Per descrive il moto di un fluido possiamo pensanrlo composto da tanti piccoli elementi di massa

DINAMICA DEI FLUIDI

Per descrive il moto di un fluido possiamo pensanrlo composto da tanti piccoli elementi di massa

∆m = ρ∆V e descriverne la dinamica usando le leggi della meccanica del punto materiale ossia trovare la posizione e la velocità del ∆m in funzione del tempo. Questo è un procedimento estremamente complicato; dovremmo conoscere istante per istante le forze agenti sul ∆m. Inoltre nello studio del moto di un fluido siamo più interessati alle caratteristiche globali del moto piuttosto che a quelle del singolo elemento.

Cambiamo atteggiamento (approccio euleriano) e studiamo il moto di un fluido esprimendone le caratteristiche in termini di densità, pressione e velocita, in funzione del tempo, in ogni punto dello spazio occupato dal fluido stesso.

Il fluido in moto può essere:

− comprimibile o incomprimibile; se è incomprimibile la densità è costante rispetto alla posizione e al tempo 𝜌𝜌(𝑟𝑟,��⃗ 𝑡𝑡) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡, in caso contrario la densità è variabile. Generalmente un liquido può essere considerato incomprimibile mentre i gas sono largamente comprimibili sebbene in alcune situazioni anche i gas possono essere considerati incomprimibili (moto di un corpo in aria con velocità molto minore della velocità del suono).

− viscoso o non viscoso. Il fluido si dice viscoso se un suo elemento, in movimento rispetto ad elementi confinanti (o rispetto a pareti di confinamento), è soggetto ad una forza di attrito che ne ostacola il moto (viscosità o attrito interno). Se tale attrito interno può essere trascurato, il fluido si può considerare non viscoso.

−

Chiameremo fluido ideale un fluido incomprimibile e non viscoso.

Possiamo invece distinguere due tipi principali di moto o flusso di fluido.

− Moto laminare o non laminare: il moto è detto laminare se avviene con scorrimento di strati sottilissimi gli uni sugli altri senza alcun tipo di rimescolamento di fluido e ciascuna particella del fluido segue un percorso regolare, chiamato linea di flusso. Questo regime è governato dalle forze viscose.

− Moto turbolento o non turbolento: il moto è detto turbolento quando le sue particelle si muovono in maniera caotica, senza seguire traiettorie ordinate. Questo si traduce nella formazione di vortici e, più in generale, nel manifestarsi di fluttuazioni non ordinate della velocità e della pressione. I vortici assorbono una sensibile quantità di energia per cui questo regime di moto andrebbe evitato nello scorrere di un fluido. Purtroppo il moto laminare, al di sopra di una certa velocità specifica per ogni fluido, diventa turbolento e si hanno perdite di energia nel trasporto. (Il moto dell’acqua è praticamente sempre turbolento)

← linee di flusso di un moto

laminare

← linee di flusso di un moto

vorticoso Fig. 2 esempi di moti

Fig. 1 Moto laminare

I moti precedenti posso inoltre essere classificati come moto stazionario o non stazionario: il moto è stazionario se la velocità del fluido, pur potendo variare da punto a punto, rimane costante nel tempo in ciascun punto. Chiaramente è difficile che un moto turbolento possa essere stazionario su un tempo di osservazione non breve.

Lo studio generale della dinamica dei fluidi è un argomento molto complicato e molti aspetti possono essere affrontati solo con simulazioni numeriche o con misure specifiche nelle “gallerie del vento”. Qui cercheremo di capire, trascurando per ora l’influenza della viscosità, le caratteristiche del moto di un fluido ideale in regime stazionario.

Linee e tubo di flusso

In un flusso stazionario la velocita del fluido rimane costante nel tempo in ciascun punto (fig. 3):

nel punto P sarà 𝑣𝑣 ����⃗ = cost, nel punto Q sarà 𝑣𝑣

𝑃𝑃

����⃗ = cost , nel punto R sarà 𝑣𝑣

_𝑄𝑄

����⃗ = cost ……Possiamo

_𝑅𝑅

pensare di individuare una linea orientata tale che la sua tangente in ogni punto coincida con la direzione e verso della velocità in quel punto. Tale linee sono dette linee di flusso. Le linee di flusso non possono intersecarsi perché nel punto d’incrocio avremmo due tangenti, una per ogni linea, e la velocità non sarebbe univocamente determinata e di conseguenza il flusso non sarebbe più stazionario.

Associato alle linee di flusso, vi è il concetto di tubo di flusso. Esso è definito (fig. 4) dallo spazio individuato dalle linee di flusso passanti per ogni punto di un contorno chiuso. L’insieme di queste linee costituisce la superficie laterale. Poiché due linee di flusso non possono mai intersecarsi, nessuna linea di flusso interna al contorno può attraversare la superficie laterale e il tubo di flusso si comporta come una conduttura reale: La stessa quantità di fluido che entra da una estremità di un tubo di flusso deve uscire dall’altra estremità.

L’equazione di continuità

Considerato un tubo di flusso in cui scorre in modo stazionario e non vorticoso un fluido ideale la quantità di massa ∆m

1

che entra da una estremità (sezione A

1

) deve uscire dall’altra estremità (∆m

2

alla sezione A

2

), abbiamo (fig. 5) in termini di volume V:

Fig. 3 Linea di flusso Fig. 4 Tubo di flusso definito dal contorno di A

1

∆m

¹

= ∆m

²

→ ρ

¹

∆V

¹

= ρ

²

∆V

²

Assumiamo che

− le sezioni siano sufficientemente piccole da poter considerare la velocità del fluido attraverso esse, rispettivamente v

1

e v

2

, costanti.

− Il tempo di osservazione ^∆ t sia sufficientemente piccolo in modo che il moto del fluido in prossimità delle sezioni, possa essere considerato uniforme e quindi lo spazio percorso ∆ℓ pari a

∆ℓ = v∆t.

Segue: ∆V

1

= A

1

∆ℓ

1

= A

1

v

1

∆t ; ∆V

2

= A

2

∆ℓ

2

= A

2

v

2

∆t → ρ

1

A

1

v

1

∆t =ρ

2

A

2

v

2

∆t Il fluido è ideale e quindi ρ

1

= ρ

2

→ A

1

v

1

= A

2

v

2

Poiché i punti 1 e 2 sono due punti qualsiasi del tubo di flusso segue che Av = costante

relazione detta equazione di continuità: Per un fluido ideale in regime stazionario la velocità di scorrimento in un tubo è inversamente proporzionale all’area della sezione trasversale del tubo stesso.

Si sottolinea che l’equazione di continuità esprime la conservazione della massa nella dinamica dei fluidi

Notiamo che la grandezza Av ha le dimensione di m

²

⋅m/s = m

³

/s ossia volume/tempo quindi interpretiamo la grandezza Av come portata di volume Q:

Q =Av

ossia il volume di fluido che attraversa una data sezione al secondo.

L'equazione di continuità dice quindi che in tubo di flusso la portata è costante e di conseguenza, con riferimento alla fig. 6, se l’area della sezione A

1

> A

2

abbiamo che v

2

> v

1

ossia la velocità aumenta lungo le linee di flusso.

A

1

A

2

Fig. 5 Moto di un fluido in tubo di flusso

Fig. 6 Moto in un tubo di flusso a sezione variabile

Questo può prestarsi ad una erronea interpretazione: se nella parte più stretta il fluido aumenta la sua velocità, esso ha maggiore energia cinetica e quindi abbiamo creato energia. Ovviamente ciò non può essere vero e per capirlo dobbiamo svolgere un completo bilancio dell’energia considerando l’azione e il lavoro fatto da tutte le forze presenti.

L'equazione di Bernoulli

Consideriamo un fluido ideale in moto stazionario e non vorticoso in un tubo di flusso di sezione trasversale non uniforme e a differente altezza rispetto a un dato riferimento, come in fig. 7.

Riferiamoci ad un punto 1, dove la sezione è A

1

, l’altezza y

1

, la pressione p

1

e la velocità v

1

, e ad un punto 2 dove la sezione è A

2

, l’altezza y

2

, la pressione p

2

e la velocità v

2

.

La porzione di flusso compresa fra le sezioni A

1

e A

2

(in celeste in figura 7a ) è soggetta alle forze di pressione F

1

e F

2

sulle rispettive sezioni e alla forza peso che ne determinano la dinamica spostandolo, in un tempo∆t, nella posizione rappresentata in fig. 7b.

Con le stesse assunzioni sulle dimensioni delle sezioni e sul tempo ∆t fatte per ricavare l’equazione di continuità, calcoliamo il lavoro fatto in questo tempo dalle singole forze osservando che se il moto avviene nel verso in figura, il lavoro fatto da F

1

è positivo (F

1

concorde allo spostamento ∆ℓ

1

), il lavoro fatto da F

2

è negativo ( F

2

opposto allo spostamento ∆ℓ

2

),

W

1

= F

1

⋅∆ℓ

¹

= p

1

⋅ A

¹

⋅∆ℓ

¹

W

2

= − F

2

⋅∆ℓ

²

= − p

2

⋅A

²

⋅∆ℓ

^2.

Posta m la massa che cambia posizione nel tempo∆t ossia quella relativa al volume A

1

⋅∆ℓ

1

= A

2

⋅∆ℓ

2

cioè m = ρ A

1

⋅∆ℓ

1

= ρ A

2

⋅∆ℓ

2 ,

ricordiamo che il lavoro della forza peso W

g

può essere calcolato come:

F

2

F

1

Fig. 7 Moto in un tubo di flusso a sezione e altezza variabili

W

g

= − ∆U = −mg(y

2

− y

1

)

Il lavoro totale fatto dalle forze sul fluido è W

Tot

= W

1

+ W

2

+ W

g

che per il teorema della energia cinetica è anche W

Tot

= ∆K = K

2

− K

1.

Osservando che la massa che ha cambiato la velocità è solo e sempre la stessa m, segue:

1

2

𝑚𝑚 𝑣𝑣

₂²

−

¹₂

𝑚𝑚 𝑣𝑣

₁²

= 𝑝𝑝

₁

𝐴𝐴

₁

∆ℓ

₁

− 𝑝𝑝

₂

𝐴𝐴

₂

∆ℓ

₂

− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑦𝑦

₂

+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑦𝑦

₁

Introducendo l’espressione di m e dividendo per A

1

⋅∆ℓ

1

= A

2

⋅∆ℓ

2

si ottiene:

1

2

𝜌𝜌𝑣𝑣

₂²

−

¹₂

𝜌𝜌𝑣𝑣

₁²

= 𝑝𝑝

₁

− 𝑝𝑝

₂

− 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑦𝑦

₂

+ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑦𝑦

₁

, riordinando 𝑝𝑝

₂

+ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑦𝑦

₂

+ 1

2 𝜌𝜌𝑣𝑣

²²

= 𝑝𝑝

₁

+ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑦𝑦

₁

+ 1 2 𝜌𝜌𝑣𝑣

¹²

Poiché i punti 1 e 2 sono due punti qualsiasi del tubo di flusso segue che 𝑝𝑝 + 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑦𝑦 + 1

2 𝜌𝜌𝑣𝑣

²

= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐

L'equazione di Bernoulli è un'espressione della legge di conservazione dell'energia nella dinamica dei fluidi.

Casi particolari:

a) Il fluido è fermo (v

1

= v

2

= 0). Segue:

𝑝𝑝

2

+ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑦𝑦

2

= 𝑝𝑝

1

+ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑦𝑦

1

→ 𝑝𝑝

2

= 𝑝𝑝

1

+ 𝜌𝜌𝑚𝑚(𝑦𝑦

1

− 𝑦𝑦

2

)

Ossia, essendo in condizione statiche, ritroviamo la legge di Stevino (pressione idrostatica) b) il fluido scorre orizzontalmente (y

1

= y

2

)

𝑝𝑝

2

+ 1

2 𝜌𝜌𝑣𝑣

²²

= 𝑝𝑝

1

+ 1 2 𝜌𝜌𝑣𝑣

¹²

Nei punti in cui la velocità del fluido è più alta la pressione è più bassa e viceversa. La grandezza

1

2

ρv

²

è detta pressione dinamica.

Alcune conseguenze del teorema di Bernoulli.

1) Il teorema di Torricelli

Con riferimento alla situazione in fig. 8, osservando che se il diametro del serbatoio è molto più grande rispetto a quello del rubinetto la velocità v

2

sarà quasi zero e la pressione esterna per entrambi i punti è uguale alla pressione atmosferica p

2

= p

1

= p

0

, l'equazione di Bernoulli diventa

𝑝𝑝

₀

+ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑦𝑦

₂

= 𝑝𝑝

₀

+ 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑦𝑦

₁

+ 1

2 𝜌𝜌𝑣𝑣

¹²

→ 𝜌𝜌𝑚𝑚(𝑦𝑦

₂

− 𝑦𝑦

₁

) = 1 2 𝜌𝜌𝑣𝑣

¹²

→ 𝑣𝑣

₁

= �2𝑚𝑚(𝑦𝑦

₂

− 𝑦𝑦

₁

)

Questo risultato, sebbene sia un caso particolare dell’equazione di Bernoulli, è stata dedotto molto prima da Torricelli, da cui il nome. L'equazione dice che il liquido lascia il rubinetto con la stessa velocità di un oggetto in caduta libera dalla stessa altezza.

2) La portanza

La portanza è la forza di sollevamento dinamico, che agisce su un corpo per effetto del suo spostamento in un fluido, come quella che si manifesta sull’ala di un aereo. (fig. 9).

L’ala è sagomata in modo tale che, per l’equazione di continuità, v

1

> v

2

e ciò implica, per l’equazione di Bernoulli, che p

1

< p

2

. Ne scaturisce una portanza: F = A (p

2

− p

1

) verso l’alto che, all’opportuna velocità dell’aereo vince la forza peso e lo fa decollare e successivamente lo sostiene.

3) Il tubo di Venturi.

Ricordando il caso in cui il fluido scorre orizzontalmente, si ricava che dalla misura delle pressioni e dalla conoscenza delle sezioni è possibile determinare la velocità v

1

con cui scorre il fluido nel condotto.

Fig. 8

Fig. 9 Linee di flusso intorno ad una di areo in movimento

Fig. 10 Ventutimetro

4) La palla con “effetto”

Se una palla oltre che traslare, ruota intorno al suo centro, devia dalla traiettoria rettilinea (“effetto”). Infatti, per la composizione delle velocità, il sottile strato d'aria in prossimità di B ha velocita maggiore che in prossimità di A quindi la pressione in B è inferiore che in A e la palla sente una forza che la fa deviare nel verso di B.

5) Il nebulizzatore

La pressione più bassa di quella atmosferica nella parte superiore del tubo verticale, provocata dall'aria spinta ad alta velocità tramite il soffietto, fa innalzare il livello del profumo che viene spruzzato all’esterno.

Viscosità e moto di un fluido ideale

Abbiamo già detto, che nei fluidi reali si osserva una forma di attrito interno, detta viscosità, fra strati adiacenti di fluido che si oppone allo scorrimento dell’uno sull’altro. Nei liquidi la viscosità è principalmente dovuta alle forze di coesione fra le molecole, mentre nei gas è provocata essenzialmente dagli urti fra le molecole.

Un fluido reale è pertanto caratterizzato da un coefficiente di viscosità (η) definito operativamente come segue.

Consideriamo due lastre rigide piane, una fissa e l’altra tenuta in movimento con velocità v costante, al cui interno si trova uno strato di fluido reale di spessore ℓ (fig. 13). Le molecole di fluido a contatto con la lastra in moto tenderanno a muoversi con la stessa velocità v, mentre quelle a contatto con la lastra ferma tenderanno a restare ferme: ciò determina una distribuzione di velocità all’interno del fluido ossia un gradiente di velocità dv/dy.

F

appl

A = area di contatto

ℓ

v

y v

Fig. 13 x

Fig. 11 Linee di flusso intorno ad una palla che trasla e ruota

Fig. 12 Nebulizzatore

Si osserva sperimentalmente che per avere v = cost bisogna agire con F

appl

= cost e quindi, per la seconda legge della dinamica, deve esserci una forza, dovuta alla viscosità, F

v

, tale che:

v appl v

appl v

appl

F F F F F

F  +  = ⇒  = −  ⇒ =

0 .

Sempre sperimentalmente si trova, detta A l’area della superficie di contatto fra fluido e la lastra mobile, che:

 F vA

F

_v

=

_appl

∝ .

Il coefficiente di viscosità η è per definizione la costante di proporzionalità nella relazione precedente:

.

Av F

F

_v

Av

^v



 ⇒ =

= η η

Il valore di η dipende dal fluido e, dato un fluido, dipende fortemente dalla temperatura. Alcuni valori tipici sono dati in tabella:

Fluido T (° C) η ( Kg/ms)

Acqua 0 1.8 ⋅ 10

^–3

Acqua 20 1.0 ⋅ 10

^–3

Acqua 100 0.3 ⋅ 10

^–3

Glicerina 20 830 ⋅ 10

^–3

Olio motore 30 250 ⋅ 10

^–3

Alcool 20 1.2 ⋅ 10

^–3

Si noti che i coefficienti di viscosità, sono molto minori dei coefficienti di attrito dinamico fra solidi.

Per questo, se due superfici rigide devono scorrere una sull’altra, si interpone fra esse uno strato di fluido (lubrificazione) per ridurre l’attrito totale.

Il flusso laminare dei fluidi reali

La viscosità introduce importanti differenze nel moto di un fluido reale rispetto a quello di un fluido ideale. Considerando il flusso di un fluido ideale (fig. 14a) e di un fluido reale (fig. 14b) in un tubo cilindrico orizzontale di sezione A costante, si ha:

Unita di misura:

s m s Kg m Pa

s N s / m m

m N

2

2 ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ =

⋅ nel sistema MKS.

(viene usato anche il Poise, P = 10

^-1

Kg/ms)

p A p B

p A p B

v v

fluido ideale v costante nella sezione A

p

^A

= p

^B

Fig 14a

fluido reale

v variabile nella sezione A p

^A

> p

^B

Fig 14b

Notiamo che a causa della viscosità:

a) è necessaria una differenza di pressione ∆p = p

^A

− p

^B

fra le estremità del tubo per avere un flusso di fluido.

b) lo scorrimento del fluido può essere descritto come il moto di tanti strati sottili e paralleli alle pareti del tubo che si muovono parallelamente tra loro con velocità crescenti mentre ci si avvicina al centro del condotto (fig. 15) (detto moto laminare).

Se ∆p = cost, le velocità di ogni singolo strato restano costanti (ovvero la distribuzione delle velocità non cambia nel tempo) e si ha un moto laminare stazionario. Ovviamente la corrispondente portata Q

L

non può essere più calcolata semplicemente come Av e in particolare risulta Q

L

< Av.

Se la velocità di flusso è alta e/o la differenza di pressione molto elevata, il moto non è più laminare ma turbolento con una portata Q

T

< Q

L

. La portata diminuisce perché le forze di attrito sono molto maggiori in presenza di turbolenze. Un esame più dettagliato di quanto succede è fuori gli scopi di queste lezioni.

In particolare si può dimostrare che la portata Q

L

per un flusso laminare in un tubo cilindrico è data dalla relazione seguente detta legge di Poiseuille,

8 L

R ) p p

Q _L ( ^A η ^{B 4}

π −

=

Q

L

, come è ovvio aspettarsi, è direttamente proporzionale alla differenza di pressione per unità di lunghezza, (p

A

− p

B

)/L ed è inversamente proporzionale alla viscosità η. Il fatto inatteso è la dipendenza dalla quarta potenza del raggio e quindi ne consegue che Q

L

è fortemente influenzata da una piccola variazione di R.

La legge di Poiseuille, applicata al fluido sangue, è fondamentale nella fisiologia degli esseri viventi.

Essa è usata per esempio per termostatarsi regolando il flusso di sangue sulla superficie del corpo variando impercettibilmente la sezione dei capillari. Inoltre essa spiega l’inevitabile aumento di pressione arteriosa con l'avanzare dell’età, la quale generalmente comporta una piccola riduzione della sezione delle arterie.

flusso

v

1

v

2

v

3

v

4

v

1

< v

2

< v

3

< v

4

Fig. 15

Calcolo della portata per un flusso laminare stazionario in un tubo cilindrico

Consideriamo un tubo cilindro di raggio R lungo L, in cui scorre un fluido reale in moto laminare stazionario (fig. 16). La velocità in esso ha una distribuzione v(r) con v(R)=0, v(0)= v

^max

.

Soffermiamoci su una porzione di fluido (in grigio in fig.4) contenuta in un cilindro di raggio r < R.

Essendo il moto stazionario, segue che per ogni r deve essere:

v(r)= cost ⇒ F 

_est^R

= 0 .

Le forze agenti se tale porzione sono:

a) la forza dovuta alla pressione sulla base A: F

^A

= p

A

π r

²

b) la forza dovuta alla pressione sulla base B: F

^B

= p

B

π r

²

c) la forza di viscosità sulla parete laterale S:

dr S dv

F

_V

= η con S=2πrL.

0

0 ⇒ = + + =

=

_est^R _{A B V}

estR

F F F F

F     

La precedente, essendo tutte le forze parallele (all’asse del cilindro), diviene:

0

=

−

−

_{B V}

A

F F

F

Poiché v diminuisce mentre r aumenta,

dr

dv ,e quindi F

V

, è implicitamente negativa, pertanto

scriviamo:  ^{= − − ⇒}

 

 

 − + ⋅ = ⇒

L p p r dr

dv

_{A B}

dr L dv B r

A p p

πr η π _η

2 )

0 (

2 2

2 ) .

( rdr

L p dv = − p

^A

−

^B

⋅

η

Questa espressione fornisce la variazione di velocità dv quando il raggio aumenta di dr, il segno meno mette in evidenza che la velocità diminuisce mentre il raggio aumenta.

v(R)=0 v(r)

r

R f v f v

L

Fig. 16

Integrando fra r e R troviamo la corrispondente differenza di velocità:

2 2

) ) (

( ) ( 2

)

(

^{2 2}

) (

) (

r R L p r p

v R v L p rdr

dv p

^{A B} _r^{R A B}

R v

r v

−

− −

=

−

− ⇒

−

= ∫

∫ _{η η}

e ricordando che v(R)=0, segue:

( ) .

4 ) ) (

( R

²

r

²

L p r p

v =

^A

−

^B

−

η

La precedente mostra che la distribuzione delle velocità v(r) ha un andamento parabolico con r, con massimo in r = 0 (ossia sull’asse).

In una corona circolare di raggio r e r+dr, di area dA=2πr⋅dr, la velocità può essere considerata costante e pari a v(r) e possiamo calcolare pertanto la relativa portata dQ come velocità per area ⇒ dQ = v(r)⋅dA

Segue la legge di Poiseuille:

L 8

R ) p p

Q _L ( ^{A B 4} η

π −

=

R

r+dr

r

La portata totale si ottiene sommando tutti i contributi dQ al variare di r da 0 ad R⇒

∑ ⁼ ∫

= ₀ ^R

L dQ dQ

Q

− ⇒

=

⇒

=

−

=

−

=

−

− −

=

⋅

⋅

− −

=

∫

∫

∫

∫

∫

4 R L

2

) p p Q (

4 R 4 R 2 dr R r rdr

R rdr

) r R (

rdr ) r R L (

2

) p p dr (

r 2 ) r R L (

4

) p p Q (

B 4 L A

4 4 R 4

0 3 R

0 2 R

0 2 2

R

0 2 2

B R A

0 A B 2 2

L

η π η

π π

η