Qualche considerazione sul principio di De Saint-VenantI

(1)

314

Oltre tali limiti e sempre p e r u n a sezione deformata a 2 lobi il Southwell (5) giunge con a l t r a trat- tazione alla formula :

(6)

in cui σ è la tensione nella fibra compressa che inizia il c e d i m e n t o .

La (6) dà in ogni caso valori m i n o r i di q u e l l o limite σ (s/R) . P e r piccole lunghezz e d'involucro , e quindi p e r forme lobate m e n o semplici le trat-

(⁵) Phil. Mag., pag. 67, 1915.

(6) Phil. Mag., pag. 503, 1913.

(⁷) Phil. Mag., pag. 51, 1914. Si veda pure il noto trattato di S. Timoshenko, « Applied Elasticity », Londra, pag. 247, 1928.

Tali valori non sono, a rigore, coerenti fra loro perchè riferiti ad acciai di v a r i o t i p o . Essi tutta- via obbediscono con sufficiente a p p r o s s i m a z i o n e alla f o r m u l a e m p i r i c a :

(7)

La fig. 1, disegnata su assi l o g a r i t m i c i , serve b e n e al confronto delle v a r i e soluzioni. D i v i d e n d o le o r d i n a t e p e r E si o t t e r r e b b e un grafico t u t t o rife- r i t o a p a r a m e t r i a d i m e n s i o n a l i , ma si è p r e f e r i t o m e t t e r e in evidenza i valori delle pressioni c r i t i c h e . Sulla figura si trova segnata in p a r t i c o l a r e , p e r σ = 6. 10³ at, la linea corrispondente al valore limite pl i m = σ (s/R), con la quale praticamente coincide, data la piccolezza relativa degli spessori in esame, la curva corrispondente al criterio del B e l t r a m i , a cui si è fatto cenno nella' nota prece- d e n t e .

È p u r e segnata p e r z = 4 sia la linea corrispon- d e n t e alla formula (1), sia quella che r i s p o n d e alla n o t a formula del B a c h p e r i forni di c a l d a i e

(8)

nella q u a l e al coefficiente a è stato assegnato il va- l o r e 100, che c o m p e t e ai c i l i n d r i orizzontali.

Le linee c o r r i s p o n d e n t i alle f o r m u l e del Levy e del S o u t h w e l l sono in b u o n a c c o r d o fra loro e n t r o il c a m p o finora e s a m i n a t o . La linea del Southwell si incurva p o i p e r valori crescenti di s/r, t e n d e n d o al l i m i t e già r i c o r d a t o . A s s u m e n d o questa linea come valida p e r u n c a m p o p i ù esteso del prece- d e n t e e c o n t r a s s e g n a n d o i valori ad essa relativi con l ' i n d i c e o, si p u ò a d o t t a r e in p r i m a a p p r o s s i m a - zione la seguente formula e m p i r i c a :

P e r agevolare i confronti con la n o t a p r e c e d e n t e i r i s u l t a t i di queste relazioni sono stati r i p o r t a t i a n c h e in fig. 2, essendo so = rp/σ ed avend o posto σ = 5 . 1 03 a t .

3. - Queste formule, o i grafici, servono a ri- solvere anche il p r o b l e m a inverso al p r e c e d e n t e , quello cioè di determinare lo spessore q u a n d o è n o t a la pressione alla q u a l e l ' i n v o l u c r o deve nor- m a l m e n t e resistere. B a s t e r à m o l t i p l i c a r e tale pressione p e r un o p p o r t u n o fattore di sicurezza e cercare il v a l o r e di s c h e vi c o r r i s p o n d e .

Ad es. p e r p = 1 0 a t , r / l = 0 , l , posto u g u a l e a 5 il fattore di sicurezza, dalla fig. 1 si ha s / r = ~ 0 , 0 3 e dalla fig. 2, s / so= ~ 3 . Se r = 300 mm risulta così s = 9 m m . La (8) a p p l i c a t a n e l m o d o consueto, cioè r i d u c e n d o a p e r l'acciaio dolce a 0,7.103 e p o n e n d o p = 10, fornisce pressochè lo stesso r i s u l t a t o .

Cesare Codegone Politecnico di Torino - Istituto di fisica tecnica.

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a Giuseppe Albenga

Studio della statica di una speciale trave incernierata agli estremi

Della trave inflessa incernierata agli estremi e caricata con legge p (x) in uno dei piani principali si studia con applicazione di serie trigonometriche l'equazione della linea elastica ed il valore della compo-

nente assiale delle reazioni vincolari.

Ci p r o p o n i a m o in questa breve n o t a lo studio statico di u n a t r a v e i n c e r n i e r a t a agli e s t r e m i ; vin- colata cioè in m o d o che ai suoi estremi non siano consentiti s p o s t a m e n t i di sorta p u r essendo per- messe rotazioni. P e r semplicità consideriamo la sezione costante ed il carico in u n o dei p i a n i principali della t r a v e .

Siano E, J m o d u l o di elasticità e m o m e n t o di inerzia della t r a v e , 1 la sua lunghezza, H la com- p o n e n t e assiale della reazione (positiva in senso t r a e n t e ) delle c e r n i e r e , x l'ascissa c o r r e n t e , y ( x ) la linea elastica, p ( x ) il carico c o r r e n t e .

A v r e m o come è facile ricavare p e r la y(x) la equazione colle condizioni agli e s t r e m i :

(1)

y(o) = y"(o) = y(l) = y"(l) = o

ora tale a l l u n g a m e n t o deve essere a c c o m p a g n a t o da u n a reazione vincolare data da

H = εEA dove A è la sezione della trave.

Risulta allora che H viene fornita d a l l ' e q u a z i o n e

(3)

i n o l t r e , se la serie in cui si è s v i l u p p a t o p ( x ) con- verge in m e d i a q u a d r a t i c a la (2) è effettivamente la soluzione di (1).

Si t r a t t a ora di calcolare la H che ovvie consi- derazioni fisiche ci fanno cercare nel c a m p o dei reali positivi.

Se la linea elastica è data da (2) la lunghezza

che si ottiene t r a s c u r a n d o i t e r m i n i oltre il p r i m o nella serie che c o m p a r e in (3).

Eugenio Frola Politecnico di Torino.

Qualche considerazione sul principio di De Saint-Venant

I. Esposizione critica dello sviluppo del problema. - II. Proposta di un metodo di studio approssimato delle strutture elastiche complesse pensate come scomposte in più solidi longilinei continuamente collegati fra loro.

I. - Il p r i n c i p i o di De Saint-Venant è n a t o come giustificazione i n t r o d u t t i v a a quella teoria delle t r a v i snelle, di sezione trasversale c o m p a t t a e costante o solo l e n t a m e n t e v a r i a b i l e lungo un asse ret- tilineo o a g r a n d e raggio di c u r v a t u r a , che t a n t a p a r t e ha avuto nello svolgersi della scienza del costruire.

T u t t a v i a i t r a t t a t i s t i dell'elasticità usano e n u n - ciarlo sotto u n a forma m o l t o g e n e r a l e :

« Secondo questo p r i n c i p i o , le deformazioni u n i - t a r i e p r o d o t t e i n u n corpo d a l l ' a p p l i c a z i o n e , a d u n a piccola zona della sua superfice, di un sistema di forze staticamente e q u i v a l e n t e ad u n a r i s u l t a n t e n u l l a e ad un m o m e n t o n u l l o sono t r a s c u r a b i l i a

distanze g r a n d i rispetto alle dimensioni lineari della zona ».

Così il Love (1), e con lui quasi t u t t i .

Queste p a r o l e n o n sono t r o p p o precise, e si c o m p r e n d e q u i n d i come negli u l t i m i decenni si siano avuti alcuni notevoli studi intesi a giungere sia ad u n a espressione suscettibile di dimostrazione m a t e m a t i c a , sia alla dimostrazione stessa.

Ho sottolineato la parola piccola perchè dalla sua i n t e r p r e t a z i o n e si o r i g i n a n o due diversi ordini di r i c e r c h e .

(1) A. E. H. LOVE, Theory oj Elasticity, p. 132 (4th edi- tion).

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tazioni divengono p i ù c o m p l i c a t e . Al r i g u a r d o i risultati di altri studi del Southwell (6) e delle ri- cerche s p e r i m e n t a l i del Cook (7), validi n e l c a m p o delle deformazioni elastiehe e delle t e m p e r a t u r e o r d i n a r i e , sono c o m p e n d i a t i nella seguente t a b e l l a : Pressioni limiti (in a t m ) per involucri d'acciaio premuti dall'esterno.

s/R = 0,004 0,008 0,012 0,016 0,020 0,024 0,028 0,032 r/l = 0,1 0,18 1,0 2,9 6,6 12,3 17 23 31 0,2 0,37 2,1 5,9 13 2 1 32 47 66 0,3 0,56 3,2 9,3 18 31 51 76 111 0,4 0 , 7 6 , 4 , 5 11,6 25 45 70 101 140 0,5 0,97 5,5 15 32 55 87 132 190 1,0 2,0 — — — — — — — 1,20 4,2 — — — — — — —

EJy

IV

— Hy" = — p ( x )

S v i l u p p a t o p(x) in serie di s e n i :

si vede che le (1) sono f o r m a l m e n t e soddisfatte d a :

di tale linea, trascurati i t e r m i n i di grado s u p e - riore al secondo nelle derivate p r i m e , è :

il che ci dice che l'allungamento assiale è dato da

che in c a m p o reale positivo n o n ha che u n a sola soluzione.

P e r un calcolo n u m e r i c o è p i ù che sufficiente considerare al posto della (3) l ' e q u a z i o n e di 3°

grado

(2)

Infatti ci si p u ò p r o p o r r e di stabilire un teore- m a - l i m i t e che i n d i c h i il m o d o di t e n d e r e a zero delle c o m p o n e n t i di tensione i n t e r n a q u a n d o si fanno t e n d e r e a zero le distanze m u t u e dei p u n t i d ' a p p l i c a z i o n e delle forze esterne o, alternativa- m e n t e , si p u ò c o n s i d e r a r e il p r o b l e m a « in g r a n d e » di assegnare dei confini s u p e r i o r i agli e r r o r i commessi t r a s c u r a n d o certe condizioni al contorno su d i u n ' a r e a piccola m a f i n i t a .

Dal p r i m o p u n t o di vista si è posto il von Mi- ses (2) e ha rilevato u n a interessante conseguenza elastostatica delle distinzioni eseguibili t r a i siste-

Fig. 1.

mi e q u i l i b r a t i d i m o s t r a n d o che gli sforzi p r o d o t t i n e l l ' i n t e r n o d i u n c o r p o s e m p l i c e m e n t e connesso da forze in e q u i l i b r i o a p p l i c a t e sulla sua superfice e n t r o u n a sfera di raggio ε sono in generale infini- tesimi come ε e lo sono invece almeno come ε2 se e solo se l'equilibrio delle forze è astatico.

Egli ha poi a n c h e d i m o s t r a t o falso il r i t e n e r e gli sforzi i n t e r n i p r o d o t t i da p i ù sistemi di forze esterne a p p l i c a t i ciascuno e n t r o u n a sferetta di raggio z m i n o r i , come o r d i n e di grandezza, se i sistemi sono e q u i l i b r a t i ciascuno p e r conto p r o p r i o che se lo sono solo a distanza.

Si p u ò p e r ò dissentire d a l l ' A u t o r e citato sul- l ' o p p o r t u n i t à di estendere t a n t o il significato del p r i n c i p i o di De Saint-Venant c o n s i d e r a n d o , invece di u n o solo, p i ù sistemi di forze a p p l i c a t i su piccole a r e e . . . p e r concludere che il p r i n c i p i o è falso!

P e r affrontare il p r o b l e m a « in g r a n d e », cioè nell'unico modo che possa darci delle indicazioni quantitative nei casi concreti, è necessario, date le a r d u e difficoltà di calcolo, i n t r o d u r r e delle ipotesi particolari sulle forme g e o m e t r i c h e da s t u d i a r e : a l t r i m e n t i sarebbe facilissimo t r o v a r e esempi in cui d u e forze o p p o s t e a p p l i c a t e a distanza finita, ma assai piccola r i s p e t t o , p o n i a m o , alla massima corda inscrittibile n e l corpo in esame, p r o d u c o n o le massime sollecitazioni n e i p u n t i p i ù l o n t a n i ; così succede infatti nel corpo schematizzato in fig. 1, se AOB è di rigidezza flessionale g r a n d e rispetto a quella del t r a t t o f i l i f o r m e A C B .

Lo Z a n a b o n i ha d a t o la rigorosa dimostrazio-

ne (3) del t e o r e m a : « il lavoro di deformazione di un c o r p o elastico in e q u i l i b r i o diminuisce p e r aggiunta di m a t e r i a sulle p a r t i scariche », e ha cre- d u t o , poggiandosi su questo, di a r r i v a r e ad u n a p r o v a generale del p r i n c i p i o di De Saint-Venant che fosse svincolata da ipotesi geometriche restrittive.

Ma, a p a r t e l'obbiezione « a p r i o r i » d e l l ' i m p o s - sibilità di r i d u r r e questioni essenzialmente q u a n t i - tative in t e r m i n i invece q u a l i t a t i v i , le n o t e ora ri- c o r d a t e sono, a m i o avviso, criticabili perchè sa- p e n d o solo (v. fig. 2) che l'energia elastica imma- gazzinata in Ci + Ca + Ca è m i n o r e di quella che si a v r e b b e in C1 + C2, e questa è a sua volta m i n o r e di quella s p e t t a n t e a C1 isolato, n o n si p u ò ancora

Fig. 2.

in a l c u n m o d o d e d u r r e la r i p a r t i z i o n e d e l l ' e n e r g i a fra le t r e p a r t i del corpo complessivo C1 + C2 + C3. Si t r a t t a invero di t r e distinti p r o b l e m i d ' e q u i - librio elastico e la loro intrinseca difficoltà consiste in q u e s t o : passando da u n o a l l ' a l t r o , l'energia si ridistribuisce ogni volta in modo diverso.

In p a r t i c o l a r e , n o n si p u ò affermare che l'energia diminuisca c o n t i n u a m e n t e in u n a data p a r t e , p. es. C2, di questo corpo in accrescimento, n e a n - che se l'aggiunta di m a t e r i a avviene t u t t a a distanze dai p u n t i d ' a p p l i c a z i o n e delle forze maggiori di quelle dei p u n t i di C2.

Di questa r i d i s t r i b u z i o n e d e l l ' e n e r g i a si possono p o r t a r e vari e s e m p i ; n e scelgo d u e :

Si a b b i a (v. fig. 3) u n a lastra cilindrica circo- lare completa e indefinita soggetta ad u n a pressione r a d i a l e u n i f o r m e lungo u n a sua sezione trasversale :

— è n o t o che in questa condizione le generatrici della superficie m e d i a si deformano come sinusoidi smorzate. Se q u i n d i si i m m a g i n a di aggiungere, come C2, u n ' a l e t t a a n u l a r e in corrispondenza di u n o dei circoli n o d a l i della deformata p i ù vicini al circolo delle pressioni esterne, questa risulterà sensibilmente n o n sollecitata. Ma se p o i , come C3

si aggiunge u n ' a l e t t a lungo un circolo non n o d a l e , a n c h e l o n t a n o , si p r o d u r r a n n o sforzi i n t e r n i sia in essa che nella p r e c e d e n t e ed in e n t r a m b e , se suffi- c e n t e m e n t e sottili in m o d o da p o t e r funzionare come sensibili indicatrici degli spostamenti del ci- l i n d r o , le sollecitazioni p o t r a n n o essere r i l e v a n t i .

O p p u r e , si a b b i a (v. fig. 4) u n ' a s t a sottile AB soggetta a due forze assiali o p p o s t e a p p l i c a t e ad u n breve t r a t t o centrale A ' B ' ; s e l'aggiunta d i m a - teria avviene inscrivendo l'asta e n t r o u n a cornice di rigidezza crescente (tratteggiata in disegno) si r i c h i a m a u n a compressione in AA', B B ' ed even- t u a l m e n t e s i p u ò a r r i v a r e a d u n c e d i m e n t o p e r carico di p u n t a !

La connessione n o n semplice dei corpi n e i due esempi n o n è essenziale: gli e s e m p i stessi sono in questa forma p i ù facilmente intuibili ma l'aggiunta di m e m b r a n e esilissime, a n a l o g h e al t r a t t o filifor- me di fig. 1, p o t r e b b e farsi senza modificarne il significato.

N a t u r a l m e n t e con l'osservazione sulla stabilità si esce un p o ' d a l l ' a m b i t o consueto della teoria classica dell'elasticità m a , a l m e n o p e r c h i pensi che questa d e b b a perfezionarsi fino a c o m p r e n d e r e in un assetto logicamente u n i t a r i o quella dei cosidetti sistemi sottili, è stato forse n o n inutile aver n o t a t o la complessità fisica della questione dell'effetto degli accrescimenti di m a t e r i a .

Credo che le cose dette siano sufficenti a p o r r e in guardia contro l ' i n g a n n e v o l e generalità di certi e n u n c i a t i .

Il q u a d r o dello stato a t t u a l e del p r o b l e m a deve p e r ò essere c o m p l e t a t o r i c o r d a n d o che fin dal 1931 il S u p i n o (4) ha o t t e n u t o un risultato esatto, e fon- d a m e n t a l e , p e r il p r i n c i p i o di De Saint-Venant « in g r a n d e » in q u a n t o ha assegnato delle limitazioni q u a n t i t a t i v e p e r gli sforzi e gli s p o s t a m e n t i n e l l ' i n - t e r n o di un corpo elastico p i a n o ed a contorno con- vesso.

P e r avere u n a m i s u r a della difficoltà analitica della q u e s t i o n e , basta riflettere un poco da un lato sul c a r a t t e r e già elevato dei calcoli m e d i a n t e i q u a l i è stato r a g g i u n t o il risultato ora accennato e, d'al- t r o lato, sulla n a t u r a p r a t i c a m e n t e assai restrittiva dell'ipotesi di c o n t o r n o convesso : essa esclude p r o - p r i o quei contorni frastagliati p e r i q u a l i siamo p i ù f r e q u e n t e m e n t e i n d o t t i a d u b i t a r e della a p p l i c a b i - lità delle solite f o r m u l e a p p r o s s i m a t e e desidere- r e m m o sapere qualcosa di p i ù preciso.

I I . - Si c o m p r e n d e così l'interesse, a n c h e a p p l i - cativo, di p e r v e n i r e ad u n a v a l u t a z i o n e approssi- m a t a , e t u t t a v i a abbastanza a t t e n d i b i l e , d e l l ' e n t i t à degli e r r o r i fatti colle formule u s u a l i , e questo è lo scopo della p r e s e n t e n o t a .

Il p u n t o di vista da cui mi p o r r ò è il s e g u e n t e :

« Ammessi t r a s c u r a b i l i gli e r r o r i fatti applican- do le formule della teoria semplificata delle travi ad elementi sufficentemente snelli e longilinei, si p u ò i m p o s t a r e lo studio degli altri corpi conside- r a n d o l i scomposti in due o p i ù di t a l i solidi del D e Saint-Venant u n i t i i n m o d o c o n t i n u o dalle azioni m u t u e scambiate, da calcolarsi come funzioni i p e r s t a t i c h e incognite secondo i soliti m e t o d i ».

Q u e s t ' i d e a di assumere come elemento genera- tore dello spazio elastico un solido di De Saint- Venant r e n d e possibile, caso p e r caso e in m o d o ancora abbastanza semplice, il calcolo della m i n i m a distanza λ = λ (η) dai p u n t i di applicazion e delle forze esterne al di là della quale una data grandezza elastica (densità d ' e n e r g i a o c o m p o n e n t i di tensione o di deformazione) risulti m i n o r e di η in ogni direzione.

La precisione dei calcoli dipenderà dal tipo e d a l n u m e r o dei solidi e l e m e n t a r i assunti e al l i m i t e , cioè p e r solidi infinitamente snelli e n u m e r o s i , po-

Fig. 3.

t r e b b e divenire grandissima, e v e n t u a l m e n t e condu- cendo ad u n a « dimostrazione d e l p r i n c i p i o di De Saint-Venant » ( n e l senso di « determinazione della λ(η) ») sotto condizioni m e n o restrittive di quelle studiate dal Supino.

Qui mi limiterò a scomposizioni in due o tre p a r t i .

P e r esemplificare dico subito c h e h o i n m e n t e s o p r a t u t t o lo studio di q u e l l e varie forme di travi a T, I, Z, L, U sovente n o n a b b a s t a n z a l u n g h e p e r essere t r a n q u i l l a m e n t e t r a t t a t e come sezioni che si m a n t e n g a n o p i a n e d u r a n t e la deformazione e che invece p o t r e b b e r o u t i l m e n t e pensarsi costituite da vari r e t t a n g o l i , o c o m u n q u e da p i ù p a r t i ciascuna calcolabile come t r a v e .

Aggiungo a n c h e c h e , in t e r m i n i rigorosi, l ' i d e a esposta è s e n z ' a l t r o c r i t i c a b i l e : infatti le soluzioni

Fig. 4.

(2) R. v. MISES, Bulletin of the American Mathematìcal

Society, vol. 51, p. 555 (1945). (3) O. ZANABONI, Rendiconti Lincei, vol. 25, p/ 117;

vol. 25, p. 595; vol. 26, p. 340 (1937).

316

317

(4) G. SUPINO, Annali di Matematica pura ed applicata;

ser. IV, to. IX, p. 91 (1931).

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(3)

Fig. 5.

così ottenute dipenderanno dal modo in cui la strut- tura è stata scomposta, non saranno elasticamente corrette come congruenza geometrica e neppure esenti da piccole discontinuità nelle stesse sollecitazioni unitarie.

Ma, se i difetti ora accennati possono spiegare, storicamente, la mancanza di studi di questo tipo, è lecito d'altra parte presumere che le inesattezze a cui conducono risultino lievi nella pratica mentre i calcoli necessari non sono ancora troppo compli- cati e la loro stessa impostazione aiuta a raffinare il nostro modo di comprendere il comportamento fisico delle strutture.

Un caso elementare che si presta all'applicazione del metodo proposto è quello di un corpo, libero da vincoli, con un asse x ed un piano xy di simmetria e sollecitato in questo da due coppie op- poste di intensità Mo su ciascuna metà di una sezione trasversale (v. fig. 5).

Per calcolare la legge d'estinzione di questi sforzi equilibrati, supporrò valide le solite espres- sioni approssimate del lavoro di deformazione Φ per ciascuna metà del corpo considerata a se.

Indicando quindi con J = J(x) A = A(x) χ=χ (x) rispettivamente il momento di inerzia baricentrico, l'area ed il fattore di taglio di una delle due metà simmetriche rispetto al piano xz, si ha per l'intero corpo:

(1)

y = y ( x ) di un solido di r o t a z i o n e perchè dalla equazione (1) risulti M ( x ) p r o p o r z i o n a l e ad y3 e q u i n d i restino sensibilmente costanti le tensioni i n t e r n e , calcolate d i v i d e n d o M p e r il m o d u l o di resistenza.

Posto a n c o r a : J = j . y4 A = a .y2 e definito u come dalla (3), si ricava p e r sostituzione nella ( 1 ) :

Invece quello orizzontale si determina osservando che — nella nostra ipotesi di ala sottile — la risultante N(x) degli sforzi orizzontali applicati alla mezza ala giace sensibilmente nel piano che la separa dalla costola; quindi il momento da cui deriva Ty ì è: M — N b / 2 ossia:

dove, al solito, v è il coefficiente di Poisson.

P e r u n a sezione r e t t a n g o l a r e si p u ò p r e n d e r e 2χ (1 + v) = 3 e scrivere le equazioni variazionali:

Dato lo scopo più che altro indicativo del pre- sente calcolo, si t r a s c u r a p e r b r e v i t à s r i s p e t t o ad h, p o n e n d o :

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(4)

corpo :

dove l'uso della nota, formula è legittimo data l'assenza di sforzi tangenziali nel piano xz.

Per il teorema di Menabrea e per una nota re- gola di calcolo delle variazioni, occorre che:

e di questa e q u a z i o n e conviene fare alcune a p p l i - cazioni.

1) Nel caso di sezione costante, si ha la solu- z i o n e :

con c1, c2 costanti a r b i - t r a r i e e :

(2)

lunghezza di s m o r z a m e n t o .

318

Gli sforzi v a r i a n o c o m e la potenza p = m—3 e la loro legge d'estinzione è ben m e n o forte che n e l caso p r e c e d e n t e .

P e r t g φ = 1/5, p e r la sezione rettangolar e piena , Dal p u n t o di vista fisico bisogna n a t u r a l m é n t e s u p p o r r e t g φ abbastanz a piccola, p . es. i n pratic a m i n o r e di 1/5, anche p e r p o t e r trascurare il lavoro di deformazione assiale delle due p a r t i . Se si ha un cono completo c² = o; così, in questo caso:

ove:

(3)

si ricava la soluzione :

con j,α,χ costanti , e p o s t o : P e r q u a l u n q u e forma costruttiva di sezione costante lo smorzamento è quindi tortissimo e solo p e r fattori di taglio p r a t i c a m e n t e già elevati ( χ = 3 ÷ 4 ) k può eguagliare la dimensione trasver- sale d.

Dalla (2) si vede poi che p e r avere valori alti di k/d o c c o r r e r e b b e accrescere χ come ( k / d )², cosa che è impossibile se ci si limita a contorni convessi della sezione trasversale ma è facile p e r esempio con forme a I ad a n i m a sottilissima.

I n o l t r e si p u ò osservare che n e l legno, in cui E / G è n o t e v o l m e n t e m a g g i o r e che nei c o r p i iso- t r o p i , le lunghezze k s a r a n n o s e m p r e a l q u a n t o su- p e r i o r i .

2) Nel caso di un cono a sezione qualsiasi, con il vertice n e l l ' o r i g i n e , di asse x e semi-angolo d ' a p e r t u r a φ nel pian o xy, si ha :

sma nasce con inclinazione

e così, in quest'ultimo la funicolare del carico assiale e delle forze applicategli d a l l ' a l t r o mezzo p r i - Questa formula p e r m e t t e di d i m o s t r a r e la cosi- detta « legge di r i p a r t i z i o n e a 45° » dato c h e , sup- p o n e n d o Mo dovuto ad u n a forza c o n c e n t r a t a sul- l'asse del p r i s m a , l'eccentricità rispetto all'asse del mezzo p r i s m a risulta a p p u n t o :

In p a n c o l a r e , p e r un p r i s m a a sezione rettan- gola di spessore totale h ( p a r a l l e l a m e n t e ad y) avendosi χ = 6 / 5 , E/ G = 5/2 risulta : k = h/ 4 e se la lunghezza a del prisma è a p p e n a qualche volta maggiore di h, si ha sensibilmente :

L ' i n t e g r a l e d i questa e q u a z i o n e p o r g e :

ma si vede ancor meglio dalla (4) stessa c h e si t r a t t a d i u n a c u r v a a l l o n t a n a n t e s i t a n t o r a p i d a m e n t e dal- l'asse x da n o n potersi p i ù affatto a p p l i c a r e al vo- l u m e da essa g e n e r a t o l'ipotesi di scomponibilità in d u e solidi a b b a s t a n z a snelli.

Con questi esempi si è q u i n d i c h i a r i t o c o m e , se le formule usuali d a n n o luogo ad e r r o r i che si possano a m m e t t e r e t r a s c u r a b i l i p e r solidi d i u n a certa snellezza, gli e r r o r i commessi a p p l i c a n d o l e a solidi di snellezza m e t à siano n e i casi p r a t i c i gene- r a l m e n t e ancora l i m i t a t i .

Ciò illustra il significato d e l p r i n c i p i o di De Saint-Venant n e l senso in cui esso viene c o m u n e - m e n t e inteso ed a p p l i c a t o e, in questo senso, di- m o s t r a che la sua validità è s t r e t t a m e n t e legata, anzi logicamente e q u i v a l e n t e , a l l ' i p o t e s i di piccolezza del lavoro di deformazione p e r taglio rispetto a q u e l l o p e r flessione.

La ricerca di un caso eccezionale in cui non si verificasse q u e l l ' e s t i n z i o n e r a p i d a degli sforzi equi- l i b r a t i su di u n a piccola zona c h e avviene s e m p r e p e r le forme costruttive n o r m a l i ci h a , come do- veva, a u t o m a t i c a m e n t e p o r t a t i al di fuori del c a m p o di ragionevole a p p l i c a b i l i t à della nostra ipotesi.

T e r m i n o con un caso di interesse costruttivo:

la t r a v e a T, di luce L, soggetta ad un carico u n i - forme d ' i n t e n s i t à p, p e n s a t a come scomposta nella costola e nelle due mezze ali.

Con le n o t a z i o n i della fig. 6, supposta l ' o r i g i n e degli assi in mezzeria ed i n d i c a n d o con

il m o m e n t o flettente dovuto ai c a r i c h i , il calcolo p r o c e d e così:

Si assumono come funzioni i p e r s t a t i c h e incognite il m o m e n t o M ( x ) c h e flette u n a mezza ala n e l p i a n o orizzontale e lo sforzo n o r m a l e N ( x ) n e l b a r i c e n t r o Gt della stessa.

Così si t r a s c u r a la flessione p r o p r i a d e l l ' a l a , e q u i n d i anche il suo taglio n e l p i a n o v e r t i c a l e :

Fig. 6.

La costola è a sua volta soggetta a:

m e n t r e p e r la s i m m e t r i a sono mille le a l t r e t r e ca- ratteristiche di sollecitazione.

Si ha a l l o r a :

valore di N(x) nelle ipotesi della t e o r i a semplificata o r d i n a r i a della flessione;

s i t r o v a : u = 100; il che significa che p e r x / a = 0,8 le tensioni i n t e r n e a v r e b b e r o circa il 15 % del loro valore superficiale.

Con sezioni cave o a r t i c o l a t e si t r o v a n o espo- n e n t i m i n o r i ; p e r u n a p i r a m i d e cava d i c o n t o r n o q u a d r a t o e p a r e t i sottili p e r u n a sezione a I con a l i ed a n i m a sottili ed u g u a l i fra loro

3) Come curiosità, ci si p u ò p r o p o r r e di calcolare la forma da assegnare alla curva m e r i d i a n a

(4)

320

T e n u t e presenti le condizioni M = 0 ed N = 0

Sopra i teoremi di reciprocità della Scienza delle Costruzioni

Mediante il teorena dei lavori virtuali si deducono elementarmente i principi di reciprocità del Betti e del Colonnelli. Si delinea anche storicamente il problema ponendolo in relazione con analoghi pro-

blemi dell'elettrotecnica, dell'idraulica e della termotecnica.

1. - È notissimo p e r la fecondità delle a p p l i c a - zioni il t e o r e m a di reciprocità fra forze e sposta- m e n t i elastici che E n r i c o B E T T I diede n e l 1872 (1), in sostanza t r a s p o r t a n d o n e l c a m p o energetico il t e o r e m a e l e m e n t a r e del q u a d r a t o della somma d i d u e n u m e r i , esteso p o i da Luigi DONATI n e l 1899 alle reti di c o n d u t t o r i elettrici (2), poi da U m b e r t o P U P P I N I n e l 1911 allo studio delle falde artesia- ne (3) e n e l 1916 al m o v i m e n t o del calore (4) e in-

fine da Marcello L E L L I n e l 1923 alle falde frea- tiche (5).

Notissimo è p u r e o r m a i il cosiddetto teorema di Land o p r i n c i p i o di r e c i p r o c i t à fra sollecitazioni e spostamenti c h e , esposto n e l 1887 da R o b e r t o LAND p e r la t r a v e continua (6) e d i m o s t r a t o in generale da G i u s e p p e ALBENGA (7), che p e r p r i m o ne fece poi sistematica a p p l i c a z i o n e allo studio delle linee d'in- fluenza, a p p a r v e in seguito come caso p a r t i c o l a r e (1) E. BETTI, Teoria dell'elasticità, Nuovo Cimento, 1872.

(2) L. DONATI, Relazione generale fra le correnti in una rete di fili conduttori, Rendiconti delle Sessioni della R. Accademia dell'Istituto di Bologna, 1899-1900.

(3) U. PUPPINI, Principio di reciprocità nei moti rego- lari dell'acqua, Il Monitore Tecnico, 1911.

(4) U. PUPPINI, Principio di reciprocità fra temperature e flussi di calore, Il Monitore Tecnico, 1916.

(5) M. LELLI, Il principio di reciprocità per le falde frea- tiche, Il Monitore Tecnico, 1923.

(6) R. LAND, Die Gegenseitigkeit elastischer Formände- rung als Grundlage einer allgemeinen Darstellung der Ein- flusslinien aller Trägerarten, Wochenblatt für Baukunde, 1887.

(7) G. ALBENGA, Sul teorema di reciprocità di Land, Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, 1915.

d e l secondo p r i n c i p i o di r e c i p r o c i t à , o principio di Colonnetti, che Gustavo COLONNETTI enunciò nei 1912 (8).

Noto è a n c h e , p u r e n e l c a m p o dell'elasticità il p r i n c i p i o di reciprocità di VOLTERRA fra caratteri- stiche di u n a distorsione e sforzi da essa genera- ti (9), assai vicino a quello di COLONNETTI ma m e n o a d a t t o alle a p p l i c a z i o n i .

Note sono p u r e u n a formola generale (10) com- p r e n d e n t e i p r i n c i p i di B E T T I , COLONNETTI e V O L - TERRA ed u n a acuta discussione generale sinteti- ca, di t u t t i i p r i n c i p i di reciprocità dovuta a

M . L E L L I (1 1) .

Lo scopo, m o l t o m o d e s t o , di questa n o t a è di m o s t r a r e come i p r i n c i p i di B E T T I e di LAND possano dedursi in via del t u t t o e l e m e n t a r e con u n a semplice applicazione del t e o r e m a dei lavori vir- t u a l i .

2. - Consideriamo un solido elastico V sempli- c e m e n t e connesso, l i m i t a t o da u n a superficie di con- t o r n o C e diviso in d u e p a r t i da u n a superficie S;

gli indici 1 e 2 i n d i c h e r a n n o r i s p e t t i v a m e n t e gli enti relativi alle d u e p a r t i .

Consideriamo poi d u e diversi sistemi di forze X, Y , . . . di tensioni in superficie px, py, ... e di t e n - sioni i n t e r n e σx, σy, e X', Y' ... px' , py' , ... σx', Σ, ... equilibrati ed i conseguenti spostamenti ξ, 7), ... e deformazioni εx, εy, ... e ξ', η', ... εx', εy', ...;

siano poi ρ^x, ρ^y, ρ^z e ρ^x', ρ^y', p^z' le c o m p o n e n t i della forza ρ agente sull'unità di superficie S nei d u e casi; e i due stati di deformazione siano en- t r a m b i congruenti in V, ma gli spostamenti possano n o n essere continui n e l passaggio attraverso la superficie S.

Scriviamo l ' e q u a z i o n e dei lavori virtuali p r e n - d e n d o le forze d a l p r i m o sistema e gli spostamenti d a l secondo sistema p r i m a p e r lo spazio V1, indi- c a n d o con ρx, ρy ρz le c o m p o n e n t i osservando che le ρ^x, ρ^y , ρ^z agenti sulla superficie S sono da con- siderarsi come tensioni in superficie,

(2)

(1)

poi p e r lo spazio V2, osservando che in S ρx, ρy, ρz

h a n n o necessariamente p e r V² segno o p p o s t o a quello posseduto p e r V1

(8) G. COLONNETTI, La statica delle costruzioni, Torino, U.T.E.T., 1928, prefazione e memorie ivi citate.

(9) V. VOLTERRA, Sur l'equilibre des corps solides mul- tiplement connexes, Paris, Gauthiers-Villars, 1907.

(10) D. BONVICINI, Sopra una formula comprendente tutti i teoremi di reciprocità della statica dei solidi elastici, Bollettino del Sindacato Provinciale Fascista Ingegneri di Bologna, 1931.

(11) M. LELLI, 1l principio di reciprocità nella fisica, Il Monitore Tecnico 1925 e Annali di Matematica pura e applicata, 1925-1926.

(12) Si omettono ovviamente gli indici 1 e 2 per X, Y,...

ξ',η' ,... ecc. nei due primi integrali del primo membro della (1) e della (2).

poi scriviamo l'equazione dei lavori virtuali traen- do le forze dal secondo sistema e gli spostamenti dal p r i m o , ancora p e r lo spazio V1 p r i m a

(3)

(5)

Dalla (5) si h a n n o subito i principi di Betti e di Colonnetti.

3. - S u p p o n i a m o che e n t r a m b i i sistemi di spo- stamenti ξ , η , ..., ξ' , η' , ... siano continui e rego- lari in t u t t o lo spazio V e sulla superficie S; allora

(6)

e si a n n u l l a n o il quinto ed il sesto integrale del p r i m o m e m b r o della (5).

Ma p e r la legge di H o o k e generalizzata per dalle (5) si ricava facilmente:

Quindi in mezzeria si avrà :

cioè u n a compressione r i s u l t a n t e u n p o ' m i n o r e d i q u a n t o d a r e b b e r o le solite f o r m u l e della sezione complessiva del T t u t t a p i a n a .

Ma la sollecitazione n o n è p i ù σ^o = N^o(0)/bs ri- p a r t i t a u n i f o r m e m e n t e lungo il lembo superiore dell'ala ed è invece massima vicino alla costola dove vale :

ed è q u i n d i s e m p r e m a g g i o r e di σ0 .

In pratica, L è molto maggiore di β e si p u ò t r a s c u r a r e il t e r m i n e i p e r b o l i c o .

Il fattore φ, ch e si ritrova ugual e considerand o la costola invece della mezza ala, dà — p e r R = l, un a u m e n t o di σm a x rispetto a σ0 del- l'11 % circa e d a r e b b e il 30 % n e l caso di trave perfettamente incastrata, p e r cui occorre sostituire ad L la distanza tra i p u n t i di m o m e n t o nullo.

Agli estremi dell'ala si ottiene p e r la sollecitazione m i n i m a :

e siccome l'annullarsi di questa fornisce evidente- m e n t e un limite p e r eccesso alla applicabilità delle formule ora ricavate, si p o t r e b b e d e t e r m i n a r e la larghezza efficace 2b massima p e r l ' i n t e r a ala, t r o - v a n d o p e r la trave incastrata :

(6)

Questo c o r r i s p o n d e certo a d u n a esagerata estra- polazione dell'ipotesi di « ala snella » ed è q u i n d i a b b a s t a n z a notevole che sia ancora l i m i t a t o l ' e r r o r e rispetto a q u a n t o si deduce nella teoria esatta del- l'ala indefinita dovuta al von K a r m a n (5).

Il segno d e l l ' e r r o r e p o t e v a prevedersi : esso è sostanzialmente dovuto a l l ' a v e r supposto che i ca- richi orizzontali a p p l i c a t i alla mezza ala ne influen- zassero i m m e d i a t a m e n t e tutta la sezione, e se nella (6) si sostituisse L — ( 2 b )e f f . ad L si t r o v e r e b b e sen- s i b i l m e n t e il risultato esatto.

Così si p u ò definire la trave a T « n e l senso -, o r d i n a r i o » come quella p e r cui i fattori φ, ψ si di- scostano poco dall'unità, e da questa seconda ap- prossimazione si vede la f o r t u n a t a m e n t e larga a p - plicabilità delle nostre solite f o r m u l e di p r i m a a p - prossimazione derivate dal p r i n c i p i o di De Saint- V e n a n t .

T u t t a v i a in a l t r i casi di calcolo, ancora elemen- t a r e ma p i ù laborioso, che si p o t r e b b e r o fare per esempio s t u d i a n d o la flessione deviata e m e t t e n d o in conto le rigidezze torsionali delle varie p a r t i , r i s u l t e r e b b e r o fattori correttivi n o t e v o l m e n t e maggiori e t a l i q u i n d i da giustificare b e n e il ricorso al m e t o d o q u i p r o p o s t o .

Livio Norzi (5) T H . v. KARMAN, Festschrift August Föppl's, p. 114 (1923).

poi per lo spazio V2

(4)

S o m m a n d o m e m b r o a m e m b r o le (1), (2), (3)

e (4) si h a

(7)

ATTI E RASSEGNA TECNICA DELLA SOCIETÀ DEGLI INGEGNERI E DEGLI ARCHITETTI IN TORINO - NUOVA SERIE - ANNO 6 - N. 10 • OTTOBRE 1952