Accademia Dante
Alighieri
Stefano Tonelli
[STUDIO DI FUNZIONE]
Breve dispensa teorica per risolvere correttamente uno studio di funzione.
Studio di Funzione
In analisi matematica per studio di funzione si intende quell'insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare una funzione ( ) al fine di determinarne alcune caratteristiche qualitative. Uno studio di funzione correttamente condotto permette di tracciare il grafico della funzione.
Introduciamo dei concetti base per effettuare lo studio di una funzione:
Dominio
Per determinare il dominio (insieme di definizione) si deve individuare il sottoinsieme dei numeri reali più esteso entro il quale l'espressione che la definisce non perda di senso. In particolare conviene porre l'attenzione alle seguenti evenienze:
FUNZIONI FRATTE:
non esistono nei punti dove il denominatore si annulla, ovvero se:
( ) ( ) ( ) , allora ( ) .
In poche parole basterà porre diverso da zero il denominatore ed escludere i punti dal dominio;
FUNZIONE RADICALI:
le funzioni sotto radice di indice pari devono essere poste maggiori ed uguali a zero, infatti nell’insieme dei reali una radice di indice pari risulta essere definita per valori dell’insieme +, mentre quelle a indice di radice dispari esistono in tutto
o ( ) √ ( ) , allora ( ) , con dominio: [ [;
o ( ) √ ( ), con dominio ] [
FUNZIONI LOGARITMICHE:
dallo studio del grafico della curva logaritmica è noto che l’argomento deve essere strettamente maggiore di zero.
o ( ) ( ( )), allora ( ) , con dominio: [ [;
FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
le funzioni trigonometriche, eccetto seno e coseno, sono sempre definite (nel loro periodo) a meno di determinati multipli di .
Per esempio riportiamo:
o ( ) ( ( )), allora ( ) (*)
(*) omettiamo la notazione ( ) , in quanto consideriamo il periodo della singola funzione)
Simmetrie e periodicità
Si procede dunque all’individuazione di eventuali simmetrie rispetto all’esse delle ordinate e all’origine degli assi ( ).
Se ( ) ( ) ( ( )), allora la funzione è simmetrica rispetto all’asse e la funzione verrà detta PARI.
Se ( ) ( ) ( ( )), allora la funzione è simmetrica rispetto all’origine degli assi ( ) e verrà detta DISPARI.
Risulta possibile, inoltre, che una funzione sia periodica di un certo periodo .
Quando la funzione ( ) ( ) ( ( )) sarà sufficiente studiare la funzione nell’intervallo [ ] e ripetere il grafico negli (infiniti) intervalli [ ( ) ] .
Asd
asd
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
Intersezioni con gli assi
A questo punto è utile cominciare ad individuare alcuni punti del piano che appartengono al grafico della funzione studiata.
È solito cercare eventuali punti di intersezione della curva con gli assi cartesiani.
Per determinare tali intersezioni (se presenti) basterà risolvere i sistemi composti da:
{ ( ) { ( ) Ovvero:
{ ( )
{ ( )
Dalla soluzione dei due sistemi otterremo gli eventuali punti in cui la funzione studiata interseca gli assi cartesiani.
Segno della funzione
Studiando il segno della funzione viene richiesto quando la funzione è positiva ( ovvero è sopra l’asse x) oppure è negativa (al di sotto dell’asse x). Cioè quali sono i valori dell’incognita appartenenti al dominio tali che sia soddisfatta la disequazione ( ) e quali invece siano tali da soddisfare ( ) .
Procederemo quindi annerendo la regione di superficie dove la funzione non può passare.
Ad esempio, se nell’intervallo [ ] la funzione risultasse positiva si annerirà la zone del piano sotto l’asse , dove è compresa tra e .
Calcolo dei limiti
Una volta stabilito il dominio, calcoleremo i limiti per i punti esclusi dal dominio e, ovviamente, studieremo il comportamento della funzione anche per .
Supponiamo di aver trovato il seguente dominio:
] [ [ [ ] [ Dovremo calcolare i seguenti limiti:
( ) Studiamo come si comporta la funzione a .
( ) Studiamo come si comporta la funzione nell’intorno sinistro del valore , poiché è escluso dal ( ( )).
( ) Studiamo come si comporta la funzione in , poiché tale valore non è escluso dal ( ( )).
( ) Studiamo come si comporta la funzione nell’intorno sinistro del valore , poiché è escluso dal ( ( )).
( ) Studiamo come si comporta la funzione nell’intorno destro del valore , poiché è escluso dal ( ( )).
( ) Studiamo come si comporta la funzione a .
Possiamo notare, quindi, che ogni funzione studiata avrà almeno due limiti da calcolare ( e ).
Per i valori esclusi dal ( ( )) come e dovremo studiare come si comporta la funzione negli opportuni intorni. Nel caso di studieremo solo l’intorno sinistro, mentre nel caso di studieremo sia il sinistro che il destro.
Per il punto che non è stato escluso dal dominio, basterà calcolare il limite per quel punto. Sarà lecito aspettare un valore finito di tale limite.
Individuazione degli asintoti
Dopo aver calcolato i limiti è possibile individuare l’esistenza di eventuali asintoti.
Asintoto verticale: è la retta di equazione , se:
( )
Ovvero nei punti di esclusione del ( ( )) il limite risulta essere .
Asintoto orizzontale: è la retta di equazione se:
( )
Ovvero i limiti a sono finiti ed hanno stesso limite finito .
Asintoto obliquo: è la retta di equazione se sono verificate le seguenti proprietà:
( )
( )
( ( ) )
Naturalmente la presenza di asintoti sarà legato al particolare studio della funzione presa in esame, anche se è giusto precisare che potranno esserci:
da zero ad infiniti asintoti verticali
da zero a due asintoti orizzontali
da zero a due asintoti obliqui.
Derivata prima
A questo punto si effettua il calcolo della derivata prima della funzione per studiarne la crescenza e stabilire l’esistenza di eventuali altri punti particolari.
Tramite lo studio del segno della derivata, che risulta essere analogo a quanto fatto in precedenza(*) si è in grado di individuare eventuali punti di massimo o di minimo.
Considerando che la derivata prima esprime il generico coefficiente angolare della retta tangente alla funzione, risulterà maggiore di zero quando la funzione sarà crescente e minore di zero quando sarà decrescente.
Riportiamo il seguente esempio:
Esempi di rette tangenti ad una funzione.
Dalla figura risulta evidente che quando il coefficiente angolare della generica tangente risulta maggiore di zero anche la funzione risulta crescente e viceversa.
Pertanto potremo affermare che:
dove è derivabile ed ( ) , è crescente,
dove è derivabile ed ( ) , è decrescente,
dove è derivabile ed ( ) , ha in un punto stazionario, ovvero, la tangente nel punto è parallela all’asse .
(*) A questo proposito si veda il paragrafo : Segno della funzione
Ci troviamo, quindi, a discutere una disequazione.
Per convenzione ed uniformità di notazioni il metodo migliore per individuare la crescenza della funzione studiata consiste nel risolvere la seguente:
( )
Dovremo quindi risolvere (nel metodo opportuno) la disequazione ponendo l’attenzione quando la derivata prima sia positiva, ovvero la funzione sia crescente e quando la derivata prima sia negativa, ovvero la funzione sia decrescente.
Questa operazione ci permetterà anche di verificare la presenza di eventuali massimi o minimi relativi della funzione.
Massimi e Minimi Relativi
Derivata prima
Consideriamo, per esempio, un punto ( ( )) tale che la derivata prima della funzione sia positiva in un intorno sinistro di e negativa in un intorno destro di .
Riportiamo la seguente immagine per comprendere meglio:
Esempio di massimo relativo.
Osserviamo quindi, di essere in presenza di un massimo relativo, infatti prima del punto (intorno sinistro di ) la derivata prima è positiva, in si annulla (retta a tangenza orizzontale rossa) mentre dopo
(intorno destro di ) la derivata prima risulta negativa.
Ragionamento analogo viene effettuato in presenza di minimi relativi. Naturalmente la derivata prima sarà decrescente nell’intorno sinistro di , mentre sarà crescente nell’intorno destro di .
Esempio di minimo relativo.
Punti Angolosi, Cuspidi e Flessi
Derivata prima
Prima di analizzare le diverse tipologie di punti “particolari”, ricordiamo che una funzione risulta derivabile in ( ( )) se risulta continua in tale punto ovvero se esistono finiti (ed uguali) il suo limite destro e il suo limite sinistro:
( ) ( )
( ) ( )
Saremo quindi in presenza di un punto ( ( )) dove la funzione risulterà essere non derivabile.
Dovremo verificare che ogni massimo o minimo relativo ( ( )) presente nella funzione non sia uno dei seguenti casi:
punto angoloso;
cuspide;
flesso a tangenza verticale.
Punto Angoloso
Consideriamo, al solito, un punto ( ( )) tale che, la derivata prima della funzione in un intorno sinistro di e in un intorno destro di siano finite (non siano ), ma siano DIVERSE.
L’esempio più classico è la funzione valore assoluto:
( ) | | che presenta in un punto angoloso.
Infatti avremo che:
( ) ( )
| |
e
( ) ( )
| |
Per quanto riguarda la forma geometrica che si manifesta in corrispondenza di un punto angoloso possiamo dire che il nome non tradisce l'aspetto:
Cuspide
Consideriamo, ancora, un punto ( ( )) tale che, la derivate prime della funzione in un intorno sinistro di e in un intorno destro di siano infinite di segno opposto (una tenda a e l’altra a ).
Naturalmente avremo uno dei seguenti due casi:
( ) ( )
( ) ( )
oppure:
( ) ( )
( ) ( )
Un esempio possibile è la seguente ( ) √| |, che presenta in un punto di non derivabilità, infatti:
( ) ( )
√| |
√
( ) ( )
√| |
√
Ed ecco il grafico relativo:
Flessi
Consideriamo, per l’ultima volta, un punto ( ( )) tale che, la derivate prime della funzione in un intorno sinistro di e in un intorno destro di siano infinite con stesso segno (entrambe tendano a oppure a ).
Ci troveremo quindi a studiare una delle due eventuali situazioni:
( ) ( )
( ) ( )
oppure
( ) ( )
( ) ( )
Come esempio vediamo la funzione ( ) √ , che presenta in un punto di non derivabilità, infatti:
( ) ( )
√
( ) ( )
√
con relativo grafico:
Derivata seconda
A questo punto si effettua il calcolo della derivata seconda della funzione per studiare le concavità che la funzione presenta.
Basterà procedere in modo analogo alla derivata prima(*) e, al solito, sarà sufficiente risolvere nel modo opportuno:
( )
ponendo l’attenzione quando la derivata seconda sia positiva, ovvero la funzione presenta concavità rivolta verso l’alto, e quando la derivata seconda sia negativa, ovvero la funzione presenta concavità rivolta verso il basso.
Riassumendo, avremo che:
dove ( ) è derivabile ed ( ) , è crescente,
dove ( ) è derivabile ed ( ) , è decrescente,
dove ( ) è derivabile ed ( ) , ha in un punto angoloso o una cuspide o un flesso.
(*)A questo proposito si veda il paragrafo : Derivata prima
