ESERCIZIO 7: Risolvi mediante Eliminazione Gaussiana il seguente SL
Solve the following linear system of 4 equations in 4 unknowns:-1 x1 +3 x2 +2 x3 -1 x4 = 6 2 x1 +6 x2 +6 x3 +3 x4 = 16 1 x1 +3 x2 -2 x3 -11 x4 = -2 2 x1 +6 x2 +8 x3 +8 x4 = 20
SOLUZIONE
•
Step 1: Trasforma la matrice completa alla forma ridotta
Operazione 1:
-1 3 2 -1 6 2 6 6 3 16 1 3 -2 -11 -2 2 6 8 8
20
R1=-R1
1 -3 -2 1 -6 2 6 6 3 16 1 3 -2 -11 -2 2 6 8 8 20
Operazione 2:
1 -3 -2 1 -6 2 6 6 3 16 1 3 -2 -11 -2 2 6 8 8
20
R2=R2-2R1
1 -3 -2 1 -6 0 12 10 1 28 1 3 -2 -11 -2 2 6 8 8
20
Operazione 3:
1 -3 -2 1 -6 0 12 10 1 28 1 3 -2 -11 -2 2 6 8 8
20
R3=R3-R1
1 -3 -2 1 -6 0 12 10 1 28 0 6 0 -12 4 2 6 8 8
20
Operazione 4:
1 -3 -2 1 -6 0 12 10 1 28 0 6 0 -12 4 2 6 8 8
20
R4=R4 -2 R1
1 -3 -2 1 -6 0 12 10 1 28 0 6 0 -12 4 0 12 12 6 32
Operazione 5:
1 -3 -2 1 -6 0 12 10 1 28 0 6 0 -12 4 0 12 12 6
32
R2=R2/12
1 -3 -2 1 -6 0 1 5
6 1 12
7 3 0 6 0 -12 4 0 12 12 6
32
Operazione 6:
1 -3 -2 1 -6 0 1 5
6 1 12
7 3 0 6 0 -12 4 0 12 12 6
32
R3=R3-6R2
1 -3 -2 1 -6 0 1 5
6 1 12
7 3 0 0 -5 -25
2 -10 0 12 12 6
32
Operazione 7:
1 -3 -2 1 -6 0 1 5
6 1 12
7 3
0 0 -5 -25 2 -10 0 12 12 6
32
R4=R4-12R2
1 -3 -2 1 -6 0 1 5
6 1 12
7 3 0 0 -5 -25
2 -10 0 0 2 5
4
Operazione 8:
1 -3 -2 1 -6 0 1 5
6 1 12
7 3 0 0 -5 -25
2 -10 0 0 2 5
4
R3=R3/5
1 -3 -2 1 -6 0 1 5
6 1 12
7 3 0 0 1 5
2 2 0 0 2 5
4
Operazione 9:
1 -3 -2 1 -6 0 1 5
6 1 12
7 3
R4=R4-2R3
1 -3 -2 1 -6 0 1 5
6 1 12
7 3
0 0 1 5 2 2 0 0 2 5 4
0 0 1 5 2 2 0 0 0 0 0
Step 2: Interpreta la forma ridotta
Si osserva cher(A) = 3 r(A|b) = 3
e quindi il sistema è possibile
Poiché n-r(A)=1, si hanno ∞1 soluzioni.
In particolare, possiamo fissare in modo arbitrario x4, e risolvendo all’indietro il SL ridotto si ottiene:
x4 =
t
,t
∈ℜ x3=2-t
5/2;x2=7/3-(2-t 5/2) 5/6 – t/12 =2/3 + 2
t
x1=-6 +3 (2/3 + 2t
) +2 (2-t 5/2) – t.=0.Il sistema ha quindi le infinite soluzioni:
x = [0 2/3+2t 2-t 5/2 t]T
