Le espressioni aritmetiche
Negli anni passati alla scuola elementare avrai sicuramente risolto molti problemi con l’ausilio delle quattro operazioni.
Quest’anno imparerai a risolvere i problemi con un metodo molto più rapido ed elegante…
Considera il seguente problema:
“Un negozio di articoli sportivi ha esposto in vetrina 2 giacche da sci da 90 Fr l’una, 4 snow-boards da 158 Fr l’uno e 3 caschi da sci da 42 Fr l’uno. Qual è il valore totale della merce esposta?”
a) Risolviamo il problema con il “metodo delle scuole elementari”:
Valore delle giacche: ………
Valore degli snow-boards: ………
Valore dei caschi: ………
Valore totale della merce: ………
Risposta: ………
b) Proviamo a risolvere il problema con il “metodo delle scuole medie”, cioè utilizzando un unico calcolo o, meglio, un’unica espressione:
Valore totale della merce: ………
Risposta: ………
Un’espressione aritmetica è dunque un insieme di numeri legati tra loro per mezzo di alcuni segni di operazione.
Torniamo al problema precedente e al calcolo che ci ha permesso di risolverlo…
Prova a svolgere lo stesso calcolo con la calcolatrice; che risultato ottieni? ………
Svolgi ora il medesimo calcolo con un telefono cellulare; che risultato ottieni? ………
Cosa puoi notare? ………
Qual è il risultato corretto? ………
Evidentemente, per risolvere un’espressione aritmetica è necessario imparare alcune regole che il telefono cellulare non conosce.
Ma quali sono queste regole?
Vediamole insieme…
Risolvi la seguente espressione eseguendo per primo il calcolo sottolineato:
15 – 3 + 10 + 4 = 15 – 3 + 10 + 4 =
……… ………
……… ………
……… ………
Qual è il risultato corretto? ………
Analogamente, risolvi la seguente espressione:
3 ∙ 8 ∙ 2 : 4 = 3 ∙ 8 ∙ 2 : 4 =
……… ………
……… ………
……… ………
Qual è il risultato corretto? ………
PRIMA REGOLA : ………
………
Esercizio
Risolvi le seguenti espressioni:
a) 32 + 8 – 5 + 9 – 10 + 2 = b) 35 – 19 + 8 + 11 – 14 = c) 14 : 7 ∙ 5 ∙ 3 : 15 = d) 6 ∙ 2 ∙ 5 : 20 ∙ 8 : 3 =
Torniamo nuovamente al problema introduttivo e analizziamo il calcolo che ci ha permesso di trovare il valore della merce esposta.
Valore totale della merce: 2 ∙ 90 + 4 ∙ 158 + 3 ∙ 42 = 938 (Fr)
Calcolo effettuato dalla calcolatrice: Calcolo effettuato dal telefono cellulare:
2 ∙ 90 + 4 ∙ 158 + 3 ∙ 42 = 2 ∙ 90 + 4 ∙ 158 + 3 ∙ 42 =
= 180 + 4 ∙ 158 + 3 ∙ 42 = = 180 + 4 ∙ 158 + 3 ∙ 42 =
= 180 + 632 + 3 ∙ 42 = = 184 ∙ 158 + 3 ∙ 42 =
= 180 + 632 + 126 = = 29'072 + 3 ∙ 42 =
= 938 = 29'075 ∙ 42 =
= 1'221'150
Cosa puoi dire dei due calcoli effettuati?
………
………
Risolvi ora la seguente espressione eseguendo per primo il calcolo sottolineato:
8 + 6 : 2 – 5 = 8 + 6 : 2 – 5 =
……… ………
……… ………
……… ………
Qual è il risultato corretto? ………
SECONDA REGOLA : ………
………
………
………
Esercizio
Risolvi le seguenti espressioni:
a) 7 ∙ 2 + 4 ∙ 3 = b) 10 – 6 : 2 + 5 =
c) 6 + 15 : 3 – 11 = d) 12 : 2 – 6 ∙ 5 =
Risolvi ora il seguente problema seguendo lo schema proposto :
“In una classe vi sono 9 ragazzi e 10 ragazze. Ognuno di loro dovrà portare 5 Fr al docente di classe per la prenotazione di una visita al Museo d’Arte Moderna. Quale somma raccoglierà il docente di classe?”
Numero totale di allievi: ………
Somma raccolta: ………
Soluzione tramite un’unica espressione: ………
Cosa puoi notare?
………
………
In questo caso, per segnalare che bisogna effettuare prima l’addizione e poi la moltiplicazione (contrariamente a quanto enunciato nella seconda regola), è necessario utilizzare delle parentesi; il loro ruolo è quello di indicare la priorità di alcune operazioni.
Dunque, l’espressione corretta che permette di risolvere il problema è la seguente:
………
Nella risoluzione delle espressioni ci imbatteremo in vari tipi di parentesi: quelle tonde ( ), quelle quadre [ ] e quelle graffe { }.
I calcoli racchiusi nelle parentesi tonde hanno la precedenza rispetto a quelli racchiusi nelle parentesi quadre, i quali, a loro volta, hanno la precedenza rispetto a quelli racchiusi nelle parentesi graffe.
Ad esempio, 10 – { [ 5 – (6 – 3) ] ∙ 4 } =
………
………
………
………
TERZA REGOLA : ………
………
………
………
Riassunto
Nella risoluzione di espressioni dobbiamo prestare attenzione alle regole seguenti:
• Le parentesi stabiliscono l’ordine di esecuzione dei calcoli; un calcolo racchiuso tra una coppia di parentesi ha la precedenza su tutti gli altri.
Se ci sono più coppie di parentesi una dentro l’altra, si comincia a operare sulla coppia di parentesi più interna.
• La moltiplicazione e la divisione hanno la precedenza rispetto all’addizione e alla sottrazione.
• Nel caso in cui siano già state osservate le regole precedenti oppure nel caso in cui le suddette regole non possano essere utilizzate, i calcoli vanno eseguiti nell’ordine in cui sono scritti, cioè da sinistra a destra.
Esercizi
1. Risolvi le seguenti espressioni:
a) (6 + 4) : 2 = b) 4 ∙ 5 : (7 + 3) =
c) 100 – (40 + 25) = d) 27 + (12 – 4) : (8 – 6) = e) (3 + 7) : 2 + (3 – 1) ∙ 4 = f) (9 + 3) : 2 + (6 + 1) ∙ 5 – 3 = g) 5 ∙ [40 : (8 + 12) + 6] = h) 5 ∙ (9 – 3) + 2 ∙ 8 – (5 ∙ 8 – 23) = i) 15 – (25 – 22) ∙ 2 + 6 ∙ 3 – (25 – 18) ∙ 2 =
j) (18 + 7 ∙ 2) : 4 + 50 : (2 ∙ 3 + 4) – (5 + 7) + 9 =
2. Calcola il valore delle seguenti espressioni e, per ognuna, evidenzia poi la casella contenente il risultato esatto.
Se avrai lavorato correttamente, leggendo nell’ordine le sillabe abbinate ai risultati esatti, potrai ottenere una celebre frase pronunciata dal matematico tedesco Kronecker all’inizio del 1900 che termina con le seguenti parole “…, tutto il resto è opera dell’uomo.”
a) (6 ∙ 8 – 6) : 3 + 5 = b) (10 : 2 + 3) ∙ 8 – 5 = c) 4 + (15 + 9) : 4 + 5 ∙ 2 = d) (15 + 2 ∙ 5 + 11) : 3 – 1 = e) 24 : 2 – (35 : 5 + 2) = f) 11 + 4 ∙ (2 ∙ 8 – 6) = g) 40 : (12 – 8 : 4) – 2 = h) 15 ∙ 2 + (18 + 12) : 15 = i) 30 ∙ 5 – 2 ∙ (60 – 36 : 6) = j) 24 : (4 + 2 ∙ 4) + 6 ∙ 2 = k) (62 – 14) : 8 – 2 ∙ 3 = l) 1 + 2 ∙ [(15 + 8) ∙ 2 + 4] = m) 20 ∙ 5 – [(8 ∙ 3 – 2 ∙ 5) ∙ 3 – 1] = n) [25 – (6 ∙ 4 – 2)] : (16 – 3 ∙ 5) =
1,5 - Ma 19 - Di 9 - Se
24 - mi 6 - per 59 - o 20 - ha 17 - ché 30 - chie
38 - pe 18 - di
150 - sa 7 - so
11 - cre 30 - non 2 - di 3 - a
60 - ri 51 - to 2 - i 5 - sol
32 - nu 4 - ve 60 - re 142 - re 42 - me 592 - in
14 - ri
0 - na
150 - me
13 - se 16 - le 2 - gna 24 - es
277 - pres 101 - tu
20 - lo 59 - ra 72 - sio 3 - li 13 - ni 0 - tu
3. Quasimodo e Anastasia si sono sfidati nel calcolo; decreta tu il vincitore di questa gara individuando chi dei due è riuscito a dare il maggior numero di risposte esatte.
Espressione Risultato proposto Risultato proposto Risultato
da Quasimodo da Anastasia esatto
5 ∙ 4 +2 = 22 30 …………
7 + 5 ∙ 4 = 48 27 …………
7 ∙ 5 – 3 = 32 14 …………
8 + 18 : 2 = 17 13 …………
9 – 7 ∙ 2 = è un numero sotto lo 0 4 …………
(15 – 3) ∙ 3 – 2 = 12 34 …………
30 – 21 : 3 = 27 3 …………
30 – (2 + 20 : 4) = 24,5 23 …………
30 : (18 – 6 : 2) = 2 3 …………
4. Risolvi le seguenti espressioni:
a) 18 : ( 21 ∙ 3 – 36 : 2 – 9 ∙ 4) ∙ 2 + 1 = b) 8 ∙ 5 – (8 ∙ 2 + 4 ∙ 5) : 2 + 4 =
c) (120 – 63 : 7) + (24 ∙ 10 – 12) = d) 64 : (3 ∙ 2 + 2) + (7 ∙ 3 – 44 : 4) ∙ 4 = e) [12 + 3 ∙ (6 + 12 : 6 – 2)] : 10 = f) [9 + 8 ∙ (25 – 9 ∙ 2)] – (6 ∙ 4 – 3) ∙ 2 = g) 145 : [(26 – 2 ∙ 5) – 11] + (4 ∙ 10 + 7) = h) [54 : (7 ∙ 3 – 36 : 3) – (7 + 12 : 3) : 11] + 15 =
i) 3 ∙ 20 – 2 ∙ [12 ∙ 3 – (18 – 12 : 2) ∙ 2 + (20 – 16 : 4)] = j) {[(3 ∙ 9 + 5 ∙ 3 – 2) ∙ 5 – 4] : 4 – 3} : 2 – 3 ∙ 7 =
k) {[16 + 16 : (10 – 2)] – 3 ∙ 4} – (5 + 4 + 7) : (11 – 3) = l) {[(5 ∙ 7 + 5 ∙ 3) – 7 ∙ (112 – 21 ∙ 5)] ∙ 56 } : 7 =
m) {[17 – 3 ∙ (7 – 2)] + 6 ∙ (8 – 5) ∙ 2} – 2 ∙ (7 + 5) = n) {[(450 – 12 ∙ 3) + 106] : 40 + 1} : 2 + (28 + 7 ∙ 5) ∙ 7 =
o) {[71 ∙ 4 + 120 : (26 + 14) + 13] : 100 + 3 ∙ [27 – (17 + 5)]} : 6 = p) [(3 ∙ 2 + 8 ∙ 2) : 2 + (6 ∙ 8 – 9)] : 10 + [(6 ∙ 2 – 8) : 2 – 1] + 7 ∙ 3 = q) {(116 + 8 ∙ 5) – [(2 ∙ 9 + 8 ∙ 2) – (5 ∙ 5 – 27 : 3) ∙ 2]} + 8 ∙ (8 : 4) =
5. Risolvi i seguenti problemi utilizzando le espressioni:
a) Ho comprato una camicia per 34,80 Fr e tre paia di calze. Sapendo che in tutto ho speso 49,05 Fr, sapresti dire quanto costava un paio di calze?
b) Carletto ha deciso di ordinare tutti i suoi materiali di scuola; per far ciò ha comprato 12 classeur da 4,50 Fr l’uno. Sapendo che ha ottenuto uno sconto di 3,50 Fr sul prezzo totale, sapresti dire quanto ha speso?
c) Un docente ha raccolto le ordinazioni dei francobolli della Pro Juventute nella sua classe. Egli ordina 50 francobolli da 90 cts l’uno, 70 francobolli da 1,20 Fr l’uno, 12 libretti di francobolli del valore di 10 Fr l’uno e 15 serie di biglietti augurali del valore di 6 Fr l’una. Paga la fattura con quattro banconote da 100 Fr. Quanto riceve di resto?
d) Quattro amici, dopo aver cenato insieme, ricevono il seguente conto:
- due primi (17 Fr l’uno) e due secondi (19 Fr l’uno);
- una bottiglia di vino da 24 Fr e due bottiglie d’acqua da 3 Fr l’una;
- tre gelati (4,50 Fr l’uno);
- quattro caffé (2,20 Fr l’uno) e un digestivo (3,50 Fr).
Decidono di dividere la spesa in parti uguali: quanto pagherà ognuno di loro?
e) Sedici amici si recano in montagna per una gita. Per evitare una parte di salita decidono di far uso di una telecabina. Il prezzo del biglietto è di 13,50 Fr per persona. Quattro di loro sono però privi di borsellino; gli amici decidono pertanto di dividersi la spesa del loro biglietto. Quanto pagherà in più ognuno di loro?
