Statistica sociale

(1)

Facoltà di Scienze Politiche

Statistica sociale

marco gherghi

Dipartimento di matematica e statistica

Università di Napoli Federico II gherghi@unina.it

(prof.ssa C. Davino)

L’Associazione tra caratteri

Corso di

Seminario su:

(2)

Le distribuzioni doppie

Genere Tipo

diploma

1 Femmina ITC

2 Femmina ITC

3 Femmina Classico

4 Femmina ITC

5 Maschio ITC

6 Femmina Scientif.

7 Femmina ITC

8 Femmina Classico

9 Femmina ITC

10 Femmina ITC

11 Maschio Scientif.

12 Femmina ITC

13 Femmina Scientif.

14 Femmina ITC

15 Femmina ITC

18 Femmina ITC

20 Maschio ITC

21 Maschio ITC

22 Maschio ITC

: : :

Distribuzione unitaria multipla

97 42,7

130 57,3

227 100,0

Maschio Femmina Totale

Frequenza %

Genere

10 4,4

64 28,2

141 62,1

12 5,3

227 100,0

Liceo classico Liceo Scientifico ITC

Altro Totale

Frequenza %

Tipo diploma

Distribuzioni di frequenza

Conteggio

6 30 55 6 97

4 34 86 6 130

10 64 141 12 227

Maschio Femmina Genere

Totale

Liceo classico

Liceo

Scientifico ITC Altro Tipo dploma

Totale

Tabella di contingenza

(3)

Una distribuzione doppia è:

ü

quantitativa qualitativa mista

se entrambe le componenti sono quantitative;

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

Le distribuzioni doppie

(4)

Una distribuzione doppia è:

ü

quantitativa qualitativa mista

se entrambe le componenti sono quantitative;

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

Consumi p.c. Totale

5-10mila 10000-12500 12500-15000 15-20mila Reddito

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

Totale 317 316 592 193 1418

Esempio Reddito pro capite / Consumi pro capite

CONSUMI p.c. (€)

REDDITO p.c. (€)

Le distribuzioni doppie

(5)

Una distribuzione doppia è:

ü

quantitativa qualitativa mista

se entrambe le componenti sono quantitative;

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

Totale 317 316 592 193 1418

Distribuzioni marginali

Esempio Reddito pro capite / Consumi pro capite

REDDITO p.c. (€)

Le distribuzioni doppie

(6)

Una distribuzione doppia è:

ü

quantitativa qualitativa mista

se entrambe le componenti sono quantitative;

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

Totale 317 316 592 193 1418

Distribuzioni marginali Distribuzioni condizionate

Esempio Reddito pro capite / Consumi pro capite

REDDITO p.c. (€)

Le distribuzioni doppie

(7)

Una distribuzione doppia è:

ü

quantitativa qualitativa mista

se entrambe le componenti sono quantitative;

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

Totale 317 316 592 193 1418

Esempio Reddito pro capite / Consumi pro capite

REDDITO p.c. (€)

Le distribuzioni doppie

(8)

Consumi p.c. Totale 5-10mila 10000-12500 12500-15000 15-20mila

Reddito

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

Totale 317 316 592 193 1418

Una variabile X, sulle righe, con r modalità;

ü

Una variabile Y, sulle colonne, con c modalità;

ü

Una distribuzione marginale per la X;

ü

Una distribuzione marginale per la Y;

ü

r distribuzioni di Y condizionate alle modalità di X;

ü

c distribuzioni di X condizionate alle modalità di Y;

ü

Esempio Reddito pro capite / Consumi pro capite

Una distribuzione doppia è caratterizzata da…

REDDITO p.c. (€)

(9)

40-50 50-65 65-75 75-95 Tot

150-160 57 52 4 0 113

160-170 53 147 24 1 225

170-175 5 138 61 6 210

175-180 0 46 116 23 185

180-200 0 0 15 52 67

Tot 115 383 220 82 800

Y

X

155,0 113 165,0 225 172,5 210 177,5 185 190,0 67 800

× + × + × + × + ×

M(X) =

136433

= 800 ⁼ ^170,54

Esempio: Altezza (in cm, X) e Peso (in kg, Y) di 800 matricole

cm

Le distribuzioni doppie

(10)

40-50 50-65 65-75 75-95 Tot

150-160 57 52 4 0 113

160-170 53 147 24 1 225

170-175 5 138 61 6 210

175-180 0 46 116 23 185

180-200 0 0 15 52 67

Tot 115 383 220 82 800

Y

X

45,0 115 57,5 383 70,0 220 85,0 82 800

× + × + × + ×

M(Y) =

49568

= 800 ⁼ ^61,96

Esempio: Altezza (in cm, X) e Peso (in kg, Y) di 800 matricole

kg

Le distribuzioni doppie

(11)

40-50 50-65 65-75 75-95 Tot

150-160 57 52 4 0 113

160-170 53 147 24 1 225

170-175 5 138 61 6 210

175-180 0 46 116 23 185

180-200 0 0 15 52 67

Tot 115 383 220 82 800

Y

X

45,0 57 57,5 52 70,0 4 85,0 0 113

× + × + × + ×

M(Y|X=x

₁

) =

5835

= 113 ⁼ ^51,64

Esempio: Altezza (in cm, X) e Peso (in kg, Y) di 800 matricole

kg

Le distribuzioni doppie

(12)

40-50 50-65 65-75 75-95 Tot

150-160 57 52 4 0 113

160-170 53 147 24 1 225

170-175 5 138 61 6 210

175-180 0 46 116 23 185

180-200 0 0 15 52 67

Tot 115 383 220 82 800

Y

X

155,0 52 165,0 147 172,5 138 177,5 46 190,0 0 383

× + × + × + × + ×

M(X|Y=y

₂

) =

64285

= 383 ⁼ ^167,85

Esempio: Altezza (in cm, X) e Peso (in kg, Y) di 800 matricole

cm

Le distribuzioni doppie

(13)

Conteggio

13 33 38 84

38 102 40 180

90 45 20 155

141 180 98 419

Tizio Caio

Sempronio Docente

Totale

Basso Medio Alto Voto

Totale

Simbologia

(14)

Conteggio

13 33 38 84

38 102 40 180

90 45 20 155

141 180 98 419

Tizio Caio

Totale

. 1

h

i ij

j

n n

=

= ∑

. 1

k

j ij

i

n n

=

= ∑

^.. ¹ ¹

k h

i j ij

n n

= =

= ∑∑

n _ij

Generico elemento, di riga i e colonna j.

j-esimo elemento del marginale di colonna.

E’ la somma delle frequenze delle modalità di tutte le righe

relativamente alla sola modalità di posto j della variabile in colonna.

i-esimo elemento del marginale di riga.

E’ la somma delle frequenze delle modalità di tutte le colonne

relativamente alla sola modalità di posto i della variabile in riga.

Totale delle frequenze.

E’ la somma delle frequenze di tutte le celle, o anche la somma degli elementi dei marginali di riga o di quelli dei marginali di colonna.

Simbologia

(15)

Conteggio

13 33 38 84

38 102 40 180

90 45 20 155

141 180 98 419

Tizio Caio

Totale

Valori osservati

L ’ associazione tra mutabili

(16)

. .

ˆ

_ij

n

ⁱ

n

^j

n n

= ×

⇒

13 33 38 84

15,5% 39,3% 45,2% 100,0%

38 102 40 180

21,1% 56,7% 22,2% 100,0%

90 45 20 155

58,1% 29,0% 12,9% 100,0%

141 180 98 419

33,7% 43,0% 23,4% 100,0%

Freq.

% Freq.

% Tizio

Caio

Totale

Valori osservati e % di riga (distribuzioni condizionate)

Indipendenza

^'

. '.

ij i j

i i

n n

n = n

^.

..

n

j

= n

Le frequenze teoriche:

(in caso di indipendenza)

.

. ..

ij j

i

n n n = n

L ’ associazione tra mutabili

(17)

2

mutabili 2

variabili 1 variabile 1 mutabile Approccio

simmetrico (interdipendenza)

Approccio asimmetrico (dipendenza)

Valori osservati, % di riga e valori teorici

13 33 38 84

28,3 36,1 19,6 84,0 15,5% 39,3% 45,2% 100,0%

38 102 40 180

60,6 77,3 42,1 180,0 21,1% 56,7% 22,2% 100,0%

90 45 20 155

52,2 66,6 36,3 155,0 58,1% 29,0% 12,9% 100,0%

141 180 98 419

141,0 180,0 98,0 419,0 33,7% 43,0% 23,4% 100,0%

Freq. oss.

Freq. teoriche

%

Freq. oss.

Freq. teoriche

%

Freq. oss.

Freq. teoriche

%

Freq. oss.

Freq. teoriche

% Tizio

Caio

Totale

L ’ associazione tra mutabili

(18)

2

mutabili 2

variabili 1 variabile 1 mutabile Approccio

simmetrico (interdipendenza)

Approccio asimmetrico (dipendenza)

Valori osservati, % di riga e valori teorici

13 33 38 84

28,3 36,1 19,6 84,0 15,5% 39,3% 45,2% 100,0%

38 102 40 180

60,6 77,3 42,1 180,0 21,1% 56,7% 22,2% 100,0%

90 45 20 155

52,2 66,6 36,3 155,0 58,1% 29,0% 12,9% 100,0%

141 180 98 419

141,0 180,0 98,0 419,0 33,7% 43,0% 23,4% 100,0%

Freq. oss.

Freq. teoriche

%

Freq. oss.

Freq. teoriche

%

Freq. oss.

Freq. teoriche

%

Freq. oss.

Freq. teoriche

% Tizio

Caio

Totale

L ’ indice

chi-quadrato:

2

( ˆ )

²

ˆ

ij ij

i j ij

n n

χ ⁼ ∑∑ n ⁻

L ’ associazione tra mutabili

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

n

i j ij

n n

χ ⁼ ∑∑ n ⁻

L ’ indice V di Cramer: = Φ

²

min ^⎡ _⎣ ( ) r − 1 ^; ( ) ^c ^{− 1} ^⎤ _⎦

V = χ

²

n ⋅ min ^⎡ _⎣ ( ) r − 1 ^; ( ) ^c ^{− 1} ^⎤ _⎦

L ’ associazione tra mutabili

(20)

13 33 38 84 28,3 36,1 19,6 84,0 15,5% 39,3% 45,2% 100,0%

38 102 40 180

60,6 77,3 42,1 180,0 21,1% 56,7% 22,2% 100,0%

90 45 20 155

52,2 66,6 36,3 155,0 58,1% 29,0% 12,9% 100,0%

141 180 98 419

141,0 180,0 98,0 419,0 33,7% 43,0% 23,4% 100,0%

Freq. oss.

Freq. teoriche

% Freq. oss.

Freq. teoriche

% Freq. oss.

Freq. teoriche

% Freq. oss.

Freq. teoriche

% Tizio

Caio

Totale

( )

²

2

ˆ

ij ij

i j ij

n n

χ ⁼ ∑∑ n ⁻

2 2

n Φ = χ

= 83,78

83,78

= 419 = ^0,200

L ’ associazione tra mutabili

( ) ( )

2

min 1 ; 1

V k h

= Φ

⎡ − − ⎤

⎣ ⎦

0,200

= 2 = 0,316

( ^χ ) ( )

= × ⎡ ⎣ − − ⎤ ⎦

2

min 1 ; 1

V n k h =

× 83,78

419 2 = 0,316

(21)

L ’ associazione tra mutabili

Esempio: Pratica religiosa / età

18-34 35-54 Oltre 54 totale

Praticanti 223 313 182 718

Saltuari 266 317 88 671

Non praticanti 425 504 168 1097

totale 914 1134 438 2486

18-34 35-54 Oltre 54 totale

Praticanti 9,0 12,6 7,3 28,9

Saltuari 10,7 12,7 3,5 26,9

Non praticanti 17,1 20,3 6,8 44,2

totale 36,8 45,6 17,6 100

Tabella delle

% sul totale

(22)

L ’ associazione tra mutabili

Esempio: Pratica religiosa / età

18-34 35-54 Oltre 54 totale

Praticanti 31,1 43,6 25,3 100

Saltuari 39,6 47,3 13,1 100

Non praticanti 38,7 46,0 15,3 100

Totale 36,8 45,6 17,6 100

18-34 35-54 Oltre 54 totale

Praticanti 24,4 27,6 41,5 28,9

Saltuari 29,1 28,0 20,1 26,9

Non praticanti 46,5 44,4 38,4 44,2 totale 100,0 100,0 100,0 100,0 Tabella delle

% di colonna

Tabella delle

% di riga

(23)

L ’ associazione tra mutabili

Esempio: Pratica religiosa / età

18-34 35-54 Oltre 54 totale

Praticanti 223 313 182 718

Saltuari 266 317 88 671

Non praticanti 425 504 168 1097

totale 914 1134 438 2486

Tabella delle frequenze

teoriche

18-34 35-54 Oltre 54 totale Praticanti 264,0 327,5 126,5 718 Saltuari 246,7 306,1 118,2 671 Non praticanti 403,3 500,4 193,3 1097

Totale 914 1134 438 2486

(24)

L ’ associazione tra mutabili

Esempio: Pratica religiosa / età

Tabella delle frequenze teoriche

18-34 35-54 Oltre 54 totale

Praticanti 223 313 182 718

Saltuari 266 317 88 671

Non praticanti 425 504 168 1097

totale 914 1134 438 2486

18-34 35-54 Oltre 54 totale Praticanti 264,0 327,5 126,5 718 Saltuari 246,7 306,1 118,2 671 Non praticanti 403,3 500,4 193,3 1097

Totale 914 1134 438 2486

χ

² =

(

n_ij − ˆn_ij

)

²

nˆ_ij

∑

j

²

Esempio: Pratica religiosa / età

Tabella delle frequenze teoriche

18-34 35-54 Oltre 54 totale

Praticanti 223 313 182 718

Saltuari 266 317 88 671

Non praticanti 425 504 168 1097

totale 914 1134 438 2486

18-34 35-54 Oltre 54 totale Praticanti 264,0 327,5 126,5 718 Saltuari 246,7 306,1 118,2 671 Non praticanti 403,3 500,4 193,3 1097

Totale 914 1134 438 2486

χ

² = 45,5 ; V= 45,5

2486× 2 = 0,1

Da un punto di vista descrittivo, l’indice χ

²

indica una associazione certa, anche se debole.

Se però consideriamo i soggetti intervistati come un campione casualmente estratto da una

popolazione più vasta, è possibile dire che il risultato campionario è sufficiente ad indicare

una relazione tra i caratteri nella popolazione, oppure il valore osservato è diverso da quanto

ci attenderemmo in caso di indipendenza per la sola aleatorietà legata all’estrazione

campionaria?

(26)

L ’ associazione tra mutabili: il test chi-quadrato

•  Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili

H

₀

: Indipendenza tra i caratteri

H

₁

: Associazione tra i caratteri Statistica test:

Regola di decisione:

Si rifiuta H

₀

se il valore chi-quadrato calcolato risulta superiore al valore tabulato in corrispondenza del livello di significatività scelto e dei gradi di libertà della tabella.

n

_ij

− ˆn

_ij

( )

²

n ˆ

_ij

 χ

²

∑

j

∑

i

(27)

22 19 29 70

31,4% 27,1% 41,4% 100,0%

61 57 51 169

36,1% 33,7% 30,2% 100,0%

25 23 25 73

34,2% 31,5% 34,2% 100,0%

22 20 28 70

31,4% 28,6% 40,0% 100,0%

130 119 133 382

34,0% 31,2% 34,8% 100,0%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

% Meno di 96 96-105 106-110 110 e lode VOTO

Totale

Non occupato Precario Occ. stabile OCCUPAZIONE ATTUALE

Totale Conteggio

22 19 29 70

61 57 51 169

25 23 25 73

22 20 28 70

130 119 133 382

Meno di 96 96-105 106-110 110 e lode VOTO

Totale

Totale OCCUPAZIONE ATTUALE

VOTO

χ

²

⁼ ( ⁿ

^ij

^{− n}

^ij

)

²

n

_ij

∑

j

∑

i

^=3,84

n_ij − n_ij

( )

²

n_ij

∑

j

∑

i

α ^{= 0,05}

•  Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili

L ’ associazione tra mutabili: il test chi-quadrato

(28)

Tavola della distribuzione χ²

0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010

1 0,001 0,004 0,016 0,102 1,323 2,706 3,841 5,024 6,635

2 0,051 0,103 0,211 0,575 2,773 4,605 5,991 7,378 9,210

3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,213 4,108 6,251 7,815 9,348 11,345

4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,923 5,385 7,779 9,488 11,143 13,277

5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,675 6,626 9,236 11,070 12,833 15,086

6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,455 7,841 10,645 12,592 14,449 16,812

7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 4,255 9,037 12,017 14,067 16,013 18,475

8 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 5,071 10,219 13,362 15,507 17,535 20,090

9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,899 11,389 14,684 16,919 19,023 21,666

10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,737 12,549 15,987 18,307 20,483 23,209

11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 7,584 13,701 17,275 19,675 21,920 24,725

12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 8,438 14,845 18,549 21,026 23,337 26,217

13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 9,299 15,984 19,812 22,362 24,736 27,688

14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 10,165 17,117 21,064 23,685 26,119 29,141

15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 11,037 18,245 22,307 24,996 27,488 30,578

16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,912 19,369 23,542 26,296 28,845 32,000

17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,792 20,489 24,769 27,587 30,191 33,409

18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 13,675 21,605 25,989 28,869 31,526 34,805

19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 14,562 22,718 27,204 30,144 32,852 36,191

20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 15,452 23,828 28,412 31,410 34,170 37,566

21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 16,344 24,935 29,615 32,671 35,479 38,932

22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 17,240 26,039 30,813 33,924 36,781 40,289

Area nella coda destra Gradi

di libertà

L ’ associazione tra mutabili: il test chi-quadrato

(29)

22 19 29 70

31,4% 27,1% 41,4% 100,0%

61 57 51 169

36,1% 33,7% 30,2% 100,0%

25 23 25 73

34,2% 31,5% 34,2% 100,0%

22 20 28 70

31,4% 28,6% 40,0% 100,0%

130 119 133 382

34,0% 31,2% 34,8% 100,0%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

Totale

Totale Conteggio

22 19 29 70

61 57 51 169

25 23 25 73

22 20 28 70

130 119 133 382

Totale

VOTO

χ

²

⁼ ( ⁿ

^ij

^{− n}

^ij

)

²

n

_ij

∑

j

∑

i

^=3,84

n_ij − n_ij

( )

²

n_ij

∑

j

∑

i

α ^{= 0,05}

12,59

Zona di rifiuto

α

2

0,05;6

12,59

χ ⁼

Zona di

accettazione 1-

α

•  Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili

L ’ associazione tra mutabili: il test chi-quadrato

(30)

22 19 29 70

31,4% 27,1% 41,4% 100,0%

61 57 51 169

36,1% 33,7% 30,2% 100,0%

25 23 25 73

34,2% 31,5% 34,2% 100,0%

22 20 28 70

31,4% 28,6% 40,0% 100,0%

130 119 133 382

34,0% 31,2% 34,8% 100,0%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

Totale

Totale Conteggio

22 19 29 70

61 57 51 169

25 23 25 73

22 20 28 70

130 119 133 382

Totale

VOTO

χ

²

⁼ ( ⁿ

^ij

^{− n}

^ij

)

²

n

_ij

∑

j

∑

i

^=3,84

n_ij − n_ij

( )

²

n_ij

∑

j

∑

i

α ^{= 0,05}

12,59

Zona di rifiuto

α

2

0,05;6

12,59

χ ⁼

Zona di

accettazione 1-

α

3,84

•  Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili

L ’ associazione tra mutabili: il test chi-quadrato

Non rifiuto l ’ ipotesi H

₀

di

indipendenza fra le mutabili

(31)

22 19 29 70

31,4% 27,1% 41,4% 100,0%

61 57 51 169

36,1% 33,7% 30,2% 100,0%

25 23 25 73

34,2% 31,5% 34,2% 100,0%

22 20 28 70

31,4% 28,6% 40,0% 100,0%

130 119 133 382

34,0% 31,2% 34,8% 100,0%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

Totale

χ

²

⁼ ( ⁿ

^ij

^{− n}

^ij

)

²

n

_ij

∑

j

∑

i

n_ij − n_ij

( )

²

n_ij

∑

j

∑

i

2

0,05;6

12,59

χ ⁼

α ^{= 0,05}

12,59 3,84

=3,84

1-

α

Zona di

accettazione Zona di rifiuto

α

Conteggio

22 19 29 70

61 57 51 169

25 23 25 73

22 20 28 70

130 119 133 382

Totale

VOTO

Supponiamo che, sulla base di questo risultato campionario, io decida comunque di rifiutare l’ipotesi di indipendenza e concluda per l’associazione tra le mutabili considerate. Qual è la probabilità che stia commettendo un errore?

•  Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili

L ’ associazione tra mutabili: il test chi-quadrato

(32)

22 19 29 70

31,4% 27,1% 41,4% 100,0%

61 57 51 169

36,1% 33,7% 30,2% 100,0%

25 23 25 73

34,2% 31,5% 34,2% 100,0%

22 20 28 70

31,4% 28,6% 40,0% 100,0%

130 119 133 382

34,0% 31,2% 34,8% 100,0%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

%

Conteggio

Totale

χ

²

⁼ ( ⁿ

^ij

^{− n}

^ij

)

²

n

_ij

∑

j

∑

i

n_ij − n_ij

( )

²

n_ij

∑

j

∑

i

3,84

=3,84

Conteggio

22 19 29 70

61 57 51 169

25 23 25 73

22 20 28 70

130 119 133 382

Totale

VOTO

p-value

Il p-value è la probabilità di commettere un errore nel rifiutare l’ipotesi H₀ sulla base del valore campionario osservato. Quanto più è piccolo, tanto più tenderemo a rifiutare H₀.

•  Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili

L ’ associazione tra mutabili: il test chi-quadrato

(33)