DIMENSIONAMENTO DELL’IMPIANTO

DIMENSIONAMENTO DELL’IMPIANTO

Ipotesi preliminari

Analizziamo il funzionamento di un semplice generatore magnetoidrodinamico a metallo liquido di tipo Faraday continuo a conduzione come quello rappresentato in figura 56.

N + S

x z -

y

L

h

s

Figura 56: Geometria del generatore MHD

In prima approssimazione, riferendoci al sistema di coordinate rappresentato in figura, ipotizziamo:

− che il vettore induzione magnetica abbia una sola componente non nulla, quella diretta lungo l’asse del magnete ( )

^Bz

, di valore costante

^†

;

− che il vettore velocità abbia una sola componente non nulla, quella diretta nella direzione principale del flusso ( )

^ux

, e che il numero di Hartmann sia sufficientemente elevato da garantire un profilo di velocità piatto, di valore costante;

− che la conducibilità elettrica del fluido sia uniforme (fluido isotropo);

− che le pareti del condotto siano perfettamente isolanti.

† In realtà, il campo magnetico avrà anche una componente diretta lungo y, la cui intensità dipende dalla grandezza del numero di Reynolds magnetico; gli effetti che derivano da questa componente verranno trascurati.

Caratteristica elettrica

Dalla teoria generale della magnetoidrodinamica sappiamo che il campo elettrico di natura mozionale indotto in un fluido elettricamente conduttore in moto all’interno di un campo magnetico è proporzionale alla velocità e all’induzione magnetica. Questo campo elettrico costituisce la forzaelettromotrice che sta alla base del funzionamento del generatore.

Consideriamo il seguente circuito elettrico:

Figura 57: Circuito elettrico equivalente del generatore

Scrivendo l’equazione di equilibrio alla maglia si ottiene:

V = − E R I

in

⋅ Dove: V è la tensione ai morsetti;

E è la forzaelettromotrice (

^{E u B h= ⋅ ⋅x z}

) ^;

I è la corrente erogata;

R

in

è la resistenza interna del canale MHD

_in

h R σ s L

 = 

 ⋅ ⋅ 

  .

Supponiamo, per il momento, di lavorare a velocità costante; la caratteristica elettrica (cioè l’andamento della tensione ai morsetti in funzione della corrente erogata) è una retta decrescente che intercetta gli assi cartesiani in due punti particolari, che individuano le tre zone di funzionamento comuni a tutti i generatori elettrici: per

I =0

si ha V

₀

= (funzionamento a vuoto) E e per

V =0

si ha I

_cc

= E R

_in

(funzionamento in corto circuito); tutte le possibili condizioni di funzionamento da generatore si trovano nell’intervallo compreso fra questi due punti.

Se ai morsetti della macchina viene applicata una tensione maggiore della forzaelettromotrice a

vuoto, la corrente cambia direzione, provocando l’inversione del flusso di potenza: la macchina

funziona ora da motore (o meglio da pompa, visto che interagisce con un fluido), assorbendo

potenza elettrica dalla rete di alimentazione e trasferendo potenza meccanica al fluido (se la

corrente si inverte, cambia segno anche il gradiente di pressione ( ^{G j ∧ B G} ) , che non si oppone più al

moto del fluido).

Se la corrente supera il valore di corto circuito, la tensione ai morsetti inverte la sua polarità e la macchina assorbe potenza elettrica, continuando ad assorbire anche potenza meccanica dal moto del fluido: si ha il classico funzionamento da freno elettromagnetico.

La Figura 58 riassume le condizioni di lavoro appena descritte; noi ci limiteremo ad analizzare il funzionamento da generatore.

Figura 58: Caratteristica elettrica e regioni di funzionamento

Il generatore che andremo a progettare non funziona a velocità costante: scrivendo l’equazione di equilibrio al circuito idraulico del mercurio si vede che la forza fluidomotrice ottenuta tramite il miscelamento deve vincere le perdite di carico (proporzionali al quadrato della velocità) e il gradiente di pressione resistente creato dalle forze elettromagnetiche:

2

2

Hg x y z

Hg x y

FFM f u j B L

FFM f u I B L

s L

ρ

ρ

= ⋅ ⋅ + ∧ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ G G

Il fattore di perdita f tiene conto prevalentemente delle perdite di carico concentrate (in

corrispondenza delle due curve a gomito all’inizio e alla fine del condotto discendente e delle due

variazioni brusche di sezione trasversale alle estremità del condotto MHD), dato che la lunghezza

del circuito idraulico è contenuta. Nel seguito si assumerà f = . 2

Rielaborando l’equazione precedente si ottiene l’andamento della velocità in funzione della corrente erogata dal generatore:

z

x

Hg

FFM I B u s

ρ f

− ⋅

= ⋅

Ipotizzando una forza fluidomotrice costante (vedremo nel prossimo paragrafo che questo comporta un asservimento della portata di vapore a quella di mercurio, in modo da mantenere costante il grado di vuoto alla fine del condotto ascendente), la velocità è compresa tra zero (in condizioni di corto circuito, situazione analoga a quella a rotore bloccato per una macchina elettrica tradizionale) e un valore massimo u

_x,0

= FFM ρ

_Hg

⋅ (a vuoto). f

Lavorando ad induzione magnetica costante (magneti permanenti), la forza elettromotrice indotta è proporzionale alla velocità, quindi la caratteristica elettrica cambia forma: per correnti molto basse l’andamento è ancora vicino a quello lineare ottenuto in precedenza; per correnti elevate l’effetto di frenatura elettromagnetica fa diminuire sensibilmente la velocità, quindi la fem, aumentando la pendenza (negativa). Una volta terminato il progetto, vedremo una rappresentazione della caratteristica elettrica effettiva del generatore.

Rendimento di conversione

Utilizzando l’espressione ricavata nel paragrafo precedente per la velocità, si può ricavare l’espressione della forza elettromotrice indotta in funzione della corrente (l’espressione analitica della caratteristica elettrica):

z

x z z x z

Hg

FFM I B E u B h B h u B h s

ρ f

− ⋅

= ∧ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ G G

Moltiplicando l’equazione di equilibrio elettrico del circuito equivalente del generatore si ottiene il bilancio delle potenze:

2

V I ⋅ = ⋅ − E I R

in

⋅ I

dove:

V I⋅

rappresenta la potenza elettrica trasmessa al carico;

E I ⋅ rappresenta la potenza meccanica sottratta al fluido;

2

R

in

⋅ rappresenta la potenza dissipata per effetto Joule nel fluido. I

Il rendimento di conversione del generatore, definito come rapporto tra la potenza elettrica ottenuta e la potenza meccanica spesa, può essere ricavato come:

2

1

in in

E I R I R I

V I

E I E I E

η = ^⋅ = ^{⋅ − ⋅} = − ^⋅

⋅ ⋅

Si noti come il rendimento di conversione coincida con il rapporto fra tensione raccolta ai morsetti e forza elettromotrice indotta (il fattore di carico introdotto parlando dei generatori a gas).

Sostituendo le espressioni della velocità e della resistenza interna, i termini che rappresentano le potenze in gioco e il rendimento possono essere espressi in funzione della corrente e dei parametri di progetto, in modo da individuare dei criteri di scelta ottimali:

2 z

el z

Hg

FFM Bs I h

P V I B h I I

f

ρ σ

s L

− ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

⋅ ⋅ ⋅

z

mecc z

Hg

FFM B I P E I B h I s

f

ρ

− ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅

1 1 ^Hg

z x z z

hs L I I f

B h u s L B FFM I B s

σ ρ

η σ

⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ = − ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

I parametri da determinare sono:

− geometria del canale MHD: spessore s, larghezza h e lunghezza L;

− forza fluidomotrice FFM;

− induzione magnetica B

z

.

I vincoli da rispettare per un corretto dimensionamento sono:

− ottenere il livello di potenza richiesto, P

_n

= 15 kW , prevedendo una certa capacità di sovraccarico (il generatore deve poter erogare una potenza maggiore di quella nominale, anche se con prestazioni ridotte, per un certo periodo di tempo);

− massimizzare il rendimento di conversione.

Poiché le espressioni sono abbastanza complicate, non è immediato capire l’influenza di alcuni dei parametri; si è pensato, allora, di stabilire dei valori orientativi per ciascuna grandezza e di analizzare singolarmente l’effetto di variazioni discrete di un parametro alla volta riportando su dei grafici gli andamenti di potenza elettrica, velocità, tensione e rendimento in funzione della corrente.

Ottimizzazione dei parametri

Induzione magnetica

Le figure da 59 a 62 descrivono l’andamento di alcune grandezze rappresentative del

funzionamento del generatore in funzione delle condizioni di carico (corrente elettrica erogata), per

alcuni valori dell’induzione magnetica B

z

.

Figura 59: Influenza dell'induzione magnetica sulla potenza elettrica erogata

Figura 60: Influenza dell'induzione magnetica sul rendimento di conversione

Figura 61: Influenza dell'induzione magnetica sulla velocità del mercurio

Figura 62: Influenza dell'induzione magnetica sulla tensione ai morsetti

Per bassi valori di corrente erogata, un aumento dell’induzione magnetica si traduce in un miglioramento del rendimento e in un innalzamento del livello di tensione; invece, quando la corrente assume valori molto elevati, si verifica un’inversione di tendenza: il gradiente di pressione resistente dovuto alle forze elettromagnetiche aumenta molto e il rendimento crolla. Tuttavia, nelle normali condizioni di funzionamento del generatore (lungo il tratto in salita della curva della potenza elettrica, corrispondente alla regione di stabilità) prevale l’effetto benefico, pertanto si cerca di operare con il massimo valore di induzione che è possibile ottenere dalla tecnologia dei magneti permanenti.

Per ora ci limitiamo a scegliere un’induzione B

_z

= 1,5 T , successivamente, una volta determinate le dimensioni del canale, quindi del traferro, procederemo al dimensionamento del circuito magnetico.

Geometria del canale MHD

Il canale all’interno del generatore MHD ha la forma di un parallelepipedo; secondo le notazioni introdotte in Figura 56 indichiamo con:

− L la lunghezza (misurata lungo x, la direzione del flusso);

− h la larghezza (misurata lungo y, la direzione delle grandezze elettriche);

− s lo spessore (misurato lungo z, la direzione del campo magnetico).

Le figure da 63 a 66 descrivono il funzionamento del generatore al variare dell’altezza del canale L.

Figura 63: Influenza della lunghezza del canale sulla potenza elettrica erogata

Figura 64: Influenza della lunghezza del canale sul rendimento di conversione

Figura 65: Influenza della lunghezza del canale sulla velocità del mercurio

Figura 66: Influenza della lunghezza del canale sulla tensione ai morsetti

Come si poteva vedere anche dalle espressioni analitiche, la lunghezza del canale non ha nessuna influenza sulla velocità del fluido, sulla tensione e sulla potenza meccanica assorbita; la dimensione L determina soltanto il valore della resistenza interna del canale, quindi quello della potenza dissipata per effetto Joule; grazie all’elevato valore del rendimento di conversione, la conseguente influenza sulla potenza elettrica totale è molto contenuta.

La scelta di L deriva, quindi, da una soluzione di compromesso fra la massima capacità di sovraccarico (la potenza elettrica massima erogabile) e l’ingombro (quindi il costo e il peso) dell’impianto. Si ricorda, infatti, che le dimensioni del traferro del circuito magnetico devono coincidere con quelle del canale.

Un valore accettabile potrebbe essere L = 1,5 m .

Le figure da 67 a 70 descrivono il funzionamento del generatore al variare della larghezza del

canale, h.

Figura 67: Influenza della larghezza del canale sulla potenza elettrica erogata

Figura 68: Influenza della larghezza del canale sul rendimento di conversione

Figura 69: Influenza della larghezza del canale sulla velocità del mercurio

Figura 70: Influenza della larghezza del canale sulla tensione ai morsetti

Come si evince dai grafici precedenti, la larghezza del canale non modifica affatto la velocità del mercurio, e influenza in egual misura la potenza elettrica e quella meccanica, quindi non inferisce sul rendimento. Come nel caso precedente, sebbene un aumento di h permetta di aumentare la tensione e la potenza elettrica prodotta (a parità di corrente), bisogna scegliere un valore di compromesso per non far levitare l’ingombro e il costo dell’impianto.

Una buona soluzione potrebbe essere h = 0, 4 m .

Le figure da 71 a 74 descrivono il comportamento del generatore al variare dello spessore del canale, s.

Figura 71: Influenza dello spessore del canale sulla potenza elettrica erogata

Figura 72: Influenza dello spessore del canale sul rendimento di conversione

Figura 73: Influenza dello spessore del canale sulla velocità del mercurio

Figura 74: Influenza dello spessore del canale sulla tensione ai morsetti

In ciascuno dei grafici precedenti risulta evidente l’effetto vantaggioso derivante dall’aumento dello spessore del canale; tuttavia, poiché s rappresenta anche la lunghezza del traferro in cui bisogna creare l’induzione magnetica che sta alla base del principio di funzionamento del generatore, anche in questo caso bisogna scegliere una soluzione di compromesso.

Come abbiamo visto nel capitolo in cui abbiamo descritto le proprietà dei materiali magnetici, per creare una certa induzione in un traferro di una certa lunghezza, occorre un magnete permanente di lunghezza µ

_m

volte maggiore, spesso alcune decine: questo fa pendere l’ago della bilancia dei costi dalla parte del circuito magnetico, pertanto la soluzione migliore è la minima che permette di raggiungere il livello di potenza desiderato, s = 0,3 m

Forza fluidomotrice

Per quanto riguarda la conversione energetica, è evidente il vantaggio di avere a disposizione sul

generatore il massimo gradiente di pressione possibile: come si può verificare dai grafici riportati

nelle figure da 75 a 78, questo si traduce in un aumento della velocità, quindi della tensione; a parità

di potenza, questo comporta una diminuzione della corrente, quindi delle perdite per effetto Joule,

con un consistente miglioramento del rendimento.

Figura 75: Influenza della forza fluidomotrice sulla potenza elettrica erogata

Figura 76: Influenza della forza fluidomotrice sul rendimento di conversione

Figura 77: Influenza della forza fluidomotrice sulla velocità del mercurio

Figura 78: Influenza della forza fluidomotrice sulla tensione ai morsetti

Nonostante i sopraccitati motivi per cui sarebbe conveniente lavorare con una forza fluidomotrice elevata, la scelta che faremo ricadrà sul più piccolo dei valori indicati nei grafici: FFM = 1,5 bar . I motivi di questa scelta in controtendenza sono principalmente due, ma ne comprenderemo meglio l’importanza dopo aver dimensionato il condotto ascendente (vedi paragrafo successivo):

− la lunghezza di tale condotto aumenta notevolmente all’aumentare della forza fluidomotrice desiderata;

− all’aumentare della velocità del mercurio (quindi della sua portata in massa), per rispettare i vincoli sul grado di vuoto, occorre adeguare anche la portata di vapore: a parità di potenza elettrica generata, pertanto, aumenta la potenza termica introdotta nel ciclo termodinamico, e il rendimento complessivo dell’impianto crolla bruscamente (la compensazione conseguente al miglioramento dell’efficienza di conversione del generatore vero e proprio è marginale: come negli impianti tradizionali, è il ciclo l’anello debole della catena delle trasformazioni di energia).

Dimensionamento del condotto ascendente

Espansione isoterma

Nel condotto ascendente il vapore surriscaldato viene miscelato con il metallo liquido al fine di diminuire la densità media e permettere una circolazione naturale del fluido elettrodinamico.

Dal punto di vista termodinamico il vapore viene fatto espandere dalla pressione del miscelatore (che corrisponde a quella di introduzione del calore nel ciclo termodinamico) alla pressione del separatore (che coincide con quella dello scambiatore di calore).

Scriviamo il bilancio dell’energia associato a questa trasformazione al fine di caratterizzarla opportunamente: consideriamo l’intero condotto ascendente come volume di riferimento e analizziamo gli scambi di energia cui è soggetta la miscela bifase nel suo complesso:

− il sistema è globalmente adiabatico, cioè non si verificano scambi termici con l’ambiente esterno attraverso le pareti del condotto, dq

_e

= ; 0

− il sistema è rigido e privo di parti in movimento, quindi non sono possibili scambi di lavoro meccanico con l’ambiente esterno, dl

_m

= ; 0

− non sono presenti forze generalizzate di natura particolare, dl

_nm

= ; 0

− la velocità del mercurio non varia sensibilmente tra le due sezioni di ingresso e uscita del condotto,

w dw⋅ =0

;

− il termine legato alla variazione di energia potenziale compare se si analizza il solo condotto

ascendente, ma verrebbe bilanciato con il contributo uguale ed opposto relativo al condotto

discendente se si esaminasse il sistema nel suo complesso (il mercurio acquista energia

potenziale durante il miscelamento a spese dell’energia termica posseduta dal vapore, ne impegna una parte per il mantenimento della circolazione naturale sotto forma di forza fluidomotrice, e ne restituisce una parte attraverso le interazioni elettromagnetiche in corrispondenza del generatore MHD).

L’equazione di bilancio energetico dei sistemi aperti in regime permanente prevede:

e a m nm a

dq + dq − = di dl + dl + dl + ⋅ w dw g dh + ⋅

Sostituendo quanto affermato in precedenza e ricordando che il lavoro perso per attrito si trasforma interamente in calore (

^{dla =dqa}

) , si verifica che la variazione di entalpia coincide con la variazione di energia potenziale:

di = − ⋅ g dh

Per scrivere la variazione di entalpia in termini differenziali in funzione delle grandezze termodinamiche e delle proprietà delle due sostanze, tenendo conto della composizione della miscela, sono necessarie alcune ipotesi:

− il comportamento della fase liquida è stato modellato con la teoria dei liquidi incomprimibili, e questo è più che ragionevole per il mercurio liquido;

− il comportamento della fase gassosa è stato modellato con la teoria dei gas ideali; nonostante questa ipotesi non sia del tutto verificata per i vapori surriscaldati, verrà adottata anche nel seguito, almeno in prima approssimazione;

− si suppone che la trasformazione sia reversibile dal punto di vista termodinamico.

Definiamo il rapporto m (costante) fra le portate in massa delle due componenti:

Hg vap

m W = W

Si può scrivere, allora, la seguente equazione di bilancio energetico:

( )

, ,

p vap p Hg Hg

di c = ⋅ dT m c + ⋅ ⋅ dT v + ⋅ dp = − ⋅ ⋅ m g dh

che, opportunamente rielaborata, permette di calcolare la variazione di temperatura in termini differenziali:

( )

, ,

Hg

p vap p Hg

m g dh v dp

dT c m c

⋅ ⋅ + ⋅

= − + ⋅

Supponendo che la densità del mercurio e entrambi i calori specifici siano costanti, l’integrazione dell’ultima equazione tra la sezione di ingresso e quella di uscita del condotto ascendente porta alla determinazione della variazione di temperatura cui è soggetta la miscela bifase:

( )

, ,

Hg fine inizio fine inizio

p vap p Hg

m g H v p p

T T

c m c

 

⋅ ⋅ +  ⋅ − 

− = −

+ ⋅

Sostituendo i valori (alcuni sono costanti, altri sono parametri che verranno determinati in seguito):

1 12810 3

Hg vHg kg m

ρ

= ⁻ ≅

, c

_{p Hg,}

≅ 136 J kg K ⋅ , c

_{p vap},

≅ 2100 J kg K ⋅ , g = 9,81 / m s

²

7,83

H = m ,

m=49000

, ∆ = − p 8,5 bar = − 8,5 10 ⋅

⁵

N m

²

si ha:

( )

8,5 10

5

49000 9,81 7,83

12810

0,077 2100 49000 135

T K

 ⋅ 

⋅  ⋅ − 

 

∆ = =

+ ⋅

La trasformazione che avviene nel condotto ascendente non è caratterizzata da variazioni di temperatura, quindi l’espansione del vapore avviene in maniera isoterma.

Configurazione del flusso

Per calcolare l’altezza del condotto necessaria a sollevare il metallo liquido bisogna ricavare l’espressione del gradiente di pressione lungo il condotto ascendente e integrare l’equazione differenziale che ne deriva tra i due valori di pressione imposti al miscelatore e al separatore.

L’espressione del gradiente di pressione dipende dal modello adottato per studiare la miscela bifase:

è ragionevole pensare che il flusso bifase sia caratterizzato da molte bollicine di vapore disperse nel metallo liquido e che la velocità relativa tra le due componenti non sia trascurabile, pertanto si lavorerà con un modello a flusso di scorrimento di tipo “a bolle”.

Non potendo conoscere con esattezza la dimensione delle bollicine, facendo riferimento alla Tabella 6, che riassume gli studi di Zuber e Findlay, si ipotizza un regime agitato-turbolento; l’espressione del flusso di scorrimento è quella classica:

( ¹ )

ⁿ

j

gf

= ⋅ ⋅ − v

_∞

α α che si riduce a

j

gf

= ⋅ v

_∞

α

se si sceglie

n=0

, come suggerito dagli studi precedenti riportati in letteratura.

L’espressione per la velocità terminale è

( )

4 2

1,53 ^{Hg g}

Hg

v

σ

g

ρ ρ

∞

ρ

⋅ ⋅ −

= ⋅

che, in virtù della forte differenza tra le densità dei due fluidi ( ^ρ

^Hg

^{>> ρ}

^g

) , si riduce a 1,53

4

Hg

v σ g

∞

= ⋅ ρ ⋅

Per il mercurio (tensione superficiale σ

=0, 417 N m

) si ottiene una velocità di salita delle singole bolle pari a

4 4

0, 417 9,81

1,53 0, 2

1, 281 10 v m

∞

= ⋅ ⋅ = s

⋅

Quindi si può esprimere il flusso di scorrimento in funzione del grado di vuoto:

[ ]

gf 0, 2

j = ⋅

α

m s

Sostituendo il risultato ottenuto nell’espressione del grado di vuoto e esplicitando α si ottiene:

g

1

g f g

j v

j j j

α = + ⋅ − ^   

^∞

^⋅ α ^   

g

g f

j

j j v

α

∞

= + +

Grado di vuoto

Il modello adottato per studiare il flusso bifase è valido finché la configurazione del flusso è caratterizzata dalla presenza di tante piccole bolle: questo si traduce in un limite massimo per il grado di vuoto; infatti, se la percentuale in volume del gas rispetto al totale fosse elevata, aumenterebbe il numero di bolle, e con esso la probabilità che esse collassano l’una con l’altra, andando a formare bolle sempre più grandi.

Questo potrebbe portare ad un cambiamento di configurazione: qualora le bolle occupassero tutta la sezione del condotto si parlerebbe di flusso “a tappi” e il modello da usare sarebbe un altro.

Fissare un massimo per il grado di vuoto equivale a fissare un massimo per il rapporto fra le portate in massa delle due componenti: supponiamo, infatti, di fissare il valore del flusso di mercurio j

f

, visto che esso è proporzionale alla velocità del fluido nel generatore MHD, grandezza caratteristica del comportamento del generatore; a questo punto, anche il valore massimo del flusso di vapore risulta fissato, se non si vuole infrangere il vincolo sul grado di vuoto.

Poiché lungo il condotto ascendente la pressione varia, anche la densità del vapore varia, e con essa il flusso j

g

; con le ipotesi precedenti di gas ideale e espansione isoterma si può esprimere il flusso ad una certa pressione p in funzione del flusso alla pressione atmosferica p

a

, con il valore della densità noto:

( )

a

a

g g p

j p j

= p ⋅

Dall’ultima relazione scritta si evince che si ha il massimo valore di flusso di gas in corrispondenza dell’estremità superiore del condotto (dove p = p

_a

). Stabilito il massimo grado di vuoto, si può ricavare il massimo flusso di vapore, da cui segue direttamente la portata in massa

,max max

,max g

g f

j

j j v

α

∞

= + + ,

^{,max max}

( )

1

max

g f

j α j v

α

^∞

= ⋅ +

−

( )

,max a

g g g p

W = ⋅A j ⋅

ρ

Portata di vapore

Al variare delle condizioni di carico del generatore la velocità del mercurio varia, perché varia il gradiente di pressione resistente dovuto alle forza elettromagnetiche; per rispettare quanto appena detto a proposito dei vincoli sul grado di vuoto occorre che la portata di vapore segua fedelmente le variazioni della velocità del mercurio, per quanto gli è permesso dall’inerzia termica delle componenti del ciclo termodinamico (soprattutto la caldaia).

In alternativa, si potrebbe pensare di lavorare con una portata di vapore costante, pari a quella corrispondente alla velocità nominale del mercurio. Così facendo, se il generatore eroga una potenza minore di quella nominale (quindi la velocità del mercurio è maggiore di quella nominale) il grado di vuoto va a diminuire, e con esso la forza fluidomotrice: si innesca, quindi, un meccanismo di autoregolazione, in quanto anche la velocità e la portata del mercurio vanno a diminuire, fino al raggiungimento di una nuova condizione di equilibrio. Viceversa, se la potenza erogata è maggiore, il grado di vuoto aumenta e, se la configurazione di flusso non cambia, l’aumento di forza fluidomotrice fa sì che il mercurio compensi la portata in difetto.

Il meccanismo di autoregolazione sopradescritto caratterizza sicuramente anche i primi istanti di un transitorio in presenza di regolazione della portata di vapore, in quanto la dinamica di tale regolazione è molto lenta.

Area della sezione trasversale

Ricordiamo che il flusso idraulico di una fase costituente una miscela è definito come la velocità con cui scorrerebbe la stessa portata se occupasse da sola tutta la sezione trasversale del condotto.

Fissata la portata, W

f

, in base alle condizioni di carico e alle dimensioni del condotto discendente, poiché il mercurio è incomprimibile e la sua densità rimane costante, il flusso della fase liquida j

f

dipende dall’area della sezione trasversale del condotto ascendente, A (il flusso diminuisce con l’aumentare della sezione e viceversa):

f f

Hg

j W A ρ

= ⋅

Il vincolo sul grado di vuoto permette di ricavare il flusso della fase gassosa: anch’esso andrà a dipendere dall’area A, ma con un peso diverso:

( )

max max

,max

max max

1 1

f

g f

Hg

j j v W v

A

α α

α

^∞

α ρ

^∞

 

= − ⋅ + = − ⋅    ⋅ +   

L’influenza di A su j

g,max

è ridotta dalla presenza del termine costante v

_∞

: aumentando (diminuendo) l’area di un certo fattore k il flusso di vapore diminuisce (aumenta) di un fattore minore di k;

La portata del vapore che percorre il ciclo termodinamico dipende dall’area sia in maniera diretta, sia indirettamente attraverso il flusso di vapore:

( )

^max

( )

^max

( )

,max

max max

1 1

a a a

f f

g g g p g p g p

Hg Hg

W W

W A j A v A v

A

α α

ρ ρ ρ

α ρ

^∞

α ρ

^∞

   

= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅    ⋅ +    ⋅ = − ⋅    + ⋅    ⋅

La portata di vapore varia con l’area della sezione trasversale, ma di un fattore molto piccolo:

volendo minimizzare l’introduzione di calore nel ciclo termodinamico, si preferisce lavorare con un condotto di sezione trasversale più piccola; è bene anche scegliere un valore prossimo a quello che si ha nel condotto MHD, per evitare brusche e consistenti variazioni di velocità, che causerebbero ingenti perdite di carico concentrate. Il valore A = 0,1 m

²

costituisce un buon compromesso.

Gradiente di pressione

Scomponiamo il gradiente di pressione nelle sue tre componenti, quella dovuta all’accelerazione, quella dovuta agli attriti e quella gravitazionale, e sostituiamo le espressioni del grado di vuoto precedentemente ottenute.

Accelerazione:

g f

g f

ACC

dv dv

dp G G

dz dz dz

 

−   = ⋅ + ⋅

 

dove

g f g

v = j + + j v

_∞

f g

f f

f

j j v

v j

j v

∞

∞

= ⋅ + + +

Lungo il condotto solo j

g

varia, quindi le derivate delle velocità risultano semplicemente:

dz dj dz dv

_{g g}

=

f g f

f

dv dj j

dz = dz j ⋅ v

_∞

+

Differenziando l’espressione dell’isoterma per un gas ideale ( )

a

a

g g p

j p j

= p ⋅ si ottiene ^dj _dz

g

= − _p ^p

a₂

⋅ ( ) ^j

g p_a

⋅ ^dp _dz

Combinando il tutto si arriva all’espressione della componente di accelerazione:

( )

2 _a

f a

g f g p

ACC f

j p

dp dp

G G j

dz j v

_∞

p dz

 

  =  + ⋅  ⋅ ⋅ ⋅

   + 

   

Attriti:

2

_f

ATTR H

C G j dp

dz D

⋅ ⋅ ⋅

 

−     =

^‡

Il valore del coefficiente di attrito è assunto costante e pari a 0,005 per semplicità.

Gravità:

( )

[

^{g f}

]

GRAV

dz g

dp = ⋅

α

⋅

ρ

+ −

α

⋅

ρ



 



− 1

Combinando le precedenti espressioni il gradiente di pressione assume la forma

( )

( )

2

2 1

1

a

f

g f

f a

g f g p

f

C G j dp D g

dz j p

G G j

j v p

α ρ α ρ

∞

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ 

− =

 

− + ⋅ + ⋅ ⋅

Cerchiamo di semplificare l’espressione appena ottenuta facendo alcune ipotesi, che ci riproponiamo di verificare a posteriori una volta completato il dimensionamento:

− il condotto ha sezione trasversale costante: è ragionevole presupporre che la componente del gradiente di pressione dovuta alle accelerazioni sia trascurabile;

− le velocità delle fasi sono contenute: si può trascurare anche la componente dovuta agli attriti.

L’espressione semplificata del gradiente di pressione da integrare per calcolare l’altezza del condotto ascendente è la seguente:

( ¹ )

g Hg

dp g

dz ^ α ρ α ρ ^

− = ⋅  ⋅ + − ⋅ 

con

^g

g f

j

j j v

α

∞

= + + , ( )

a

a

g g p

j p j

= p ⋅ , ( )

^a

( )

a

g

g p g p

j W

A ρ

= ⋅ ,

_f ^f

Hg

j W A ρ

= ⋅

( )

1

1

0

a

p H

p g Hg

dp dz H

g ⋅ ^  α ρ ⋅ + − α ρ ⋅ ^  ^{= =}

∫ ∫

‡ Il diametro idraulico coincide con il diametro del tubo se la sezione trasversale è circolare

Dopo aver effettuato le dovute sostituzioni e dopo alcuni semplici passaggi matematici, l’integrazione della precedente equazione porta alla seguente relazione che lega le uniche grandezze rimaste incognite: la pressione di inizio espansione p

1

(quella massima del ciclo termodinamico, espressa in bar), la pressione di fine espansione p

a

(quella di condensazione, assunta pari a 1 bar per evitare l’uso di un condensatore sotto vuoto) e l’altezza del condotto H (espressa in m).

1 max 1

max

ln 1, 275

a

1

p p α p H

− + α ⋅ = ⋅

−

Il legame tra l’altezza del condotto H e la pressione p

1

è rappresentato graficamente in Figura 79, in cui si è assunto un grado di vuoto massimo α

_max

= 0,3 .

Dal grafico si vede che per ottenere prestazioni migliori, volendo aumentare la pressione massima del ciclo termodinamico per diminuire l’introduzione di calore dall’esterno, la lunghezza del condotto aumenta quasi linearmente.

Figura 79: Dimensionamento del condotto ascendente per αmax = 0,4 e pa = 1 bar

Altezza del condotto

Per scegliere l’altezza del condotto (H) e la pressione di saturazione del vapore (p

1

), bisogna calcolare la forza fluidomotrice utile complessiva resa disponibile tramite il miscelamento:

(

¹

)

^{max 1}

max

1 ln

Hg a

a

FFM g H p p p

p ρ α

= ⋅ ⋅ − − = α ⋅

−

§

La figura seguente riporta l’andamento del salto utile di pressione in funzione dell’altezza del condotto: entrando nel grafico con il valore scelto precedentemente (

^{FFM =1,5bar}

) si ricava l’altezza del condotto

Figura 80: Salto utile di pressione

Utilizzando opportunamente i grafici rappresentati nelle figure 79 e 80 si può procedere al dimensionamento del condotto ascendente:

1,5

FFM = bar → H = 7,83 m → p

₁

= 9,5 bar

§ pa è il valore della pressione atmosferica; visto che nella formula compare il rapporto fra le pressioni non ha importanza quale unità di misura venga scelta, purché sia la stessa per p1 e pa; usando i bar l’argomento del logaritmo si riduce a p1, poiché pa = 1 bar

Dimensionamento del ciclo termodinamico

Calcolo delle portate

In precedenza avevamo accennato che la portata del mercurio dipende dalla velocità con cui si vuole far scorrere il fluido conduttore nel generatore e dalla geometria del canale MHD:

f f f x Hg

W = ⋅ ⋅ A j ρ = ⋅ ⋅ ⋅ s h u ρ

La portata di vapore dipende dalla portata di mercurio e dall’area del condotto ascendente:

( )

max

1

max ^a

f

g g p

f

W α W A v ρ

α ρ

^∞

 

= − ⋅    + ⋅    ⋅

Con i valori scelti in precedenza si ricavano i valori delle portate in condizioni nominali:

, ,

0,3 0, 4 12810 1,69 2600

f n x n Hg

W = ⋅ ⋅ s h u ⋅ ρ = ⋅ ⋅ ⋅ ≅ kg s

( )

max , ,

max

0, 4 2600

0,1 0, 2 0,362 0,053

1

^a

1 0, 4 12810

f n

g n g p

Hg

W α W A v ρ kg s

α ρ

^∞

   

= − ⋅    + ⋅    ⋅ = − ⋅   + ⋅   ⋅ = I valori dei flussi idraulici risultano:

2600 2,03

0,1 12810

f f

f

j W m s

A ρ

= = =

⋅ ⋅

0,053

1, 48 0,1 0,362

g g

g

j W m s

A ρ

= = =

⋅ ⋅

Potenza termica e rendimento complessivo

Il ciclo termodinamico è perfettamente caratterizzato se si conoscono le due pressioni di riferimento (quella di saturazione e quella di condensazione del vapore) e la temperatura di surriscaldamento.

Abbiamo deciso di fissare la pressione di condensazione p

₂

= 1 bar , per evitare di ricorrere ad un condensatore sottovuoto, e la temperatura di surriscaldamento T = 600 K , per evitare di complicare troppo l’impianto; la pressione di saturazione p

1

non può essere scelta arbitrariamente, ma è vincolata alla scelta dell’ingombro del condotto ascendente.

Una volta fissata H (quindi p

1

) si riesce ad identificare completamente il ciclo; con l’ausilio delle tabelle dei vapori saturi e del diagramma di Mollier si possono ricavare le grandezze termodinamiche relative a ciascuno dei punti che compongono il ciclo.

Le figure 64 e 65 contengono le rappresentazioni in scala del ciclo sui principali diagrammi

termodinamici: da esse si possono ricavare i valori delle entalpie e delle entropie necessarie a

calcolare l’efficienza del ciclo e il rendimento complessivo dell’impianto.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Entropia [kJ/kg K]

Entalpia [kJ/kg]

2

3

0 ≅ 1

5'

5 4

Figura 81: Rappresentazione del ciclo termodinamico sul diagramma entalpico

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Entropia [kJ/kg K]

Temperatura [K]

2

0 ≅ 1 5'

5 4

3

Figura 82: Rappresentazione del ciclo termodinamico sul diagramma entropico

Stato 0≡1 2 3 4 5 5'

Pressione [bar] 1 9,5 9,5 9,5 1 1

Temperatura [K] 372,78 450,84 450,84 600 600 372,78 Entalpia [kJ/kg] 416,82 752,23 2774,5 3108,7 3127,6 2674,4 Entropia [kJ/kg K] 1,3002 2,1143 6,5998 7,243 8,2715 7,3561

Tabella 7: Caratteristiche termodinamiche del vapore nei vari punti del ciclo

L’introduzione di calore complessiva (energia specifica) è

4 0

3108,7 416,82 2691,9

i − = i − = kJ kg

Ipotizzando una rigenerazione completa il calore introdotto dall’esterno si riduce:

5 5'

3127,6 2674, 4 453, 2

i − = i − = kJ kg

(

^{4 0}

) (

^{5 5'}

)

2691,9 453, 2 2238,7 qc = i −i − i −i = − = kJ kg

Il lavoro meccanico associato alla trasformazione 45 risulta:

(

^{5 4}

) (

^{5 4}

)

600 8, 2715 7, 243

( ) (

3127, 6 3108, 7

)

617,1

T s⋅ −s + i −i = ⋅ − + − = kJ kg

L’efficienza termodinamica risulta:

( ) ( )

(

^{4 5 0}

) (

^{4 5 5 5'}

)

⁴

^{2238,7 617,1 27,6%}

T s s i i

i i i i

ε = ^{⋅ − + −} = =

− − −

Moltiplicando il salto entalpico per il valore calcolato precedentemente per la portata di vapore, 0,053

W

g

= kg s , si ottiene la potenza termica introdotta dell’esterno, da cui deriva il rendimento complessivo dell’impianto:

2238,7 0,053 118,65

th c g

P = ⋅ q W = ⋅ = kW

15 12,6 %

118,65

el th

P

η = P = = Generazione del campo magnetico

Il funzionamento del generatore secondo le specifiche indicate richiede la creazione di un campo magnetico di induzione B = 1,5 T in un traferro di spessore s = 0,3 m e di sezione trasversale quadrata L h × = 0,6 m

²

(trascurando lo spessore delle pareti del condotto).

Applichiamo la procedura di dimensionamento descritta in precedenza; confrontiamo le caratteristiche magnetiche dei vari materiali comunemente impiegati per la realizzazione dei magneti permanenti, prescindendo da considerazioni economiche (non conoscendo la differenza di costo dei vari materiali), ma cercando soltanto di limitare il peso complessivo del nucleo magnetico.

Una scelta conveniente ricade sull’acciaio AlNiCo 5 a cristalli singoli, caratterizzato da un coefficiente di permeabilità non troppo elevato (cui corrisponderà una lunghezza del nucleo contenuta) e da un’induzione nel punto di minima energia magnetica immagazzinata di valore prossimo a quello desiderato.

AlNiCo 5 a cristalli singoli:

1, 25

B

R

= T µ

_m

= 16,1

Per ottenere 1,5 T in un traferro di area 0,6 m

²

occorre un flusso magnetico:

1,5 0,6 0,9

B S Wb

φ = ⋅ = ⋅ =

Con il valore dell’induzione residua del materiale scelto si può calcolare la sezione del magnete permanente necessaria a creare tale flusso:

0,9

2

1, 25 0,72

Fe R

S m

B

= φ = =

La lunghezza complessiva del magnete permanente è µ

_m

⋅ S

_Fe

h L ⋅ volte la lunghezza del traferro:

0,72 16,1 0,3 5,8 0, 4 1,5

Fe Fe m

l S s m

h L µ

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅

La figura seguente contiene una possibile struttura, in cui il magnete permanente vero e proprio è lungo 5,8 m e il resto del nucleo è costituito da un materiale ferromagnetico ad elevata permeabilità.

z y (x)

Figura 83: Nucleo magnetico; in rosso il traferro, in blu il magnete permanente, in nero le espansioni polari

Ulteriori approfondimenti

Analisi rigorosa del condotto ascendente

Riprendiamo in esame l’espressione completa del gradiente di pressione; operando le dovute sostituzioni si arriva ad un’espressione in funzione soltanto di parametri noti (costanti o dati di progetto):

( ) ( )

2

2

2 2

2 1 1

1

1 1

1

f g g g f

g g

f

f

f g g

f g

C W R T m W m A v

m g

R T W m

D A p

p v A dp

dz

W R T

m A v A p

m W

ρ

ρ ρ

ρ ρ

∞

∞

∞

 ⋅  ⋅ + + ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅    +    + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

− =

 

  ⋅

 

− + ⋅    + ⋅ ⋅    ⋅ ⋅

Legenda delle costanti:

− C : coefficiente di attrito (0,005);

_f

− R : costante del vapore surriscaldato, considerato un gas perfetto (550 J/kg K);

_g

− ρ

_f

: densità del mercurio liquido alla temperatura di surriscaldamento (12810 kg/m

³

);

− v

_∞

: velocità di salita delle singole bolle (0,2 m/s).

Legenda dei parametri di progetto:

− D : diametro del condotto ascendente (0,357 m);

− A : area della sezione trasversale del condotto ascendente (0,1 m

²

);

− W : portata in massa del vapore (0,053 kg/s);

_g

−

m

: rapporto fra le portate in massa di mercurio e vapore (49000);

− T : temperatura di surriscaldamento (600 K).

L’equazione differenziale può essere risolta facilmente e velocemente per via numerica con l’ausilio di un computer; in questo modo si può verificare la bontà dell’approssimazione derivante dall’aver trascurato le componenti del gradiente di pressione dovute ad accelerazione e attriti.

L’altezza calcolata integrando l’equazione tra le pressioni 1 bar e 9,5 bar differisce per alcuni centimetri da quella calcolata trascurando le altre componenti del gradiente di pressione, quindi l’approssimazione è più che giustificata.

Nella Figura 84 si evidenzia l’enorme divario tra le varie componenti del gradiente di pressione:

esso giustifica l’ipotesi fatta trascurando le componenti di attrito e di accelerazione.

Figura 84: Componenti del gradiente di pressione lungo il condotto ascendente

Convertitori elettronici

I parametri del vettore elettrico non lo rendono immediatamente disponibile per un eventuale utilizzatore: bisogna prima ricorrere ad un opportuno convertitore elettronico che innalzi il livello di tensione (ad esempio fino a 500 V), riducendo di conseguenza la corrente .

Poiché i servizi ausiliari dell’impianto (si pensi, ad esempio, alle pompe dell’acqua di alimentazione della caldaia, o a quelle necessarie per il raffreddamento) richiedono una certa potenza, non si può prescindere dal sostegno della rete elettrica; è necessaria, pertanto, un’ulteriore complicazione dello schema elettrico, l’aggiunta di un inverter trifase in parallelo con la rete di distribuzione.

Sarebbe utile anche prevedere la presenza di un sistema di accumulatori elettrochimici, per far fronte alle variazioni di carico elettrico senza farle gravare sul sistema, che non dovrebbe avere una dinamica velocissima.

^**

La Figura 85 contiene un possibile schema elettrico di interfaccia con la rete, contenente tutti i dispositivi cui si è appena accennato.

** Il comportamento dinamico del sistema non è stato oggetto di questa tesi: si è studiato soltanto il comportamento del generatore MHD a regime stazionario, con funzionamento a potenza costante.

Figura 85: Schema elettrico di interfaccia con la rete

Conclusioni

La seguente tabella riassume i dati di targa dell’impianto, i valori scelti in questo dimensionamento di massima per i più importanti parametri di progetto in condizioni nominali di funzionamento.

Pressione di saturazione 9,5 [bar]

Pressione di condensazione 1 [bar]

Temperatura di surriscaldamento 600 [K]

Portata del vapore 0,053 [kg/s]

Potenza termica 118,65 [kW]

Efficienza termodinamica 27,6 [%]

Altezza 7,83 [m]

Diametro 0,357 [m]

Area 0,1 [m2]

Massimo grado di vuoto 0,4 [-]

Forzafluidomotrice utile 1,5 [bar]

Portata del mercurio 2600 [kg/s]

Rapporto fra le portate 49000 [-]

Velocità del mercurio nel canale MHD 1,69 [m/s]

Lunghezza 1,5 [m]

Larghezza 0,4 [m]

Spessore 0,3 [m]

Induzione magnetica 1,5 [T]

Tensione 1 [V]

Corrente 15 [kA]

Potenza elettrica lorda 15 [kW]

Rendimento di conversione 22,1 [%]

Rendimento complessivo 12,6 [%]

Generatore MHDCanale MHDCondotto ascendenteCiclo termodinamico

Tabella 8: Specchietto riassuntivo dei dati di progetto

Le figure seguenti contengono alcune curve caratteristiche che descrivono il funzionamento del generatore: tensione in funzione della corrente (la “caratteristica elettrica”, Figura 86), potenza in funzione della velocità (una sorta di “caratteristica meccanica”, Figura 87) e rendimento in funzione della corrente (“curva di rendimento”, Figura 88). In ciascuna figura sono evidenziate con le rette tratteggiate le condizioni nominali di funzionamento.

La morfologia della caratteristica meccanica (nelle normali condizioni di lavoro la potenza decresce all’aumentare della velocità) conferma quanto avevamo accennati in precedenza a proposito della stabilità delle condizioni nominali.

Figura 86: Caratteristica elettrica del generatore

Figura 87: Caratteristica meccanica del generatore

Figura 88: Curva di rendimento del generatore