UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA SCUOLA POLITECNICA A FISICA GENERALE I - Sede di Spezia Compitino del 01/06/2018

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA

A

FISICA GENERALE I - Sede di Spezia – Compitino del 01/06/2018

I passaggi principali devono essere leggibili e corredati di alcune frasi di spiegazione anch’esse leggibili. I risultati numerici finali devono esser espressi con due cifre significative e in unità del sistema internazionale (SI). Gli elaborati anonimi e/o privi di passaggi spiegati e/o di risultati numerici non saranno corretti.

Legge di Lorentz

Una carica positiva q di massa m e velocità 𝑣⃗ = 𝑣 ∙ 𝑦̂

entra in un semispazio dove è presente il campo magnetico 𝐵⃗⃗ = 𝐵 ∙ 𝑧̂ (vedi figura 1). Trascurando la forza peso, si calcoli:

1) il raggio di curvatura della traiettoria;

2) la velocità angolare della particella.

3) il tempo impiegato a ad uscire dalla regione dove è presente il campo magnetico ed il lavoro totale della forza agente sulla carica.

[Dati: q=+1.6·10⁻¹⁹ C; m= 1.67·10⁻²⁷ kg; B= 2T;

v=5.0·10⁶m/s]

Figura 1

Biot-Savart

Un filo curvilineo percorso dalla corrente costante i descrive un tratto di circonferenza di raggio r. Si calcoli:

4) modulo, direzione e verso del campo magnetico generato nel punto O.

[Dati: r =2 cm; 𝐶𝑂𝐵̂ = 𝜋/4; i=2 A]

Figura 2

Momento magnetico ed induzione magnetica

Si consideri una spira rettangolare di lati a e b (vedi figura 3). Esso è posto in una regione dello spazio dove è presente un campo magnetico che inizialmente vale 𝐵⃗⃗ = −𝐵₀∙ 𝑢̂_𝑥. Nella spira circola la corrente i=0.5 A in verso antiorario. Si calcoli:

5) il vettore momento magnetico della spira.

6) il vettore momento torcente.

7) Il vettore forza agente sul tratto di spira posto lungo l'asse y (FOC) e la forza totale agente sulla spira.

Nella spira non circola più corrente. Si calcoli:

8) L'intensità ed il verso della corrente indotta nel caso in cui 𝐵⃗⃗ = 𝐵₀(1 − 𝛼𝑡) ∙ 𝑢̂_𝑧 .

9) la forza elettromotrice indotta all'istante t= nel caso in cui 𝐵⃗⃗ = (𝐵₀, −𝐵₀, 𝛾𝑥𝑒^{− 𝜏𝑡}) .

[Dati: a = 2b; b = 1 cm; =10⁻² s^-1;=0.1 s; B0=3 T; =2 T/m; R=2 ohm]

Figura 3

PUNTEGGIO: 3 punti per ogni risposta data esattamente tranne che per le domande in grassetto che valgono 5 punti l'una.

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B

FISICA GENERALE I - Sede di Spezia – Compitino del 01/06/2018

I passaggi principali devono essere leggibili e corredati di alcune frasi di spiegazione anch’esse leggibili. I risultati numerici finali devono esser espressi con due cifre significative e in unità del sistema internazionale (SI). Gli elaborati anonimi e/o privi di passaggi spiegati e/o di risultati numerici non saranno corretti.

Legge di Lorentz

Una carica positiva q di massa m e velocità 𝑣⃗ = 𝑣 ∙ 𝑥̂

entra in un semispazio dove è presente il campo magnetico 𝐵⃗⃗ = −𝐵 ∙ 𝑧̂ (vedi figura 1). Trascurando la forza peso, si calcoli:

1) il raggio di curvatura della traiettoria;

2) la velocità angolare della particella.

3) il tempo impiegato ad uscire dalla regione dove è presente il campo magnetico ed il lavoro totale della forza agente sulla carica.

[Dati: q= 1.6·10⁻¹⁹ C; m = 1.67·10⁻²⁷ kg; B = 3 T;

v=3.0·10⁶ m/s]

Figura 1

Biot-Savart

Un filo curvilineo percorso dalla corrente costante i descrive una semicirconferenza di raggio R. Si calcoli:

4) modulo, direzione e verso del campo magnetico generato nel punto O.

[Dati: R=1 cm; 𝐶𝑂𝐵̂ = 𝜋; i=3 A]

Figura 2

Momento magnetico ed induzione magnetica

Si consideri una spira rettangolare di lati a e b (vedi figura 3). Essa è posto in una regione dello spazio dove è presente un campo magnetico che inizialmente vale 𝐵⃗⃗ = 𝐵₀∙ 𝑢̂_𝑦. Nella spira circola la corrente i=1.5 A in verso antiorario. Si calcoli:

5) il vettore momento magnetico della spira.

6) il vettore momento torcente.

7) Il vettore forza agente sul tratto di spira posto lungo l'asse x (FOA) e la forza totale agente sulla spira.

Nella spira non circola più corrente. Si calcoli:

8) L'intensità ed il verso della corrente indotta nel caso in cui 𝐵⃗⃗ = 𝐵₀(1 + 𝛼𝑡) ∙ 𝑢̂_𝑧 .

9) la forza elettromotrice indotta all'istante t = nel caso in cui 𝐵⃗⃗ = (−𝐵₀ , 𝐵₀ , 𝛽𝑥²𝑒^{− 𝜏𝑡}) .

[Dati: b = 2a; a = 2 cm; =10⁻³ s^-1;=0.1 s; B0=2. T; =2 T/m²; R=3 ohm]

Figura 3

PUNTEGGIO: 3 punti per ogni risposta data esattamente tranne che per le domande in grassetto che valgono 5 punti l'una.

SOLUZIONI

A-1

Nella regione dove è presente il campo magnetico la carica q viene deviata a causa della forza di Lorentz e la traiettoria sarà circolare. Considerando come istante iniziale quello in cui q passa per O e trascurando la forza peso si avrà e si avrà:

𝐹⃗_𝐿 = 𝑚 𝑎_{𝑐𝑒𝑛𝑡}∙ 𝑥̂ dove acent è l’accelerazione centripeta 𝑎_{𝑐𝑒𝑛𝑡} =^𝑣_𝑅² ed R è il raggio di curvatura della traiettoria di q. Quindi si avrà: 𝑞𝑣𝐵0 = 𝑚^𝑣_𝑅² → 𝑅 =_𝐵^𝑚𝑣

0𝑞≈ 0.02606 m ≈ 0.026 m B-1

Nella regione dove è presente il campo magnetico la carica q viene deviata a causa della forza di Lorentz e la traiettoria sarà circolare. Considerando come istante iniziale quello in cui q passa per O e trascurando la forza peso si avrà e si avrà:

𝐹⃗_𝐿 = 𝑚 𝑎_{𝑐𝑒𝑛𝑡}∙ 𝑦̂ dove acent è l’accelerazione centripeta 𝑎_{𝑐𝑒𝑛𝑡} = ^𝑣_𝑅² ed R è il raggio di curvatura della traiettoria di q. Quindi si avrà: 𝑞𝑣𝐵₀ = 𝑚^𝑣_𝑅² → 𝑅 =_𝐵^𝑚𝑣

0𝑞≈ 0.01042 m ≈ 0.010 m .

A-2

Nella regione dove è presente il campo magnetico il moto delle particelle lo si può schematizzare come un moto circolare uniforme con velocità angolare uguale a 𝜔 =^𝑣_𝑅 ovvero𝜔 = ^𝐵_𝑚^0𝑞≈ 1.91877 ∙ 10⁸ 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ≈ 1.9 ∙ 10⁸ 𝑟𝑎𝑑/𝑠

B-2

Nella regione dove è presente il campo magnetico il moto delle particelle lo si può schematizzare come un moto circolare uniforme con velocità angolare uguale a 𝜔 =^𝑣_𝑅 ovvero 𝜔 =^𝐵_𝑚^0𝑞≈ 2.87816 ∙ 10⁸ 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ≈ 2.9 ∙ 10⁸ 𝑟𝑎𝑑/𝑠

A-3

Quindi il tempo di volo 𝑡_𝑣 impiegato a descrivere la traiettoria costituita da una semicirconferenza sarà:

𝜃(𝑡_𝑣) = 𝜔𝑡_𝑣 = 𝜋 𝑡 =_𝐵^𝜋𝑚

0𝑞≈ 1.637 ∙ 10⁻⁸ 𝑠 ≈ 1.6 ∙ 10⁻⁸ 𝑠

il lavoro compiuto dalla forza di Lorentz è zero perché sempre ortogonale allo spostamento.

B-3

Quindi il tempo di volo 𝑡_𝑣 impiegato a descrivere la traiettoria costituita da una semicirconferenza sarà:

𝜃(𝑡_𝑣) = 𝜔𝑡_𝑣 = 𝜋 𝑡 =_𝐵^𝜋𝑚

0𝑞≈ 1.0915 ∙ 10⁻⁸ 𝑠 ≈ 1.1 ∙ 10⁻⁸ 𝑠

il lavoro compiuto dalla forza di Lorentz è zero perché sempre ortogonale allo spostamento.

A-4

da Biot-Savart: 𝑑𝐵⃗⃗ =^µ_4𝜋⁰ ∙^{𝑖𝑑𝑙⃗×𝑢̂𝑟′}

𝑟^′2 =^µ_4𝜋^0𝑖∙^{(𝑟𝑑𝜃𝑢̂𝜃}_𝑟^{)×(−𝑢̂}₂ ^𝑟)= ^µ_4𝜋^0𝑖∙^{(𝑟𝑑𝜃𝑢̂𝜃}_𝑟^{)×(−𝑢̂}₂ ^𝑟)= +^µ_4𝜋^0𝑖∙^𝑑𝜃_𝑟 ∙ 𝑢̂_𝑧 da cui 𝐵⃗⃗(0) = + ∫₀^𝜋/4µ_4𝜋^0𝑖∙^𝑑𝜃_𝑟 ∙ 𝑢̂_𝑧 =^µ_4𝜋^0𝑖∙_4𝑟^𝜋 ∙ 𝑢̂_𝑧 = _16𝑟^µ0𝑖 ∙ 𝑢̂_𝑧

|𝐵⃗⃗(0)| ≈ 7.854 ∙ 10⁻⁶𝑇 ≈ 7.9 µ𝑇

Osservazione: è stato tenuto conto della direzione della corrente con 𝑑𝑙⃗ (non con gli estremi di integrazione, scelta del tutto equivalente).

B-4

da Biot-Savart: 𝑑𝐵⃗⃗ =^µ_4𝜋⁰ ∙^{𝑖𝑑𝑙⃗×𝑢̂𝑟′}

𝑟^′2 =^µ_4𝜋^0𝑖∙^{(−𝑅𝑑𝜃𝑢̂}_𝑅^𝜃₂^{)×(−𝑢̂𝑟)}= −^µ_4𝜋^0𝑖∙^𝑑𝜃_𝑅 ∙ 𝑢̂_𝑧 da cui 𝐵⃗⃗(0) = − ∫₀^𝜋µ_4𝜋^0𝑖∙^𝑑𝜃_𝑅 ∙ 𝑢̂_𝑧 = −^µ_4𝜋^0𝑖∙^𝜋_𝑅∙ 𝑢̂_𝑧 = −^µ_4𝑅^0𝑖∙ 𝑢̂_𝑧

|𝐵⃗⃗(0)| ≈ 9.425 ∙ 10⁻⁵𝑇 ≈ 94 µ𝑇

Osservazione: è stato tenuto conto della direzione della corrente con 𝑑𝑙⃗ (non con gli estremi di integrazione, scelta del tutto equivalente).

A-5

𝑚⃗⃗⃗ = 𝑖𝑎𝑏 𝑢̂_𝑧

|𝑚⃗⃗⃗| = 𝑖𝑎𝑏 ≈ 1.0 ∙ 10⁻⁴ 𝐴 𝑚² B-5

𝑚⃗⃗⃗ = 𝑖𝑎𝑏 𝑢̂_𝑧

|𝑚⃗⃗⃗| = 𝑖𝑎𝑏 ≈ 1.2 ∙ 10⁻³ 𝐴 𝑚² A-6

𝜏⃗ = 𝑚⃗⃗⃗ × 𝐵⃗⃗ = −𝑖𝑎𝑏𝐵₀𝑢̂_𝑦 ≈ −3.0 ∙ 10⁻⁴ ∙ 𝑢̂_𝑦 𝑁𝑚 B-6

𝜏⃗ = 𝑚⃗⃗⃗ × 𝐵⃗⃗ = −𝑖𝑎𝑏𝐵₀𝑢̂_𝑥≈ −2.4 ∙ 10⁻³ ∙ 𝑢̂_𝑥 𝑁𝑚 A-7

𝐹⃗_𝑂𝐶 = 𝑖𝐿⃗⃗ × 𝐵⃗⃗ = −𝑖𝑏𝐵₀𝑢̂_𝑧 ≈ −0.015 ∙ 𝑢̂_𝑧 𝑁

La forza totale agente sulla spira è nulla perché soggetta ad un campo uniforme.

B-7

𝐹⃗_𝑂𝐴 = 𝑖𝐿⃗⃗ × 𝐵⃗⃗ = +𝑖𝑎𝐵₀𝑢̂_𝑧≈ +0.06 ∙ 𝑢̂_𝑧 𝑁

La forza totale agente sulla spira è nulla perché soggetta ad un campo uniforme.

A-8

In questo caso il campo è uniforme spazialmente e pertanto il flusso concatenato vale:

Φ(𝐵⃗⃗) = 𝑎𝑏𝐵₀(1 − 𝛼𝑡)

La corrente indotta risulta: 𝑖_𝑖𝑛𝑑 = −_𝑅^{1𝑑Φ(𝐵⃗⃗)}_𝑑𝑡 =^𝑎𝑏𝐵_𝑅^0𝛼= 3.0 ∙ 10⁻⁶𝐴 = 3.0 µ𝐴 circolante in senso anti-orario per la legge di Lenz.

B-8

In questo caso il campo è uniforme spazialmente e pertanto il flusso concatenato vale:

Φ(𝐵⃗⃗) = 𝑎𝑏𝐵₀(1 − 𝛼𝑡)

La corrente indotta risulta: 𝑖_𝑖𝑛𝑑 =_𝑅¹|^{𝑑Φ(𝐵⃗⃗)}_𝑑𝑡 | = ^𝑎𝑏𝐵_𝑅^0𝛼= 5.333 ∙ 10⁻⁷ 𝐴 = 0.53 µ𝐴 circolante in senso orario per la legge di Lenz.

A-9

In questo caso il campo non è uniforme spazialmente e pertanto risulta:

Φ(𝐵⃗⃗) = ∫_{𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎}𝐵⃗⃗∙ 𝑢̂_𝑛𝑑Σ = ∫_{𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎}(𝐵₀, −𝐵₀, 𝛾𝑥𝑒^{− 𝜏𝑡})∙ (0,0,1)𝑑Σ = ∫ 𝛾𝑥𝑒₀^{𝑎 − 𝜏𝑡}𝑑Σ = Φ(𝐵⃗⃗) = ∫ 𝛾𝑥𝑒₀^{𝑎 − 𝑡𝜏}𝑏𝑑𝑥 = 𝛾𝑏𝑒^{− 𝜏𝑡}∫ 𝑥₀^𝑎 𝑑𝑥 = 𝛾𝑏𝑒^{− 𝜏𝑡𝑎}₂² =^{𝑎2𝛾𝑏𝑒−}

𝑡 𝜏 2

ε(t) = −^{𝑑Φ(𝐵⃗⃗)}_𝑑𝑡 = −_𝑑𝑡^𝑑 {^{𝑎2𝛾𝑏𝑒−}

𝑡 𝜏

2 } = ^𝑎2_2𝜏^𝑏𝛾𝑒^{− 𝜏𝑡} ε(t = τ) =^𝑎_2𝜏𝑒^2𝑏𝛾≈ 1.4715 ∙ 10⁻⁵ 𝑉 ≈ 15 µ𝑉 B-9

In questo caso il campo non è uniforme spazialmente e pertanto risulta:

Φ(𝐵⃗⃗) = ∫_{𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎}𝐵⃗⃗∙ 𝑢̂_𝑛𝑑Σ = ∫_{𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎}(−𝐵₀, 𝐵₀, 𝛽𝑥²𝑒^{− 𝑡𝜏})∙ (0,0,1)𝑑Σ = ∫ 𝛽𝑥₀^{𝑎 2}𝑒^{− 𝑡𝜏}𝑑Σ = Φ(𝐵⃗⃗) = ∫ 𝛽𝑥₀^{𝑎 2}𝑒^{− 𝜏𝑡}𝑏𝑑𝑥 = 𝛽𝑏𝑒^{− 𝜏𝑡}∫ 𝑥₀^{𝑎 2}𝑑𝑥 = 𝛽𝑏𝑒^{− 𝜏𝑡𝑎}₃³ =^{𝑎3𝛽𝑏𝑒−}

𝑡 𝜏 3

ε(t) = −^{𝑑Φ(𝐵⃗⃗)}_𝑑𝑡 = −_𝑑𝑡^𝑑 {^{𝑎3𝛽𝑏𝑒−}

𝑡 𝜏

3 } =^𝑎3_3𝜏^𝑏𝛽𝑒^{− 𝑡𝜏} ε(t = τ) =^𝑎_3𝜏𝑒^3𝑏𝛽≈ 7.848 ∙ 10⁻⁷ 𝑉 ≈ 0.78 µ𝑉