A - Test d’ingresso alla Prova Scritta di Controlli Automatici A 1) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento
2 2 2 3
( 1) 9
( ) ( 1) 16
T s s s
+ +
= − +
scrivere i modi di Σ :
{
modi di Σ =} {
etsin(4t+ϕ1), tetsin(4t+ϕ2), t e2 tsin(4t+ϕ3)}
2) Scrivere l’approssimante di Padé del primo ordine del ritardo finito e−4s : 1 1 2 ( ) 1 2 G s s
s
= −
+
3) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento 3 2 23 1
( ) 1
s s
T s s s s
+ +
= + + + stabilire:
Σ è asintoticamente stabile: vero falso x Σ è semplicemente stabile vero x falso Σ è instabile: vero falso x Σ è a fase minima: vero x falso
Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero falso x 4) Ad un sistema con funzione di trasferimento 5 2
(s+1) ed in quiete nell’intervallo (−∞,0) viene applicato l’ingresso ( ) 3sin( )u t = t t≥0. Determinare la corrispondente uscita ( )y t per t→ ∞ :
( ) 15sin
2 2
y t t π
= −
5) Determinare il coefficiente di smorzamento e la pulsazione naturale dei poli dominanti del sistema con funzione di trasferimento 2 10
3 9
s + s+ : δ =1/ 2 ωn =3 rad/s
6) Il diagramma polare associato alla funzione di trasferimento 2 3
( ) ( 1)
L s s s s
= +
+ presenta un asintoto verticale parallelo all’asse immaginario. Determinare l’ascissa reale σa di tale asintoto: σa = − 5
7) Determinare il segnale ( )f t nota la sua trasformata di Laplace 1 3 ( ) ( 2) F s = s
+ : 1 2 2
( ) 2 f t = t e−t
8) Determinare la risposta al gradino unitario del sistema con funzione di trasferimento 32 ( )
T s = s : 3 2
( ) 1( )
s 2
g t = t ⋅ t
9) Un sistema dinamico Σ sia descritto dall’eq. diff. Dy+2y u= dove u è l’ingresso e y l’uscita.
Determinare la risposta all’impulso di Σ : g t( )=e−2t⋅1( )t
10) Dato il luogo delle radici di equazione caratteristica 1 1 5 1
1 0 con positivo
( 4)
K K
+ s =
+
determinare il centro della stella degli asintoti: σa = − ; stabilire inoltre se le radici dell’eq. 4 caratteristica sono tutte a parte reale negativa ∀ ∈K1 (0,+∞ : vero falso x non è possibile ) stabilirlo
B - Test d’ingresso alla Prova Scritta di Controlli Automatici A 1) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento
2 2 2 3
( 7) 16
( ) ( 2) 25
T s s s
+ +
= − +
scrivere i modi di Σ :
{
modi di Σ =} {
e2tsin(5t+ϕ1), te2tsin(5t+ϕ2), t e2 2tsin(5t+ϕ3)}
2) Scrivere l’approssimante di Padé del primo ordine del ritardo finito e−6s : 1 1 3 ( ) 1 3 G s s
s
= −
+
3) Dato un sistema dinamico Σ con funzione di trasferimento 33 2 2 3
( ) 1
s s
T s s s s
= + +
+ − − stabilire:
Σ è asintoticamente stabile: vero falso x Σ è semplicemente stabile vero falso x Σ è instabile: vero x falso Σ è a fase minima: vero falso x
Σ è stabile ingresso-limitato uscita limitata: vero falso x 4) Ad un sistema con funzione di trasferimento 3 2
(s+1) ed in quiete nell’intervallo (−∞,0) viene applicato l’ingresso ( ) 3sin( )u t = t t≥0. Determinare la corrispondente uscita ( )y t per t→ ∞ :
( ) 9sin
2 2
y t = t−π
5) Il diagramma polare associato alla funzione di trasferimento 2 2
( ) ( 1)
L s s s s
= +
+ presenta un asintoto verticale parallelo all’asse immaginario. Determinare l’ascissa reale σa di tale asintoto: σa = − 3
6) Determinare il segnale ( )f t nota la sua trasformata di Laplace 1 4 ( ) ( 3) F s = s
+ : 1 3 3
( ) 6 f t = t e−t
7) Determinare la risposta al gradino unitario del sistema con funzione di trasferimento 52 ( )
T s = s : 5 2
( ) 1( )
s 2
g t = t ⋅ t
8) Un sistema dinamico Σ sia descritto dall’eq. diff. 2Dy y u+ = dove u è l’ingresso e y l’uscita.
Determinare la risposta all’impulso di Σ : 1 12
( ) 1( )
2
g t = e− t⋅ t
9) Determinare il coefficiente di smorzamento e la pulsazione naturale dei poli dominanti del sistema con funzione di trasferimento 2 21
2 16
s + s+ : 1
δ = 4 ωn =4 rad/s
10) Dato il luogo delle radici di equazione caratteristica 1 1 4 1
1 0 con positivo
( 3)
K K
+ s =
+
determinare il centro della stella degli asintoti: σa = − ; stabilire inoltre se le radici 3 dell’eq. caratteristica sono tutte a parte reale negativa ∀ ∈K1 (0,+∞ : vero falso x non è ) possibile stabilirlo
Soluzioni
A1) Vedi A. Piazzi “Controlli Automatici A: lucidi delle lezioni”, UniNova PR, pp. 4.41—45.
A2) Si interpreta l’eq. diff. con le derivate generalizzate:
*3 * *
7D y+4D y y+ =3D u u+ si applica la trasformata di Laplace:
{
3 2 2} { } { }
7 s Y s( )−s y(0 )− −sDy(0 )− −D y(0 )− +4 sY s( )−y(0 )− +Y s( ) 3= sU s( )−u(0 )− +U s( ) da cui si ricava considerando che ( ) 0U s = (la trasformata di Laplace dell’ingresso è nulla):
2 2
3
7 (0 ) 7 (0 ) 7 (0 ) 4 (0 ) 3 (0 )
( ) 7 4 1
y s Dy s D y y u
Y s s s
− + − + − + − − −
= + +
Il sistema dinamico è in evoluzione libera.
B1) Scelta una funzione propria del secondo ordine per il controllore C(s) del tipo
( )
( )2
a s s
d cs s bs
C +
+
= +
in modo che sia rispettata la specifica sull’errore a regime in risposta al gradino.
Il guadagno di anello risulta:
( )
2 2) 1 (
1 )
: (
⋅ − +
+
= +
s a s s
d cs s bs
F dalla specifica su Kv si ricava
10 )
(
lim0 = =
= → a
s d sF Kv s
Considerando l’equazione caratteristica:
) 0 1 (
1 )
1 2( 2 =
⋅ − +
+ + +
s a s s
d cs bs si ottiene il seguente polinomio caratteristico:
d s c a s b a s
a
s4 +( −2) 3+(1−2 + ) 2 +( + ) + il polinomio caratteristico imposto e’:
e s e s
e s e s s
e s s s s
12 ) 12 20 ( ) 20 9 ( ) (
) )(
6 )(
2 )(
1 (
2 3
4 + + + + + + +
= + + + +
Dal principio di identita’ dei polinomi e dalla specifica su Ka si ottiene il seguente sistema:
=
= +
= +
+
= +
−
+
=
−
10 12 12 20
20 9 2
1
9 2
a d
e
d e
c a
e b a
e a
le cui soluzioni sono:
=
==
=
=
55 1046660
646 66
e cd b
a
Si noti che il valore trovato per e fissa un ulteriore polo del sistema retroazionato in –55 e cio’
garantisce il rispetto della specifica sui poli dominanti.
Il controllore trovato e’ quindi:
( ) ( 66 )
660 1046
646
2+
+
= +
s s
s s s
C
B2)
1) Valutazione della stabilità con un metodo esatto.
Dal testo si ricava immediatamente che )
4 1 )(
1 ) ( (
2
ω
ω ω ω
j j
j Ke F
j
+
= + − .
L’argomento di tale funzione di risposta armonica sarà espresso dalla relazione )
4 arctan(
) arctan(
2 )) (
arg(F jω =− ω− ω − ω .
Al fine di verificare la stabilità del sistema in modo esatto bisogna cercare le intersezioni di questa funzione con l’asse reale negativo. Visto che funzione di risposta armonica presenta solo poli a fase minima il suo modulo sarà monotonicamente decrescente in funzione di ω e questo consentirà di valutare la stabilità del sistema considerando solo la prima intersezione della funzione con l’asse reale negativo. Si cerchi pertanto il valore di ω per il quale è soddisfatta la relazione
π ω ω
ω− − =−
−2 arctan( ) arctan(4 ) .
Non esistendo soluzioni in forma chiusa si proceda tramite un metodo di tipo iterativo.
Si ponga la relazione appena trovata nella forma 2
) 4 arctan(
)
arctan(ω ω
ω=π − − e si usi, dunque, la seguente espressione per cercare la soluzione del problema
2
) 4 arctan(
) arctan(
1 i i
i
ω ω
ω+ =π − − ponendo inizialmente ωi =1 (altri valori iniziali vanno ugualmente bene). Dopo poche iterazioni l’algoritmo converge verso la soluzione
rad/s 6992 .
=0
ωp .
Il modulo della F(jω) calcolato per ω=ωp è espresso dalla relazione 4371
. 16 3
1 ) 1
( 2 2
K j K
F
p p
p =
+
= +
ω
ω ω .
Poiché deve essere verificata la relazione F(jωp) <1 concluderemo che il sistema sarà stabile solo se 437
. 3
0< K < (si ricordi che la condizione K >0 era imposta dal testo del problema).
2) Valutazione della stabilità con un metodo approssimato.
Rappresentiamo il ritardo finito tramite uno sviluppo di Padé del primo ordine
s e s
t s t s
e ts s
+
= −
⇒ +
= − −
−
1 1 1 2
1 2
2 0
0
0
e sostituiamo questa relazione nella relazione della F(s) )
4 1 ( ) 1 (
) 1 ( ) 4 1 )(
1 ) (
( 2 2
s s
K s s
s s Ke
F s
+ +
≅ − +
= + − .
Verifichiamo la stabilità mediante il criterio di Routh
0 1 )
6 ( 9 4
0 )
4 1 )(
2 1 (
0 ) 1 ( ) 4 1 ( ) 1 (
) 0 4 1 ( ) 1 (
) 1 1 (
2 3
2 2
2
= + +
− + +
=
−
− + + +
=
− + + +
+ = + + −
K s K s
s
K sK s s
s
K s s
s
s s
K s
Da quest’ultima relazione è possibile scrivere la tabella di Routh
1 0
0 1
1 9
2
6 4 3
+
+
−
K
K K
α
con α =9(6−K)−4(K+1)=50−13K. Il sistema sarà stabile se α >0 ovvero se 84
. 13 3 0 50
13
50− K > ⇒ K< = .
La condizione K+1>0 non è influente in quanto si è imposto che K >0.
In conclusione.la verifica con Routh fornisce un range di stabilità più ampio ma sul quale non possiamo fare affidamento visto che il metodo applicato risulta introdurre delle approssimazioni.
.
Soluzione C1
1) L’equazione del sistema è
1 1 2
1
1 2
2
u v v v
Cv R R
v v
Cv R
− −
= −
−
=
2)da cui si ottiene la seguente equazione differenziale
1 1 2
2 1 2
1 1 2
2
1 1 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2
2 2 2 ( )
( ) 3
RCv u v v RCv v v
RCv v u v
RCv v RCv v RC v RCv
RC v RCv v u
= − +
= −
+ = +
+ = + + +
+ + =
3)la funzione di trasferimento risulta
2 2
2 2
( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( )
( ) 1
( ) ( ) ( ) 3 1
RC s Y s RCsY s Y s U s P s Y s
U s RC s RCs
+ + =
= =
+ +
che si puo’ scrivere come ( ) 1
(3 5) (3 5)
(1 )(1 )
2 2
P s
RC s RC s
= + − + +
4) Sostituendo i dati forniti otteniamo ( ) 1
(3 5) (3 5)
(1 )(1 )
2000 2000
P s
s s
= + − + +
il diagramma di Bode di questo sistema del secondo ordine e’ il seguente
C2
Il centro dell’asintoto è dato da 1 1 2.5
n m
i i
i i
p z
n m
= =
−
− = −
∑ ∑
, gli asintoti sono due, il diagramma per K>0 e’ il seguente
-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Magnitude (dB)
101 102 103 104 105
-180 -135 -90 -45 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Per K<0 otteniamo una radice doppia in –1/2 e il diagramma e’ il seguente
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
0.8 Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
