Derivazioneeintegrazionenumerica
10 – DERIVAZIONE E INTEGRAZIONE NUMERICA
1. Derivazione numerica
Se è una funzione reale di variabile reale derivabile in , risulta
e quindi . Segue
da cui si ricava
(1)
Chiamiamo passo di derivazione il valore h utilizzato nella precedente formula.
Qual è l’errore che si commette approssimando con ? a tal fine sussiste il seguente
TEOREMA
Se è una funzione reale di variabile reale derivabile due volte in , con , l’errore
che si commette sostituendo con è approssimativamente
proporzionale al passo di derivazione h. In particolare si ha:
(2)
Per ottenere una valutazione dell’errore senza calcolare alcuna derivata, procediamo come segue:
Combiniamo la (1) e la (2) ottenendo , con che
rappresenta una prima approssimazione di con passo h assegnato con un errore
Calcoliamo poi una seconda approssimazione con un passo pari ad , con
, ed
( )
f x x0
0 0
0 0
( ) ( )
lim '( )
h
f x h f x h f x
0 ( 0 ) ( 0)
'( ) f x h f x
f x h
0 0
0
( ) ( )
'( ) f x h f x f x h
0 0
0 0
( ) ( )
'( ) f x h f x '( )
f x f x D
h
'( 0)
f x f x( 0 h) f x( 0) h
( )
f x x0 f"( )x0 0
f '(x0) f x( 0 h) f x( 0)
D h
0
1 "( )
2 f x h Kh
0 1
'( )
K h f x D 1 f x( 0 h) f x( 0)
D h
'( 0)
f x
0
1 "( )
2 f x h Kh
D2
10 h
0 0 2
1 "( ) '( )
2 10 10
h h
f x K f x D 2 0 0
( ) 10
10
f x h f x
D h
1 "( 0)
2 10 10
h h
f x K
erivazioneeintegrazionenumerica
Consideriamo il sistema e sottraiamo membro a membro ottenendo
Considerando l’approssimazione di data da , si ha che e quindi si ottiene
che fornisce una stima dell’errore .
In pratica, per determinare un’approssimazione di e valutarne la precisione, procediamo come segue:
1. Si calcolano due approssimazioni , di passo h dato, e
, di passo .
2. Si stima l’errore della seconda approssimazione , che sarà minore di .
ESEMPIO
Calcola una approssimazione della derivata della funzione in e .
Risulta:
0 1
0 2
'( ) 10 '( )
K h f x D
K h f x D
2 1
1 2
9 10
10 10 10 9
D D
h h
D D K h K K h K h K
h
'( 0)
f x D2
10 K h
2 1
2 110
10 9 10 9
D D D D
h h
K h
'( 0) f x
0 0
1
( ) ( )
f x h f x
D h
0 0
2
( ) 10
10
f x h f x
D h
10
h
D2 | 2 1|
9 D D
2
( ) arctan1 x
f x x
x0 0, 5
0, 02 h
2 20 0
1
1 0, 5 0, 02 1 0, 5
arctan arctan
0, 5 0, 02 0, 5
( ) ( )
0, 545216 0, 02
f x h f x
D h
2 2
0 0
2
0, 02 1 0, 5
1 0, 5
arctan 10 arctan
0, 02 0,5 ( ) ( ) 0,5
10 10 0, 541019
0, 02
10 10
f x h f x
D h
Derivazioneeintegrazionenumerica a = x0 x1 x2 x3 x4b = x5
(x0, y(x0)1, y1)(x2, y2) (x3, y3)
(x4, y4) (x5, y5)
(x0, y(x0)1, y1)(x2, y2) (x3, y3)
(x4, y4) (x5, y5)
a = x0 b = x5
x1 x2 x3 x4
Pertanto l’errore sarà minore di .
Si può anche scrivere .
2. Integrazione numerica
Sia f integrabile in e supponiamo ; volendo calcolare un valore approssimato di , si può procedere con uno dei seguenti metodi.
Metodo dei rettangoli
rappresenta l’area del trapezoide. Per calcolarne un valore approssimato, si suddivide l’intervallo in n parti intervalli, ciascuno di ampiezza dove h è detto passo di integrazione.
Risulta: con e .
Posto con , è possibile considerare il trapezoide suddiviso nei rettangoli e pertanto si può approssimare l’area cercata con:
Metodo dei trapezi
Un’approssimazione migliore di si ottiene suddividendo l’intervallo in n parti intervalli, ciascuno di ampiezza dove h è il passo di integrazione.
2 1
| | | 0, 541019 0, 545216 |
0, 000466
9 9
D D
0' 0, 541019 0, 000466
f x
a b, f x( )0( )
b
a
f x dx
( )
b
a
f x dx
a b,h b a n
1,
k k k
I x x k 1,,n k k 1
x x b a h
n
1 1
k k
y f x k 1,,n
0, 1, , n 2, n 1
R R R R
0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1
0 1 2 1
n n n n n n
n n
J R R R R hy hy hy hy h y y y y
h f x f x f x f x
( )
b
a
f x dx
a b,h b a n
erivazioneeintegrazionenumerica (x0, y(x0)1, y1)(x2, y2)
(x3, y3) (x4, y4)
(x5, y5)
a = x0 x1 x2 x3 x4b = x5
Posto con e , è
possibile considerare il trapezoide suddiviso nei trapezi e pertanto si può approssimare l’area cercata con la cosiddetta formula dei trapezi o formula di Bézout:
Per ottenere una valutazione dell’errore è possibile calcolare due valori , con passo di integrazione h , e1 , con passo di integrazione , per poi stimare l’errore tenendo conto della seguente tabella:
METODO FORMULA ERRORE
Rettangoli
Trapezi
ESEMPIO
Calcolare un valore approssimato di .
Basta calcolare in modo approssimato il valore dell’integrale , perché risulta .
Posto , si ha:
1,
k k k
I x x k1,,n k k 1
x x b a h
n
0, ,1 , n 2, n 1
T T T T
0 1 1 2 2 1 1
0 1 2 1
0 1 2 1
2 2 2 2
2 2 2
2
n n n n
n n
n n n
y y y y y y y y
J T T T T h h h h
h y y y y y
J1
J2 2 1
2 h h
0 1 n 1
J h y y y |J1J2|
0 2 1 2 2 2 2 2 1
2 n n n
J h y y y y y y | 1 2| 3 J J
ln 3
3
1
1dx
x 31
1dx ln 3
x
4 n
0 4 1
1, 3, 3 1 0, 5
4 a x b x h b a
n
0 1, 1 1 0, 5 1, 5, 2 1, 5 0, 5 2, 3 2 0, 5 2, 5, 4 2, 5 0, 5 3
x x x x x
Derivazioneeintegrazionenumerica
Dimezzo il passo:
Quindi si ha
1 0 1 1 0 1 2 3
1 1 1 1
0,5 1, 283333
1 1,5 2 2, 5 J h y y yn h y y y y
1 2
0, 5 0, 25
2 2
h h
0 1 2 3 4
5 6 7 8
1, 1 0, 25 1, 25, 1, 25 0, 25 1, 5, 1,5 0, 25 1, 75, 1, 75 0, 25 2, 2 0, 25 2, 25, 2, 25 0, 25 2,5, 2,5 0, 25 2, 75, 2, 75 0, 25 3
x x x x x
x x x x
2 0 1 1 0 7
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
0, 25 1,186544
1 1, 25 1,5 1, 75 2 2, 25 2,5 2, 75
n
h h
J y y y y y
1 2
|J J | |1, 283333 1,186544 | 0, 096789
