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Fondamenti e metodi per l'analisi empirica nelle scienze sociali a.a. 2012-2013 Corso di laurea in Teorie, culture e tecniche per il Servizio sociale Università degli Studi di Macerata

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rile dipendente .Jre una variabil . Ji intervalli); I '.ro, ma deve esse ::almente median - na seconda restr ::a senz'altro I'eu :cnti. Per meglio :'.zzare con la sim :ro dal modo in , :radizionale della uon la lettera Y il ,ndipendente, cht :no un generico c \ ). Quando per < ro di casi si parla, re idati nella matNata in ambíto sperimentale, ['Rr'rovR si apptica oggi anche in ricerche non sperimentali

Introduzione atla statistica per [a ricerca sociale gnificatività. La distribuzione campionaria di questo indice è asintotica- mente normale con media o e scarto quadratico

1 medio {" - 1 La statistica test in questo caso è data dal valore z, calcolato nel mod"o con- sueto e confrontaro con la tavola della normale standardi zzata. 4. Analisi detta varianza L'analisi della varianza o ANovA (acronimo inglese di ANatysis Of VArian- ce) è una tecnica statistica nata nell'ambito della ricerca ,p.ri-..rtale per valutare I'effetto di determinati fattori, o variabili indipendinti, su una variabile dipendente. Negli anni trenta del secolo scorso Fisher e suoi colla- boratori svilupparono la tecnica dell'analisi della varianzaall'interno di un centro di sperimentazione agraria, allo scopo di studiare I'effetto di determinati fattori sulla produzione agricola. L'analisi della varianza, nata in un contesto sperimentale, ha trovato ampia applicazione anche in contesti non sperimentali (molto frequenti soprat- tutto nella ricerca sociale), diventando oggi una delle pro..d.rre più ,rìilir- zate per valutare , generalmente, relazioni di influen za tÍavariabili. L'analisi della varianzaassume nomi diversi a seconda di quante sono le variabili dipendenti e indipendenti. In particolare si parla di, . ANovA a una via (One-Way l^Novn) quando si ha una sola variabile dipendente e una sola variabile indipendente; . ANovA fattoriale quando si ha una sola variabile dipendenre, ma più di una variabile indipendente; o MANovA (Multiuariate ANalysis Of VAriance) quando sia le dipendenti sia le indipendenti sono piùr di una. Dato il carattere introduttivo del testo soffermeremo la nosrra attenzione unicamente sul caso più elementare di analisi della varianza, quella ad. una via. Inoltre limiteremo I'attenzione al caso degli effetti fissi, orri" la situazione in cui tutte le modalità dell'indipendenre vengono introdotte nell'a- nalisi (per la cosiddetta ANovA a effetti random, in cui le modalità considerate sono un sottoinsieme casuale di quelle possibili, cfr. Iverse n, ry76). Quando è opportuno ricorrere all'analisi della varianza? Dal punto di vista degli scopi di una ricerca, è la tecnica più idonea quando si desideri valutare I'esistenza di differenze tra le medie di piùr gruppi tra loro indipendenti, o, in modo del tutto equivalente, quando si voglia valutare all'interno di un solo campione la relazione di infu enzadi una variabile indipendenre su una variabile dipendente, con il vincolo che la variabile indipendenre assu- ma un numero ridotto di modalità distinte (ordinate o non). Dal punto di vista statistico l'ambito di applicazione viene drasticamente ridotto. Una prima restrizione è dovuta al tipo di variabili coinvolte: la va- 252

fABEu-A 9 Matrice r Casix1 Yu Yir Vnt Il vettore della va dimensione np (c vamente accostal pate in K gruppi segno è bilanciat indica la numer< assunto dalla vat più immediato 1 dente Y (le celle ossia da tante pc dente.

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€92

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Introduzione alla statistica per [a ricerca sociale Possiamo a quesro punto elencare gli assunti dell'erqove: o i gruppi devono essere indipendenti; ' la variabile Y deve avere la stessa varianzanelle K popola zioni (assunto di omoschedasticità); o la variabile Y deve distribuirsi normalmenre nelle K popolazioni (assunto di normalità). Qt"l è la logica dell'eNove? Prima di rispondere a quesra domanda è ne- cessario restringere ancora ulteriormente la nostra trattazione. L',tNove è una tecnica sofisticata che permette sia di condurre dei test di verifica di ipotesi (come vedremo, essa può essere considerata una estensione del test della differenza úa due medie), sia di compiere delle stime puntuali ed in- tervallari, risultando, in questo secondo caso, del tutto "ffi^r. alla tecnica della regressione (che verrà discussa nel prossimo paragrafo). Si potrebbe infatti sviluppare I'analisi della varia-nza.o-. un particolare esempio di modello lineare; il discorso verrà qui limit",o .o-1rnque al- I'eNove come test di ipotesi statistiche (per una rrarrazione dell'eNove come modello lineare rinviamo a Miceli, zoor). Data questa delimitazione possiamo riformulare la domand.a nel seguente modo: quali ipotesi vengono sottoposte a verifica e qual è il ragionamenro che porta all'accettazione o al rifiuto di esse ? Nell'nNova le ipJt.si sono le seguenti: Ho:[t, = F, =...= FK H,: almeno due medie sono tra loro difièrenti Procediamo a sviluppare le conseguenze che derivano dal ritenere validi gli assunti e vera I'ipotesi nulla. Se valgono gli assunti, le K popola zioni,da cui Provengono i rispettivi gruppi, possono differire unicamenre per il para- metro p (si ricorda che una distribuzione normale dipende unicamente dai Parametri p e o); se I'ipotesi nulla è vera le K popolazioni coincidono per la caratteristica in esame: ogni gruppo proviene allora dalla stessa popoÎ"rione in cui la caratteristica in esame (variabile dipendente) è disuibuita secondo la funzione Nor(p,o). poiché ci troviamo di frorr,e a più gruppi ap_ Partenenti alla stessa popolazione, abbiamo due modi indipendlnti di stimare la varianza della popolazione. Secondo una prima modalità, calcoliamo le medie all'interno di ciascun grupPo (dette medie parziali o condizionate) e consideriamo i K valori ot- tenuti come determin azioni della variabile aleatoria media campionaria. Poiché la varianza della media campionaria è o'ln, otteniamo una stima della varianza della popolazione moltiplicando la varian za d,ella media campionaria per n. LJna seconda modalità consiste nello stimare 02 con la media delle varianze 254

lI ricorso all'nruovn è legittimo se sono soddisfatti alcuni assunti L'rnovR può essere usata sia per testare ipotesi sia per stimare parametri

(corrette) calcolate all condo modo è in re: mentre quella ottenur matico (distorsione) r caso le K medie parzi pionaria). Un modo quindi del t nulla è quello di costrr osservare quanto quesl uguaglianza. Sappiamo che la statisr si distribuisce come la tavola statistica F che a to da r del valore restir ficativo accerriamo l'ip Riassumendo, possiarr diversi livelli della vari: le medie dei gruppi, sfi bilità nella variabile di1 te - presente nella vari varianza enrro i grupp zione casuale, presente gruppi; dal confrorto r indipendente influenza Passiamo ora alle form, ricavarne il rapporto. C La presenza del pedice I del k-esimo gruppo. Cc tutti gli N casi osserv gruppi): Prima di calcolare le var le devianze.

Questo nelle scienze sociali è un problema perchè di solito le variabili non sono distribuite normalmente, anzi non sono proprio cardinali

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992

'ezuEr^aP al-lns EISSO 'ltolelatunu oJol rns rsoruBruJeJJos )zueue^ al eJelorlBl Ip EuJrJd

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uI auolzurlsrp orol EIIEp eluarualuapuadlpur 'lte.uasso rser p 113 rrrnr

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e ezuer.re^ anp el eJelofler rp ououarured rf eq) elnr.uroJ elle ero oruersstd'aruapuadlp e11enb Ezuengur aruapuadrpur

alrqerre^ EI es araprfap oruerssod rzuerre^ enp allrp oluoSuo] IEp :rddnrS I oJlue e11anb uI EIS lddnr8 r. eD ezueIJE^ EIIau Ers eluaserd 'apnsef euorz-Enttng EIF alrqrngutre Eun a - (u1ql1m ezueltet) lddru8 r orlua vzt;relue^

eìensP) elorra EIIOU uou Eru '(uaamlaq ezuvytet) lddnr8 r.ertezrreuB^ BIIau aruasard - at e aluapuadrpur -uapuadlpul rlIqEIrE^ plle elrqrnqrrue pun 'eruapuedrp epqeue^ EIIau Rllllq'n:aluapuadtp -EITBA IP lluoJ anP oreredas rp qrrfqrssod e1 ouellrn5s 'lddnr8 rep arper.u al'^ ellap elrìrqerre^ Brt Ezuere]Jlp EI erersar rad Ersso 'aruapuadrpur epg?rrp^ EIIep ila^ll rsra^rp

!p lluol ano IeP orlalJe,l erellorruor rad vnoNv,lleu eql errp ourrssod 'opuarunsserx

'otuBIlnUIJ BI oueJluof osef ur 'e1pu rsetodl.l ouJEnlJ)fE o^nefg-lu8rs ? uou oluaruelsors ol eg 'ouodder epr Ep otrnlnser aroie^ Irp r Ep or-uaruelsols oilep RrI^nEfgIuBrs e1 JJEtnle^ E otueJpue er.lf C E)nsnpts BIo^El EIIE esBg ul orrdotd ? pa 'rocapau5-reqsrc Ip J 'E'^ el awof efsrnqrrlsrp rs

elleJJol ezueuet enp EJr orrodder euJof EtrnJlsof efnsnels EI aql oruerddeg'ezuerlSen8n

IP euolzrPuol EIIep BISSo 'r pp Btsofsrp rs or-rodde.l otsanb oturnb aJe^Jesso e .o Ip lruapuedrpur eluns enp el err or-rodder Ir arrnrtsol rp ollanb e elpu rsarodr,llap Rlrlrqrsneld e1 arellonuor rp alernteu ollnt Iap rpurnb oporu un'(errruord -urBf ErPeu EIIap al.leuoldrue) luolzezz\Ie)r ouos qelzrcd erpetu ) el osBl otsanb ur olustlos) ere,r ? eilnu rsarodl,l es oluetlos (auolsrorslp) orlreru-atsls aJoJJe ep euelJe uou eluns Eun q oulrd Ir uof Blnueuo elanb eJluaru'e11nu rsarodl.llap Rrrlrprre^ ellep eruapuadrpur B,rlear ul ? oporu opuof-es Ieu elnuallo Blulls e1 'oddnr8 uncserf rp ouJetur,lle etelofler (anarror)

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(6)

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Introduzione atta statistica per [a ricerca sociale Possiamo in primo luogo calcolare una devia nza deivalori di y ignorando la distinzione nei K gruppi; chiameremo quesra quanrità devian zatotale:

Devl- i S (y,"-y)'

I=l K=r Essa esprime la variabilità delle osseryazioni attorno alla loro media generale . Allo stesso modo possiamo calcolare la variabilità delle medie di gruppo attorno alla loro media, che è ancora la media generale; chiamereiro q,r.rr" quantità devianza tra Ie medie: K Devy = È, 0u-ù, Abbiamo ancora una possibilità, valutare la variabilità delle osservazioni attorno alla loro media di gruppo; chiameremo quesra quantità devianza parziale tra le osservazioni: Devn =/ - \. (Iit.-Ir./-

:i libertà (n - r) e in sr 'rrenendo lavarianza e Calcolo de[[a varianza tra i gruppi Calcolo de[[a varianza entro i gruppi

K nj, (tu - ì,

vAR\r = *,

Kl \\ / _k=r

i.

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Se l'ipotesi nulla è vera v' arianza della popolazic Ítanza tra i gruppi sarà varianza delle medie del Si dice allora che la val uno stimatore distorto < il rapporto rra lavarianz re atteso r se I'ipotesi nu Siamo così giunti alla st: la cui distribuzione cam con (K-r) e (N-K) gra Tenendo conro del livell cettata quando il valore , F.,, dove F., è il valore ot N-K gradi di libertà. È buona norma affrancar sura della súettezza della che la differenza nella ca1 vamenre influenzata dal influenza spiega una quo pacità di rievocazione. O, stiche indesiderate dei tes praticamenre sempre al ri servazioni è elevato. Per valutare la strerrezza incontrato nel cap. 3, rrat

n i=r che esprime la variabilità presenre in ciascun gruppo. Possiamo sfruttare queste due ultime quantit;p.r giungere a due stime indipendenti della varianzadella popol"rione da cui ,i suppone provengano i K gruppi. Per trasformare la Devv in una varianzacorretta non bisogna fare altro che dividerla per il numero dei gradi di libertà (pari a K-r), ott.r,.ndo in que_ sto modo una stima della varianzadella distribuzione della media campionaria; per passare dalla varianzadella distribuzione della media campionaria a quella della popolazione è sufficiente moltiplicare la prima p.,. il ,u- mero di osservazioni (n). Effettuando entrambe l'. op.r"rioni otteniamo la prima stima della varianzadella popolazione che chiamiam o varianza tra i gruppi: VARB = Attraverso la devia nza parziale tra le osserva zioniperveniamo invece alla seconda srima della varianza della popolazione. Dapprima, nel|ambito di ciascun gruppo' trasformiamo la devianza in varianz" di,rid..rdo per i gradi 256

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(7)

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rp pzzaÌlarls ellep -rrergru8rs ? ruorzeruroJur allap erero^alr rp qrrcedel BIIeu ezueralJrP EI aql prnslu e e)rlsrlels oldruasa pe arades rueJul etrodtut olod 'auoIZEIeJ BIIep ezzetlaJfs EIIaP EJns glrnrlergru8r5 -rru Eun EfnsnBls Rtr^nef5ru8rs apnrua^a Eun pB eJEfu?gJB EIuJou ?uonq E

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(8)

ltteorema di scomposizione detla devianza non si applica alle varianze corrette r12 ed E2 I'informazione più sr visiva il livello più prr La variabile indipenc zione", una variabil mento; la variabile conteggio che può i calcoli, immaginiam< formato da 3 studen L'ipotesi nulla formt si alternativa è Hr: a risce che diversi livel ferenze nella rievoca numero medio di pa si afferma invece ch numero di parole rir 10.

lntroduzione alla statistica per [a ricerca sociale Nel contesto inferenziale, quando si ricorre alla formula corretta per il calcolo delle varianze, non è più possibile parlare in modo equivalente di quota di devianza della variabile dipendente riprodotta dalla variabile indipendente o di quota di varianza riprodotta, in quanto i gradi di libertà del numeratore e del numeratore sono differenti; il teorema di scomposizione della devianza, presentato nel cap. J, non può più essere esteso alle varianze corrette. Per ottenere una misura della súettezza della relazione, nei termini di quota di varianza (corretta per i gradi di libertà) riprodotta possiamo ricorrere all'operatore eta quadro :

r'='-ffit

Questo operatore non è altro che la controparte inferenziale del coefficiente di determinazioneE'; a differenza di quest'ultimo, consente di tenere conto dell'ampiezza del campione e del numero di modalità della variabile indipendente. î1' assume come valore massimo r, nel caso la variabile indipendente sia in grado di riprodurre perfettamente la variabile dipendente; se le variabili sono indipendenti in media il suo valore sarà un numero non troppo distante da zero. Per facilitare la comprensione dell'utilizzo dell'analisi della varranza viene di seguito riportato un esempio, ispirato a una ricerca sulla memoria real- mente condotta da Eysenck (come risulta dal suo saggio Age Dffirences in Incidental Learning, in "Developmental PsycholoW", ro, 1974, pp. %6- 4r). Eysenck era interessato alla verifica empirica del modello teorico di Craik e Lockhart, secondo il quale per la capacità di rievocare e riconoscere l'informazione è di fondamentale importanza il livello di elaborazione del- I'informazione stessa. A questo scopo suddivise casualmente un gruppo di 5o studenti in 5 gruppi, ognuno assegnato ad una condizione sperimentale differente. Data una lista di zo parole, le 5 condizioni consistevano nei seguenti compiti: o contare il numero di lettere contenute in ogni parola; o cercare una rima per ogni parola; o cercare un aggettivo che cambiasse il senso delia parola; . creare una immagine mentale; o memorizzarele parole per rievocarle in seguito. Dopo la presentazione della lista veniva richiesto ai 5o soggetti di rievocare quante più parole possibile. Delle cinque condizioni sperimentali in una soltanto I'apprendimento era intenzionale (l'ultima); inoltre, le altre quat- tro condiziom differivano tra loro per grado di profondità di elaborazione, richiedendo il contare il numero di lettere un livello di elaborazione del- 258

TABELTA 10 Matrice di c: osservazion i 7 Somme Medie N. osservaz. I calcoli per verificare Deva = (6 - Devs = 3l( Devy = [(6 - 6)' * Possiamo osservare n scomposizione: Der

(9)

692

oZ = 9 + tt - atnaCl + B,raq - rnaCl

:auolzlsodruofs

rp EuaJoet I ale^'azuerrrap a1 rad 'aqr atuaruerrJJrunu aJe^Jasso oruerssod

9 = [.(5-l) + .(5 -9) * .(S-n)] + * [.(8 -L) .(8-6) .(8-8)] + l.(9-l) * .(9-L) * .(9-9)l - ,nnaCl It = l.(l€'9-l) * .(f€'9-g) +.(f.f.'9-9)l€ = srraq oz =.(ff'9-l) * "'+.(fl'9-L) +.((,1'9-9) = r^tq

:rtuan8as r ouos og arergrre,r rad rlolle] I

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(10)

Introduzione a[[a statistica per [a ricerca sociale Passiamo ora al calcolo dei gradi di libertà: gdlT = N-r = 8 gdlB = K-t = z Bdl* = (n-r)K = 6 e a quello delle varianze: VARr = zolS = 2.5 VARs=1412=7 VARw=616=t Infine, calcoliamo il valore della statistica test: o- vARu --

vARw /

Possiamo riassumere questi risultati nella tipica tabella ANovA (tab. rr). rABEttA 11 Tabella ANovA retativa all'esempio di tab. ro Fonte di variabitità Devianze gdtVarianze F Variabi[e indipendente Devu = 14K-l = 2Devs/(K-l) = 7 VAR'/VAR* = 7 Errore casualeDev* = 6N-K = 6 Devry/(N-K) = t TotateDev, = 20N-1= 8 Con un livello di significatività di cr pari a o,ot, il valore critico di F con z e 6 gradi di libertà, ricavato dalla tav. vII inAppendice,èF,,u = 5,r4. Il valore di F osservato cade nella regione di rifiuto, è infatti maggiore del valore critico e quindi non accettiamo I'ipotesi H.. Questo significa che il livello di elaborazione influenza significativamente la rievocazione: la differenza tra almeno due delle medie che abbiamo osservato (6, 8, 5) non è im- putabile alla futtuazione casuale, ma riflette una differenza sistematica, esi- stente a livello delle popolazioni da cui abbiamo estratto i campioni. Possiamo chiederci se oltre ad essere statisticamente significativa l'influenza della variabile indipendente sia anche forte, ricorrendo alla già menzio- nata misura'r1':

L'esempio appena visro teoriche. In primo luol un conteggio; ciò può malità (il rischio è tant< che il conteggio effetti, anche dell'assunto di or riabili discrete media e binomiale E(Y) = np e ripercuoteranno anche e grande si può utilizza i fiuttare

I'approssi mazi< zioni discrete (per il te, ,.ienza tra medie e variar zioni dalla normale si p Jipendenre sressa, oper -autela, non essendo inr :.izione del problema de -onsultare Ercolani, Arr r,-'r--1(; per i rischi conn :e\'. 1983, trad. it. pp. z, ',.rriabile è comunque r .immetrica possibile e s( :rica in direzione opposr . n realtà è invalso un us -.rro solo in parte. È'u.rc :rado di produrre risult .unri, ma questo non sig .inorare. È buon" nor[ :ì:r una analisi della var :ci dati, testando I'omo .:irro di Levene). Come :., ) essere considerate sirr :: -1 r'olre quella più picc :r = pplicabilità dell'eNov .::errico (per esempio si ::rendente è ordinale: cl l-:ando le modalità dell ..: .lella varranza produ< :::za tra due medie per -' iue statistiche test esis. VARy l Tlt = 1- - 1- 1-O,4 = 0,6 VAR. L,5 In base a questa statistica la relazione sembra essere forte. 260

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ANovA e test della differenza tra [e medie

possibilmente riconduc nota. Queste tre inform azion bili, considerate nel lor< La regressione lineare ; caratteristica è quella dì a livello di scala cardin espliciti: o una o più variabili ir almeno due valori disti dummy: cfr. Hardy, ry9: ve o regressori; o una componente erf riabilità non previste ne variabile Y. La regressione è una tecl si possa parlare dell'esis tuttavia, il fatto d.i aver '' necessariamente che tra di causa-effetto si pone s in quanto discende da u denza tra variabili è stab per ogni altra tecnica in indipendenti). Fatta que I'analisi della causalità e elettiva. La regressione lineare è r sociali ed economiche: i nucleo la strutturs. rn?r, (per esempio quelle citat regressione lineare si esp Yi=ct+ o anche, in forma piùr cc

Introduzione atta statistica per ta ricerca sociate Ci si potrebbe chiedere allora perché non utilizzare il test della diffe- Íenza tra le medie anche quando i gruppi sono piìi di due, semplice- mente replicandolo più volte. La risposta è connessa alla probabilità di commettere un errore di r" tipo: se in una ricerca si ricorre piìi volte al test della diflerenza tra le medie fissando ad esempio un livello di si- gnificatività dello o,oJ, la probabilità di rifiutare I'ipotesi nulla quando essa è vera, considerando non il singolo confronto ma tutti quelli eseguiti, non è più pari a o,ot bensì superiore; di quanro cresce, dipende dal numero di test eseguiti. Detto in termini più discorsivi: posro alfa pari a o,ot, condotti loo test, e posto che per rutti i confronti I'ipotesi nulla sia vera, dobbiamo aspettarci di rifiutare erroneamente I'ipotesi nulla in 5 casi su 1oo; in 5 casi le medie risulteranno significativamente diverse tra di loro, per puro effetto del caso. Soffermiamoci non sul numero di errori che possiamo compiere, ma sulla probabilità di compiere almeno un errore del r" tipo in un insieme di test, probabilità che indicheremo con Fw \fo*ib wise error). Questa è data dalla seguente espressione: Fw = r-(r-cr)' dove c è il numero di confronti eseguiti. Si può così notare come quesra probabilità si discosti notevolmente dal valore prescelto per ogni singolo confronto quando il numero dei gruppi cresce, e coincide con a quando c = 1 (ossia nel caso vengano confrontati soltanto due gruppi). Con l'e- NovA effettuiamo invece un solo test e la sua probabilità di errore del primo tipo coincide con il livello di significatività prescelto. A questo indub- bio vantaggio statistico si contrappone uno svantaggio legato allo scopo del test. Al ricercatore molto spesso non è sufficiente sapere che tra i gruppi esistono delle differenze significative, ma preme sapere quali sono in speci- fico i gruppi che differiscono. Per ottenere questa inform azione le strade possibili sono due: . soffermare, fin dalla progettazione dell'esperimento, I'attenzione su di un numero ridotto di confronti, eseguendo pochi test di differenza tra le medie (situazione detta "dei confronti a priori"); o una volta ottenuto un test F significativo, eseguire tutti i confronti possibili, ma con delle procedure statistiche, definite test post hoc in grado di controllare la probabilità dell'errore di r" tipo. j. Regressione [ineare Quando studiamo le relazioni tra variabili cardinali, oltre alla forza e alla significatività dell'associazione, siamo interessati alla sua forma, 262 dove K rappresenta il nr lo. Se la variabile indipende plice, altrimenti di regre Page 11 of 23 Fondamenti e metodi per l'analisi empirica nelle scienze sociali a.a. 2012-2013

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Introduzione alla statistica per [a ricerca sociale Il grado complessivo del polinomio che compare a destra dell'equazione è pari a uno; quando è maggiore di uno, come nel caso seguente: Y, = cr * l3,Lr * l3,Li * B, \,L, * FoI .]r + ... + 11 si entra nel campo della non linearità. Per analizzare le relazioni non lineari esistono diverse tecniche, alcune delle quali sono delle semplici estensioni del modello di regressione lineare multipla; tuttavia, dato il carattere introduttivo di questo manuale, tralasceremo queste complica- zioni (per un'introduzione ai modelli non lineari cfr. Bohrnstedt, Kno- ke, ry94). Per semplicità, considereremo ora il caso della regressione lineare semplice (quindi con una sola variabile indipendente), trascurando in un primo momento la componente erratica; ciò significa assumere che la relazione tra le due variabili sia completamente deterministica, cioè che il valore della Y si possa predire esattamente una volta noto il valore della X e quello dei parametri dell'equazione. Scriviamo pertanto: Y,=G*f3Xt Come si vede, questa è la formula generale di una retta avente come inter- cetta il valore ct, e come coefficiente d'inclinazione il valore B. Il significato di 13 pro essere facilmente compreso con una serie di esempi: o se f3 = o,5, un aumento di una unità della variabile X comporta una variazione positiva nella variabile Y di mezza unità; . se B = 1, a una variazione unitaria della variabile indipendente corrisponde una variazione unitaria positiva della dipendente (come nel caso della retta rappresentata nella figura r); . se B = z, a unavariazione unitaria della variabile X corrisponde un in- cremento di due unità della Y; . se p = - o,f, I'entità della variazione è in modulo la stessa di quella del primo caso considerato, ma la variazione della variabile Y è di segno oppo- sto. Il termin. B è detto anche coefficiente angolare, in quanto è proprio dal valore che esso assume che dipende I'angolo che la retta forma con I'asse delle ascisse. U" 13 = 1 per esempio corrisponde a una inclinazione di 45" rispetto all'asse delle ascisse; più in generale: B = tg e, dove 0 è l'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse. Il termine o rappresenta invece il valore che Y assume quando X è uguale a o; owiamente è possibile che cr sia uguale a zero, nel qual caso avremo una retta che passa per I'origine. 264

FrcuRA r Retta di regressio del['angolo 0 Significato geometrico dei parametri del modello di regressione

Con l'equazione di regr possibile predire il valo to valore di X. Si noti , relazione matematica e che X è una causa di ' quello empirico. Quando si passa dallo r zione empirica, per qui si può aspettare che i vi la retta. Anche se arrivi colarmente complessa, spiegare un fenomeno dentale (per esempio u Sotto particolari assunt una situazione del segu E(Y') = Si dice allora che la re punti (fig. ,). FTGURA z Nube di punti e rr Le coordinate tracciat< un certo valore x', il c Page 13 of 23 Fondamenti e metodi per l'analisi empirica nelle scienze sociali a.a. 2012-2013