• Non ci sono risultati.

2 Analisi modale sperimentale

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "2 Analisi modale sperimentale"

Copied!
89
0
0

Testo completo

(1)

2 Analisi modale sperimentale

Oltre alla simulazione numerica del comportamento dinamico di un organo di macchina è possibile condurre sperimentalmente analisi della risposta in frequenza e modali. Per i sistemi vibranti è importante valutare il rapporto fra un fenomeno vibratorio in uscita ed uno in ingresso nel sistema: poiché tale rapporto e varia al variare della frequenza è detto funzione risposta in frequenza (FRF) del sistema. La FRF è quindi una funzione di trasferimento di grande interesse nell'analisi sperimentale delle vibrazioni ed in particolare nell'analisi modale.

Per la stima sperimentale della risposta in frequenza di un organo di macchina, l'ingresso è solitamente rappresentato da una forza, mentre l'uscita dalla vibrazione del sistema può essere rilevata con vari tipi di trasduttori di movimento sottoforma di spostamento, velocità o accelerazione.

Per eseguire l'analisi modale sperimentale di una struttura questa deve essere eccitata e contemporaneamente se ne deve rilevare la risposta in più punti.

Dall’analisi delle funzioni di risposta in frequenza in corrispondenza di vari punti di misura è possibile ricavare le frequenze proprie ed i modi di vibrare della struttura.

Si può verificare il caso in cui si voglia evitare la presenza di risonanze in un campo di frequenze dove si possono avere forzanti e pertanto può essere sufficiente valutare le frequenze proprie. L’interpretazione della forma modale può fornire indicazioni su come agire per modificare la frequenza di risonanza: ad esempio se la risonanza si trova molto vicina ad una forzante ed il modo proprio è di tipo flessionale, un aumento della frequenza propria si ottiene incrementando il momento d’inerzia a flessione in quella direzione.

Inoltre, attraverso alcuni algoritmi, è possibile quantificare i parametri modali della struttura, come masse, smorzamenti e rigidezze. Noti i parametri modali è quindi possibile costruire un modello matematico della struttura (ad esempio attraverso la tecnica FEM). Avendo a disposizione un modello matematico si può procedere alla simulazione della risposta della struttura anche per forzanti differenti da quelle sperimentali oppure difficili da riprodurre sperimentalmente o pericolose per l’integrità della struttura. Inoltre è possibile stimare il comportamento della struttura

(2)

se modificata o dedurre il comportamento di strutture analoghe senza disporne fisicamente: è evidente che l’ottimizzazione o la modifica strutturale risultano più rapidi.

Un’altra opportunità offerta dall’analisi modale sperimentale riguarda il monitoraggio dell’integrità strutturale in tutti quei casi dove un cedimento provoca una modifica del comportamento dinamico della struttura.

(3)

2.1 Cenni sull’analisi modale sperimentale

Nel presente paragrafo sono riportati alcuni cenni sulle tecniche e gli strumenti utilizzati nella stima sperimentale della FRF e nell’analisi modale sperimentale, necessari per comprendere il funzionamento dell’attrezzatura di prova.

2.1.1 Analisi dei segnali

L’analisi modale sperimentale si basa sull’acquisizione ed analisi dei segnali di forza (input) e vibrazione (output) ricavati attraverso opportuni trasduttori (ved. par.

2.1.2).

Con l’avvento dei computer, attraverso delle opportune schede di acquisizione e digitalizzazione dei segnali, ogni PC può essere utilizzato come un potente strumento di analisi dei segnali con capacità di elaborazione superiore ai precedenti sistemi analogici.

I segnali possono essere di vario tipo, come sintetizzato dalla tabella seguente.

Segnali

Stazionari Non stazionari

Deterministici Random Continui Transitori

Periodici Quasi periodici

Pseudo-random

Fig. 2-1: Tipi di segnali.

Poiché lo scopo dell’analisi dei segnali è quello di estrarre il maggior numero di informazioni utili da un segnale è generalmente utile studiarli in più domini: la misura avviene ovviamente nel dominio del tempo; lo studio del contenuto armonico richiede un’analisi nel dominio della frequenza. La trasformata di Fourier è un utile strumento matematico che permette di muoversi da un dominio all’altro.

2.1.1.1 Serie di Fourier

Una funzione x(t) periodica di periodo T può essere rappresentata attraverso la serie di Fourier:

(4)



1

0 sin

k

k F

k k t

A A

t

x

Dove si è posto:

F T

2

Che è detta frequenza dell’armonica fondamentale.

2.1.1.2 Trasformata di Fourier

Data una funzione x(t) non periodica, per la quale si ha che

t

x assume un valore finito, si definisce trasformata di Fourier:

   

0

2 dt

e t x t

x F f

X i ft

che è una funzione complessa, quindi composta da parte reale e parte immaginaria:

f  Xf i  Xf Xf ei f

X Re Im

con:

f Re Xf 2 iIm Xf 2

X e    

 XXff

f

tg Re

Im

2.1.1.3 Trasformata finita di Fourier

Il segnale che si ha a disposizione è rilevato dall’istante iniziale fino al tempoT* finito e pertanto non è permesso il calcolo della trasformata di Fourier. Si procede quindi considerando che il segnale sia periodico di periodo T*. Si calcola la trasformata finita di Fourier come:

    *

0

* 2

,

T

t f

i dt

e t x t

x F T f

X

(5)

Avendo una funzione di partenza periodica (ottenuta periodicizzando il segnale di tempo finito) si ottiene uno spettro discontinuo delle ampiezze in funzione della frequenza. La distanza tra due valori contigui (o risoluzione) vale:

* 1 f T

Fig. 2-2: Leakage.

Le varie frequenze per le quali si ha un valore di ampiezza non sono in generale frequenze contenute nel segnale ma dipendono esclusivamente dal tempo di acquisizione: ad esempio per una struttura per la quale si abbia un modo proprio alla frequenza f1 potrebbe verificarsi che nello spettro della trasformata finita di Fourier tale frequenza non compaia ma si abbia un aumento dell’ampiezza per le frequenze nel suo intorno.

Tale fenomeno è detto leakage (dispersione). La causa è quindi dovuta alla periodicizzazione di un segnale di partenza non periodico: il segnale periodicizzato risulta discontinuo al termine di ogni periodo.

Pesando il segnale campionato con opportune funzioni (dette finestre) è possibile rendere continuo il segnale periodicizzato: tali finestre devono avere valore nullo

(6)

all’inizio e alla fine del periodo di acquisizione. L’effetto è quello di ottenere spettri meno dispersi intorno alla frequenza d’interesse.

2.1.1.4 Campionamento

L’analisi dei segnali utilizzando un PC è possibile solo se tali segnali vengono digitalizzati attraverso un convertitore A/D. Grazie a questo componente, il segnale continuo proveniente dai trasduttori viene trasformato in una serie numerica, quindi in un segnale digitale, i cui valori corrispondono a quelli del segnale in acquisizione ad intervalli regolari di tempo. L’operazione è detta campionamento. L’intervallo di tempo tra due acquisizioni successive è detto intervallo di campionamento ed il suo inversofrequenza di campionamento.

Fig. 2-3: Campionamento.

2.1.1.5 Aliasing

Supponendo di campionare un segnale sinusoidale, se la frequenza di campionamento è troppo bassa, il segnale potrebbe essere essere erroneamente interpretato come a frequenza più bassa (si veda come esempio la figura successiva).

(7)

Fig. 2-4: Aliasing.

Tale fenomeno è detto aliasing (alterazione). Perché sia evitato il problema dell’aliasing la frequenza di campionamento deve soddisfare il teorema di Shannon:

2 fmax

fc dove:

- fc è la frequenza di campionamento;

- fmax la frequenza massima del segnale.

Poiché solitamente il contenuto armonico del segnale da trattare non è noto a priori, si utilizzano appositi filtri anti-aliasing cioè filtri passa-basso che tagliano il segnale a frequenze superiori alla frequenza massima di interesse. La frequenza di campionamento dovrà quindi essere almeno il doppio di questa. Solitamente si sceglie un fattore2,5.

2.1.1.6 Risoluzione dello spettro

Anche la risoluzione dello spettro che si vuole raggiungere è un importante parametro di set up di una prova. Valgono infatti le seguenti relazioni:

N t N

T c

1 1

*

(8)

dove:

T* = il tempo di acquisizione N = numero di campioni

tc

 = intervallo di campionamento f = frequenza di campionamentoc

f = risoluzione dello spettro

È quindi evidente che una elevata risoluzione dello spettro richiede un tempo di acquisizione maggiore.

2.1.1.7 Trasformata discreta di Fourier

Nel caso di un segnale campionato, l’operazione di trasformazione è detta trasformata finita di Fourier, in quanto la funzione da analizzare è appunto discreta.

Si calcola come:

 

1

0 N 2 n

N i n n

c x e

t f k

X

Se il numero di campioni elaborati è una potenza di2, il calcolo può essere effettuato con algoritmi FFT (Fast Fourier Transform) che risultano da 100 a 200 volte computativamente più rapidi del normale algoritmo e consentono di avere la trasformata in tempo reale.

2.1.2 Tecniche di analisi modale sperimentale

Le varie tecniche di analisi modale sperimentale differiscono tra loro per tipo di eccitazione della struttura, per numero di punti di eccitazione, o per metodi di estrazione dei parametri modali. Considerando il tipo di eccitazione, esistono due principali categorie. La prima comprende eccitazioni di tipo random e di tipo impulsivo ed utilizza la trasformata di Fourier per l’analisi dei segnali. La seconda comprende invece eccitazioni di tipo sinusoidale con la quale è possibile ottenere una FRF molto accurata che tuttavia deve essere costruita per punti con l’ausilio di un software. Questo secondo metodo viene solitamente utilizzato in presenza di non

(9)

linearità nel comportamento della struttura. Un’ulteriore differenza tra i metodi usati consiste nel numero di punti di eccitazione utilizzati: certamente l’uso di un unico punto di eccitazione risulta più semplice; tuttavia, l’eccitazione della struttura in più punti simultaneamente permette una distribuzione maggiore delle forze ed una conseguente maggiore uniformità della risposta, ma soprattutto limita la probabilità di perdere l’effetto di alcuni modi propri che hanno un nodo in prossimità del punto di eccitazione.

In tutti i metodi descritti la FRF viene calcolata servendosi delle funzioni di autocorrelazione e di correlazione incrociata applicate ai segnali di risposta (uscita) ed eccitazione (ingresso) della struttura. Dato un segnale x(t) si definisce autocorrelazione la funzione:

 x t xt dt R T

T

T T

xx

2

2

lim 1

ed indica quanto il segnale è correlato con se stesso. L’autocorrelazione di una funzione periodica è periodica, mentre l’autocorrelazione di un segnale casuale tende a zero per τdiversi da 0. La trasformata di Fourier di Rxx(τ) è detta densità di potenza spettrale (PSD) e si indica di solito con Sxx(ω):

 xx

xx F R

S

La funzioneSxx(ω) è legata alla trasformata di Fourier di x(t) dalla relazione:

  X*    X X 2

Sxx

Essa è una funzione reale e contiene le informazioni sulle frequenze presenti in x(t) ma non quelle sulle fasi. Si definisce invece, correlazione incrociata di due segnali x(t) e y(t) la funzione Rxy(τ) definita come:

 x t y t dt R T

T

T T

xy

2

2

lim 1

(10)

che indica quanto i due segnali sono correlati tra loro. La trasformata di Fourier di Rxy è dettadensità di spettro incrociato (CSD) e si indica di solito con Sxy(ω):

  xy

xy F R

S

La funzioneSxx(ω) è legata alla trasformata di Fourier di x(t) dalla relazione:

  X   Y Sxy *

Essa è una funzione complessa nella variabile ω e contiene informazioni sulla frequenza e sulle fasi. Indicando quindi con f(t) l’eccitazione della struttura e con x(t) la sua risposta, si definiscefunzione di risposta in frequenza, o FRF, la funzione H(ω) ottenuta come rapporto delle loro trasformate di Fourier:

  

Y H X

Per diminuire gli errori di misura si impiegano degli stimatori della FRF. Si hanno quindi lo stimatoreH1definito come:

 



ff fx

S H1 S

che minimizza gli effetti dei disturbi sull’uscita, e lo stimatoreH2definito come:

   

 

xf xx

S H2 S

che invece riduce gli effetti dei disturbi all’ingresso. In assenza di errori di misura sarebbe H1(ω)=H2(ω)=H(ω). Per giudicare l’attendibilità della misura si può usare la funzione coerenzaγ2(ω) definita come:

 

 

xx ff

fx

S S

S 2

2

(11)

Che può assumere valori compresi tra 0 e 1 ed indica quanto la risposta è coerente con l’eccitazione. Se γ2(ω)< 0,75 i risultati sono poco attendibili cioè il rapporto segnale/rumore è basso. Altre cause che danno luogo a bassi valori della coerenza sono:

- presenza di altre eccitazioni non misurate;

- Comportamento non lineare del sistema.

I metodi di analisi di tipo sperimentale correntemente utilizzati per dedurre i parametrici dinamici di una struttura sono di tre tipi:

- Sinusoidal Input-Output Model;

- Frequency Response Function (FRF);

- Damped Complex Exponential Response;

L’uso di tali metodi è subordinato ad alcune assunzioni riguardanti il comportamento della struttura e le caratteristiche della forza eccitatrice. La struttura si assume che abbia le seguenti caratteristiche:

- Linearità, ossia la risposta della struttura sottoposta ad una combinazione di forze eccitatrici applicate simultaneamente è identica alla somma delle singole risposte di ciascuna eccitazione applicata singolarmente. Tale caratteristica si concretizza nella possibilità di utilizzare forze eccitatrici di varia forma ed ampiezza senza che il risultato della stima dei parametri dinamici sia in qualche modo influenzata.

- Tempo invariante, ossia i parametri dinamici non si alterano nel tempo.

- Osservabilità, ossia le misure di eccitazione e risposta contengono sufficienti informazioni per sviluppare un corretto modello di comportamento della struttura: questo non si verifica se sono presenti labilità e non sono presenti eccitazioni o sensori che ne rilevino il comportamento.

- Validità del teorema di reciprocità di Maxwell, che permette per alcuni tipi di eccitazione di risposta in frequenza (come l’impatto) di ricostruire la matrice di risposta in frequenza più rapidamente.

(12)

L’eccitazione si suppone avere le seguenti caratteristiche:

- Osservabilità, ossia che le misure dell’eccitazione corrispondano effettivamente a quelle trasmesse alla struttura.

- Nel caso di eccitazione impulsiva si assume che l’autospettro dell’impulso corto sia uniforme, costante in ampiezza ed indipendente dalla forma dell’impulso.

- Nel caso di eccitazione con rumore bianco, si assume che l’autospettro del rumore sia uniforme nella banda di frequenza contenuta nel segnale.

Tali assunzioni trovano giustificazione matematica ricordando che i poli della funzione risposta in frequenza sono costituiti dai poli della risposta e dagli zeri dell’eccitazione:

si deve pertanto avere una eccitazione priva di zeri.

2.1.2.1 Sinusoidal Input-Output Model

Per tale categoria di metodi l’eccitazione, nel periodo di osservazione, ha una sola frequenza (quindi è sinusoidale). La risposta a tale eccitazione sarà somma di un termine transitorio che si estingue nel tempo e della risposta forzata, stazionaria ed alla stessa frequenza dell’eccitazione. Si può verificare il caso in cui la risposta forzata contenga frequenze diverse da quella di eccitazione a causa delle non linearità del sistema: in questi casi è opportuno procedere al filtraggio del segnale a monte dell’analisi in modo da lasciar passare la sola frequenza d’interesse. I metodi che appartengono a questa prima categoria sono i seguenti:

- Forced Normal Mode Excitation Method: operativamente si cerca di bilanciare ad una determinata frequenza le forze dissipative e le forze eccitatrici. Alla frequenza di risonanza, la risposta della struttura presenta un ritardo di fase di 90° rispetto all’eccitazione. Utilizzando quindi più canali di acquisizione è possibile dedurre la forma modale associata. Successivamente, rimuovendo l’eccitazione, dal tempo del transitorio di arresto è possibile stimare lo smorzamento. L’ulteriore ipotesi necessaria per l’applicazione di tale metodo risiede nel supporre che lo smorzamento sia proporzionale. Solitamente si utilizza una tolleranza di 10° nella valutazione del ritardo della risposta. Tale metodo è attualmente utilizzato in campo aeronautico sui telai.

(13)

- Forced Response Decomposition Method: si basa sul metodo della sovrapposizione modale, secondo il quale la risposta forzata di una struttura può essere considerata come combinazione lineare dei singoli modi propri, secondo funzioni dipendenti dal tempo. Operativamente, un insieme di attuatori eccitano la struttura ad una stessa frequenza: la risposta, eccetto che per il transitorio, sarà stazionaria e alla stessa frequenza dell’eccitazione.

Ripetendo la misurazione variando ampiezza, fase e punti di acquisizione si genera un vettore di risposta forzata, che secondo il metodo della sovrapposizione modale, in un certo range di frequenza, sarà combinazione lineare di N modi propri. Generando quindi almeno N vettori indipendenti si costruisce un sistema di equazioni dal quale si possono calcolare gli N modi propri.

2.1.2.2 Frequency Response Function Method

Il metodo della funzione risposta in frequenza, o FRF, consiste nella ricostruzione per una struttura continua idealmente discretizzata, della funzione complessaHij(ω) ossia la funzione di trasferimento tra la risposta della struttura lungo il grado di libertai, ed un’eccitazione applicata in j e di pulsazione ω. Ricostruendo tale funzione per diversi punti della struttura, variando sia il punto d’eccitazione che quello della risposta, si ottiene la matrice di risposta in frequenza H(ω), dalla quale è possibile dedurre i parametri dinamici della struttura.

Applicando la trasformata di Laplace al problema dinamico espresso nell’equazione dinamica per un sistema a più gradi di libertà per condizioni iniziali nulle, si ottiene:

   

M s2 C sKX s P s

e raccogliendo i termini tra parentesi al primo membro:

 Bs X s Ps

dove:

     Bs M s2C sK

(14)

Si definisce matrice di trasferimento:

 Hs  s B1

che sostituita nelle equazioni precedenti fornisce:

 s  H s Ps

X

La matrice inversa si calcola:

 Hs  Bs 1 det  DBs

dove con D si indica la matrice dei minori complementari di B: poiché sia ciascun elemento della matrice D che il determinante della matrice B sono polinomi nella variabile s, ogni elemento della matrice H è una funzione polinomiale fratta nella variabile s. Le funzioni Hij sono appunto le funzioni di risposta in frequenza di ciascun punto che discretizza la struttura. Tutti gli elementi della matrice H condividono il denominatore, quindi avranno gli stessi poli. Le forme modali sono ricavabili a partire dalla matriceD. Infatti si osserva che:

 Bs  Bs 1 I

 Bs Ddet  Bs I

Quest’ultima equazione si annulla in corrispondenza di un polo:

 Bs D0

Isolando lak-esima colonna di D si ottiene:

 Bs Dk 0

che corrisponde alla soluzione al problema dinamico L-trasformato. Pertanto, a meno di una costante, lak-esima colonna della matrice D, come ogni altra, costituisce una stima del vettore modale relativo al polo scelto secondo diverse costanti. Poiché le

(15)

colonne diH sono uguali alle colonne di D a meno del det(B), queste forniscono una stima dei modi propri della struttura. Utilizzando infine il metodo della larghezza di banda è possibile stimare anche lo smorzamento modale.

Il metodo della FRF si può applicare sia con eccitazioni a singola frequenza, e ricostruendo per punti la curva, che con eccitazioni a banda larga utilizzando tecniche di trasformazione di Fourier. Infine, eccitando in più punti la struttura si evita il problema di perdere alcune forme modali se l’eccitazione avviene in prossimità di un nodo.

2.1.2.3 Damped Complex Exponential Method

I metodi che appartengono a questa categoria deducono i parametri modali di una struttura a partire dalle oscillazioni libere a seguito di determinate condizioni iniziali.

Il più importante è l’Ibrahim Time Domain Approach. In questo metodo le oscillazioni libere vengono misurate in diversi punti della struttura, simultaneamente o in più misure senza modificare la posizione dei sensori. Le oscillazioni dei vari punti della struttura vengono registrate a partire da due istanti diversi:







t y

t y

t y t P

N 0 2 1

... 

  

 

t y

t y

t y t Q

N 0 2 1

...

dove N0 deve essere maggiore del numero di modi da estrarre. Nell’ipotesi di assenza di forze esterne, il transitorio della struttura, contenuto nei vettoriP e Q, può essere espresso come una combinazione lineare diNm funzioni esponenziali:

t Re t

P Qt Re t Re  t e

Nm

T

1 2 ...

Dalle precedenti equazioni è possibile ricavare una relazione tra i vettori P e Q:

t R R Pt e   A t Pt

Q 1

(16)

Gli autovalori della matrice costituiscono le pulsazioni proprie del sistema, mentre gli autovettori le forme modali. Analogamente all’uso di diversi punti di eccitazione per gli altri metodi, l’uso di condizioni iniziali diverse garantisce che tutti i modi propri della struttura vengano eccitati.

2.1.3 Strumentazione

Si riporta in questo paragrafo una panoramica della strumentazione necessaria per condurre un’analisi modale sperimentale evidenziando le caratteristiche peculiari di ciascun sistema di eccitazione, trasduttore di forza e di movimento e sistema di acquisizione.

2.1.3.1 Sistemi di eccitazione

In qualunque analisi modale sperimentale sono coinvolte apparecchiature che mettono in vibrazione la struttura in analisi. Una prima classificazione di questi sistemi può essere fatta prendendo in considerazione la loro applicazione rispetto alla struttura da mettere in vibrazione:

- eccitatore collegato soltanto alla struttura (fixed);

- eccitatore fissato a terra e collegato con qualche sistema alla struttura (fixed- fixed);

- eccitatori non fissati in alcun modo alla struttura durante la sua vibrazione (non-fixed).

Poiché il comportamento dinamico delle strutture è funzione anche della distribuzione delle masse oltre che delle rigidezze e smorzamenti, risulta evidente che ogni massa collegata elasticamente o rigidamente alla struttura in analisi ne modifica il comportamento. È per questo motivo che un eccitatore di tipo fixed (nel quale tutta la massa dell’eccitatore risulta solidale alla struttura) modificherà più marcatamente il comportamento dinamico della struttura rispetto ad un eccitatore di tipo fixed-fixed (la cui massa può essere isolata più o meno efficacemente rispetto alla struttura); il tipo non-fixed è il più vicino al caso ideale di eccitatore privo di massa, che quindi non modifica in nessun modo il comportamento della struttura.

(17)

Appartengono alla tipologia fixed gli eccitatori del tipo unbalanced e seismic.

Un unblalanced shaker è costituito generalmente da due rotori sbilanciati controrotanti collegati alla struttura attraverso la carcassa che li contiene: la loro velocità di rotazione determina la frequenza di eccitazione; la velocità unitamente alla massa ed alla distanza del baricentro dall’asse di rotazione determinano la forza. La potenza del motore limita la combinazione di forza e frequenza (generalmente fino ad un massimo di60 kN a 50 Hz).

Un seismic shaker è costituito da una parte mobile direttamente collegata alla struttura da mettere in vibrazione, mentre la parte restante viene sospesa attraverso cavi o si regge direttamente alla struttura attraverso la parte in movimento: in questo modo è la stessa massa dello shaker a fare da riferimento.

Appartengono alla tipologia fixed-fixed gli shaker attuati elettrodinamicamente o elettoidraulicamente. In entrambe i casi la carcassa dell’attuatore viene fissata (anche elasticamente) ad un telaio e la parte mobile collegata alla struttura. Il tipo di attuazione influenza le combinazioni frequenza-forza di eccitazione come mostrato nel grafico successivo.

Fig. 2-5: Campi di funzionamento per shaker elettrodinamici ed elettroidraulici.

(18)

L’attuazione elettroidraulica è ideale per basse frequenze (da0 a 20 Hz) ed ampiezze di vibrazione (quindi corse della parte mobile) maggiori: un sistema di valvole controllato elettronicamente regola l’afflusso di olio in pressione all’interno delle camere dell’attuatore. Poiché il sistema necessita di una centralina di compressione dell’olio, tali sistemi risultano non facilmente trasportabili.

L’attuazione elettrodinamica è invece ideale per frequenze superiori e la necessità della sola alimentazione elettrica li rende più adatti ad essere trasportati e montati.

L’attuatore è costituito da un componente mobile assialmente ottenuto per avvolgimento di una bobina su un nucleo ferromagnetico, elasticamente trattenuto attraverso due membrane alla carcassa, anch’essa ferromagnetica, che chiude il flusso magnetico. Il sistema elettronico di controllo regola la corrente diretta alla bobina. È fondamentale tenere conto della caratteristica non lineare che lega il comando (in corrente o tensione) alla forza lungo il campo di frequenze di utilizzo.

Deve inoltre essere tenuta presente, per entrambi i tipi di attuazione, l’interazione tra lo shaker e la struttura che porta ad un fenomeno di brusca diminuzione della forza che si scambiano in corrispondenza delle risonanze.

Il collegamento tra lo shaker e la struttura influisce sempre in qualche modo sul comportamento di quest’ultima. Generalmente si interpone tra lo shaker e la struttura un trasduttore di forza unidirezionale e si cerca di eccitare con forze nella direzione di misura del trasduttore stesso, in modo da evitare l’introduzione di componenti di forza non misurabili. Inoltre, sempre per limitare l’introduzione di forze spurie, il collegamento meccanico tra lo shaker e la struttura deve essere rigido nella direzione di misura del trasduttore e flessibile nelle altre direzioni.

Infine, appartengono alla tipologia non-fixed i martelli strumentati e qualunque altro tipo di eccitazione realizzata attraverso un precarico ed istantaneo rilascio della struttura o interazione di tipo acustico o magnetico.

Il martello strumentato permette all’operatore di eccitare manualmente la struttura attraverso l’impatto della punta strumentata con la superficie. Il contenuto energetico

(19)

ed il tono di frequenze della forza eccitatrice impressi con l’urto sono funzione della forza applicata dall’operatore e dalla durezza e rigidezza della punta del martello e della superficie d’impatto sulla struttura. Risulta necessario misurare l’andamento della forza d’impatto: questo può avvenire grazie al trasduttore di forza posto sulla punta.

L’evidente vantaggio nel non aggiungere in alcun modo massa alla struttura posta in vibrazione è da contrapporsi al difficile controllo dell’eccitazione legato all’abilità dell’operatore. Allo scopo di limitare questo inconveniente, vengono talvolta utilizzati dei martelli automatici. Rimangono tuttavia gli effetti dovuti alle non linearità che necessariamente compaiono concentrando tutta l’energia dell’eccitazione in un breve tempo.

Un altro tipo di eccitazione non-fixed prevede di precaricare la struttura attraverso cavi od altri sistemi e rilasciarla improvvisamente. Questo modo di procedere eccita la struttura con una forza del tipo a gradino con contenuto armonico simile a quello di un impulso. Tale tecnica è generalmente preferita per strutture che mostrano una dimensione molto maggiore rispetto alle altre.

Infine, per strutture di basso peso, si possono utilizzare altoparlanti per ottenere una eccitazione di tipo acustico, specialmente a frequenze elevate. Il limite fondamentale di questo metodo (oltre al peso della struttura eccitabile) risiede nell’impossibilità di misurare la forza eccitatrice.

2.1.3.2 Trasduttori di forza e di movimento

Poiché generalmente l’ingresso di una prova dinamica è una forza, per monitorare l’input sono necessari dei trasduttori di forza. Allo stesso modo, poiché l’uscita è uno spostamento, una velocità od una accelerazione, sono necessari opportuni trasduttori di movimento.

Come trasduttori di forza possono essere utilizzati dei dinamometri ad estensimetri oppurecelle di carico di tipo piezoelettrico.

(20)

I primi ricavano il valore della forza attraverso la misura della deformazione di un corpo elastico, il cui campo di deformazione in funzione delle forze da misurare è noto. La misura della deformazione avviene utilizzando degli estensimetri: tali componenti, costituiti da una griglia di sottile filo metallico rigidamente applicato su una base di materiale plastico, vengono incollati sul corpo elastico sollecitato dalla forza da misurare. Il processo di misura della deformazione attraverso una variazione di tensione avviene grazie al fenomeno della variazione della resistenza della griglia metallica (conduttrice) a causa di una sua deformazione. Attraverso un ponte di Wheatstone è possibile effettuare una misura accurata della variazione di resistenza.

I secondi sono certamente i più diffusi per questo tipo di applicazione: sono costituiti da un cristallo piezoelettrico, generalmente delle ceramiche policristalline o dei cristalli di quarzo che, subendo una deformazione, generano una differenza di carica tra le loro facce. Questa differenza di carica viene convertita in un segnale, in termini di tensione, da un amplificatore di carica, oppure da un integrato. Il principale svantaggio del primo metodo risiede nei cavi che collegano l’amplificatore al trasduttore, che risultano molto sensibili ai disturbi esterni per il fenomeno della tribo-elettricità. Lo svantaggio del secondo metodo è dato dall’integrato che necessita di una sorgente di alimentazione esterna.

Il più comune sensore di spostamento è l’accelerometro. Essendo costituito da una massa collegata tramite un elemento elastico alla carcassa, collegando quest’ultima alla struttura vibrante anche la massa inizia ad oscillare. Il segnale restituito è proporzionale all’accelerazione e di conseguenza allo spostamento. Il range di frequenze alle quali può essere utilizzato sono ben al di sotto della propria frequenza di risonanza (1/10). Quindi gli accelerometri si comportano dinamicamente come strutture molto rigide e leggere. La loro applicazione non modifica quindi il comportamento dinamico della struttura (se non per l’incremento di massa).

L’elemento elastico può essere costruito secondo diversi schemi:

- la massa è applicata a sbalzo su una mensola. Il movimento della massa è rilevato da un estensometro;

(21)

- la massa è applicata su un elemento piezoelettrico. Il movimento della massa sollecita a compressione o taglio tale elemento;

Il campo di funzionamento degli accelerometri può essere esteso a frequenze superiori (fino ad 1/5 della frequenza di risonanza) aggiungendo uno smorzamento interno: l’utilizzo risulta però limitato a strutture sollecitate con forzante armonica.

Negli altri casi la presenza dello smorzamento introduce uno sfasamento tra le varie armoniche, non presente nella risposta del componente.

Altro tipo di sensore di spostamento è il vibrometro LASER, utilizzato anche per il banco prova sviluppato. Cenni sul funzionamento di tale sistema si trovano nel par. 2.2.2.1.

Il vantaggio principale nell’uso di tale sensore risiede nella possibilità di effettuare misure di velocità e spostamento senza alcun contatto con la struttura.

2.1.3.3 Sistemi di acquisizione

I sistemi di acquisizione moderni sono principalmente basati sull’uso del PC. Una prima configurazione possibile prevede di installare su un PC una o più schede di acquisizione dati, con relativo software per la registrazione dei dati ed il trattamento dei segnali. La scheda di acquisizione è generalmente costituita da un convertitore analogico-digitale ed una unità di condizionamento del segnale dotata di vari filtri programmabili ed amplificatori. Configurazioni più complesse e performanti utilizzano differenti periferiche per la conversione dei segnali da analogico a digitale e per l’analisi in frequenza ed utilizzano il PC solo per la registrazione dei dati ed il controllo dell’analizzatore FFT.

2.1.4 Tipi di eccitazione

I segnali di eccitazione di comune uso nell’analisi modale sperimentale sono di due tipi:

- segnali contenenti uno spettro di frequenze; a questa categoria appartengono i segnali periodici (pseudo random, periodic random, chirp), non periodici (pure random) e transitori (burst random, burst chirp, impact);

(22)

- segnali contenenti una singola frequenza ovvero di tipo sinusoidale (swept sine, stepped sine).

Data l’elevata importanza che rivestono i segnali random si riportano di seguito alcune importanti proprietà delle funzioni aleatorie.

Data una variabile aleatoria x(t) si definisce densità di distribuzione di probabilità la funzione p(x) tale che p(x) dx rappresenta la probabilità che al tempo t0 la variabile x(t) assuma valori compresi tra x e x+dx. Tale probabilità si indica con:

x dx obx xt x dx

p Pr 0

La funzione distribuzione di probabilità P(x), che rappresenta la probabilità che x(t0) abbia valori compresi tra-∞ e x è data da:

x px dx

P x

Ilvalore atteso in senso statistico della variabile aleatoria x(t) è dato da:

x x pxdx E 

Un’importante classe di valori attesi è quella delle potenze di una o più variabili aleatorie; tali valori attesi sono chiamati momenti. Particolare importanza assume E(x2) che esprime la media dei valori di x(t) elevato al quadrato, detta anche valore quadratico medio (RMS). Si indica come:

 x x pxdx E 2  2

Un processo aleatorio funzione del tempo è rappresentato dall’insieme delle possibili funzioni aleatorie x1(t), x2(t), … xn(t), dette funzioni campione. Per descrivere statisticamente il segnale x(t) si può esaminare la distribuzione dei valori x(t1) che le varie funzioni campione hanno al tempo t=t1. La grandezza x(t1) viene considerata una variabile aleatoria per la quale può essere definita una funzione distribuzione di probabilità di primo ordine. Analogamente si può fare per l’insieme dei valori al tempo t2. Conoscendo le distribuzioni statistiche ai tempi t1 e t2 può essere definita

(23)

anche la distribuzione di probabilità del secondo ordine o distribuzione congiunta, che rappresenta il legame statistico tra queste due variabili aleatorie. Essa può essere funzione sia di t1, sia di t2o dalla differenza τ= t1 - t2. La stazionarietà indica che le funzioni di distribuzione di probabilità di ordine superiore al primo non dipendono dal valore assoluto del tempo ma solo dalla differenza dei tempi; l’ergodicità indica invece un processo stazionario in cui le medie fatte su una singola funzione campione al variare del tempo sono indipendenti dalla funzione campione; in altre parole una funzione campione è completamente rappresentativa dell’insieme delle funzioni campione.

La scelta del tipo di segnale utilizzato per eccitare la struttura dipende da numerosi fattori. Primo fra tutti il tipo di sistema di eccitazione che si ha a disposizione, che può essere costituito da un semplice martello strumentato nel caso di eccitazione d’impatto, oppure dall’insieme di un generatore di segnale controllabile in frequenza e ampiezza, amplificatore di potenza, eccitatore (shaker), e connessione tra struttura ed eccitatore.

Altro fattore è il tempo disponibile per effettuare la misurazione del segnale: infatti, una eccitazione che scandisce frequenza per frequenza l’intervallo di interesse (stepped sine) per ricostruire completamente la FRF, richiede più tempo di uno che contiene al suo interno tutte le frequenze di interesse (burst random). Tuttavia una eccitazione a banda larga richiede di operare con grandezze medie per ottenere una buona stima della FRF ed attrezzature complesse con conseguente aumento dei tempi di set-up (che in certi casi superano il tempo stesso della misurazione).

Si deve inoltre tener conto della sensibilità del segnale d’eccitazione agli errori, tra i quali il leakage, accennato al par. 2.1.2.3.

Importante fattore è rappresentato dalla linearità del comportamento della struttura:

se quest’ultima mostra un comportamento non lineare in funzione dell’ampiezza e della frequenza di eccitazione e l’obiettivo del test è quello di ottenere una stima lineare, è importante utilizzare segnali di eccitazione che agiscano all’interno dell’intervallo lineare. Solitamente questo si traduce nell’evitare segnali con un basso rapporto picco-RMS, tipico dei segnali impulsivi. Se invece lo scopo della prova è

(24)

caratterizzare il comportamento non lineare della struttura è preferibile utilizzare segnali d’eccitazione facilmente controllabili come ad esempio quelli sinusoidali. Si riporta di seguito una carrellata dei principali segnali d’eccitazione.

2.1.4.1 Pure Random

L’eccitazionepure random è caratterizzata da un segnale aleatorio non periodico con una distribuzione di probabilità gaussiana. Nel suo spettro tutte le frequenze sono contenute in una specifica banda; essendo di tipo aleatorio è necessario un processo di media delle misure per stimare la FRF.

Fig. 2-6: Segnale Pure Random.

Grazie al basso rapporto picco-RMS, questo tipo di eccitazione permette di eliminare facilmente il rumore e fornisce una buona approssimazione lineare di un sistema non lineare: infatti, effettuando un numero sufficiente di medie, gli effetti non lineari del sistema eccitati casualmente tenderanno ad autocompensarsi. Altro pregio risiede nella relativa semplicità dell’attrezzatura richiesta che è costituita da un generatore esterno di rumore. Il principale difetto di questo tipo d’eccitazione è costituito dal leakage: essendo il segnale non periodico nel tempo di osservazione tale errore non può essere evitato ma può essere contenuto tramite appositi filtri nel dominio tempo (Hanning). Si ricordi che tali filtri causano altri effetti indesiderati quali una

(25)

diminuzione della frequenza di risoluzione. Altro inconveniente è costituito dal tempo di prova relativamente lungo per effetto del numero di medie richieste per una buona stima della FRF.

2.1.4.2 Psuedo Random

L’eccitazionepseudo random è caratterizzata da un segnale stazionario ergodico, con uno spettro che contiene solo multipli interi dell’incremento di frequenza presente nella sua trasformata di Fourier. Lo spettro dell’ampiezza è in genere molto piatto mentre quello della fase è casuale. La generazione di un segnale di questo tipo richiede l’uso di un hardware dedicato, quale un convertitore analogico digitale.

Essendo un segnale periodico non presenta problemi di leakage, tuttavia la ripetizione dello stesso intervallo di tempo, in un processo di medie, comporta la stessa eccitazione delle non linearità della struttura, che pertanto non vengono eliminate. Per strutture lineari in genere sono richiesti pochi campioni: è in questi casi che tale tipo d’eccitazione risulta conveniente in termini di tempo. La figura seguente mostra le principali caratteristiche di questo segnale.

Fig. 2-7: Segnale Pseudo-Random.

(26)

2.1.4.3 Periodic Random

L’eccitazione periodic random risulta simile al segnale pseudo random e contiene frequenze discrete costituite da i multipli interi della risoluzione di frequenza usata nella sua FFT. Il segnale è generato unendo un numero casuale di generatori al fine di avere un contenuto in ampiezza e fase casuale. Si ottiene così un segnale base di una certa durata, la cui ripetizione in sequenza origina il segnale d’eccitazione della struttura. Grazie alla periodicità, questo tipo d’eccitazione non presenta problemi di leakage; inoltre la variabilità tra le varie misurazioni di un processo di media, permette l’eliminazione delle non linearità eventualmente eccitate. Durante ogni misurazione è necessario attendere che il contributo transitorio si estingua: in strutture debolmente smorzate questo comporta un periodo di misurazione elevato, principale svantaggio di tale metodo. La figura seguente mostra le principali caratteristiche di questo segnale.

Fig. 2-8: Segnale Periodic-Random.

2.1.4.4 Periodic chirp

L’eccitazione periodic chirp è caratterizzata da un segnale sinusoidale la cui frequenza viene variata durante il periodo d’eccitazione; tale variazione è ripetuta in maniera tale da ottenere un segnale periodico. Questo tipo di segnale può essere considerato un caso particolare dello pseudo random, quindi ha caratteristiche simili.

Una volta estinto il contributo transitorio, la risposta della struttura a questo tipo di segnale sarà anch’essa periodica: pertanto non è soggetta a problemi di leakage.

Inoltre questo tipo di segnale presenta un eccellente rapporto picco-RMS ed un buon

(27)

rapporto segnale rumore. Poichè effettuando diverse misurazioni le non linearità della struttura vengono eccitate allo stesso modo, il loro effetto non può essere eliminato con un processo di media. Un miglioramento delle caratteristiche del segnale può essere ottenuto utilizzando un unico segnale per ogni misurazione, ma con una scelta casuale dei limiti di variazione della frequenza. La figura seguente mostra le principali caratteristiche di questo segnale.

Fig. 2-9: Segnale Periodic Chirp.

2.1.4.5 Burst Random

L’eccitazione burst random è caratterizzata da un segnale identico al pure random per la prima parte dell’eccitazione, per poi annullarsi, in modo da permettere alla struttura di completare tutte le oscillazioni entro il periodo di acquisizione. Lo spettro ha ampiezza e fase casuali e contiene energia in tutta la banda di frequenza d’interesse. Il periodo di eccitazione dipende dallo smorzamento della struttura.

Utilizzando uno shaker per l’eccitazione, questo viene messo in movimento dalla struttura nella fase di moto libero. Le oscillazioni dell’elemento mobile, per effetto del campo magnetico presente tra le armature dello shaker, generano una tensione e quindi una forza che, opponendosi a tale movimento, aumenta lo smorzamento delle oscillazioni della struttura. Pertanto, per evitare l’introduzione di errori nella stima

(28)

della FRF, è necessario registrare tale forza. Il segnale burst random presenta gli stessi vantaggi del periodic random. Tuttavia, la sua periodicità permette di minimizzare gli errori di leakage, mentre l’eccitazione casuale fornisce una buona approssimazione lineare di una struttura non lineare. Il rapporto segnale-rumore e picco-RMS è favorevole; inoltre, poiché nell’acquisizione la struttura deve tornare ferma in equilibrio, non è necessario alcun tempo di attesa tra le acquisizioni, diminuendo cosi il tempo di prova. Il principale svantaggio risiede nella necessità di una attrezzatura dedicata alla generazione del segnale. La figura seguente mostra le principali caratteristiche di questo segnale.

Fig. 2-10: Segnale Burst-Random.

2.1.4.6 Burst Chirp

L’eccitazione burst chirp è caratterizzata da un segnale sinusoidale con frequenza variabile che, come il burst random, viene annullato nell’ultima parte del periodo d’eccitazione. Questo permette alla struttura di completare le sue oscillazioni e minimizzare gli errori di leakage. Rispetto al burst random, l’uso di un’eccitazione sinusoidale fornisce rapporti migliori di picco-RMS e segnale-rumore; inoltre il controllo dell’ampiezza del segnale ad ogni frequenza lo rende adatto per la caratterizzazione di sistemi non lineari. Tuttavia, una stima lineare del sistema può

(29)

essere ottenuta utilizzando un unico segnale per ogni campione e scegliendo in maniera casuale la banda di variazione della frequenza. La figura seguente mostra le principali caratteristiche di questo segnale.

Fig. 2-11: Segnale Burst-Chirp.

2.1.4.7 Impact

L’eccitazione d’impatto è caratterizzata da un segnale transitorio che ha durata limitata rispetto al tempo di acquisizione. La forma e l’ampiezza dell’impulso controllano principalmente il livello dello spettro, mentre la durata influenza la larghezza di banda. La massima frequenza nello spettro è inversamente proporzionale alla durata dell’impulso. I principal vantaggi dell’eccitazione d’impatto risiedono nella rapidità di set up della prova e nella semplicità dell’attrezzatura richiesta. Tali caratteristiche lo rendono adatto a misure sul campo. L’impulso è determinato dai seguenti parametri: forza dell’esecutore, peso del martello, durezza della punta e deformabilità della zona d’impatto; una superficie dura, un peso del martello contenuto e una limitata forza impressa dall’operatore, generano un impulso cosiddetto stretto e di conseguenza una larga banda di frequenza. La prova più comune di impatto è quella definita con martello errante. Per questo tipo di prova l’accelerometro è posizionato su un punto della struttura: l’eccitazione avviene di

Riferimenti

Documenti correlati

Nel caso di processi caratterizzati da N elementi capacitivi del primo ordine in serie la dinamica complessiva è di ordine N. Ciò indipendentemente dal fatto che gli N sistemi

1 &#34;يتيس اتورام&#34; حابشأ :قشمد لامعأ لاجر يديبابللا دومحم 1 يذيفنت صّخلم نمضي امب ،ةرخاف ةيتامدخو ةيحايس عيراشم ةماقإ ىلإ ًادنتسم

Often an essential difference is constructed between Islam and other religions with regard to the interpretability of their holy books: Whereas Judaism and Christianity allegedly

Fondamentale l’accoglienza, non solo in fatto di soggiorno, ma soprattutto come capacità di anticipare le loro esigenze. Come? Potrebbe rivelarsi utile partire da un’analisi

The discussion at the Florence Forum was on how the development of processes and the deployment of systems can enable a network approach for capacity management (e.g., with a

These persons have a right to free-of-charge accommodation, provision with sufficient nutrition, clothes and medication taking into account special needs of new-born children,

Come è possibile vedere dalla figura 5.10, in questo caso la correlazione della prova effettuata sul cuscino risulta molto migliore di quella con modello appeso, infatti nel caso

Le ghiandole intestinali sono semplici strutture tubolari che si estendono dalla mucosa muscolare attraverso lo spessore della lamina propria, dove si aprono sulla