ESERCIZIO 3

(1)

ESERCIZIO 3

Il presente esercizio tratta la soluzione di un telaio piano incernierato alla base, con il metodo degli spostamenti. Sulla base di ciò saranno poi effettuati i dimensionamenti e le verifiche degli elementi strutturali in termini di resistenza e stabilità dei profili presso inflessi, ed il controllo degli spostamenti orizzontali sulla base dei limiti consigliati dalle NTC2008.

Figura 1: Telaio piano incernierato alla base

Scopo

L’esempio comprende:

• Determinazione della matrice di rigidezza del telaio: -

• Controllo degli spostamenti orizzontali: §2.5.3 NTC2008

• Determinazione delle azioni nodali: -

• Determinazione delle caratteristiche di sollecitazione: §3.1 NTC2008

• Effetti delle Deformazioni: §4.2.3.4 NTC2008

• Validazione del Calcolo con “Telai” di Gelfi: -

(2)

Determinazione della matrice di rigidezza Sistema “a nodi fissi”

Si definisce “sistema a nodi fissi” quello in cui tutti i nodi costituenti il telaio sono assunti come

“bloccati”; ciò implica che gli spostamenti nodali risultano “nulli” e dovute ai soli carichi esterni applicati lung

riconducibili a quelle staticamente determinate per travi vincolate “perfettamente” alle loro estremità.

Figura 2: Soluzione del traverso nel sistema a nodi fissi

Sistemi “a nodi spostabili”

L’applicazione di spostamenti unitari (rotazioni o traslazioni) a ciascun singolo nodo, mantenendo gli altri nodi fissi, genera forze e momenti alle estremità delle aste convergenti in esso,

delle rigidezze dei singoli elementi.

Figura 3: For

Determinazione della matrice di rigidezza

Si definisce “sistema a nodi fissi” quello in cui tutti i nodi costituenti il telaio sono assunti come gli spostamenti nodali risultano “nulli” e le caratteristiche di sollecitazione applicati lungo l’asse delle aste (e non applicati ai nodi) sono a quelle staticamente determinate per travi vincolate “perfettamente” alle loro

Soluzione del traverso nel sistema a nodi fissi (trave incastrata perfettamente)

L’applicazione di spostamenti unitari (rotazioni o traslazioni) a ciascun singolo nodo, mantenendo gli altri nodi fissi, genera forze e momenti alle estremità delle aste convergenti in esso,

delle rigidezze dei singoli elementi.

rze e momenti generati a seguito di uno spostamento unitario applicato al nodo

QT-2

Si definisce “sistema a nodi fissi” quello in cui tutti i nodi costituenti il telaio sono assunti come le caratteristiche di sollecitazione non applicati ai nodi) sono a quelle staticamente determinate per travi vincolate “perfettamente” alle loro

(trave incastrata perfettamente)

L’applicazione di spostamenti unitari (rotazioni o traslazioni) a ciascun singolo nodo, mantenendo gli altri nodi fissi, genera forze e momenti alle estremità delle aste convergenti in esso, in ragione

ze e momenti generati a seguito di uno spostamento unitario applicato al nodo

(3)

1° Sistema “a nodi spostabili” (rotazione del nodo 2)

Figura 4: Applicazione di una rotazione unitaria al nodo 2

Figura 5: Forze e momenti nodali generati dall'applicazione della rotazione unitaria al nodo 2

2° Sistema “a nodi spostabili” (rotazione del nodo 3)

Figura 6: Applicazione di una rotazione unitaria al nodo 3

(4)

3° Sistema “a nodi spostabili” (traslazione del nodo 2)

Figura 8: Applicazione di una traslazione unitaria al nodo 2

Figura 9: Forze e momenti nodali generati dall'applicazione della traslazione unitaria al nodo 2

(5)

4° Sistema “a nodi spostabili” (traslazione del nodo 3)

Figura 10: Applicazione di una traslazione unitaria al nodo 3

Figura 11: Forze e momenti nodali generati dall'applicazione della traslazione unitaria al nodo 3

Equilibrio dei nodi

Figura 12: Equilibrio dei nodi

+H +V

+M

(6)

Assunto, per convenzione, un sistema di forze e momenti “destrorso” si ottengono le seguenti quattro equazioni lineari indipendenti nelle quattro incognite ϕ₂;ϕ₃; ∆₂; ∆₃

k

0 k k

i 1

0

=

= µ +

∑

µ ⋅δ

dove:

µ0 generica sollecitazione nodale nel sistema a nodi fissi µk generica sollecitazione nodale nel sistema a nodi spostabili δk generico spostamento nodale nel sistema a nodi spostabili

2

C C

T T

2 3 2 2

2

C C

T T

2 3 2 3

C C T T

2 2 3

2 3

C T C T

3 2 3

2 3

3 I 3 E I

4 I 2 E I

0 q L E

12 L H L H

3 I 3 E I

2 E I 4 I

0 q L E

12 L L H H

3 E I 3 I A E A

0 F E

H H L L

3 E I E A 3 I A

0 E

H L H L

⋅ ⋅ ⋅

⋅  

= − + ⋅ + ⋅ϕ − ⋅ϕ − ⋅∆

 

⋅ ⋅ ⋅

⋅  

= + ⋅ϕ − ⋅ + ⋅ϕ − ⋅∆

 

⋅ ⋅  ⋅  ⋅

= + ⋅ϕ − ⋅ + ⋅∆ + ⋅∆

 

⋅ ⋅ ⋅  ⋅ 

= − ⋅ϕ + ⋅∆ − ⋅ + ⋅∆

 











Determinazione della matrice di rigidezza

Il sistema di equazioni lineari tra loro indipendenti si può scrivere nella seguente forma matriciale:

[ ] [ ] [ ]

^F ⁼ ^Κ ^⋅ ^δ

dove:

[ ]

^F vettore delle forze e dei momenti applicati al nodo e dovuti alle azioni esterne

[ ]

^K matrice delle rigidezze

[ ]

^δ vettore degli spostamenti incogniti

C C

T T

2 2

C C

T T

2 2

C C T T

2 3

C T C T

2 3

3 I 3 E I

4 I 2 E I

E 0

L H L H

q L

3 I 3 E I

2 E I 4 I

12 E 0

L L H H

q L

12 3 E I 3 I A E A

0 E

F H H L L

0 3 E I E A 3 I A

0 E

H L H L

  ⋅ ⋅  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

⋅ +  − −

 

 

 ⋅   

   ⋅ ⋅  ⋅ ⋅  ⋅ ⋅ 

   − ⋅ +  − 

⋅

− =   

   ⋅ ⋅  ⋅  ⋅ 

 −   − ⋅ +  

     

   

   − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + 

2 3 2 3

ϕ

 

ϕ 

 

⋅∆ 

 

∆ 



La soluzione del sistema, posto che la matrice

[ ]

^K sia invertibile, risulta per tanto:

[ ] [ ] [ ]

^δ ⁼ ^Κ ⁻¹^⋅ ^F

(7)

Controllo degli spostamenti orizzontali

Si consideri, per ipotesi, di dover realizzare un capannone costituito da portali interessati 5 m l’uno dall’altro, aventi colonne di altezza pari a 10 m e traversi di luce pari a 15 m, soggetti ai sovraccarichi permanenti portati, al sovraccarico neve ed al carico orizzontale dovuto al vento, e si dimensionino gli elementi principali al fine di soddisfare il limite di spostamento orizzontale imposto dalle NTC 2008.

Carichi di progetto

• Pesi propri e sovraccarichi permanenti (Dead Load):

2

1

4.0 kN m

G 4.0 5.0 20 kN m

 =

 = ⋅ =

 DL

• Sovraccarico dovuto alla neve (Snow Load):

2

1

1.0 kN m

Q 1.0 5.0 5.0 kN m

 =

 = ⋅ =

 SL

• Sovraccarico dovuto al vento (Wind Load):

( )

2

1.50 kN m

Q 1.50 5.0 10 75 kN

 =



= ⋅ ⋅ =



WL

Combinazione di carico a Stato Limite di Servizio

Gli spostamenti orizzontali devono essere valutati utilizzando la Combinazione di Carico Rara

§2.5.3 e Tabella 2.5.I:

• Carichi verticali: q G= +ψ ⋅ = +₁ ₀₁ Q₁ 20 0.50 5.0 22.50 kN m⋅ =

• Carichi orizzontali: F Q= ₂=75 kN Limiti di spostamento orizzontale

Lo spostamento orizzontale in sommità deve essere limitato secondo quanto specificato nella Tabella 4.2.XI:

max

H 10000

33 mm 300 300

δ = = =

Determinazione degli spostamenti e delle rotazioni dei nodi 2 e 3

Il calcolo degli spostamenti si attua considerando colonne HE 700 B e traversi HE 1000 B:

• HE 700 B:

2 2

C

4 4

C

A 306.4 10 mm I 256900 10 mm

 = ⋅



= ⋅



• HE 1000 B:

2 2

T

4 4

T

A 400 10 mm I 644700 10 mm

 = ⋅



= ⋅



Di seguito si riportano i valori dei coefficienti della matrice di rigidezza:

C 11 T 1

4 I 3 I

K E 5.23 10 Nmm

L H

⋅

 

= ⋅ + = ⋅

 

(8)

T 11 2

2 E I

K 1.81 10 Nmm

L

= ⋅ ⋅ = ⋅

C 7

3 2

3 E I

K 1.62 10 N

H

= ⋅ ⋅ = ⋅

C T 5

4 3

3 I A

K E 5.62 10 N mm

H L

⋅

 

= ⋅ + = ⋅

 

T 5 5

K E A 5.60 10 N mm L

= ⋅ = ⋅

8 11 11 7

2

8 11 11 7

3

7 5 5

2

7 5 5

3

4.22 10 5.23 10 1.81 10 1.62 10 0

4.22 10 1.81 10 5.23 10 0 1.62 10

75000 1.62 10 0 5.62 10 5.60 10

0 0 1.62 10 5.60 10 5.62 10

ϕ

+ ⋅  + ⋅ − ⋅ − ⋅   

− ⋅  + ⋅ − ⋅ − ⋅  ϕ 

 =  ⋅ 

 −  + ⋅ − ⋅ + ⋅  ∆ 

     

− ⋅ + ⋅ − ⋅ ∆ 

   

Il determinante Jacobiano della matrice di rigidezza è diverso da zero, ciò significa che la struttura è staticamente determinata e la matrice di rigidezza “invertibile”.

12 13 9 9

2

13 12 9 9

3

9 9 4 4

2

9 9 4 4

3

2.38 10 5.38 10 9.25 10 9.21 10 4 5.38 10 2.38 10 9.21 10 9.25 10

9.25 10 9.21 10 4.02 10 4.01 10 9.21 10 9.25 10 4.01 10 4.02 10

− − − −

ϕ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅  +

 

 

ϕ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ 

 = ⋅

∆  + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ 

 

∆ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

   

8

.22 10 4.22 10 75000

0

 ⋅ 

 

− ⋅

 

 − 

 

 

Risolvendo il prodotto tra la matrice inversa di rigidezza ed il vettore delle forze esterne si determinano gli spostamenti nodali:

• Nodo “2”: ²

2

0.001927 rad 30.1459 mm ϕ =



∆ =



• Nodo “3”: ³

3

0.000542 rad 30.0434 mm ϕ =



∆ =

Le traslazioni dei nodi “2” e “3” sono entrambe inferiori del limite imposto da normativa.

(9)

Determinazione delle azioni nodali

Se le azioni sui nodi hanno segno positivo significa che possiedono lo stesso verso della convenzione usata alla pagina 5, altrimenti se possiedono segno negativo significa che hanno verso opposto a quello della convenzione. L’azione sull’asta concorrente nel nodo sarà uguale in intensità ma agirà in verso opposto.

Trave 2 – 3:

Forze Assiali agenti sui nodi:

( )

²

( )

T

2 3 3 2

E A 210000 400 10

N 30.0434 30.1459 57.4 kN

L 15000

−

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ∆ − ∆ = ⋅ − = −

( )

²

( )

T

3 2 2 3

E A 210000 400 10

N 30.1459 30.0434 57.4 kN

L 15000

−

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ∆ − ∆ = ⋅ − =

Forze di Taglio agenti sui nodi:

( )

T

2 3 2 2 3

6 E I V q L

2 L

−

⋅ ⋅

= − ⋅ + ⋅ ϕ −ϕ

( )

4

2 3 2

22.50 15000 6 210000 644700 10

V 0.001927 0.000542 118.75 kN

2 15000

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − + ⋅ − = −

( )

T

3 2 2 2 3

6 E I V q L

2 L

−

⋅ ⋅

= − ⋅ − ⋅ ϕ −ϕ

( )

4

3 2 2

22.50 15000 6 210000 644700 10

V 0.001927 0.000542 218.75 kN

2 15000

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − − ⋅ − = −

Momenti Flettenti agenti sui nodi:

( )

2

T

2 3 2 3

2 E I

M q L 2

12 L

−

⋅ ⋅ ⋅

= − + ⋅ ⋅ϕ − ϕ

( )

2 4

2 3

22.50 15000 2 210000 644700 10

M 2 0.001927 0.000542 176 kNm

12 15000

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − + ⋅ ⋅ − =

( )

2

T

3 2 2 3

2 E I

M q L 2

12 L

−

⋅ ⋅

= + ⋅ + ⋅ ϕ − ⋅ϕ

( )

2 4

3 2

22.50 15000 2 210000 644700 10

M 0.001927 2 0.000542 574 kNm

12 15000

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= + ⋅ − ⋅ =

Colonna 1 – 2:

4

C 2

2 1 2 2 2

3 E I 3 210000 256900 10 30.1459

V 0.001927 17.60 kN

H H 10000 10000

−

⋅ ⋅  ∆  ⋅ ⋅ ⋅  

= ⋅ ϕ − = ⋅ − = −

 

(10)

Si noti che sommando N_{2 3}₋ e V_{2 1}₋ si ottiene la reazione alla forza esterna F 75 kN= agente sul nodo “2”.

4

C 2

2 1 2

3 E I 3 210000 256900 10 30.1459

M 0.001927 176 kNm

H H 10000 10000

−

⋅ ⋅  ∆  ⋅ ⋅ ⋅  

= ⋅ ϕ − = ⋅ − = −

 

Colonna 4 – 3:

4

C 3

3 4 2 3 2

3 E I 3 210000 256900 10 30.0434

V 0.000542 57.4 kN

H H 10000 10000

−

⋅ ⋅  ∆  ⋅ ⋅ ⋅  

= − ⋅ ϕ + = − ⋅ + = −

 

4

C 3

3 4 3

3 E I 3 210000 256900 10 30.0434

M 0.000542 574 kNm

H H 10000 10000

−

⋅ ⋅  ∆  ⋅ ⋅ ⋅  

= − ⋅ ϕ + = − ⋅ + = −

 

Determinazione delle Caratteristiche di Sollecitazione

Tutte le azioni agenti sui nodi devono essere in equilibrio tra loro e con le forze esterne applicate al nodo secondo la convenzione di pagina 5:

Equilibrio del nodo “2”: (Determinazione della forza assiale agente sulla colonna 1 – 2 ) Equilibrio delle forze verticali: N_{2 1}₋ +V_{2 3}₋ = →0 N_{2 1}₋ = −V_{2 3}₋ =118.75 kN Equilibrio delle forze orizzontali: V_{2 1}₋ +N_{2 3}₋ = − → −F 17.6 57.4− = −75 kN Equilibrio dei momenti: M_{2 1}₋ +M_{2 3}₋ = → −0 176 176 0 kNm+ =

Equilibrio del nodo “3”: (Determinazione della forza assiale agente sulla colonna 4 – 3 ) Equilibrio delle forze verticali: N_{3 4}₋ +V_{3 2}₋ = →0 N_{3 4}₋ = −V_{3 2}₋ =218.75 kN Equilibrio delle forze orizzontali: V_{3 4}₋ +N_{3 2}₋ = → −0 57.4 57.4+ =0 kN Equilibrio dei momenti: M_{3 4}₋ +M_{3 2}₋ = → −0 574 574 0 kNm+ =

+H +V

+M

(11)

Figura 13: Azioni Assiali

Figura 14: Azioni di Taglio

Figura 15: Momenti Flettenti

(12)

Diagrammi di sollecitazione:

Figura 16:

Figura 17:

Figura 18:

: Forza Normale

: Forza di Taglio

: Momento Flettente

QT-12

(13)

Effetti delle Deformazioni

Nel paragrafo 4.2.3.4 delle NTC 2008 si stabilisce che l’analisi globale della struttura può essere eseguita con la teoria del primo ordine quando il moltiplicatore dei carichi α_crche induce l’instabilità della struttura è maggiore o uguale a 10 se si esegue un’analisi elastica lineare.

In assenza di opportune analisi di Buckling, il moltiplicatore dei carichi può essere stimato nel seguente modo:

( )

( ) ( )

3 Ed,orizzontali

cr

3 medio Ed,verticali

H R 10000 17.6 57.4 10

74 10 30.1459 30.0434

R 118.75 218.75 10

2

⋅ ⋅ + ⋅

α = = ≅ >

∆ ⋅ + ⋅ + ⋅

∑

dove:

H altezza di interpiano

medio

∆ spostamento medio di interpiano

Ed,orizzontali

∑

R somma delle azioni di taglio alla base delle colonne del piano considerato

Ed,verticali

∑

R somma delle azioni verticali alla base colonne del piano considerato

La formula del moltiplicatore critico può essere utilizzata se e solo se la snellezza adimensionale della trave (considerata incernierata alle estremità) soddisfa la seguente disuguaglianza:

T yk T yk

T

T,y,cr T,Ed

A f A f

N 0.3 N

⋅ ⋅

λ = ≤ ⋅

2 2 2

T

T ,y,cr 2 2

cr

y

4

2

E A 210000 400 10

N 59387 kN

L

15000 i

644700 10 400 10

π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅

= = =

   

   

 

 ⋅ 

 

⋅

 

2 2

T 3 3

400 10 275 400 10 275

0.43 0.3 4.15

59387 10 57.4 10

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

λ = = < ⋅ =

⋅ ⋅

Il moltiplicatore critico ottenuto con l’analisi di buckling risulta inferiore a quello determinato con la formula approssimata:

cr ,FEM 65.2 cr 74

α = < α =

(14)

Validazione del calcolo con “Telai” di Gelfi

Di seguito si riporteranno le videate dell’analisi del telaio eseguite con il software gratuito “Telai”

realizzato dal Prof. P.Gelfi scaricabile dal sito: http://dicata.ing.unibs.it/gelfi/

Figura 19: Schema Statico agli Elementi Finiti

Proprietà degli Elementi

Determinazione degli spostamenti nodali

(15)

Figura 20: Deformata Qualitativa

Caratteristiche di Sollecitazione

Figura 21: Forza Normale

Figura 22: Forza di Taglio

(16)

Come si può notare gli spostamenti hanno valori leggermente differenti da quelli calcolati manualmente in quanto lo schema statico risolto con il metodo delle deformazioni non tiene in conto della rigidezza tagliante degli elementi costituenti il telaio; tuttavia le caratteristiche di sollecitazione risultano perfettamente equivalenti.

Analisi di Buckling

L’analisi di buckling serve a determinare il più piccolo moltiplicatore critico dei carichi α_{cr ,FEM} che provoca instabilità globale o locale nella struttura.

La determinazione di α_{cr ,FEM} consente sia di valutare l’effettiva suscettibilità della struttura agli effetti del secondo ordine, sia l’esatta lunghezza critica dell’elemento maggiormente compresso:

Forza normale critica Euleriana della colonna più compressa:

2 2 C C,y

cr ,y 2 2 cr ,FEM Ed,max

y cr ,y

E A E I

N N 65.21 218.75 14265 kN

L π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅

= = = α ⋅ = ⋅ =

λ

(17)

Lunghezza critica della colonna 4 – 3:

2 2 4

C,y

cr ,y 3

cr ,FEM Ed,max

E I 210000 256900 10

L 19320 mm

N 65.21 218.75 10

π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅

= = =

α ⋅ ⋅ ⋅

Coefficiente di lunghezza libera di inflessione attorno all’asse d’inerzia forte:

cr ,y y

L 19320

1.932 2.00 H 10000

β = = = ≈

Determinazione della snellezza adimensionale attorno all’asse d’inerzia forte:

2

Rk,C C y

N A f 306.4 10 275 8426 kN

= ⋅ = ⋅ ⋅1000=

Rk,C ult ,k

Ed,max

N 8426

38.52

N 218.75

α = = =

C y ult ,k

y

cr ,y cr ,FEM

A f 38.52

0.7686

N 65.21

⋅ α

λ = = = =

α