Il rotore, dai rotismi alle linee di flusso.

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Il rotore, dai rotismi alle linee di flusso.

Il rotore è la misura di quanto un campo vettoriale induca una rotazione. Ma allora come potrebbe un vortice essere irrotazionale? Proviamo a rispondere a questa domanda.

Consideriamo un rotismo epicicloidale costituito da due ruote dentate concentriche (dette primitive) di raggio 𝑟₁, 𝑟₂ , che ruotano con velocità 𝑣₁, 𝑣₂ , le quali determinano il moto di un ruotino di raggio 𝑟_𝑠 ,chiamato satellite, libero di ruotare di conseguenza tra le due con velocità tangenziale 𝑣_𝑠, il cui centro si muove con velocità 𝑣_𝑐.

La domanda che in principio ci poniamo è: qual’è la relazione che lega la velocità tangenziale e del centro del satellite (portatreno) alle velocità delle primitive?

𝑣_𝑠 = 𝑓(𝑣₁, 𝑣₂) 𝑣_𝑐 = 𝑔(𝑣₁, 𝑣₂)

E’ facile rispondere a questa domanda partendo da nozioni base di cinematica.

Immaginiamo un disco libero di ruotare e di muoversi a contatto con due nastri come in figura

Il disco viene fatto ruotare ed è dunque traslato dai due nastri che si muovono con velocità 𝑣₁, 𝑣₂.

2 Dal moto della ruota sappiamo che la velocità tangenziale si somma alla velocità di traslazione, per cui se il centro si muove con velocità 𝑣, il punto più alto della ruota avrà velocità 2𝑣 , mentre quello più basso, ovvero il punto di contatto con il terreno, avrà velocità nulla in quanto le due velocità hanno verso opposto (se così non fosse la ruota slitterebbe). Questo perché se in un tempo 𝛿𝑡 la ruota ha compiuto un giro completo, l’asse della ruota viene traslato della stessa lunghezza, per cui la velocità di traslazione e la velocità tangenziale sono uguali in modulo.

Tornando al nostro caso, se un nastro è fermo (𝑣₂ = 0) riproduciamo il moto della ruota per cui 𝑣_𝑐 = 𝑣₁

2

che sarà anche uguale alla velocità tangenziale 𝑣_𝑠. Supponiamo ora che il disco sia fisso e che il secondo nastro sia messo in moto dal primo mediante il disco, oppure che i due si muovano con la stessa velocità ma in senso opposto mentre il disco non è vincolato. Il risultato non cambia: 𝑣_𝑐 è nullo mentre 𝑣_𝑠 = 𝑣₂ = −𝑣₁. Se invece i due nastri si muovono con la stessa velocità e nella stessa direzione è evidente che anche il centro del disco si muoverà con la stessa velocità per cui 𝑣_𝑐 = 𝑣₁ = 𝑣₂ , mentre 𝑣_𝑠 = 0. Siccome non c’è motivo per cui queste considerazioni non debbano valere in una configurazione circolare, possiamo finalmente scrivere

𝑣_𝑠 = 𝑣₂− 𝑣₁

2 𝑣_𝑐 =𝑣₁+ 𝑣₂ 2 Tornati al nostro ingranaggio, posti (vedi figura)

𝑟₁ = 𝑟 𝑟_𝑐 = 𝑟 + 𝑟_𝑠 𝑟₂ = 𝑟 + 2𝑟_𝑠 distinguiamo tre casi.

I) Le due primitive ruotano con la stessa velocità 𝑣₁ = 𝑣₂ = 𝑣 . Abbiamo che 𝑣_𝑠 = 0, 𝑣_𝑐 = 𝑣 e dunque

𝜔_𝑠 = 0 𝜔_𝑐 = 𝑣 𝑟 + 𝑟_𝑠 La condizione 𝑣₁ = 𝑣₂ = 𝑣_𝑐 implica che

𝜔₁𝑟 = 𝜔_𝑐(𝑟 + 𝑟_𝑠) = 𝜔₂(𝑟 + 2𝑟_𝑠) ovvero

𝜔₁ = (1 +𝑟_𝑠

𝑟) 𝜔_𝑐 = (1 + 2𝑟_𝑠 𝑟) 𝜔₂ per cui

𝜔₁ ≥ 𝜔_𝑐 ≥ 𝜔₂

II) Le primitive hanno la stessa velocità angolare, 𝜔₁ = 𝜔₂ . Allora

3 𝑣₁

𝑟 = 𝑣₂

𝑟 + 2𝑟_𝑠 ⇒ 𝑣₂ = (1 + 2𝑟_𝑠 𝑟) 𝑣₁ da cui

𝑣_𝑠 = 𝑟_𝑠

𝑟𝑣₁ 𝑣_𝑐 = (1 +𝑟_𝑠 𝑟) 𝑣₁ implica

𝜔_𝑠𝑟_𝑠 = 𝑟_𝑠

𝑟𝜔₁𝑟 𝜔_𝑐𝑟_𝑐 =𝑟 + 𝑟_𝑠 𝑟 𝜔₁𝑟 e si conclude

𝜔₁ = 𝜔₂ = 𝜔_𝑠 = 𝜔_𝑐 mentre come è facile intuire

𝑣₁ = 𝑟

𝑟 + 𝑟_𝑠𝑣_𝑐 = 𝑟 𝑟 + 2𝑟_𝑠𝑣₂ 𝑣₁ ≤ 𝑣_𝑐 ≤ 𝑣₂

a cui possiamo aggiungere, posto 𝑟_𝑠 ≤ 𝑟

𝑣_𝑠 ≤ 𝑣₁ ≤ 𝑣_𝑐 ≤ 𝑣₂

III) Il terzo caso è quello più rilevante ai fini della trattazione. Imponiamo la condizione 𝜔_𝑠 = −𝜔_𝑐

la quale sta a significare che il satellite controruota con la stessa velocità angolare del suo centro.

Vale a dire che se il portatreno ruota di 90 gradi, lo stesso farà il satellite ma in senso opposto.

Allora si ha che

4 𝑣_𝑐

𝑟_𝑐 = −𝑣_𝑠

𝑟_𝑠 ⇒ 𝑣_𝑐

𝑟 + 𝑟_𝑠 = −𝑣_𝑠

𝑟_𝑠 ⇒ 𝑣₁+ 𝑣₂

2(𝑟 + 𝑟_𝑠) =𝑣₁− 𝑣₂ 2𝑟_𝑠 𝑣₁𝑟 = 𝑣₂(𝑟 + 2𝑟_𝑠)

La soluzione dell’uguaglianza

𝑣₁𝑟₁= 𝑣₂𝑟₂ è

{

𝑣1 = 𝛼 𝑟₁ 𝑣₂ = 𝛼 𝑟₂

⟹ 𝑣(𝑟) =𝛼 𝑟

dove 𝛼 è una costante; poiché 𝑣 = 𝜔𝑟 si avrà anche 𝜔(𝑟) = 𝛼

𝑟²

Dunque, affinché si realizzi la condizione 𝜔_𝑠 = −𝜔_𝑐 le primitive devono ruotare con una velocità inversamente proporzionale al loro raggio. Se ho due ruote dentate i cui raggi sono fissati, una volta impostata la velocità di una delle primitive mi ricavo 𝛼 da cui si deduce immediatamente la velocità della seconda ruota dentata.

Abbiamo che

𝑣_𝑠 = 𝑣₂ − 𝑣₁

2 = 𝛼

2( 1

𝑟 + 2𝑟_𝑠−1

𝑟) = − 𝛼𝑟_𝑠

𝑟(𝑟 + 2𝑟_𝑠)= − 𝑟_𝑠 𝑟 + 2𝑟_𝑠𝑣₁

𝑣_𝑐 =𝑣₁+ 𝑣₂

2 =𝛼

2(1

𝑟+ 1

𝑟 + 2𝑟_𝑠) = 𝛼 𝑟 + 𝑟_𝑠

𝑟(𝑟 + 2𝑟_𝑠) = 𝑟 + 𝑟_𝑠 𝑟 + 2𝑟_𝑠𝑣₁ da cui, come ci aspettiamo,

𝜔₁ = 𝛼

𝑟² ≥ 𝜔_𝑐 = 𝛼

𝑟(𝑟 + 2𝑟_𝑠)= −𝜔_𝑠 ≥ 𝜔₂ = 𝛼 (𝑟 + 2𝑟_𝑠)²

Si noti che in questa sorta di “passaggio al continuo” possiamo applicare la formula vista prima per ottenere la velocità del portatreno solo per 𝑟_𝑠 ≪ 1:

𝜔(𝑟_𝑐) = 𝛼

𝑟_𝑐² = 𝛼

(𝑟 + 𝑟_𝑠)² = 𝛼

𝑟²+ 2𝑟𝑟_𝑠+ 𝑟_𝑠² ≈ 𝛼

𝑟²+ 2𝑟𝑟_𝑠 = 𝛼 𝑟(𝑟 + 2𝑟_𝑠)

in quanto 𝑟_𝑠² ≈ 0 . Sempre in questo contesto, identifichiamo le primitive con delle linee di flusso ed associamo ad ogni punto del piano un vettore il cui modulo si riduca con la distanza dal centro delle ruote e quindi degli assi. Il satellite diventerà una sferetta ruvida trascinata in un moto rototraslazionale come se fosse immersa nel campo di velocità di un fluido.

5 Il campo vettoriale che cerchiamo è

𝑣⃗ = 𝛼 (− 𝑦

𝑥²+ 𝑦², 𝑥 𝑥²+ 𝑦²) difatti

|𝑣⃗| = 𝛼

√𝑥²+ 𝑦² =𝛼 𝑟

Sia 𝑣⃗ = (𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦, 𝑣_𝑧) un campo vettoriale. Si definisce rotore l’operatore differenziale

rot𝑣⃗ = ∇ × 𝑣⃗ = |

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂

𝜕_𝑥 𝜕_𝑦 𝜕_𝑧 𝑣_𝑥 𝑣_𝑦 𝑣_𝑧

|

6 Per 𝑣⃗ = (𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦, 0) abbiamo solo la componente lungo z

rot𝑣⃗ = (𝜕_𝑥𝑣_𝑦− 𝜕_𝑦𝑣_𝑥)𝑘̂

Se applichiamo l’operatore a

𝑣⃗ = 𝛼 (− 𝑦

𝑥²+ 𝑦², 𝑥 𝑥²+ 𝑦²) otteniamo

rot𝑣⃗ = 𝛼 {𝜕

𝜕𝑥( 𝑥

𝑥²+ 𝑦²) − 𝜕

𝜕𝑦(− 𝑦

𝑥²+ 𝑦²)} 𝑘̂ = 𝛼 { 𝑦²− 𝑥²

(𝑥²+ 𝑦²)²+ 𝑥²− 𝑦²

(𝑥²+ 𝑦²)²} 𝑘̂ = 0⃗⃗

Poiché il rotore è nullo, il campo è detto irrotazionale. Corrisponde ad una forma differenziale chiusa, soddisfacendo la condizione

𝜕_𝑥𝑣_𝑦 = 𝜕_𝑦𝑣_𝑥

ma non esatta per il lemma di Poincaré, in quanto il dominio di definizione non contiene l’origine, per cui non posso contrarlo fino a farlo diventare un punto; in sostanza non è semplicemente connesso. Come risultato, la circuitazione

∮ 𝑣⃗

𝛾

∙ 𝑑𝛾⃗

non è nulla, tantomeno è possibile esprimere 𝑣⃗ come gradiente di un potenziale scalare 𝑣⃗ = −∇𝑢 = − (𝜕𝑢

𝜕𝑥,𝜕𝑢

𝜕𝑦) Tuttavia, poiché la divergenza è nulla

∇ ∙ 𝑣⃗ =𝜕𝑣_𝑥

𝜕𝑥 +𝜕𝑣_𝑦

𝜕𝑦 = 0 è possibile esprimere 𝑣⃗ mediante un potenziale vettore

𝑣⃗ = ∇ × 𝐴⃗

valendo la proprietà

∇ ∙ 𝑣⃗ = ∇ ∙ ∇ × 𝐴⃗ = 0

Per trovare un formula generale per il potenziale vettore, il quale non è univocamente determinato, si procede come segue. Dato che

7

𝜕𝐴_𝑧

𝜕𝑦 −𝜕𝐴_𝑦

𝜕𝑧 = 𝑣_𝑥 = − 𝑦 𝑥²+ 𝑦²

𝜕𝐴_𝑥

𝜕𝑧 −𝜕𝐴_𝑧

𝜕𝑥 = 𝑣_𝑦 = 𝑥 𝑥²+ 𝑦²

𝜕𝐴_𝑦

𝜕𝑥 =𝜕𝐴_𝑥

𝜕𝑦

prendiamo la prima espressione e deriviamola rispetto ad 𝑥; tenendo conto della terza uguaglianza e del fatto che la divergenza è nulla

𝜕²𝐴_𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦−𝜕²𝐴_𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑧= 𝜕²𝐴_𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦−𝜕²𝐴_𝑥

𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝜕

𝜕𝑦(𝜕𝐴_𝑧

𝜕𝑥 −𝜕𝐴_𝑥

𝜕𝑧 ) = −𝜕𝑣_𝑦

𝜕𝑦 =𝜕𝑣_𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝐴_𝑥

𝜕𝑧 = 𝑣_𝑦+𝜕𝐴_𝑧

𝜕𝑥 integrando si ha

𝐴_𝑥 = 𝑧𝑣_𝑦+ ∫𝜕𝐴_𝑧

𝜕𝑥 𝑑𝑧 = 𝑥𝑧

𝑥²+ 𝑦²+ ∫𝜕𝐴_𝑧

𝜕𝑥 𝑑𝑧

Procedendo allo stesso modo per 𝐴_𝑦 , partendo dalla seconda equazione, si ottiene infine

𝐴⃗ = ( 𝑥𝑧

𝑥²+ 𝑦²+ ∫𝜕𝐴_𝑧

𝜕𝑥 𝑑𝑧 , 𝑦𝑧

𝑥²+ 𝑦²+ ∫𝜕𝐴_𝑧

𝜕𝑦 𝑑𝑧 , 𝐴_𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)) dove la componente 𝐴_𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) è una funzione arbitraria che può anche essere nulla

𝐴⃗ = ( 𝑥𝑧

𝑥²+ 𝑦², 𝑦𝑧

𝑥²+ 𝑦², 0)

Ad ogni modo, il punto fondamentale dell’analisi del campo vettoriale è dato da questa analogia: se immergo una sferetta test in un fluido rotante in cui la velocità delle particelle fluide diminuisce con l’inverso della distanza dal centro di questo “vortice”, si ha che la sferetta ruota su se stessa nel verso opposto rispetto alla velocità del suo centro ma con la stessa velocità angolare e il flusso si dice irrotazionale.

Consideriamo un campo vettoriale “rotante” del tipo 𝑣⃗ = 𝜔⃗⃗⃗ × 𝑟⃗

dove 𝑟⃗ = (𝑥, 𝑦, 0), |𝑟⃗| = √𝑥²+ 𝑦² , mentre 𝜔⃗⃗⃗ = (0,0, 𝜔(|𝑟⃗|)). Eseguendo il prodotto vettoriale abbiamo che

𝑣⃗ = |

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂

0 0 𝜔(𝑟)

𝑥 𝑦 0

| = −𝜔(𝑟) |𝑖̂ 𝑗̂

𝑥 𝑦| = 𝜔(𝑟)(−𝑦, 𝑥)

8 per cui

|𝑣⃗| = 𝑣(𝑟) = 𝜔(𝑟)𝑟 Riprendiamo il caso I. Abbiamo che

𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑡. = 𝜔(𝑟)𝑟 ⟹ 𝜔(𝑟) =𝑣 𝑟 da cui il campo vettoriale

𝑣⃗ = 𝜔(−𝑦, 𝑥) = 𝑣 (− 𝑦

√𝑥²+ 𝑦², 𝑥

√𝑥²+ 𝑦²) e

rot𝑣⃗ =𝑣

𝑟𝑘̂ = 𝜔⃗⃗⃗

In questo caso il rotore è un vettore che coincide esattamente con la velocità angolare.

Nel caso II si ha che la velocità angolare è costante

𝑣(𝑟) = 𝜔𝑟 𝜔 = 𝑐𝑜𝑠𝑡.

per cui la velocità cresce linearmente con il raggio.

𝑣⃗ = 𝜔(−𝑦, 𝑥)

potrebbe rappresentare la velocità dei punti sulla superficie di un corpo rigido. In questo caso il rotore è un vettore parallelo alla velocità angolare ma che ha il doppio del suo modulo

rot𝑣⃗ = 2𝜔𝑘̂ = 2𝜔⃗⃗⃗

E’ evidente che esiste un legame tra velocità angolare e rotore della velocità di un campo vettoriale.

Vediamo di generalizzare. Sappiamo che

rot𝑣⃗ = (𝜕_𝑥𝑣_𝑦− 𝜕_𝑦𝑣_𝑥)𝑘̂

e che

𝑣_𝑥 = −𝜔(𝑟)𝑦 𝑣_𝑦 = 𝜔(𝑟)𝑥 Calcoliamo

𝜕𝑣_𝑦

𝜕𝑥 = 𝜔(𝑟) + 𝑥𝑑𝜔 𝑑𝑟

𝜕𝑟

𝜕𝑥

𝜕𝑣_𝑥

𝜕𝑦 = −𝜔(𝑟) − 𝑦𝑑𝜔 𝑑𝑟

𝜕𝑟

𝜕𝑦 ma

9

𝜕𝑟

𝜕𝑥= 𝜕

𝜕𝑥(√𝑥²+ 𝑦²) = 𝑥

√𝑥²+ 𝑦² = 𝑥 𝑟

𝜕𝑟

𝜕𝑦= 𝜕

𝜕𝑦(√𝑥²+ 𝑦²) = 𝑦

√𝑥²+ 𝑦² = 𝑦 𝑟 da cui sostituendo

𝜕𝑣_𝑦

𝜕𝑥 = 𝜔(𝑟) +𝑥² 𝑟

𝑑𝜔 𝑑𝑟

𝜕𝑣_𝑥

𝜕𝑦 = −𝜔(𝑟) −𝑦² 𝑟

𝑑𝜔 𝑑𝑟 e sottraendo

𝜕𝑣_𝑦

𝜕𝑥 −𝜕𝑣_𝑥

𝜕𝑦 = 2𝜔(𝑟) +𝑥²+ 𝑦² 𝑟

𝑑𝜔

𝑑𝑟 = 2𝜔(𝑟) +𝑟² 𝑟

𝑑𝜔 𝑑𝑟 si ottiene la formula generale

rot𝑣⃗ = (2𝜔(𝑟) + 𝑟𝑑𝜔 𝑑𝑟)𝑘̂

Sperimentiamone il funzionamento.

Nel primo caso

𝜔(𝑟) =𝑣

𝑟 ⇒ rot𝑣⃗ = (2𝑣 𝑟− 𝑟 𝑣

𝑟²) 𝑘̂ =𝑣

𝑟𝑘̂ = 𝜔⃗⃗⃗

Nel secondo caso

𝜔 = 𝑐𝑜𝑠𝑡. ⇒ rot𝑣⃗ = (2𝜔 + 𝑟 ∙ 0)𝑘̂ = 2𝜔𝑘̂ = 2𝜔⃗⃗⃗

Nel terzo caso

𝜔(𝑟) = 𝛼

𝑟² ⇒ rot𝑣⃗ = (2 𝛼

𝑟²− 𝑟 ∙ 2 𝛼

𝑟³) 𝑘̂ = 0

In questo caso il rotore non corrisponde ad un multiplo non nullo della velocità angolare.

Ritorniamo ai nostri ingranaggi. Supponiamo che le primitive siano le linee di campo più esterne che generano il moto della sferetta test. Ricordando che

𝑣_𝑠 =𝑣₂− 𝑣₁ 2 e supponendo che 𝑟_𝑠 ≪ 1 possiamo scrivere

𝑣_𝑠 =𝑣(𝑟 + 2𝑟_𝑠) − 𝑣(𝑟)

2 ≈ 1

2 (𝑣(𝑟) + 2𝑟_𝑠𝑑𝑣

𝑑𝑟− 𝑣(𝑟)) =𝑑𝑣 𝑑𝑟𝑟_𝑠

10 Siccome 𝑣(𝑟) = 𝜔(𝑟)𝑟

𝑑

𝑑𝑟(𝜔(𝑟)𝑟) = 𝜔(𝑟) + 𝑟𝑑𝜔 𝑑𝑟 perciò

𝑣_𝑠 = (𝜔(𝑟) + 𝑟𝑑𝜔

𝑑𝑟) 𝑟_𝑠= 𝜔_𝑠𝑟_𝑠 e quindi

𝜔_𝑠

⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝜔(𝑟) + 𝑟𝑑𝜔 𝑑𝑟) 𝑘̂

Applichiamo l’equazione:

I)

𝜔(𝑟) =𝑣

𝑟 ⇒ 𝜔⃗⃗⃗⃗⃗ = (_𝑠 𝑣 𝑟− 𝑟 𝑣

𝑟²) 𝑘̂ = 0⃗⃗

II)

𝜔 = 𝑐𝑜𝑠𝑡. ⇒ 𝜔⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝜔 + 𝑟 ∙ 0)𝑘̂ = 𝜔𝑘̂ = 𝜔_𝑠 ⃗⃗⃗

III)

𝜔(𝑟) = 𝛼

𝑟² ⇒ 𝜔⃗⃗⃗⃗⃗ = (_𝑠 𝛼

𝑟²− 𝑟 ∙ 2 𝛼

𝑟³) 𝑘̂ = − 𝛼

𝑟²𝑘̂ = −𝜔⃗⃗⃗

I risultati sono in accordo con quanto visto in precedenza.

Dal confronto delle due equazioni

rot𝑣⃗ = (2𝜔(𝑟) + 𝑟𝑑𝜔 𝑑𝑟)𝑘̂

𝜔_𝑠

⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝜔(𝑟) + 𝑟𝑑𝜔 𝑑𝑟) 𝑘̂

si conclude che

rot𝑣⃗ = 𝜔⃗⃗⃗ + 𝜔⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑠 il cui significato intuitivo è

rotore = MACROcircolazione + MICROcircolazione

per cui se sono opposte si elidono annullandolo. Questo spiega come un campo vettoriale possa

“ruotare” pur essendo irrotazionale. Segue quindi che la velocità tangenziale di un’ipotetica sferetta immersa in un flusso il cui centro è libero di seguirne la rotazione è

11 𝜔_𝑠

⃗⃗⃗⃗⃗ = rot𝑣⃗ − 𝜔⃗⃗⃗

Consideriamo il campo

𝑣⃗ = 𝐶 (− 𝑦

(𝑥²+ 𝑦²)³²

, 𝑥

(𝑥²+ 𝑦²)³² )

Si ha che

𝜔⃗⃗⃗ = 𝐶 (𝑥²+ 𝑦²)³²

𝑘̂ = 𝐶 𝑟³𝑘̂

rot𝑣⃗ = − 𝐶 (𝑥²+ 𝑦²)³²

𝑘̂ = − 𝐶

𝑟³𝑘̂ = −𝜔⃗⃗⃗

da cui

𝜔_𝑠

⃗⃗⃗⃗⃗ = rot𝑣⃗ − 𝜔⃗⃗⃗ = −2𝜔⃗⃗⃗

Senza calcolare esplicitamente il rotore, ma valutando il modulo del campo vettoriale 𝑣(𝑟) = 𝜔(𝑟)𝑟 = 𝐶

𝑟² ⇒ 𝜔(𝑟) = 𝐶 𝑟³

la cui intensità decresce con l’inverso del quadrato del raggio come in tutte quelle leggi fisiche che riguardano una sorgente puntiforme che irradia forza, energia, intensità, in maniera isotropa nello spazio, si poteva applicare direttamente

𝜔_𝑠

⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝜔(𝑟) + 𝑟𝑑𝜔

𝑑𝑟) 𝑘̂ = (𝐶

𝑟³− 3𝑟 𝐶

𝑟⁴) 𝑘̂ = −2 𝐶

𝑟³𝑘̂ = −2𝜔⃗⃗⃗

Mediante il teorema del rotore possiamo pensare a questo operatore come ad una densità superficiale di circuitazione infinitesima attorno alla direzione 𝑛̂

(∇ × 𝑣⃗) ∙ 𝑛̂ = lim

𝜎→0 { 1

𝜎 ∮ 𝑣⃗ ∙ 𝑑𝛾⃗

𝛾

}

dove 𝜎 è l’area delimitata dalla curva chiusa 𝛾, mentre 𝑛̂ è il versore normale. Per essere sicuri che il rotore in un punto sia nullo, deve accadere che fissando il centro della nostra sferetta test in un punto, questa non ruoti. Cerchiamo quindi una relazione più generale della precedente ovvero che valga per qualsiasi campo vettoriale, in un contesto che però rende difficile una generalizzazione.

Questo perché un modello cinematico di una sferetta o turbina immersa in un flusso esibisce delle limitazioni, a partire dalla geometria del problema.

12 Se installo ad esempio la sferetta nell’origine del campo 𝑣⃗ = 𝜔(−𝑦, 𝑥), ho che lo stesso vettore rappresenta il vettore velocità della sferetta, mentre se la fisso in un altro punto del piano immagino che la velocità sia la somma di più contributi che in parte si elidono.

Siccome la sferetta è piccola, discretizziamo il campo vettoriale con un reticolo e fissiamola in un punto.

I punti di contatto tra la sferetta e i punti griglia sono quattro e ogni punto rappresenta una particella fluida che trascina la sferetta in un moto rotatorio.

Abbiamo quindi la somma di quattro contributi, data dalla proiezione del campo vettoriale 𝑣⃗ sul versore tangente alla sferetta 𝜏̂

𝜏̂ = (𝑦₀− 𝑦

𝑟_𝑠 ,𝑥 − 𝑥₀

𝑟_𝑠 ) 𝑟_𝑠 = √(𝑥 − 𝑥₀)²+ (𝑦 − 𝑦₀)²

Dalla definizione è evidente che |𝜏̂| = 1 e si evince anche dalla figura che sulla sferetta test vale la condizione

𝑟_𝑠 = 𝛿𝑥 = 𝛿𝑦 Abbiamo allora che

𝑣_𝑠 = 𝑣⃗(𝑥₀− 𝛿𝑥, 𝑦₀) ∙ 𝜏̂(𝑥₀− 𝛿𝑥, 𝑦₀) + 𝑣⃗(𝑥₀+ 𝛿𝑥, 𝑦₀) ∙ 𝜏̂(𝑥₀+ 𝛿𝑥, 𝑦₀) + +𝑣⃗(𝑥₀, 𝑦₀− 𝛿𝑦) ∙ 𝜏̂(𝑥₀, 𝑦₀ − 𝛿𝑦) + 𝑣⃗(𝑥₀, 𝑦₀ + 𝛿𝑦) ∙ 𝜏̂(𝑥₀, 𝑦₀+ 𝛿𝑦)

13 ma

𝜏̂(𝑥₀± 𝛿𝑥, 𝑦₀) = (𝑦₀ − 𝑦₀

𝑟_𝑠 ,𝑥₀± 𝛿𝑥 − 𝑥₀

𝑟_𝑠 ) = (0, ±𝛿𝑥

𝑟_𝑠) = (0, ±𝛿𝑥

𝛿𝑥) = (0, ±1) 𝜏̂(𝑥₀, 𝑦₀ ± 𝛿𝑦) = (𝑦₀− 𝑦₀∓ 𝛿𝑦

𝑟_𝑠 ,𝑥₀− 𝑥₀

𝑟_𝑠 ) = (∓𝛿𝑦

𝑟_𝑠 , 0) = (∓𝛿𝑦

𝛿𝑦, 0) = (∓1,0) quindi

𝑣_𝑠 = (𝑣_𝑥(𝑥₀− 𝛿𝑥, 𝑦₀), 𝑣_𝑦(𝑥₀− 𝛿𝑥, 𝑦₀)) ∙ (0, −1) + (𝑣_𝑥(𝑥₀+ 𝛿𝑥, 𝑦₀), 𝑣_𝑦(𝑥₀+ 𝛿𝑥, 𝑦₀)) ∙ (0,1) + + (𝑣_𝑥(𝑥₀, 𝑦₀ − 𝛿𝑦), 𝑣_𝑦(𝑥₀, 𝑦₀− 𝛿𝑦)) ∙ (1,0) + (𝑣_𝑥(𝑥₀, 𝑦₀+ 𝛿𝑦), 𝑣_𝑦(𝑥₀, 𝑦₀+ 𝛿𝑦)) ∙ (−1,0)

𝑣_𝑠 = 𝑣_𝑦(𝑥₀+ 𝛿𝑥, 𝑦₀) − 𝑣_𝑦(𝑥₀− 𝛿𝑥, 𝑦₀) + 𝑣_𝑥(𝑥₀, 𝑦₀− 𝛿𝑦) − 𝑣_𝑥(𝑥₀, 𝑦₀+ 𝛿𝑦) Siccome 𝑟_𝑠 ≪ 1, anche 𝛿𝑥 = 𝛿𝑦 è piccolo per cui

𝑣_𝑠 = 𝑣_𝑦(𝑥₀, 𝑦₀) +𝜕𝑣_𝑦

𝜕𝑥 𝛿𝑥 − 𝑣_𝑦(𝑥₀, 𝑦₀) +𝜕𝑣_𝑦

𝜕𝑥 𝛿𝑥 + 𝑣_𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) −𝜕𝑣_𝑥

𝜕𝑦 𝛿𝑦 − 𝑣_𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) −𝜕𝑣_𝑥

𝜕𝑦 𝛿𝑦

𝑣_𝑠 = 2 (𝜕𝑣_𝑦

𝜕𝑥 𝛿𝑥 −𝜕𝑣_𝑥

𝜕𝑦 𝛿𝑦) = 2 (𝜕𝑣_𝑦

𝜕𝑥 −𝜕𝑣_𝑥

𝜕𝑦) 𝑟_𝑠 = 𝜔_𝑠𝑟_𝑠

Si conclude che la velocità angolare di una sferetta fissa in un punto ed immersa in un flusso è un vettore che ha la stessa direzione e verso del rotore, mentre i moduli sono proporzionali secondo la legge

𝜔_𝑠

⃗⃗⃗⃗⃗^{(𝑓𝑖𝑥)} = 2 rot𝑣⃗

Abbiamo quindi la conferma che se un campo è irrotazionale, una sfera immaginaria di piccole dimensioni fissa in un punto non ruoterà su se stessa.

Un esempio significativo è dato dal modello bidimensionale di flusso reale in un canale aperto. La velocità del flusso in funzione della profondità è approssimata dal campo vettoriale

𝑢⃗⃗ = {[ 1 − (𝑧 𝑧_𝐵)

4

] 𝑢_𝑠 , 0 , 0 }

dove 𝑢_𝑠 è la velocità superficiale (massima) , 𝑧 è la profondità, mentre 𝑧_𝐵 è l’altezza del canale. Il rotore vale

rot 𝑢⃗⃗ = {0 , 0 , 4𝑢_𝑠 𝑧_𝐵⁴ 𝑧³ }

Immergiamo nel canale una turbina di raggio 𝑟_𝑇 con il fulcro posto ad una profondità 𝑧₀; questa ruoterà con una velocita tangenziale

14 𝑣_𝑇 = 𝑢(𝑧_𝑂− 𝑟_𝑇) − 𝑢(𝑧_𝑂+ 𝑟_𝑇)

𝑣_𝑇 = [ 1 −(𝑧_𝑂− 𝑟_𝑇 𝑧_𝐵 ⁾

4

− 1 + (𝑧₀+ 𝑟_𝑇 𝑧_𝐵 ⁾

4

] 𝑢_𝑠 = ^{8𝑢𝑠𝑟𝑇𝑧0( 𝑧𝑂}

2 + 𝑟_𝑇² ) 𝑧_𝐵⁴

mentre la velocità angolare è 𝜔_𝑇 = 𝑣_𝑇

𝑟_𝑇 = 8𝑢_𝑠𝑧_𝑂( 𝑧_𝑂²+ 𝑟_𝑇² )

𝑧_𝐵^{4 = 2}

4𝑢_𝑠

𝑧_𝐵⁴ 𝑧_𝑂³ [1 + (𝑟_𝑇 𝑧_𝑂)

2

]

ovvero

𝜔_𝑇

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 [1 + (𝑟_𝑇 𝑧_𝑂)

2

] rot 𝑢⃗⃗ (𝑧_𝑂) che per 𝑟_𝑇 → 0 si riduce a

𝜔_𝑇

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 rot 𝑢⃗⃗ (𝑧_𝑂)

Conclusioni

Benché la fisica sia l’adeguamento di modelli matematici alla realtà materiale, spesso nel dispiegarsi di questo linguaggio vengono a crearsi oggetti indipendenti e solo somiglianti alla realtà che vorrebbero descrivere, per cui non è sempre del tutto soddisfacente ricondurli al senso comune.

Per questo, al fine di una maggiore comprensione, vengono utilizzate delle analogie “da non prendere troppo sul serio”.

In questo caso però, partendo dalla descrizione di una configurazione caratteristica della meccanica applicata alle macchine e poi passando ad un continuum in cui le ruote dentate diventano delle linee di flusso di un campo vettoriale, siamo riusciti a creare un vero e proprio isomorfismo. Si pensi che dalla condizione nella quale il satellite di un meccanismo epicicloidale ruoti con velocità angolare uguale e contraria al portatreno si ricava un campo irrotazionale.

Questo fatto ci aiuta a capire cosa succederebbe se immergessimo una sferetta libera di muoversi in un flusso con questa caratteristica, per cui anche un campo che ci appare “rotante”, può in realtà avere rotore nullo. Ciò è dovuto al fatto che il rotore è la somma vettoriale tra la velocità angolare del campo rotante (macrocircolazione) e della sferetta (microcircolazione). Più in generale, a punto fisso, per qualunque tipo di campo vettoriale, esiste ancora una proporzionalità tra rotore del campo e velocità angolare di una sferetta immersa nel flusso, essendo due vettori paralleli e concordi.

Concludendo, dai rotismi epicicloidali e passando al continuo, rappresentiamo delle linee di flusso di un campo di velocità di quello che potrebbe essere un fluido che trascina una sferetta test, libera di muoversi, da cui la relazione tra il rotore e la sua velocità angolare. Pur consapevoli del limite di tale analogia, un tentativo di formalizzazione viene fatto anche per una sferetta test vincolata in un punto preciso del flusso, per cui ipotizzando che le sue dimensioni siano infinitesime si discretizza il campo vettoriale, giungendo infine alla conclusione che la sua velocità angolare sarà un vettore parallelo al rotore e di modulo doppio.