GUIDA PER LE ESPERIENZE DI LABORATORIO IV
Circuito RLC in serie
Scopo dell’esperienza `e la misura della funzione di trasferimento e dello sfasamento sulla resistenza del circuito RLC in serie. Dall’adattamento delle espressioni teoriche di queste quantit`a si potr`a poi ricavare la frequenza di risonanza ω0 ed il fattore di merito Q0 del circuito.
L C
VRocos(ωt + ϕ) R
V0cos(ωt)
Riprendendo, con qualche modifica nella notazione, i risultati del paragrafo sulla funzione di trasferimento, abbiamo:
T(ω) = VRo(ω) V0(ω) =
R RC
r 1 + Q20
ω
ω0 −ωω02
≡ β
r 1 + Q20
ω
ω0−ωω02
; ϕ(ω) = arctan
Q0
ω0
ω − ω ω0
(1)
(ricordiamo che RC `e la resistenza totale del circuito).
Prima di effettuare i collegamenti, misurate la resistenza, la capacit`a e la resistenza dell’induttanza col multimetro; per l’ induttanza vi sar`a indicato il valore misurato nel laboratorio di elettronica.
1 Misura della funzione di trasferimento
V
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oB
A
--- tδt=
ϕ ω
Utilizzate il generatore di funzioni come input, e collegate i capi del generatore e della resistenza ai due canali dell’oscilloscopio, utilizzato in modalit`a ’base dei tempi’; attenzione alla polarit`a delle connessioni
!. Variando la frequenza del generatore individuate rapidamente la regione della risonanza, poi scegliete l’intervallo entro cui fare le misure sistematiche, a passi fissi di ω. Fate in modo di effettuare un numero
1
sufficiente di misure vicino alla risonanza, per osservare nel dettaglio la crescita e la decrescita di T (ω).
Eventualmente potete infittire il passo intorno alla risonanza.
L’oscilloscopio che utilizzerete fornisce la misura digitale dell’ampiezza picco-picco dei due segnali.
2 Misura dello sfasamento
La misura dello sfasamento si pu`o effettuare nella stessa modalit`a: bisogna centrare i due segnali verti- calmente rispetto all’asse dei tempi; lo sfasamento potr`a essere letto sull’asse t come indicato nella figura precedente; in questo caso lo sfasamento del segnale B rispetto al segnale A `e positivo. Anche in questo caso, utilizzando i cursori verticali dell’oscillografo, si pu`o effettuare una misura digitale di δt.
Vi proponiamo tuttavia di utillizare un altro metodo, che richiede una sola centratura. In modalit`a X − Y l’oscilloscopio visualizza il segnale B (asse y) in funzione del segnale A (asse x). Supponiamo che A sia il segnale sul generatore.
Con questa disposizione abbiamo:
x = V(t) = V0cos(ωt)
y = VR(t) = VRocos(ωt + ϕ) (2)
Definendo l’origine dei tempi abbiamo reso nulla la fase diV(t); ϕ `e dunque la differenza di fase di VRrispetto aV .
Questa `e l’equazione parametrica di un’ellisse con, in generale, gli assi non paralleli agli assi coordinati.
Per x = 0, e quindi cos(ωt) = 0, si ha:
y= ±VRosin(ϕ) (3)
queste sono le coordinate delle due intersezioni dell’ellisse con l’asse y; la distanza tra queste `e indicata in figura con 2a. D’altra parte la differenza tra i valori massimo e minimo delle coordinate y dei punti dell’ellisse (2b in figura) `e uguale a 2VRo, quindi abbiamo:
|sin(ϕ)| =2a
2b (4)
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y
x 2a
2b
Non possiamo dunque determinare il segno della fase. La funzione |sin(ϕ)| ha una cuspide in ω = ω0, quindi conviene passare al suo quadrato, che ha la derivata continua. Dalla seconda delle (1) abbiamo:
sin2(ϕ) = tan2(ϕ)
1 + tan2(ϕ) = Q20
ω
0
ω −ωω0
2
1 + Q20
ω
0
ω −ωω0
2 (5)
2
E questa espressione che adatterete alle misure di` 2a2b2.
Nel fare la scansione in frequenza potete , fissata una frequenza, misurare V0 e VRo in modalit`a ’base dei tempi’ e commutare immediatamente alla modalit`a X − Y per misurare 2a e 2b; quindi passare alla frequenza successiva.
Vi faccio infine notare che le stesse quantit`a misurate sull’asse x sono legate alla differenza di fase di V rispetto a VR, che in valore assoluto `e uguale a quella di VR rispetto a V .
Il segno della fase potrebbe essere determinato passando alla modalit`a ’base dei tempi’. Restando in modalit`aX − Y , cosa dovremmo poter osservare per determinare il segno della fase?.
3 Analisi dei dati
La figura seguente mostra l’andamento della funzione di trasferimento e di sin2(ϕ(ω)) per Q0 = 5 e β = 0.95.
0 1
ω
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T(ω).
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ω0
Adattate le espressioni di queste due quantit`a ai dati con parametri liberi ω0, Q0 e β per la funzione di trasferimento e ω0 e Q0 per sin2(ϕ(ω)). Confrontate i valori dei parametri fra di loro e con quelli calcolati utilizzando i valori di R, L e C. Dato il valore di β ottenuto dall’adattamento, potete dedurre che le sole resistenze non trascurabili nel circuito sono quelle della resistenza e dell’induttanza ?.
3
