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8. Analisi delle sequenze di carico

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Academic year: 2021

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(1)

8. Analisi delle sequenze di carico

Come esposto nel Capitolo 6, a partire da una PSD si possono generare infinite time histories che esprimono la spettro di carico in funzione del tempo

σ

( )

t . E’ stata esposta, sempre nello stesso capitolo, un’analisi sulle caratteristiche statistiche delle sequenze ottenute. In questo capitolo verrà ripreso quanto delineato in via teorica nel Capitolo 6 mediante verifiche e risultati numerici ottenuti analizzando le storie di carico estratte dalle PSD.

8.1 Distribuzione dei picchi

Riprendendo quanto già analizzato nel Paragrafo 6.4.3, si riporta l’espressione analitica della funzione densità di probabilità dei picchi:

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 1 1 2 (1 ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 X X z z Z X X z z f z e γ σ e σ σ

γ

γ

γ

σ

σ

γ

σ

π

γ

  −  −    = − + Φ − −   (8.1)

in cui z rappresenta il generico livello di carico e X t

( )

=

σ

( )

t rappresenta sempre il processo aleatorio considerato. Questa relazione è indicata come distribuzione di Rice e Φ

( )

i rappresenta la funzione cumulativa della distribuzione normale standard

( )

0,1

N . Si ricorda che il primo termine sia formalmente simile all’espressione di una funzione densità di probabilità gaussiana, mentre il secondo termine rappresenta

(2)

una sorta di funzione densità di Rayleigh. La correzione su entrambi i termini avviene tramite il fattore γ . In Figura 8.1 si riporta la distribuzione dei picchi per la sequenza di carico di massimo danno estratta dalla PSD n°6 con γ =0.53, osservando come tale distribuzione segua bene l’andamento teorico. Per la larghezza dei bin dell’istogramma si veda l’Appendice B.

Figura 8. 1

8.2 Distribuzione dei rise and fall

Viene riportato anche l’andamento dei cosiddetti rise and fall; il rise H indica la differenza tra una valle e il successivo picco della sequenza di carico, mentre il fall indica la differenza tra un picco e la successiva valle. Se il processo è stazionario, come nel nostro caso, allora l’unico vincolo che deve essere rispettato dalla distribuzione è che deve essere simmetrica rispetto allo zero. Si osserva che dato un processo aleatorio generico, l’esatta distribuzione di H non può essere conosciuta a priori e che non esiste una espressione matematica per poterla definire.

Esistono in letteratura alcune espressioni approssimate per la distribuzione di

H, come quella riportata in [20]. Tuttavia spesso si preferisce dare una semplice espressione del valor medio di H :

( )

2 H p E X t

µ

ν

    = ɺ (8.2)

(3)

che per un processo gaussiano come quello considerato porta alla seguente relazione:

2

H X

µ

=

γ πσ

(8.3)

Nel caso particolare della sequenza di massimo danno relativa alla PSD n°6, si ottiene che il valor medio di H ottenuto con il metodo di conteggio è pari a

92.991

H MPa

µ

= . Lo stesso valore calcolato con l’espressione approssimata (8.7) dà 92.962

H MPa

µ

= , con un errore percentuale pari a

ε

H =0.031%.

In Figura 8.2 si riporta la distribuzione delle salite e delle discese: si può osservare che, essendo il processo

σ

( )

t stazionario, la distribuzione risulta essere simmetrica rispetto all’asse ∆ =σ 0.

Figura 8. 2

8.3 Distribuzione dello stress ratio

Il programma Matlab continua facendo un’analisi sulla distribuzione delle tensioni medie

σ

m dei cicli e sulla distribuzione dello stress ratio R , definito come

MIN MAX

R=

σ

σ

. Si fa sempre riferimento alla sequenza di massimo danno estratta dalla PSD n°6, con

γ

=0.53. Per quanto riguarda la distribuzione di

σ

m, si può facilmente vedere dalla Figura 8.3 come questa non segua un andamento gaussiano. E’ interessante notare come tale distribuzione si addensi nella zona a

σ

m =0MPa.

(4)

Questa osservazione sta ad indicare come una grande percentuale di cicli sia caratterizzata da R= −1. In effetti questo può essere visto anche nella Figura 8.4 in cui viene riportata la distribuzione di R.

Figura 8. 3

(5)

In Figura 8.5, invece, viene riportato la distribuzione di R in funzione della tensione massima dei cicli, R= f

(

σ

MAX

)

.

Figura 8. 5

Sempre dalla Figura 8.4 si può notare anche la presenza di un numero piuttosto elevato di cicli il cui valore di R tende a 1. Questo sta ad indicare come nella sequenza generata a partire dalla PSD sia molto alto il numero di cicli con ampiezza

(

)

2

a MAX MIN

σ

=

σ

σ

piccola. Infatti, se R→1 allora

σ

MIN

σ

MAX. Si riporta inoltre in Figura 8.6 l’andamento della cumulativa di R :

(6)

Dalla Figura 8.6 si può osservare come circa il 27% dei cicli sia caratterizzato da un valore dello stress ratio R< −1, un 60% dei cicli presenti un valore di R nell’intervallo

[

− +1, 1

]

, mentre il rimanente 33% dei cicli sia caratterizzato da un valore di R superiore a 1.

Rimane un ultimo elemento da analizzare, quello relativo alla distribuzione degli stress range ∆σ, intesi come il doppio dell’ampiezza dei cicli, ovvero

2 a

σ

σ

∆ = ⋅ . La distribuzione di ∆σ verrà trattata nel Capitolo 10, quando verranno introdotti i metodi analitici di Dirlik e di Rayleigh validi rispettivamente per i processi a banda larga (wide band) e per i processi a banda stretta (narrow band).

8.4 Tabelle riassuntive

Si riportano qui di seguito alcune tabelle nelle quali vengono riassunte le caratteristiche di base di alcune sequenze estratte dalle PSD. Si ricorda che ogni PSD presenta un differente valore del fattore di irregolarità e che da ogni PSD sono state estratte un numero elevato di sequenze di carico. Nelle tabelle verranno riportate solo ed esclusivamente due sequenze per ogni PSD. Anticipando il discorso che verrà trattato nel Capitolo 9 riguardante la caratterizzazione del materiale utilizzato e la legge di accumulo del danno, tali storie di carico rappresentano le sequenze di massimo e di minimo danno. Si può osservare quindi che, a parità di contenuto energetico e di RMS del processo, si possono ottenere sequenze differenti le quali, dal punto di vista del fenomeno della fatica, possono incidere in modo diverso sul componente in esame.

Con NTOT cicli si è indicato il numero totale di cicli presenti nella sequenza, con N0

+ si è indicato il numero totale di attraversamenti del livello 0MPa , mentre

con

µ

RISE è stato indicato il valor medio dell’altezza delle salite (rise).

PSD n°1

γ

[ ]

µ

[

MPa

]

σ

[

MPa

]

ε

[ ]

MAX

σ

[

MPa

]

MIN

σ

[

MPa

]

TOT N cicli

[ ]

− 0 N+

[ ]

RISE

µ

[

MPa

]

Sequenza MAX D 0.993 0 70 0.12 367.5 -371.3 4425 4394 171.6 Sequenza MIN D 0.997 0 70 0.08 252.1 -250.6 4407 4392 175.4 Tabella 8. 1

(7)

PSD n°2

γ

[ ]

µ

[

MPa

]

σ

[

MPa

]

ε

[ ]

MAX

σ

[

MPa

]

MIN

σ

[

MPa

]

TOT N cicli

[ ]

− 0 N+

[ ]

RISE

µ

[

MPa

]

Sequenza MAX D 0.95 0 70 0.32 395.9 -415.3 5296 5020 163.9 Sequenza MIN D 0.95 0 70 0.32 263.8 -274.8 5299 5016 164.9 Tabella 8. 2 PSD n°3

γ

[ ]

µ

[

MPa

]

σ

[

MPa

]

ε

[ ]

MAX

σ

[

MPa

]

MIN

σ

[

MPa

]

TOT N cicli

[ ]

− 0 N+

[ ]

RISE

µ

[

MPa

]

Sequenza MAX D 0.79 0 70 0.62 343.7 -332.8 4322 3401 138.3 Sequenza MIN D 0.8 0 70 0.6 243.2 -266.6 4341 3472 140.2 Tabella 8. 3 PSD n°4

γ

[ ]

µ

[

MPa

]

σ

[

MPa

]

ε

[ ]

MAX

σ

[

MPa

]

MIN

σ

[

MPa

]

TOT N cicli

[ ]

− 0 N+

[ ]

RISE

µ

[

MPa

]

Sequenza MAX D 0.7 0 70 0.71 305.6 -328.8 2286 1603 121.2 Sequenza MIN D 0.69 0 70 0.72 249.1 -255.8 2269 1569 123.5 Tabella 8. 4 PSD n°5

γ

[ ]

µ

[

MPa

]

σ

[

MPa

]

ε

[ ]

MAX

σ

[

MPa

]

MIN

σ

[

MPa

]

TOT N cicli

[ ]

− 0 N+

[ ]

RISE

µ

[

MPa

]

Sequenza MAX D 0.6 0 70 0.8 374.4 -302.1 4031 2412 104.3 Sequenza MIN D 0.6 0 70 0.8 245.6 -257 3996 2383 105.3 Tabella 8. 5

(8)

PSD n°6

γ

[ ]

µ

[

MPa

]

σ

[

MPa

]

ε

[ ]

MAX

σ

[

MPa

]

MIN

σ

[

MPa

]

TOT N cicli

[ ]

− 0 N+

[ ]

RISE

µ

[

MPa

]

Sequenza MAX D 0.53 0 70 0.85 320.4 -274.6 3607 1911 93 Sequenza MIN D 0.53 0 70 0.85 238.2 -263.1 3572 1911 94.2 Tabella 8. 6 PSD n°6 /bis

γ

[ ]

µ

[

MPa

]

σ

[

MPa

]

ε

[ ]

MAX

σ

[

MPa

]

MIN

σ

[

MPa

]

TOT N cicli

[ ]

− 0 N+

[ ]

RISE

µ

[

MPa

]

Sequenza MAX D 0.52 0 70 0.86 412.9 -338.5 3651 1885 92.2 Sequenza MIN D 0.54 0 70 0.84 235.9 -258.5 3585 1920 94.1 Tabella 8. 7 PSD n°7

γ

[ ]

µ

[

MPa

]

σ

[

MPa

]

ε

[ ]

MAX

σ

[

MPa

]

MIN

σ

[

MPa

]

TOT N cicli

[ ]

− 0 N+

[ ]

RISE

µ

[

MPa

]

Sequenza MAX D 0.36 0 70 0.93 428.4 -404.9 9419 3368 61.2 Sequenza MIN D 0.35 0 70 0.94 242 -278.5 9427 3303 61.1 Tabella 8. 8

A riguardo della PSD n°6, questa è stata analizzata da due punti di vista differenti. In un primo caso sono state considerate solo le prime 1000 realizzazioni generate e da queste sono state identificate le sequenze di minimo e di massimo danno: in sostanza si è agito esattamente come per le altre sei PSD e i dati sono stati riportati in Tabella 8.6. Nel secondo caso, invece, sono state considerate tutte le 10000 realizzazioni e in Tabella 8.7 sono stati riportati i dati relativi alle sequenze di minimo e massimo danno che, come ci si poteva aspettare, sono diverse dalle due sequenze riportate in Tabella 8.6.

(9)

Questo discorso vuole anticipare ciò che verrà trattato sia nel Paragrafo 8.5, sia, più estesamente, nel Capitolo 9. La PSD n°6, con

γ

=0.53, è stata studiata secondo le seguenti linee guida:

• studiare le distribuzioni del fattore di irregolarità

γ

e del danno D sulla base della generazione di 1000 time histories;

• studiare le stesse distribuzioni decidendo di generare un numero maggiore di time histories, pari a 10000.

L’obiettivo di tale studio è stato quello di verificare la convergenza del valor medio e della deviazione standard sia del fattore di irregolarità, sia del danno e di verificare inoltre che sono sufficienti un numero di storie di carico inferiore a 10000 per raggiungere tale convergenza.

8.5 Distribuzione del fattore di irregolarità

Come si può osservare dalle precedenti tabelle, il fattore di irregolarità

γ

relativo a sequenze diverse provenienti da una stessa PSD può variare. Infatti:

• le PSD sono state create sulla base del valore atteso del fattore di irregolarità, calcolabile, come si vedrà nel Capitolo 10, in funzione dei momenti spettrali: tale valore risulta essere, quindi, una costante;

• come visto nel Capitolo 6, le sequenze estratte da una stessa PSD differiscono tra loro per le fasi

ϕ

k delle k costituenti sinusoidali che caratterizzano ogni singola sequenza;

• le costituenti sinusoidali si combinano tra loro in modo casuale così come casuale è la scelta delle fasi

ϕ

k. Ne deriva che le sequenze temporali estratte da una stessa PSD possono variare tra loro in termini di numero di picchi e attraversamenti del livello 0MPa . Queste variazioni, tuttavia, sono molto poco pronunciate, per cui le variazioni in termini di

γ

tra una sequenza temporale e l’altra sono ridotte.

(10)

Di seguito, dalla Figura 8.7 alla Figura 8.12, si riportano i grafici relativi alla funzione di distribuzione cumulativa del fattore

γ

per le PSD analizzate. Si può osservare come la distribuzione di

γ

sia con buona approssimazione gaussiana.

Figura 8. 7

(11)

Figura 8. 9

Figura 8. 10

(12)

Figura 8. 12

In Tabella 8.9, sono riportati i valori del valor medio e della deviazione standard relativi alla distribuzione di

γ

per ciascuna PSD. Questi due parametri consentono dunque di conoscere esattamente la distribuzione normale del fattore di irregolarità.

PSD Valor medio di

γ

Deviazione standard di

γ

Numero di storie di carico considerate 1 0.994 0.0011 1000 2 0.95 0.0029 1000 3 0.797 0.0055 1000 4 0.701 0.0080 1000 5 0.599 0.0066 1000 6 0.5302 0.00689 1000 6/bis 0.5304 0.00695 10000 7 0.352 0.0051 1000 Tabella 8. 9

Come evidenziato in Tabella 8.9, si può notare come il valor medio e la deviazione standard del fattore di irregolarità

γ

vadano già a convergenza semplicemente considerando un numero di time histories ben minore di 10000. Qui di seguito, in Figura 8.13 viene riportata graficamente la convergenza del valor medio di

γ

completando il tutto con il grafico della relativa covarianza.

(13)

Figura 8. 13

Nel Capitolo 9 verrà riproposta la stessa analisi applicata però questa volta alla distribuzione del danno D , studiandone la convergenza. Per raggiungere tale scopo è necessario, per prima cosa, caratterizzare a fatica i provini e ricavarne le curve di Wöhler: questo rappresenta la prima fase del lavoro svolto in laboratorio e verrà riportato nel prossimo capitolo.

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