=1) 0,90 0,07 0,02 0,01 0,00 1,00 Pr(M =0|A=0) =Pr(M=0, A=0)/Pr(A=0) =0, 35/0, 50=0, 7 Pr(M =0|A=1) =Pr(M=0, A=1)/Pr(A=1) =0, 45/0, 50=0, 9

(19)

Aspettativa condizionata di Y data X

L’aspettativa o media condizionata di Y data X `e la media della distribuzione condizionata di Y data a X . Tale aspettativa `e:

E(Y|X =x) =

∑

k i=1

y_iPr(Y =y_i|X =x)

Esempio: E(M|A=1) =

0, 90×0+0, 07×1+0, 02×2+0, 01×3+0, 00×4=0, 14

(20)

La legge delle aspettative iterate

La media di Y `e la media ponderata delle aspettative condizionate di Y data X i cui pesi sono dati dalla distribuzione delle probabilit`a di X .

E(Y) =

∑

l i=1

E(Y|X =x_i)Pr(X =x_i) E(Y) =E[E(Y|X)]

Esempio:

E(M) =E(M|A=0) ×Pr(A=0) +E(M|A=1) ×Pr(A=1)

=0, 56×0, 50+0, 14×0, 50=0, 35

Se E(Y|X) =0⇒E(Y) =E[E(Y|X)] =0

(21)

La varianza condizionata

La varianza condizionata di Y data X `e la varianza della distribuzione condizionata di Y data X :

var(Y|X =x) =

∑

k i=1

[y_i −E(Y|X =x)]²Pr(Y =y_i|X =x)

Esempio:

Var(M|A=1) = (0−0, 14)²0, 90+ (1−0, 14)²0, 07+ (2− 0, 14)²0, 02+ (3−0, 14)²0, 01+ (4−0, 14)²0, 00'0, 22 Var(M|A=0) = (0−0, 56)²_{0, 70}+ (1−0, 56)²_{0, 13}+ (2− 0, 56)²0, 10+ (3−0, 56)²0, 05+ (4−0, 56)²0, 02'0, 99

(22)

Indipendenza

Le variabili casuali sono X ed Y sono indipendenti o distribuite indipendentemente se la loro distribuzione congiunta `e il prodotto delle loro distribuzioni marginali.

Pr(X =x, Y =y) =Pr(X =x)Pr(Y =y)

(23)

Covarianza e correlazione

La covarianza tra due variabili casuali `e il valore atteso cov(X, Y) =E[(X −µX)(Y −µY)] =

=∑^ki=1∑j^l=1(x_j −µX)(y_i−µY)Pr(X =x_j, Y =y_i)

La correlazione tra X e Y `e la covarianza tra X e Y divise le deviazioni standard delle due variabili:

Corr(X, Y) = √^Cov⁽^X^,Y⁾

var(X)var(Y) = _σ^σ^XY

XσY

La correlazione ha valori limitati: −1≤Corr(X, Y) ≤1 Due variabili X ed Y sono incorrelate se corr(X, Y) =0

(24)

Correlazione e media condizionata

Se E(Y|X) =µY ⇒cov(Y, X) =0 e corr(Y, X) =0 cov(Y, X) =E[(Y −µY)(X −µx)]=

=E[YX−_{Y µ}_X −_{X µ}_Y +µ_Xµ_Y] =

=E[YX] −µXE[Y] −µYE[X] +µXµY =

=E[YX] −µXµY −µYµX +µXµY =E[YX] −µYµX

E[E(Y|X)X] =µYE[X] =µYµX poich`e E[Y|X] =µY e quindi cov(X, Y) =µ_Yµ_X −µ_Yµ_X =0

Quindi E[Y|X] =µY ⇒cov(X, Y) =0 ma non `e vero il contrario cio`e che cov(X, Y) =0⇒E[Y|X] =µY

(25)

Media e Varianza di somme di variabili casuali Le seguenti eguaglianze valgono:

I E[a+bX +cY] =a+bµX +c µY

I Var[a+bY] =b²σ_Y²

I Var(aX +bY) =a²σ_X² +_2abσ_XY +b²σ_Y²

I E[Y²] =σ_Y² +µ²_Y ⇒var(Y) =σ_Y² =E[(Y −E(Y))²] =

=E[Y²−2YE(Y) +E(Y)²] =

=E[Y²] −2µYE(Y) + (E(Y))² =

=E[Y²] −µ²_Y

I cov(a+bX +cV, Y) =_bσ_XY +_{c σ}_VY I E(XY) =σXY +µXµY

I |corr(X,Y)| ≤1 e|σXY| ≤^qσ_X²σ_Y²

(26)

Applicazioni ai portafogli di titoli

Immaginiamo di avere un portafoglio composto da due titoli con rendimento medio r₁ e r₂. w₁ e w₂ sono la proporzione dei due titoli nel portafoglio. σ₁² e σ₂² le varianze dei rendimenti. σ12`e la covarianza tra i due rendimenti (pari a ρ12σ₁σ₂).

Il rendimento atteso del portafoglio `e:

rp =w1r1+w2r2

La varianza del rendimento del portafoglio `e:

σ_p² =w₁²σ₁²+w₂²σ₂²+2w₁w₂ρ12σ1σ2

Queste formule sono alla base del principio di diversificazione del portafoglio. Tra due portafogli con lo stesso rendimento r_p un investitore seglier`a quello con minore varianza. La varianza del portafoglio puo’ essere ridotta scegliendo titoli con covarianza negativa (σ12=ρ12σ1σ2 <0).

(27)

Un portafoglio di n titoli Ri puo’ essere espresso con matrici.

Il vettore R contiene il rendimento di tutti i titoli. Il vettore M contiene i rendimenti attesi (l’i-esimo elelemento `e E(Ri) =µi). Il vettore Ω contiene tutti i pesi dei titoli nel portafoglio. I pesi devono sommare a uno, i⁰Ω=1. La matrice Σ contiene le varianze e covarianze dei titoli.

R=





 r1

r₂ ... rn







M=





 µ1

µ₂ ... µn







Ω=





 w1

w₂ ... wn





 Σ=Var(R) =E((R−M)(R−M)^T) =







σ₁² σ12 . . . σ1n

σ12 σ₂² . . . σ2n

... ... . .. . . . σn1 σ2n . . . σ_n²







(28)

Il rendimento atteso del portafoglio e la sua varianza sono:

E(Ω^TR) =Ω^TM= [w1, w2, . . . , wn]





 µ1

µ2

... µn







=_∑ⁿ_i₌₁w_iµ_i

Var(Ω^TR) =E((Ω^T(R−M))(Ω^T(R−M))^T) =

=E(Ω^T(R−M)(R−M)^TΩ) =Ω^TE((R−M)(R−M)^T)Ω=

=Ω^TE((R−M)(R−M)^T)Ω=Ω^TVar(R)Ω=Ω^TΣΩ=

=σ_p² =_∑ⁿ_i₌₁_∑ⁿ_j₌₁w_iw_jσ_ij = _∑ⁿ_i₌₁w_i²σ_i²+2∑ⁿi=1∑ⁿj=i+1w_iw_jσ_ij Σ `e definita positiva,i.e. Ω^TΣΩ=0 se e solo se Ω=0

(29)

Distribuzione normale

Distribuzione normale con media µ e varianza σ

µ‐1,96σ µ µ‐1,96σ

95%

(30)

Distribuzione normale

La funzione di densit`a di probabilit`a di una normale con media µY

e varianza σ_Y² `e:

φY(y) =f_Y(y) = ¹ σy

√ 2πexp

"

y−µY

σy

2#

La funzione di ripartizione `e: ΦY(y) =F_Y(y) =R

f_Y(y)dy

(31)

Distribuzione normale: Standardizzazione

Per calcolare la funzione di ripartizione di una v.c. Y distribuita come una normale con media µY e varianza σ_Y², i.e.

Y ∼N(µY, σ_Y²) occorre standardizzare la variabile Y sottraendone la media e divididendo per la deviazione standard: Z = ^Y⁻^µ^Y

σY Si ha infatti che: Pr(Y <c1) =Pr(Z <d1)dove d1 = (c1−µ_Y)/σ_Y Esempio:

Ipotizziamo di voler calcolare la probabilit`a che la variabile casuale Y ≤2 con la variabile Y ∼N(1, 4). Z = ^Y√⁻₄¹ . Quindi:

Pr(Y ≤2) = ^Y₂⁻¹ ≤ ¹₂ = _Φ(0.5) =0, 691

(32)

Distribuzione normale: Standardizzazione Siano c1 e c2 tali che c1<c2 e d1 = ^c¹⁻^µ^Y

σY e d2= ^c²⁻^µ^Y

σY . Valgono quindi:

I Pr(Y ≤c2) =Pr(Z ≤d2) =_Φ(d2) I Pr(Y ≥c₁) =Pr(Z ≥d₁) =1−_Φ(d₁)

I Pr(c₁ ≤Y ≤c₂) =Pr(d₁ ≤Z ≤d₂) =_Φ(d₂) −_Φ(d₁)

(33)

Distribuzione multivariata

Piu’ variabili possono avere una distribuzione congiunta di tipo normale.

Esempio: Distribuzione bivariata

La funzione di densit`a di una normale bivariata `e:

gX,Y(x, y) = ¹

2πσXσY

√

1−ρ²_XY

×exp

n 1

−2(1−ρ²_XY)×

×

_x₋

µx

σX

2

−2ρXY

_x₋

µX

σX

_y₋

µY

σY

+^y⁻^µ^Y

σY

2

ρXY `e l’indice di correlazione tra X e Y . Se ρXY =0 ⇒ g_X_,Y(x, y) =f_X(x)f_Y(y).

Cio’ vuol dire che se X e Y sono congiuntamente distribuite come una normale bivariata , se sono incorrelate allora sono

indipendenti.In genere questa propriet`a non vale per tutti i tipi di distribuzione congiunta.

La distribuzione marginale di entrambe `e una normale.

(34)

Distribuzione normale multivariata

Se X ed Y sono distribuite come una normale bivariata con medie µ_X e µY e covarianza σXY la loro somma con a e b costanti `e distribuita come una normale.

aX+bY ∼N(_aµ_X +_bµ_Y, a²σ_X² +b²σ_Y² +_2abσ_XY) Distribuzione normale condizionata

Se X ed Y sono distribuite come una normale bivariata con medie µX e µY e covarianza σXY; la distribuzione condizionata di Y rispetto a X `e:

Y|X ∼N(µ_Y_|_X, σ_Y_|_X)con media µY =µy+ (^σ^XY

σ_X² (X −µX)) e varianza σ_Y²_|_X = 1−ρ²_XY

σ_Y²

La media della distribuzione condizionata a X =x dipende da x ma non la varianza.

(35)

(36)

(37)

Distribuzione chi-quadrato

Siano Z₁, Z2, . . . , Zn n variabili casuali i.i.d. come normali standard. La variabile casuale:

W = _∑ⁿ_i Z_i²

si distribuisce come una Chi-quadrato con n gradi di libert`a, W ∼ χ²_n. Poich`e conosciamo i momenti della distribuzione normale si ha:

E(Z_i²) =1

E(Z_i⁴) =3, E(W) =_∑ⁿ_i₌₁E(Z_i²) =n

Var(W) =_∑ⁿ_i₌₁Var(Z_i²) =n[(E(Z_i⁴) − [E(Z_i²)]²] =3n−n =2n

(38)

(39)

Distribuzione t di Student

La distribuzione t di Student si ottiene dal rapporto tra una v.c.

distribuita come una normale standard e una variabile χ²_m(r) con r gradi di libert`a, distribuite indipendentemente.

I Z ∼N(0, 1) I W ∼χ²_r

I Z e W sono distribuite indipendentemente.

t = √^Z W/r

t si distribuisce come una t di Student con r gradi di libert`a, t_r. t_∞ `e la distribuzione normale standard.

(40)

(41)

Distribuzione F

La distribuzione F si ottiene dal rapporto di due v.c. W1 e W2, rispettivamente con n₁ e n₂ gradi di libert`a, distribuite

indipendentemente.

F = ^W¹^/n¹ W₂/n2

F ∼F(n1, n2)

Per n₂ →∞ la distribuzione Fn1,n2 diventa uguale alla distribuzione

χ²_n1 n1

(42)

(43)

Campionamento casuale

Attraverso il campionamento casuale vengono estratte n osservazioni dall’intera popolazione.

Esempio:Y₁, Y2, . . . , Yn

Y₁, Y2, . . . , Yn sono estratti i.i.d.; la distribuzione marginale `e la stessa per ogni Yi, i =1, . . . , n e Yi `e distribuita

indipendentemente da Y_j con j 6=i

(44)

Distribuzione campionaria della media

La media campionaria ¯Y `e una v.c. costruita con le n osservazioni estratte casualmente:

Y¯ = ¹

n (Y₁+Y₂+ · · · +Y_n) = ¹ n

∑

n i=1

Y_i

La media campionaria ¯Y calcolata su un campione casuale sarà in genere diversa da un altra media campionaria calcolata su un altro campione casuale. La v.c. ¯Y avrà quindi una sua distribuzione campionaria che associerà una determinata probabilità ad ogni valore ottenuto da uno dei diversi campioni possibili Y1, Y2, . . . , Yn

.

(45)

Media di ¯Y

Se Y₁, Y2, . . . , Yn sono i.i.d. con media µY e varianza σ_Y² la media di ¯Y `e:

E(Y^¯) = ¹ n

∑

n i=1

Y_i = ¹

nnµY =µY

Esempio: E[Y1+Y2] = ¹₂_2µ_Y =µY

(46)

Varianza di ¯Y

La varianza di ¯Y si ottiene utilizzando

Var(aX+bY) =a²σ_X² +_2abσ_XY +b²σ_Y² ponendo a =1 e b=1.

La generalizzazione per n variabili i.i.d. `e:

Var(Y^¯) =σ_Y²_¯ =var 1 n

∑

n i=1

Y_i

!

=

= ¹ n²

∑

n i=1

Var(Y_i) + ¹ n²

∑

n i=1

∑

n j=1,j6=i

Cov(Y_i, Yj) = ^σ

2 Y

n La deviazione standard `e: .

std.dev.(Y^¯) =σY¯ = √^σ^Y n

(47)

Distribuzione campionaria di ¯Y

Se le v.c. casuali Y1, Y2, . . . , Yn sono i.i.d. e si distribuiscono normalmente come N(µ_Y, σ_Y²)allora ¯Y si distribuisce normalmente con media `e µY e varianza ^σ_n^Y².

Y¯ ∼N(µY,σ_Y² n )

(48)

Distribuzione esatta

La distribuzione campionaria che assegna in maniera esatta per ogni n una probabilità ad ogni valore di ¯Y è detta distribuzione esatta o distribuzione in campioni finiti di ¯Y . Tale distinzione è importante quando la distribuzione della v.c. è complicata o non nota.

(49)

Distribuzione asintotica

All’aumentare della numerosit`a campionaria `e possibile fornire un’approssimazione della distribuzione della v.c.. Tale

approssimazione per valori di n→∞ `e detta distribuzione asintotica Gi`a per valori di n=30 tali approsimazioni sono accurate.

Al crescere della dimensione campionaria valgono:

I legge dei grandi numeri I teorema del limite centrale

(50)

Legge dei grandi numeri

La legge dei grandi numeri afferma che al crescere di n, ¯Y si avvicina a µY con probabilit`a sempre piu’ vicina a 1.

Convergenza in probabilit`a e consistenza

La media campionaria ¯Y converge in probabilit`a a µY se per ogni costante c >0, la probabilità che ¯Y sia inclusa in un intorno arbitrariamente piccolo µY −c, µY +c diventa sempre piu’ vicina all’unità. Alternativamente si puo’ dire che per n→_{∞ ¯Y è} consistente per µY: ¯Y −→^p µ

La legge dei grandi numeri sostiene che una media campionaria Y costruita su n v.c. Y¯ _i i =1, .., n identicamente e

indipendentemente distribuite con media E(Y_i) e varianza finita, i.e. var(Yi) <∞ (presenza di outlier improbabile) converge in probabilit`a a µY, ¯Y −→^p µ_Y.

(51)

Distribuzione campionaria

Esempio: Consideriamo una media campionaria ¯Y costruita su un campione di 2 osservazioni. ¯Y `e in questo caso la frazione di individui estratti con valori pari a 1 (esempio: percorrenza breve). I valori che ¯Y puo’ assumere sono 3:

I 0 se entrambe le realizzazioni sono pari a 0 con probabilit`a (1−p)² (i.i.d. !!!)

I 1/2 se una realizzazione `e pari a 1 e l’altra a 0 e quindi Y¯ = (1+0)/2 con probabilit`a 2(p)(1−p)

I 1 se entrambe le realizzazioni sono pari a 1 con probabilit`a p² Se p=0, 78 si ha

Pr(Y^¯ =0) =0, 22²=0, 0484, Pr(Y^¯ =1/2) =

2(0, 22)(0, 78) =0, 3432, Pr(Y^¯ =1) = (0, 78)² =0, 6084

(52)

(53)

(54)

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Teorema del limite centrale

Se Y1, Y2, . . . , Yn si distribuiscono i.i.d. con media µY e varianza σ_Y² con varianza finita, i.e. σ_Y² <_{∞ se n}→∞ la distribuzione di

(Y^¯−µY)

σY¯ ( con σ_Y²_¯ =σ_Y²/n) `e approssimata da una distribuzione normale. Si puo’ anche dire che ¯Y si distribuisce asintoticamente come una normale.

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