Integrale indefinito di una variabile

Prof. Chirizzi Marco

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Integrale indefinito di una variabile

Se g(x) _{è una funzione derivabile in ogni punto di un intervallo}



a,b



_{, ed} f(x) _è la sua derivata, essa prende il nome di primitiva della funzione f(x)_{. Ad esempio, la} funzione g(x) senx _{è una primitiva della funzione} f(x)cosx_{. Se} g(x) _{è una} primitiva di f(x), anche g(x)C, dove C è una costante arbitraria, è una primitiva di f(x)_{, in quanto si ha:} ). ( 0 ) ( ) ( ) ) ( (g x C Dg x DC g x g x D        

Se h(x)_e g(x) _{sono due funzioni diverse tra di loro che ammettono una stessa} derivata f(x)_{, si ha:} ). ( ) ( , ) ( ) (x f x g x f x h   

quindi possiamo scrivere:

) ( )

(x g x h  

Si dimostra che le due funzioni h(x) e g(x) _{differiscono per una costante} C . Infatti si ha: C x k x f x f x g x h x k x g x h x k              ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) (

dove C è una costante per via del fatto che k(x) _{ha derivata nulla. In definitiva,} possiamo scrivere: h(x)g(x)C  h(x) g(x)C.

Da questa relazione segue che:

Tutte le funzioni che hanno per derivata f(x) _{si ottengono dalla formula:} C

x g( )

Attribuendo alla costante C qualunque valore reale, si ottiene una famiglia di primitive della funzione f(x). Questo insieme di primitive prende il nome di integrale

indefinito della funzione f(x) _{e si indica con il simbolo:}



f(x)dx

Dalla definizione di integrale indefinito segue:



f(x)dx



f(x).

D





Si dimostra che:

Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre primitive.

Proprietà degli integrali

1) Se K è una costante qualunque si ha:



K f(x) K



f(x)dx

2) Se f₁(x), f₂(x), ... , f_n(x) _{sono n funzioni continue, si ha:}







f₁(x) f₂(x)... f_n(x) dx



f₁(x)dx



f₂(x)dx...



f_n(x)dx.

Integrali indefiniti immediati

Consideriamo la funzione: n x x f( ) con

n



–1.

L’integrale indefinito

_

xn dx _{si calcola utilizzando la seguente formula:}

_

    C n x dx x n n 1 1 ( 1 ) Per n 1 si ha:



 



dx x C x dx x 1 1 log ( 2 )

Ad esempio, calcoliamo l’integrale:



x5dx 12

5

Utilizzando la proprietà 1) e la formula ( 1 ) sopra riportata si ha:



x5dx 12 5 . 6 12 5 1 5 12 5 12 5 _x5_dx x5 1 _{C }x6 _C     

_



La formula ( 1 ) può essere generalizzata come segue:

( 3 ) con n 1. Per n 1 si ha:



f_f₍(_xx₎)dxlog f(x) C ( 4 ) Ad esempio, l’integrale:



sen3xcosxdx

possiamo scriverlo nella forma:



sen3xdsenx

Applicando la formula ( 3 ) si ha:



sen xdsenx sen x C

4

4 3

Dalla formula ( 4 ) scaturiscono i seguenti integrali ( da ricordare a memoria ): C x sen dx x tg x d x ctg C x dx x tg     



log cos ,





1 log _.

Inoltre si ha:









          . 1 , cos 1 , cos , cos 2 2_xdx tgx C _{sen x}dx ctgx C C x sen dx x C x dx x sen

Questi quattro integrali si generalizzano come segue:

































































                          . ) ( ) ( 1 ) ( 1 , ) ( ) ( ) ( cos 1 ) ( ) ( cos 1 , ) ( ) ( ) ( cos ) ( ) ( cos , ) ( cos ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 C x f ctg x f d x d x f C x f tg x f d x f x d x f x f C x f sen x f d x f x d x f x f C x f x f d x f sen x d x f x f sen













C n x f x f d x f dx x f x f n n n _      

_





( ) ( ) ( ) ( ) ( )₁ 1

Ad esempio, l’integrale:



sen(x4 3x2 1)(4x3 6x)dx

può essere scritto nella seguente forma equivalente:





sen(x4 3x2 1)(4x3 6x)d x sen(x4 3x2 1)d(x4 3x2 1)

in quanto la funzione 4x3 6x è la derivata prima della funzione x4 x3 21. In

definitiva, l’ultimo integrale ammette il seguente risultato:

C x x x x d x x sen         



( 4 3 2 1) ( 4 3 2 1) cos( 4 3 2 1)

Integrali fondamentali

La tabella in basso riporta una serie di integrali elementari, alcuni dei quali sono stati analizzati nel paragrafo precedente.

Derivate Integrali a ax dx d _ ) ( 1.



adx



d(axC)axC n n x n x dx d _   ) 1 ( 1 2.

_

xndx  _C n x C n x d n n             



₁1 1₁ x x dx d 1 ) (log  3. dx d x C dx x C x    



1



(log ) log x x _e e dx d _ ) ( 4.



exdx



d(ex C)dxex C Kx Kx e K e dx d _       5. C K e C K e d dx e Kx Kx Kx _{ }        

_



x x a a a dx d _       log 6. a C a C a a d dx ax x _ x _        

_



_{log log} x senx dx

d _{( )cos 7.}

_

cosxdx

_

d(senxC)senxC senx

x dx

d _{(cos ) 8.}

_

senxdx

_

d(cosxC)cosxC

x tgx dx d 2 cos 1 ) (  9a. dx d tgx C tgx C x    





( ) cos 1 2 x tgx dx d _{( )sec}2 9b.



sec2 xdx



d(tgxC)tgxC 1 ) (tgx tg2x dx d _9c.

_

(tg2x1)dx

_

d(tgxC)tgxC x sen ctgx dx d 2 1 ) (  10a dx d



ctgx C



ctgx C x sen 



   



2 1 2 1 1 ) ( x arcsenx dx d   11.







   x dx d(arcsex C) arcsex C 1 1 2 2 1 1 ) (arccos x x dx d   

12. dx d x C x C x      





(arccos ) arccos 1 1 2 2 1 1 ) ( x x arctg dx d   13. dx d arctgx C arctgx C x     





( ) 1 1 2 1 1 ) 1 ( log 2 2        _{ } x x x dx d 14. C x x C x x d dx x            _{  }     1 log 1 log 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 log 2 1 x x x dx d         15. C x x C x x d dx x            _    





1 1 log 2 1 1 1 log 2 1 1 1 2

Prima di passare al calcolo di integrali generici, è bene fare ancora qualche esempio numerico sugli integrali elementari della tabella.

Esempi di integrali del tipo

C

n x dx x n n _   



₁1 1. ; 7 7 6_dx x _C x  



2. xdx x dx x C x C  x C    





3/2 3 1 2 1 2 / 1 3 2 2 3 1 2 1 3. _xdx _x dx x dx x C  x C  xC        







2 2 1 1 2 1 1 1 ₂ 1 1/2 1 2 / 1 2 / 1 4. C x C x C x dx x dx x dx x dx x               









3 8 4 3 2 1 4 1 2 2 1 2 1 2 2 4 3 4 / 3 1 4 1 4 / 1 4 / 1 4 4

Metodi di integrazione

Integrazione per sostituzione

Gli integrali del tipo



f(x) f(x)dx_, dx x f

x f _



₍( ₎) si risolvono sia ricorrendo alla tabella degli integrali elementari sia utilizzando il metodo di integrazione per sostituzione, il quale tiene conto del fatto che f(x)dxdf(x)(differenziale)_{. In} definitiva, gli integrali in esame si possono scrivere anche come segue:









        ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x df dx x f x f b x df x f dx x f x f a

Il metodo di sostituzione consiste nel porre S  f(x)_{, per cui} df(x)dS _{e quindi gli} integrali a) e b) si calcolano rispettivamente nel seguente modo:





C x f C S S dS C x f C S dS S         





) ( log log 2 ) ( 2 2 2

Così, anche per gli integrali del tipo:







f x



dx x f d dx x f x f c n n    





) ( ) ( ) ) ( ) ( )

si ricorre al metodo di integrazione per sostituzione ottenendo i risultati che seguono:





















n C S C n S dS S S dS x f x df dx x f x f C n x f C n S dS S x df x f dx x f x f n n n n n n n n n n n                                  















1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ; 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1

Esempi

1.



senx cos xdx_. Si pone: ) ( , cos ) ( ) ( , ) (x senx df x f x dx x dx S f x f        . Quindi si ha: C x sen C S dS S dx x senx       



cos



_{2 2} 2 2 2.



ctgx dx

L’integrale può essere scritto nella forma dx senxx 



cos Si pone: ). ( , cos ) ( ) ( , ) (x senx df x f x dx x dx S f x f       

e l’integrale si calcola come segue:

C senx C S S dS senx x d dx senx x_{      }







cos (cos ) log log

3.

_

_

dx x x senx  



_cos 3 1

L’integrale è del tipo

_

_

dx x f x f n  



₍(₎) , dove f(x)xcosx, f(x)1senx. Ponendo S  f(x) _{si ha:}





. ) cos ( 2 1 2 1 1 3 ) cos ( ) 1 ( cos 1 2 2 1 3 3 3 3 3 C x x C S C S dS S S dS x x senx d dx x x senx                     









   4. e x_{ }e x _dx



2 ₁ 2

L’integrale è del tipo

_

f(x)



f(x)



ndx_{, dove f}(_x)_1_e2x, _f(_x)_dxe2x_dx.

Ponendo

S



f

(x

)

si ha:









. 3 ) 1 ( 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2 / 3 2 1 2 1 2 / 1 2 / 1 2 2 2 2 C e C e C S dS S dx e e dx e e x x x x x x                              







Integrazione per parti







( ) ( )



( ) ( ) ( ) ( ) . ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x d x g x f x d x f x g x g x f d x g d x f x g x f d x g x f d               quindi possiamo scrivere:



( ) ( )



( ) ( ) , ) ( ) (x g x dx d f x g x g x f x dx f         

Integrando ambo i membri di quest’ultima eguaglianza, e osservando che, a meno di una costante additiva, è:

f(x) g(x) f(x) g(x) ,

d   



si ottiene:



f(x)g(x)dx f(x)g(x)



g(x) f(x)dx.

La funzione f (x) si chiama fattore finito e g )(x dx fattore differenziale. Ad esempio, l’integrale:



x2logxdx

si calcola nel seguente modo:

conviene assumere come fattore finito la funzione logx_{. Applicando la regola di}

integrazione per parti, si ha:

C x x x dx x x x dx x x x x dx x x     



    



    



3 2 log 3 log 1 3 log log 3 2 3 3 2 2

Può capitare che nell’integrale di partenza compaia una sola funzione, ma ciò non toglie che si possa comunque applicare la regola d’integrazione per parti. Ad esempio, l’integrale : dx x x arctg        



1 1

si calcola considerando come fattore finito la funzione          1 1 ) ( x x arctg x f _{e come}

seconda funzione g(x) x, la cui derivata g(x) è uguale a uno. Così facendo, l’integrale di partenza può essere scritto nella forma:



f(x)g(x)dx e quindi si ha:





                      ; 1 1 1 1 1 2 dx x x x x arctg x dx x x arctg



      2 log(1 ) ; 1 1 2 2 dx x C x x In definitiva si ottiene:

. ) 1 ( log 2 1 1 1 1 1 ₂ C x x x arctg x dx x x arctg                      



Integrazione per decomposizione

L’integrazione per decomposizione consente di rendere più facile il calcolo di un integrale. Essa consiste nel decomporre la funzione da integrare nella somma algebrica di funzioni, di ciascuna delle quali è noto l’integrale indefinito o per lo meno è più facile il calcolo.

Ad esempio, calcoliamo il seguente integrale: . 1x x dx



La funzione x x x f   1 )

( può essere scomposta nella somma

. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x               per cui si ha:

. 1 log 1 1 1 1 1 x x x C dx dx dx x dx x x                   







