BOLLETTINO UNIONE MATEMATICA ITALIANA

(1)

B OLLETTINO

U NIONE M ATEMATICA I TALIANA

Oscar Montaldo

Un’osservazione sulle equazioni paraboliche elementari.

Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, Serie 3, Vol. 21 (1966), n.2, p. 155–160.

Zanichelli

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(2)

Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, Zanichelli, 1966.

(3)

Ù n ' o s s e r v a z i o n e s u l l e e q u a z i o n i p a r a b o l i c h e e l e m e n t a r î .

O S C A R M O N T A L D O ( C a g l i a r i ) (*)

Sunto. - Si dimostra che il teorema di positività per le solusioni, in senso ordinario. del problema (D™-+ (—l)n Dy)u — Q in 0 < œ < l , 0 < 2 / < a ,

^ ^ = / ( ^ ^ ¾ ¾ ^ ) ^ ¾ 1 1 1 ^ ^ ¾ * = 0 , l , . . . , n — 1, vale solo per n = 1.

Summary. • Let ti(x,y) be, for a $u,fficiently smooth function f{x), the or- dinary solution of the problem Byu = ( — l)»H-i D^u in 0 < x < 1, 0 < y < a , n/8,o = / ( 4 D%u/0,x=zD*u/i,y = 0, i = 0 , 1 , . . . , n - 1.

TAet* we fcaue that f(x)>0 in [0,1] =^.M(œ,î/)> 0 tn 0 < » < l , 0 < 2 / < a on?2/ /or « = 1 .

I n t r o d u z i o n e . - S u l l e e q u a z i o n i di o r d i n e s u p e r i o r e , e l l i t t i c h e o p a r a b o l i c h e , p o c h i sono i c r i t e r i n o t i di d i p e n d e n z a m o n o t o n a d é l i a s o l u z i o n e d a i dafci e d i i ï i c i l m e n t e si possono e s t e n d e r e a d esse le d i m o s t r a z i o n i c h e si f a n n o a b i t u a l m e n t e p e r i l caso d é l i e e q u a z i o n i del 2° o r d i n e .

P e r e s e m p i o , s a r e b b e di g r a n d e i n t e r e s s e t r o v a r e p e r e q u a z i o n i di o r d i n e s u p e r i o r e t e o r e m i di p o s i t i v i t à a n a l o g h i a q u e l l i c h e si h a n u o p e r le e q u a z i o n i di L A P L A O E e q u e l l a del c a l o r e , t e o r e m i che, corne si sa, sono r i c c h i di c o n s e g u e n z e .

P e r q u a n t o r i g u a r d a l ' e q u a z i o n e d e l c a l o r e si h a , corne è b e n n o t o , che, se e s i s t e i n senso o r d i n a r i o la s o l u z i o n e u(x,y) d e l p r o b l e m a

i

^{(Dl~ D}^p)u = 0 i n Q<x<l,0<y<a

w / «v — M/»» = 0 p e r 0 < 2 / < a

**/a>o = /(a5) » 0 < a ; < l

e se f(x)>0 i n [0,1], a l l o r a u(xiy)>0 i n 0 < x < 1,0 < y < a.

{*) Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Grruppo di ricercho matematiche "N. 31 del C. W. R.

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1 5 6 OSCAB MONTAJJDO

Consideriamo ora l'equazione

L(u) = (DT + (-l)«D^y) = 0 e il problema

i

L{u) = 0 in 0 <x<i, 0 <y<.a Dxuj09v = Bx u/liy = Q per 0<y< a, i = 0,1,...,¾ — 1 w/*>o = f M „ 0 < x < l

che rappresentano per n > 1 la più naturale estensione dell'equa-

zione del calore e del problema (1). j Se si cerca di estendere all'equazione L{u) = 0 la classica

teoria dell' equazione del calore (per estensione in questo senso vedansi [1], [2], [3], [4]) s'incontra la difficoltà che non si sa se Taïga

o meno per le soluzioni di L(u) = 0 un teorema di massimo e minimo analogo a quello valido per le soluzioni dell'equazione del calore.

Non ci sembra pertanto privo di interesse mostrare in questa Nota che la soluzione di (2) per n > 1 (supposta esistente in senso ordinario) non soddisfa al teorema di positività valido per » = 1;

mostrare cioè, che Tipotesi f(x) > 0 in [0,1] non implica, per n > 1, che la soluzione di (2) sia non negativa in 0 < a s < l , 0 < y < «•

I l risultato si ottiene semplicemente attraverso un accurato esame délia soluzione esplicita di (2) con 1' uso délia formula asin-

totica di PÔLYA I[5]) che si adopera nelle distribuzioni di proba- bilità di CAUCHY.

1. - Sia f{x) 6 0 ^ - ^ 0 , 1 ) con /(»0(0) = f<*"(l) = 0 , t = 0,l,...,n — 1.

JLa, soluzione di (2) puô allora essere rappresentata nella forma (3) u&iy) = 2^Ac^{;i e x}P [ - ( ^ ) ^ 2 / ]^{s i n} (h^x)

•con

= 2 jf(l) sin (fcitg)dg

0 0

2^A c^h sin (hnx) = f(x)

(5)

UN'OSSERVAZIONE SULLE EQUAZIONI PARABOLICHE ELEMENTABI 157

L a (3) si puô scrivere, per P i p o t e s i fatta sulla f(x), e per 2 / > 0 :

i

/

00

/"(S) (lh e x p [ - (Jnt)2ny] sin (h-xx) sin (M\)) d\ = o

î

= / Aï) i \ e ïP [-l**)8"»] Ic o s ** (* - 9 — c o s ** («+5)1 ! dl =

0

1

= J*(as,g;Ç)A9«ff

d o v e

<4) x(*

^>g

,-S)-|[fl

^IB

(^,g)-e

^ifl

(î±-

^E

,a)]

c o n

8i« (X,g) = 1 + 2 ^ g*2w cos (2fe7tX) ,

i

q = e x p (—n™y).

Posto

.Ffll (t) = / exp ( - s*n) cos s t a s ,

o

si ha, per la formula asintotica di P Ô L T A :

(5) 62n (X, g) ~ | log g |-*/"» . i ^ (2*X/1 l o g g |*/"«) ~

I log g |-i/*« C ( 2 T Î Z / I log g | i / » ) - v .

exp (—X (2TTZ/ I log g | i / » )ft ) .

cos («x (2*X / I log g |i/2« )* + « v. 2 )

(C, \ [A, v, fc dipendono d a n ed è X > 0, p={=0, fc>0, C=}=0, per n > 1) per g — 1,¾ fisso. L a formula asintotica oo si riferise a u n errore o (| log g |-i/>* C (2wZ/ | log g |i/-« )-v e x p (— À(2TTX/ | log g [ »/•»)*) valido uniformemente per s < X < 1 — e, E > 0 , (vedasi [5J, for- mule (2), (8), (9), A p p e n d i x 1).

(6)

1 5 8 OSCAK MONTALDO

Dalle (4) e (5) discende

- ^ «gër- «p(-xpr). ~(,(=fe7 ⁺ . w.)

uniformemente in un intorno di (x,l) per y -^ 0⁺ . Dunque

cos

e quando 2 / _ * 0⁺, il c o s ( . . ) , poichè & > 0 , assume i valori + 1 e — 1 infinité volte.

I n particolare, preso 0 < $0 < #0 < 1, si pu6 trovare 2/0 piccolo- a piacere taie che

(6)

Ccos M^) ^A +^)=- ¹

Sia Je = ( | x— x01 < s I 5— £„ I < e , | y — y„ | < s ) un intorno di (x,i,y)^{x(i^Q,yn), 0 <C^n <cx0 <Cl con y0 piccolo quanto si vuole taie che C cos ( . . . ) < 0 .

Prendiamo 5⁰ = 5 » 9 < ^0 < 1 • 1 1 2

Allora per la (6) esiste y⁰ piccolo a piacere ed esiste e⁰ > 0 taie che

K(x,y;*)<0

in J£ o: |x—a;0| < £0, | t / - 2 /0| < e0, | *— ^ | < e0 .

Sia X < — m , m > 0 , in J£ o. Allora se f > 0 in [0,1] &

l«—*ol <^eo , I» — 2/o i <^£o> si ha

1

**«(.») = /V(5) •(,»;)«<**

0

< - m />(?) £ + M( [/(S) <l£ - fm « )

Va—£o 0 V2 —£0

(7)

UN'OSSERVAZIONE S U L L E E Q U A Z I O N I PARABOLICHE E L E M E N T A R I 1 5 9

dove

M = max \K\ .

I y — Vo I < eo

Prendiamo ora

^ ) = [ 4 ? ( l - ? ) |s

con s>2n; f è > 0 in [0,1J e soddisfa aile condizioni prescritte.

Si ha

[ 4 5 ( 1 - 5 ) 1 ^ ( 1 - 4 ^ )8

,„ 1 per |5 - s | > £0;

f[«(l-5)1'« = 2^45(1-6)1^5 =

i i

= lft"(l - tj~'

^h

dt s> f t"dt =

2 2 1 - 4 £Q X - 4 £0

= 2 ( ^ ^ 1 - ( l - 4 s2 0)S + 1] > ^ /S

avendo posto

1 + ( 1 - ^ ) 1 / 2

Ç~ 2

Dunque

« ( * , » ) < - « ; » / « + ^ ( l - 4 e0 2js

e preso s sufficientemente grande si ha

u{x,y)<0 in | x — x⁰ | < E⁰, | y - y⁰ \ < s⁰ per

m = [4^1-5)]

^s

-

Questo qualunque sia x⁰ > - , #⁰ = y⁰ (as⁰), s > s (ac⁰), £⁰ = e⁰ (a;⁰).

Dunque, per simmetria, la condizione x^Q > ~ puô essere elimi*

(8)

1 6 0 OSCAR MONTALDO

5 ^s(x0ixl9...,xk)i a l l o r a p r e s o / = [45 (1 — 5 ) ]s, si puô g a r a n t i r e c h e u(x,y)<0

per (x,y) = {xQ,y(i), {x,,yx),...,(xk,yh), con ^ = 2 / , ( ^ ) ^ = 0,1,...,¾.

O s s e r v a z i o n e . - P e r n = 1 la f o r m u l a (5) d i v e n t a

02 ( Z

' ~ ^4^*

e

P ( - V») (, () = ^ exp ( - t«/

4

) )

e, t e n u t a p r é s e n t e l a (4) con n — 1, si p u ô d i m o s t r a r e a n c o r a , come è n o t o , il t e o r e m a di p o s i t i v i t à e ciô a v y i e n e solo i n q u e s t o caso.

B I B L I O G E A F I A

|1] B. PINT, Sul. problema fondamentale di valori al contorno per una classe di equazioni paraboliche lineari, « Ann. di Mat. (IV) », T.

X U I L 1957.

[2] Ii. CATTABRIGA, Problemi al contorno per equazioni paraboliche di ordine 2n, «Rend. Sera. Mat. Un. Padova», V. X X V I I I , 1958.

[3] M. L. TARGHETTA, SulVequazione parabolica elementare in due va- riabili, « Tesi di laurea», Un. Cagliari. 1964.

[4] P. M AND RAS, Un problema di valori al contorno per V equazione pa>

rabolica elemeutare, «Tesi di laurea», Un. Cagliari, 1964.

[5] A. WINTNBR, Cauchy stable distributions and an ^explicit formula"

of Mellin, « A.m. J . 0f Math.», v. L.XXV1 II, 1956.

Pervenuta alla Segreteria delV U . M. I . il 25 marso 1966