4.2 Definizione del modello del blocco di attuazione

Il controllo di basso livello

4.1 Introduzione

L’algoritmo di basso livello, descritto all’interno di questo capitolo, deve garantire l’in- seguimento di un profilo di forza desiderata F _d (t) su ciascuno dei cavi di trasmissione del moto. Il punto di partenza `e l’analisi, nel dettaglio, dell’unit`a di attuazione relativa al singolo tendine attraverso la scrittura delle equazioni che ne regolano la dinamica. Il con- trollore `e stato sintetizzato nella variabile di Laplace subito dopo aver calcolato la funzione di trasferimento ingresso-uscita dell’intero blocco di attuazione. Per la messa a punto dei coefficienti di controllo `e stato necessario sia un lavoro di caratterizzazione sperimentale del sistema sia lo sviluppo di un simulatore in ambiente Matlab Simulink ^r . In ultimo `e stata effettuata l’implementazione dell’algoritmo di controllo ed il confronto dei risultati sperimentali con quelli previsti nell’ambiente di simulazione.

4.2 Definizione del modello del blocco di attuazione

Il controllo di basso livello deve lavorare in modo indipendente su ciascuno dei cavi di at- tuazione. Per questo motivo `e sufficiente fare riferimento ad un unico blocco di attuazione costituito dall’elettrovalvola, dal cilindro, dal pistone e dalla molla lineare cui `e connessa una dell’estremit`a del cavo (flessore o estensore) che trasmette la forza ad uno dei giunti.

Una rappresentazione schematica dell’unit`a di attuazione `e riportata in Figura 4.1.

Per la definizione del modello del sistema di attuazione si pu`o partire dal cilindro

72

Figura 4.1: Rappresentazione schematica del blocco di attuazione.

idraulico. Esso viene diviso dal pistone in due camere (1 e 2). Si indica la posizione del pistone con la variabile x e si pone l’origine del riferimento (x = 0) a met`a della corsa h del pistone. Pertanto, se al tempo t = 0, il pistone si trova nella posizione x = 0, `e possibile definire i volumi V ₁₀ e V ₂₀ delle due camere:

V ₁₀ = A ₁ h

2 + V _r1 (4.1)

V ₂₀ = A ₂ h

2 + V _r2 (4.2)

dove V _r1 e V _r2 sono i volumi residui ¹ mentre A ₁ ed A ₂ sono rispettivamente le superfici del pistone che delimitano le camere 1 e 2. Tali superfici sono diverse data l’asimmetria del pistone. ` E utile definire il numero adimensionale α:

α = A ₂ A 1

(4.3)

1 Per volumi residui si intendono porzioni del volume del cilindro non coperte dal moto del pistone

Se nel tempo la posizione del pistone varia, allora si possono definire i volumi V ₁ (t) e V ₂ (t), come dipendenti dalla variabile x:

V ₁ = V ₁₀ + A ₁ x(t) (4.4)

V 2 = V 20 − A ² x(t) = V 20 − αA ¹ x(t) (4.5) E utile, per le successive equazioni, calcolare la derivata rispetto al tempo dei volumi delle ` due camere:

dV 1

dt = d

dt (V ₁₀ + A ₁ x(t)) = A ₁ ˙x(t) (4.6) dV ₂

dt = d

dt (V ₂₀ − αA 1 x(t)) = −αA 1 ˙x(t) (4.7) L’equazione della dinamica del pistone deve tener conto dei seguenti termini: la forza inerziale, il termine di attrito, il termine lineare elastico legato alla presenza della molla ² . Inoltre sul pistone agiscono le forze dovute alla due pressioni P 1 e P 2 (svolgono il compito di forzanti). Pertanto l’equazione che regola la dinamica `e la seguente:

M ¨ x(t) + B f (t) + Kx(t) = P ₁ (t)A ₁ − P 2 (t)A ₂ (4.8) dove M `e la massa del pistone, K `e la costante elastica della molla e B f il termine relativo alle forze di attrito. Una possibile definizione del termine di attrito `e la seguente:

B f (t) = B s ˙x(t) + B ac sign( ˙x(t)) + A d δ(t) (4.9) ove i coeffecienti B s , B ac e A d sono rispettivamente i coefficienti di attrito viscoso (smorza- mento viscoso), di attrito columbiano e di attrito statico o di primo distacco. Ai fini della sintesi del controllore si terr`a conto del solo termine lineare B s ˙x(t), mentre i termini ag- giuntivi saranno considerati come disturbi parametrici istante per istante agenti sul sistema [33]. Quindi l’equazione della dinamica pu`o essere riscritta, sottintendendo la dipendenza dal tempo, come:

M ¨ x + B s ˙x + Kx = P 1 A 1 − P ² A 2 (4.10)

2 Nonostante il pistone sia sottoposto alla forza di gravit` a, essa viene trascurata nel computo della

dinamica: sarebbe del tutto trscurabile se confrontata con le forze generate dalla pressione.

Descritta la dinamica del pistone si passa alla descrizione della dinamica dei flussi q ₁ e q ₂ in ingrsso e in uscita dalle due camere. Si considera positivo il flusso (in m ³ s ⁻¹ ) in ingresso. Per la camera 1 l’equazione che descrive la dinamica dei flussi `e la seguente:

q 1 (t) = dV 1 (t)

dt + V 1 (t) β

dP 1 (t)

dt + q _leak1 (t) (4.11)

dove si `e indicato con β il bulk modulus dell’olio del circuito e con q <sub>leak1</sub> gli effetti di leakage, ovvero di trafilamento parassito, del fluido idraulico [34]. La relazione (4.11) `e composta di tre termini:

• il primo termine tiene conto della variazione di volume;

• il secondo termine tiene conto, per mezzo del bulk modulus (dimensionalmente N m ⁻² ), della comprimibilit`a del fluido idraulico;

• il terzo termine tiene conto sia del trafilamento parassito attraverso l’anulus che separa le due camere (internal leakage), sia di quello attraverso i sistemi di tenuta (external leakage).

Il termine di leakage pu`o essere scritto come:

q _leak1 (t) = K intL1 (P 1 (t) − P ² (t)) + K extL1 P 1 (t) (4.12) dove i coefficienti K _intL1 e K _extL1 tengono conto rispettivamente dei trafilamenti interni ed esterni. Essi sono dovuti esclusivamente a fattori geometrici e pertanto all’occorrenza possono essere stimati sperimetalmente.

Analogamente, per la camera 2, si possono scrivere le seguenti equazioni:

q ₂ (t) = dV ₂ (t)

dt + V ₂ (t) β

dP ₂ (t)

dt + q _leak2 (t) (4.13)

con:

q _leak2 (t) = K intL2 (P 2 (t) − P ¹ (t)) + K extL2 P 2 (t) (4.14)

Si pu`o anticipare che ai fini del controllo si trascurereranno i termini di trafilamento, in

quanto, come evidenziato dai datasheet (si confronti quello dell’elettrovalvola riportato

nell’APPENDICE B), per i sistemi della Parker Hannifin sono molto inferiori all’1% del

flusso nominale. Per completare la descrizione del sistema di attuazione `e necessario de-

scrivere la dinamica dello spool valve dell’elettrovalvola, cos`ı da individuare con maggiore

chiarezza quale possa essere la variabile di controllo. Anche lo spool valve `e sottoposto alla forza di inerzia, ad una forza di richiamo elastico e ad una forza di attrito. Pertanto l’equazione che ne regola la dinamica `e la seguente:

M v x ¨ v (t) + B sv x v ˙ (t) + K v x(t) = W u(t) (4.15) dove M v `e la massa dello spool, B sv `e il coefficiente di smorzamento viscoso, K v `e la costante di richiamo elastico, W `e una costante moltiplicativa stimabile sperimentlmente e u(t) `e l’ingresso in tensione dell’elettrovalvola. Imponendo una determinata tensione di alimentazione u si ottiene a regime, con la dinamica regolata dalla (4.15), una posizione x v dello spool. Siccome la dinamica dell’elettrovalvola `e molto veloce (come anticipato nei capitoli precedenti, e come si pu`o evincere dal datasheet ha la banda passante a -3 dB a 350Hz) rispetto a quella del pistone, si pu`o assumere che la posizione del pistone sia direttamente proporzionale al segnale di comando u(t) [21, 33]. Nello specifico il segnale di comando dell’elettrovalvola pu`o determinare i flussi q ₁ (t) e q ₂ (t) in ingresso e in uscita dal cilindro idraulico.

Le relazioni che legano la posizione dello spool valve e quindi la tensione u(t) di ali- mentazione dell’elettrovalvola con i flussi q ₁ (t) e q ₂ (t) , per valori di tensione positivi (u(t) ≥ 0), sono le seguenti[21]:

q ₁ (t) = C ₁ (u(t))pP S (t) − P 1 (t) (4.16) q ₂ (t) = −C 2 (u(t))pP ₂ (t) − P ^T (t) (4.17) mentre per valori di tensione nagativi (u(t) < 0) si ha che:

q ₁ (t) = −C 3 (u(t))pP 1 (t) − P ^T (t) (4.18) q ₂ (t) = C ₄ (u(t))pP S (t) − P 2 (t) (4.19) dove C ₁ (u(t)), C ₂ (u(t)), C ₃ (u(t)), C ₄ (u(t)) sono dei coefficienti di proporzionalit`a funzione della tensione di alimentazione, mentre P _S e P _T sono rispettivamente le pressioni di supply e di oilt tank del circuito idraulico.

Per maggiore chiarezza si fa riferimento alla Figura 4.2. Si hanno 2 casi:

1. per valori di u positivi si ha uno spostamento dello spool valve in modo tale che la

camera 1 si trova ad essere in collegamento con il compressore (pressione P S ∼ 80

Figura 4.2: Funzionamento dell’elettrovalvola.

bar) e la camera 2 con la riserva (pressione P T ∼ 1 bar). In questo modo, siccome le pressioni all’interno delle camere sono intermedie tra quella di supply e quella di oil tank, si generano due flussi: q 1 entrante nella camera 1 e quindi positivo, con conseguente incremento del volume V ₁ , q ₂ uscente dalla camera 2 e quindi negativo, con conseguente decremento del volume V ₂ ;

2. per valori di u negativi si ha uno spostamento dello spool valve in modo che la camera 2 sia in collegamento con il compressore e la camera 1 con la riserva. I flussi saranno quindi di segno opposto rispetto al caso precedente: q ₁ uscente e q ₂ entrante.

Dalle equazioni (4.16-4.19) emerge che i flussi sono in valore assoluto proporzionali

alla radice quadrata del gradiente pressorio che si genera di volta in volta tra una delle

camere e il compressore o la riserva. Il coefficiente di proporzionalit`a dipende dall’entit`a

dello spostamento dello spool valve: maggiore `e in modulo la tensione di alimentazione,

maggiore e lo spostamento dello spool e maggiore `e la superficie degli orifizi attraverso i quali si ha il passaggio del fluido idraulico. In effetti i coefficienti C <sub>i</sub> tengono conto della resistenza idraulica del circuito, che `e legata a fattori di carattere geometrico, tra cui pro- prio l’apertura degli orifizi. I coefficienti, ovvero la legge con cui variano in funzione della tensione di alimentazione, possono essere determinati attraverso delle prove sperimentali.

Prima di passare alla determinazione dell’equazione di trasferimento del sistema, punto di partenza per la determinazione dell’algoritmo di controllo, si riportano nella Tabella 4.1 i valori numerici di tutti quanti i parametri di interesse misurabili direttamente o il cui valore `e ricavabile dalla lettura dei datasheet ³ .

Parametro Valore Unit` a di misura

h 50 · 10 ⁻³ m

V _r1 582.6 · 10 ⁻⁹ m ³

V r2 99 · 10 ⁻⁹ m ³

A ₁ 3.1416 · 10 ⁻⁴ m ²

A ₂ 2.010 · 10 ⁻⁴ m ²

V ₁₀ 8.4366 · 10 ⁻⁶ m ³ V ₂₀ 5.1255 · 10 ⁻⁶ m ³

α 0.64 adimensionale

M 0.11 Kg

K 27900 N m ⁻¹

β 2 · 10 ⁹ P a

Tabella 4.1: Parametri notevoli del sistema di attuazione.

Il valore del bulk modulus non `e riportato sul datasheet dell’olio idraulico utilizzato all’interno del circuito, e per questo motivo `e stato ottenuto a partire da un’indagine su web che ha avuto come oggetto gli oli idraulici in generale. Quindi il valore riportato `e di fatti una stima prevalentemente dell’ordine di grandezza [35]. Inoltre il valore della costante elastica K tiene conto della presenza della sola molla e non dell’elasticit`a del trefolo di

3 Quelli ottenuti sperimentalmente saranno riportati contestualmente alla desrizione del protocollo che

ne ha permesso l’identificazione.

acciaio con cui `e realizzato il cavo di trasmissione. La scelta di trascurare l’elasticit`a del cavo `e legata al fatto che la molla ed il trefolo sono in serie: per due molle in serie di costante K <sub>1</sub> e K <sub>2</sub> vale che la costante equivalente K e `e data da:

1 K e

= 1 K ₁ + 1

K ₂ (4.20)

quindi nella somma si pu`o trascurare il contributo dovuto all’elemento elastico con la maggiore rigidezza K i , che nella fattispecie `e proprio il trefolo in acciaio.

4.3 Determinazione della funzione di trasferimento

4.3.1 Le ipotesi di lavoro

Per la determinazione della funzione di trasferimento sono necessari due ulteriori passaggi:

la definizione delle ipotesi di lavoro e la rappresentazione schematica del loop di controllo di basso livello. Le ipotesi di lavoro sono le seguenti:

• il giunto i−esimo cui `e vincolata l’altra estremit`a del cavo di trasmissione `e bloccato, quindi θ i = costante;

• la molla di costante K si trova nella posizione di riposo per x = 0.

Dalla Figura 4.3 si evince anche che la forza F (t) trasmessa dal cavo `e determinata dallo stato di allungamento della molla, e quindi dalla variabile x(t), secondo la relazione:

F (t) = Kx(t) (4.21)

Quidi il controllo della forza F (t) `e tradotto in un controllo di posizione grazie alla molla. La posizione del pistone, sottintendendo la dipendenza dal tempo, `e determinata dal valore delle pressioni P ₁ e P ₂ attraverso la relazione (4.10). D’altra parte le pressioni sono legate ai flussi q 1 e q 2 dalle relazioni (4.11 e 4.13). I due flussi non sono controllabili direttamente ma soltanto attraverso le relazioni (4.16-4.19): da queste relazioni si evince per`o che l’unica varibile di controllo `e la tensione u di alimentazione dell’elettrovalvola.

Quindi si pone una questione non banale, esprimibile in questi termini: la possibilit`a

di controllare la variabile x, ovvero la forza sul cavo, `e riconducibile, in ultima istanza,

alla gestione dei due flussi q1 e q2 che non pu`o avvenire in modo disaccoppiato. In altri

Figura 4.3: Ipotesi di lavoro.

termini, se si impone un valore u = u 0 , per un determinato valore delle pressioni P S = P S , P T = P T , P ₁ = P ₁ , P ₂ = P ₂ , si impongono i valori sia di q ₁ sia di q ₂ . D’altra parte per`o q 1 e q 2 non sono tra loro fisicamente scollegati, infatti se q 1 `e positivo (entrante) allora q ₂ `e negativo (uscente), e viceversa. Questo succede perch`e, al di l`a della comprimibilit`a del fluido, quando il pistone si muove, inevitabilmente in una camera il volume si riduce, nell’altra aumenta determinando rispettivamente la fuoriuscita o l’ingresso di fluido. Alla luce di questa considerazione appare ragionevole controllare non q ₁ e q ₂ separatamente bens`ı la loro differenza algebrica 4q(t):

4q(t) = q ¹ (t) − q ² (t) (4.22)

Per questo motivo lo schema di controllo di basso livello `e quello rappresentato in Figura

4.4. L’ingresso del loop `e la forza desiderata F d (t), che viene confrontata con la forza F (t)

che `e in quel momento sul cavo. L’errore F _err (t) = F _d (t) − F (t) va in ingresso al sistema

di controllo che elaborer`a un opportuno valore di u(t) tale da generare il 4q(t) necessario all’inseguimento del riferimento F _d (t).

Figura 4.4: Schema di controllo.

4.3.2 La funzione di trasferimento

Alla luce di quanto visto in precedenza, la funzione di trasferimento G(s), nella variabile di Laplace, descrittiva del sistema di attuazione deve essere del tipo:

G(s) = F (s)

4q(s) (4.23)

Il punto di partenza `e l’equazione (4.10) riscritta nella variabile di Laplace che tenendo in considerazione l’equazione (4.3) diventa:

M s ² x(s) + B s sx(s) + Kx(s) = A ₁ (P ₁ (s) − αP 2 (s)) = A ₁ 4P ^∗ (s) (4.24) dove il termine 4P ^∗ (s) si pu`o definire come un gradiente pressorio equivalente che tiene conto dell’asimmetria del pistone. Mettendo in evidenza x(s), la (4.24) pu`o essere riscritta nel seguente modo:

x(s) = A ₁ 4P ^∗ (s)

M s ² + B s s + K (4.25)

Per scrivere la relazione che intercorre tra 4P ^∗ (s) e 4q(s) si ricorre alle (4.11 e 4.13) che, private dei termini di trafilamento ed opportunamente combinate con (4.4-4.7), possono essere riscritte nel seguente modo (si sottintende la dipendenza dal tempo):

q ₁ = ˙xA ₁ + V ₁₀ + xA ₁ β

dP ₁

dt (4.26)

q 2 = α

·

− ˙xA ¹ + V 10 − xA ¹ β

dP 2

dt

¸

(4.27)

Dalle equazioni (4.26 e 4.27) emerge che i flussi dipendono in modo non lineare dalle pressioni, infatti al secondo membro i termini che tengono conto della comprimibilit`a prevedono il prodotto tra la variabile x e ciascuna delle due pressioni P <sub>1</sub> e P <sub>2</sub> . Al fine del- la determinazione della funzione di trasferimento, e quindi della trattazione del problema sfruttando la variabile di Laplace, `e necessario operare una linearizzazione delle relazioni (4.26 e 4.27). La linearizzazione `e possibile perch`e per avere forze significative sono suf- ficienti piccoli spostamenti del pistone dalla condizione di forza F = 0, questo in virt` u dell’elevata rigidezza della costante K. Per piccoli valori di x (dell’ordine di 10 ⁻³ m) si possono fare le seguenti approssimazioni:

V ₁₀ + xA ₁ ≈ V 10 (4.28)

V ₂₀ − xA 1 ≈ V 20 (4.29)

L’approssimazione `e giustificata anche dal fatto che β `e molto grande (dell’ordine di 10 ⁹ P a): il contributo dipendente dal bulk modulus `e comunque piccolo, quindi anche l’errore conseguente all’approssimazione `e trascurabile nel computo totale del flusso. In virt` u della linearizzazione le equazioni (4.26 e 4.27) possono essere riscritte, nella variabile di Laplace, come segue:

q 1 (s) = sx(s)A 1 + sV 10 P 1 (s)

β (4.30)

q ₂ (s) = α

·

−sx(s)A 1 + sV ₁₀ P ₂ (s) β

¸

(4.31) Combinando queste due ultime equazioni si pu`o scrivere:

4q(s) = q 1 (s) − q 2 (s) = A ₁ sx(s)(1 + α) + sV ₁₀

β (P ₁ (s) − αP 2 (s)) (4.32) da cui si ricava:

4P ^∗ (s) = [(4q(s) − sx(s)A 1 (1 + α))] β sV 10

(4.33) Combinando quest’ultima relazione con la (4.25) si ottiene:

x(s) = A ₁ β(4q(s) − sx(s)A 1 (1 + α))

V ₁₀ (M s ³ + B _s s ² + Ks) (4.34) e semplificando si scrive:

x(s) = A ₁ β

V ₁₀ (M s ³ + B s s ² + (K + ^{A 2 1 (1+α)β} _V

10 )) 4q(s) (4.35)

A questo punto, ricordandosi della (4.21) si pu`o facilmente calcolare la G(s):

G(s) = F (s)

4q(s) = KA ₁ β

V ₁₀ h

M s ³ + B s s ² + h

K + ^{A 2 1 (1+α)β} _V

10

i

s i (4.36)

Se si sostituiscono i valori numerici ai parametri all’interno della (4.36) si ottiene la funzione di trasferimento del blocco di attuazione ⁴ :

G(s) = 1.753 · 10 ¹⁰

8.639 · 10 ⁻⁷ s ³ + 2.356 · 10 ⁻³ s ² + 323.9s (4.37)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

−50 0 50 100 150

Magnitude (dB)

10

10

10

10

10

10

−270

−225

−180

−135

−90

Phase (deg)

Figura 4.5: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento G(s).

In Figura 4.5 `e riportato il diagramma di Bode della G(s). Dall’analisi del diagramma

`e possibile ottenere le seguenti informazioni ⁵ :

4 Per il parametro B s si assunto un valore di 300N m ⁻¹ s: nei paragrafi seguenti si dar` a spiegazione dettagliata di quest’assunzione.

5 Si rimanda all’APPENDICE C per la lettura del listato Matlab utilizzato per la graficazione del

diagramma di Bode (i file di interesse sono Bode Actuator tf.m e Actuator tf.m).

• il sistema di attuazione si comporta come un integratore per le pulsazioni fino a 10 ³ rad/s (pendenza −20dB/dec e fase −π/2);

• il sistema ha due poli complessi coniugati alla pulsazione caratteristica di 2·10 ⁴ rad/s;

Il comportamento da integratore nel range di pulsazioni fino a 10 ³ rad/s si pu`o spiegare facilmente se si fa tendere all’infinito il valore di β nella (4.36):

β→∞ lim G(s, β) = K

A 1 (1 + α)s = 5.4151 · 10 ⁷

s (4.38)

Quest’ultima semplificazione consente di sintetizzare il controllore in due modalit`a, a partire da due funzioni di trasferimento delle quali la seconda risulta chiaramente pi` u semplice.

4.4 Caratterizzazione sperimentale

Sono state condotte delle prove sperimentali al fine di caratterizzare il sistema di at- tuazione. Nel particolare le prove sperimentali hanno permesso di stimare i seguenti parametri:

• il termine di attrito B f (t) e quindi anche il parametro di smorzamento viscoso B _s ;

• i coefficienti C 1 (u), C ₂ (u), C ₃ (u), C ₄ (u), fondamentali per il controllore in quanto legano la tensione u di alimentazione dell’elettrovalvola con i flussi q ₁ e q ₂ .

Le prove hanno riguardato sia una caratterizzazione del sistema per i valori di tensione positivi (u ≥ 0) sia per quelli negativi (u < 0).

4.4.1 Caratterizzazione per u ≥ 0

Per la caratterizzazione sperimentale per valori di u ≥ 0 `e stato seguito il protocollo riportato di seguito.

Passo 1 Posizionamento manuale del pistone a met`a circa della corsa (x ' 0). Il posi-

zionamento manuale si realizza mediante una routine ad hoc sviluppata in ambiente

Labview 8. Questa routine permette infatti di imporre manualmente il voltaggio in

ingresso all’elettrovalvola, ovvero la velocit`a del pistone.

Passo 2 Mediante l’utilizzo della medesima routine, si impone la movimentazione del pistone imponendo valori di u costanti nel range 0 ÷ 8.5V con passo 0.5 V. Durante la movimentazione, da x ' 0 a x ' 2.5 · 10 ⁻² m, si effettua l’acquisizione a 1KHz dei seguenti sensori: potenziometro lineare per il monitoraggio della posizione x(t), i sensori di pressione relativi all’alimentazione P S (t), alla riserva P T (t), alla camera 1 P ₁ (t), alla camera 2 P ₂ (t).

Passo 3 Per ciscuno dei valori di u la procedura viene ripetuta 4 volte (4 realizzazioni), al fine di verificare la ripetibilit`a del sistema.

Passo 4 Elaborazione dei dati mediante routine ad hoc sviluppate in linguaggio Matlab.

E necessario sottolineare che le prove sono state effettuate a vuoto, ovvero staccando ` il pistone dalla molla e dal resto della trasmissione. Questo `e dovuto alla necessit`a di studiare la dinamica dei flussi all’interno del cilindro in modo indipendente dal sistema di trasmissione che si sceglie ⁶ .

4.4.2 Risultati

L’elaborazione dei risultati `e stata effettuata scrivendo funzioni Matlab ad hoc. Per i dati acquisiti ad ogni valore di u `e stata scritta una funzione: un esempio `e la funzione EV_4_5, il cui codice `e riportato nell’APPENDICE C. Questa funzione, scritta per u = 4.5 V, e la cui struttura `e praticamente uguale per i dati ottenuti dalle prove con differenti valori di tensione u, prende in ingresso il nome dei quattro file binari, con estensione .bin, nei quali sono stati immagazzinati i dati. L’estrazione dei dati dai file .bin avviene con la funzione bin_read ⁷ .

Questa funzione legge i file ed estrae le variabili tempo varianti P _S ⁱ , P _T ⁱ , P ₁ ⁱ , P ₂ ⁱ , x ⁱ , F _m ⁱ con i = 1, ..., 4, utilizzando delle opportune costanti di calibrazione per trasformare i segnali da Volt in unit`a di misura SI. L’apice i fa riferimento quindi alla i − esima

6 Non `e detto che in futuro non si possa verificare la necessit` a di cambiare l’elemento elastico, irrigidendolo, o di toglierlo del tutto e sfruttare l’elasticit` a propria del trefolo di acciaio.

7 Tutte le funzioni Matlab cui si fa riferimento sono state scritte ad hoc per l’elaborazione dei dati,

raccolti durante la caratterizzazione sperimentale. Il listato di queste funzioni `e riportato nell’APPENDICE

C al fine di snellire la descrizione e l’analisi dei risultati.

realizzazione per un valore di tensione di alimentazione u fissato. La variabile forza motrice F _m ⁱ (t) `e calcolata come:

F _m ⁱ (t) = P ₁ ⁱ (t)A ₁ − P 2 ⁱ (t)A ₂ = M ¨ x(t) + B _f (t) ˙x (4.39) La forza motrice F m permette di compensare quindi le forze di inerzia e quelle di attrito, essendo nulla la componente elastica. Durante la fase di regime, come mostrato di seguito, la velocit`a del pistone `e costante, quindi F m diventa rappresentativa delle sole forze di attrito.

Successivamente, utilizzando la funzione plotting si graficano i profili di posizione x ⁱ (t) e di F _m ⁱ (t) rispetto alla variabile tempo. Attraverso il comando Matlab ginput `e possibile, a partire dai grafici, selezionare le porzioni di curve di interesse, ovvero quelle non affette da artifici di bordo (`e sufficiente indicare il punto di inizio e di fine del tratto di curva che si intende considerare, rispettivamente lo StartP oint e l’EndP oint). Gli effetti di bordo si verificano quando il pistone arriva a fine corsa con un conseguente aumento della pressione nella camera 1 a discapito di quella nella camera 2, senza che si abbia ulteriore movimento. Nelle Figure 4.6, 4.7, 4.8, 4.9 sono riportati esempi di curve x ⁱ (t) vs t e di F _m ⁱ (t) vs t, per differenti valori di u.

Da questi grafici emergono importanti informazioni:

• il comportamento dell’elettrovalvola `e tale da indurre al pistone una velocit`a costante, una volta che sia stato fissato il valore della tensione di alimentazione u: la legge oraria della posizione del pistone x(t) `e, ad eccezione del transitorio, una retta. L’in- clinazione della retta, e quindi la velocit`a sviluppata cambia con il valore di tensione di alimentazione (cresce con u). Nei paragrafi successivi si analizzer`a la legge con cui ci`o si verifica;

• la forza motrice `e circa costante durante la fase di regime, mentre nella fase iniziale essa ha un picco che si spiega considerando l’attrito di primo distacco. Anche la forza motrice, in condizione di regime tende ad essere legata alla velocit`a del pistone;

• nella Figura 4.7 `e chiaramente visibile l’effetto di bordo che causa un forte aumento

della forza (fino a valori superiori ai 2000 N) allorch`e il pistone arriva a battuta

(x ' 2.5 · 10 ⁻² m).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0

50 100 150

Forza motrice vs tempo

secondi

Newton

Realizzazione 1 (u=2.5)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

−0.01

−0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

Posizione vs tempo

secondi

metri

.START POINT

.END POINT

Realizzazione 1 (u=2.5)

Figura 4.6: Grafico di F _m ¹ vs t e x ¹ vs t per u = 2.5V .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 500 1000 1500 2000

2500 Forza motrice vs tempo

secondi

Newton

Realizzazione 4 (u=4.5)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

0.03 Posizione vs tempo

secondi

metri

.START POINT

.END POINT

Realizzazione 4 (u=4.5)

Figura 4.7: Grafico di F _m ⁴ vs t e x ⁴ vs t per u = 4.5V .

0.05 0.1 0.15 0

50 100 150

200 Forza motrice vs tempo

secondi

Newton

Realizzazione 4 (u=4.5)

0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

0.03 Posizione vs tempo

secondi

metri

.START POINT

Realizzazione 4 (u=4.5)

Figura 4.8: Ingrandimento del grafico di Figura 4.7 .

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

50 100 150 200

250 Forza motrice vs tempo

secondi

Newton

Realizzazione 1 (u=6)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0 0.005 0.01 0.015 0.02

0.025 Posizione vs tempo

secondi

metri

.START POINT

.END POINT

Realizzazione 1 (u=6)

Figura 4.9: Grafico di F _m ¹ vs t e x ¹ vs t per u = 6V .

Dopo aver indicato per ciascuna delle 4 realizzazioni lo StartP oint e l’EndP oint viene chiamata la funzione Vmedia. Essa esegue su ciascuna realizzazione un filtraggio passa bas- so mediante interpolazione lineare. Quindi restituisce 4 valori di velocit`a ˙x ⁱ , determinati dai coefficienti angolari delle rette interpolanti, denominate x ⁱ _{f ilt} .

Il passo successivo, all’interno della funzione EV_4_5, presa come riferimento per questa descrizione, `e quello di calcolare il valore medio della velocit`a da associare al valore di u:

˙x ^u _m = 1 4

4

X

i=1

˙x ⁱ (4.40)

A questo punto l’analisi dei dati continua con lo studio delle forze utilizzando due ulteriori funzioni: F_distacco e F_media. La prima permette di stimare il valore della forza di attrito di primo distacco. Ci`o `e possibile considerando il massimo valore di forza motrice, in modulo, nella fase di transitorio:

F _dist ⁱ = max(|F m ⁱ (n)|) con n = 1, ...End P oint (4.41) La seconda calcola il valore medio e la devizione standard della forza motrice F _m ⁱ per il tratto di curva delimitato da StartP oint e EndP oint:

F ⁱ _m = 1 N

N

X

n=1

F _m ⁱ (n) (4.42)

σ _{F m} ⁱ = v u u

t 1

N (N − 1)

N

X

n=1

(F _m ⁱ (n) − F ⁱ m ) ² (4.43) Siccome il tratto di curva delimitato da StartP oint e da EndP oint `e quello caratteriz- zante la condizione di regime, gli F ⁱ _m possono considerarsi una stima dell’attrito dinamico complessivo, sia del termine viscoso che di quello columbiano.

Dopo l’utilizzo delle funzioni F_distacco e F_media si calcolano i seguenti valori medi (si fa ricorso alla tecnica delle misure ripetute sfruttando le 4 realizzazioni):

F ^u _dist = 1 4

4

X

i=1

F _dist ⁱ (4.44)

F ^u _m = 1 4

4

X

i=1

F ⁱ _m (4.45)

Il passo successivo `e quello di stimare i valori dei coefficienti C <sub>1</sub> (u) e C <sub>2</sub> (u). A tal fine si utilizza la funzione FlowRateCostant. Questa funzione, per ciascuna delle 4 realizzazioni, ha i seguenti ingressi: P <sub>S</sub> <sup>i</sup> , P <sub>T</sub> <sup>i</sup> , P <sub>1</sub> <sup>i</sup> , P <sub>2</sub> <sup>i</sup> , x <sup>i</sup> <sub>f ilt</sub> , StartP oint <sup>i</sup> , EndP oint <sup>i</sup> , il passo di campio- namento e la tensione di alimentazione u cui `e stata effettuata l’acquisizione. Per ciascuna realizzazione, utilizzando le relazioni (4.11 e 4.13), sono stati stimati i flussi q ₁ ⁱ (t) e q ⁱ ₂ (t) (trascurando i termini di trafilamento). Nella stima sono stati calcolati separatamente la porzione del flusso dovuta alla variazione di volume e quella che tiene conto della elasticit`a del fluido. Nelle Figure 4.10, 4.11 e 4.12 si evidenzia come la componente volumetrica del flusso a regime (in m <sup>3</sup> s <sup>−1</sup> ) sia di fatti costante mentre il termine elastico aggiunge una variabilit`a di fatti quasi trascurabile. Una volta stimati i flussi, e noti gli andamenti delle pressioni, invertendo le relazioni (4.16) e (4.17), sono stati stimati i valori di C ₁ ⁱ e C ₂ ⁱ , per ciascuna realizzazione (Figure 4.10, 4.11 e 4.12).

0 100 200 300 400 500 600

6.4 6.6

6.8 x 10

Andamento del flow rate, della costante C1 e C2, nella realizzazione 4 per u=2.5

m

/s

q1 vol+q1 ela q1 vol

0 100 200 300 400 500 600

2.8 2.9

3 x 10

C1

C1

0 100 200 300 400 500 600

−4.3

−4.25

−4.2 x 10

m

/s

q2 vol+q2 ela q2 vol

0 100 200 300 400 500 600

2.34 2.36 2.38

2.4 x 10

Samples

C2

C2

Figura 4.10: Rappresentazione grafica della stima di q ₁ ⁴ , q ₂ ⁴ , C ₁ ⁴ , C ₂ ⁴ .

Per ciascuna realizzazione `e stato calcolato un valore medio dei coefficienti C ⁱ ₁ e C ⁱ ₂

durante la fase di equilibrio, e successivamente, applicando la tecnica delle misure ripetute

0 20 40 60 80 100 120 140 160 2.53

2.54

2.55 x 10

Andamento del flow rate, della costante C1 e C2, nella realizzazione 3 per u=4.5

m

/s

q1 vol+q1 ela q1 vol

0 20 40 60 80 100 120 140 160

1.12 1.13 1.14 1.15 x 10

C1

C1

0 20 40 60 80 100 120 140 160

−1.635

−1.63

−1.625 x 10

m

/s

q2 vol+q2 ela q2 vol

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0.95 1 1.05 x 10

Samples

C2

C2

Figura 4.11: Rappresentazione grafica della stima di q ₁ ³ , q ₂ ³ , C ₁ ³ , C ₂ ³ .

`e stato calcolato un’unico valore di C ^u ₁ e C ^u ₂ , mediato su tutte e quattro le realizzazioni:

C ^u ₁ = 1 4

4

X

i=1

C ⁱ ₁ (4.46)

C ^u ₂ = 1 4

4

X

i=1

C ⁱ ₂ (4.47)

In Tabella 4.2, si riportano i valori di C 1 e C 2 per alcuni valori di u, mediati su ogni realizzazione ed il valore mediato con la tecnica delle misure ripetute.

All’interno del file Matlab Summary.m si ripetono i calcoli descritti fino ad ora, per i dati acquisiti a differenti valori di tensione u. Questo viene ottenuto richiamando pi` u funzioni del tutto simili a EV_4_5 (esempio: EV_2_5, EV_3, EV_3_5,...EV_8_5, una per ciascun valore di tensione per cui sono stati acquisiti i dati). I risultati finali che si ottengono sono riportati di seguito.

Curva velocit` a/tensione La curva caratteristica Velocit`a pistone ˙x vs Tensione elet-

trovalvola `e riportata in Figura 4.13. I dati vengono interpolati con buona accu-

0 10 20 30 40 50 60 70 3.78

3.79

3.8 x 10

Andamento del flow rate, della costante C1 e C2, nella realizzazione 4 per u=6

m

/s

q1 vol+q1 ela q1 vol

0 10 20 30 40 50 60 70

1.7 1.72 1.74 1.76 x 10

C1

C1

0 10 20 30 40 50 60 70

−2.44

−2.43

−2.42 x 10

m

/s

q2 vol+q2 ela q2 vol

0 10 20 30 40 50 60 70

1.44 1.46 1.48

1.5 x 10

Samples

C2

C2

Figura 4.12: Rappresentazione grafica della stima di q ₁ ² , q ₂ ² , C ₁ ² , C ₂ ² .

ratezza da un polinomio di IV grado:

˙x = 9.18 · 10 ⁻⁵ u ⁴ − 0.002144u ³ + 0.01564u ² − 0.01624u − 0.00652 (4.48) La bont`a dell’interpolazione, effettuata con CFTool di Matlab 6.5, pu`o essere ap- prezzata facendo riferimento al RMSE= 0.0009536 (Root Mean Square Error).

Attrito In Figura 4.14 `e riportata una curva molto significativa, fondamentale sia per

la modellazione del sistema di attuazione che per la sintesi del controllore. Da

tale curva, e da quella che sar`a determinata per la tensione u negativa, si stimer`a il

coefficiente di attrito B s da utilizzare nel modello dell’attuazione. Dalla curva emerge

che il sistema `e caratterizzato da un attrito di primo distacco che `e mediamente

pari a ' 90N. D’altra parte, con il crescere della volocit`a del pistone, la forza di

attrito (somma del termine columbiano e di quello di smorzamento) varia con legge

polinomiale cubica. Nonostante la rumorosit`a dei dati, l’interpolazione ha fornito la

Tensione u C ₁ ¹ C ₁ ² C ₁ ³ C ₁ ⁴ C ^u ₁ σ _C ^u

1

2.5V 2.931e-9 2.920e-9 2.912e-9 2.912e-9 2.918e-9 8.544e-12 4.5V 1.135e-8 1.14e-8 1.134e-8 1.134e-8 1.135e-8 2.872e-11 6V 1.702e-8 1.722e-8 1.708e-8 1.708e-8 1.710e-8 8.485e-11

Tensione u C ₂ ¹ C ₂ ² C ₂ ³ C ₂ ⁴ C ^u ₂ σ _C ^u

2

2.5V 2.345e-9 2.360e-9 2.351e-9 2.351e-9 2.351e-9 6.245e-12 4.5V 9.905e-9 9.8e-9 9.94e-9 9.94e-9 9.89e-9 6.625e-11 6V 1.47e-8 1.494e-8 1.488e-8 1.487e-8 1.484e-8 1.0308e-10 Tabella 4.2: Alcuni dati sui coefficienti C 1 e C 2 estratti dall’elaborazione dei dati provenienti dalla caratterizzazione sperimentale. I coefficienti C i hanno le dimensioni di un flusso m ³ s ⁻¹ su radice di pressione P a ^0.5 , ovvero di Kg ^0.5 m ^2.5 s ⁻² .

seguente curva ⁸ :

B f = B s ˙x + B ac sign( ˙x) = −4725 ˙x ³ + 2147 ˙x ² − 169.7 ˙x + 64.79 (4.49) con RMSE= 1.318. Per avere una stima del termine di smorzamento, che come detto

`e il solo rilevante per la modellazione e la sintesi del controllore, `e necessario derivare ambi i membri della relazione rispetto a ˙x, si ottiene:

B s = −14175 ˙x ² + 4294 ˙x − 169.7 (4.50) e per ˙x = 0.16ms ⁻¹ d`a una stima di B s ' 152Nsm <sup>−1</sup> . La stima `e effettuata per un valore relativamente alto di velocit`a perch`e, al crescere della velocit`a il termine di attrito tende a comportarsi come una retta.

Coefficiente C ₁ In Figura 4.15 `e riportato l’andamento del coefficiente C <sub>1</sub> al variare di u. In questo caso l’interpolazione `e stata effettuata a partire dalla retta di equazione C ₁ (u) = m ₁ u + n ₁ . Il RMSE dell’interpolazione `e 4.717 · 10 ⁻¹⁰ . I coefficienti m ₁ ed n ₁ sono riportati nella Tabella 4.3.

8 Si trascura nell’interpolazione l’attrito statico o di primo distacco data la sua connotazione fortemente

non lineare.

m 1 3.745 · 10 ⁻⁹ n ₁ −5.957 · 10 ⁻⁹ m 2 3.261 · 10 ⁻⁹

n ₂ −5.216 · 10 ⁻⁹

Tabella 4.3: Tabella dei coefficienti m 1 , n 1 , m 2 , n 2 .

Coefficiente C ₂ In Figura 4.16 `e riportato l’andamento del coefficiente C <sub>2</sub> al variare di u. Anche in questo caso l’interpolazione `e stata effettuata con una retta di equazione C 2 (u) = m 2 u + n 2 . Il RMSE dell’interpolazione `e 5.321 · 10 ⁻¹⁰ . I coefficienti m 2 ed n ₂ sono riportati nella Tabella 4.3.

Dai grafici mostrati, riassuntivi del comportamento del sistema di attuazione per valori di u ≥ 0, si evince la presenza dell’overlapping nell’elettrovalvola. Infatti per valori di u 6= 0 non si ha immediatamente una velocit`a ˙x 6= 0. Soltanto a partire da tensioni u ∼ 2V si ha una velocit`a apprezzabile e pari circa 0.008ms ⁻¹ , come si evince da Figura 4.13. Elaborando i dati ottenuti per u = 1.5V , si ottiene che la velocit`a corrispondente

`e ˙x ∼ 0.0002ms <sup>−1</sup> , il che `e del tutto equivalente a dire che il pistone `e fermo. Infatti la velocit`a di 0.0002ms ⁻¹ `e attribuibile alla lenta deriva dovuta ai trafilamenti interni tra le due camere del cilindro. In Figura 4.17 `e riportato l’andamento della variabile x(t) per u = 1.5V . Per questo motivo `e stato opportuno considerare utili i dati a partire da u = 2V per la determinazione delle curve caratteristiche del sistema idraulico. Nella medesima Figura, a sostegno di tale tesi, si osserva come la forza F _m ² rimanga piuttosto elevata, ai valori tipici dell’attrito di primo distacco ⁹ , a conferma di quanto precedentemente affermato.

4.4.3 Caratterizzazione per u < 0

Per la caratterizzazione sperimentale per valori di u < 0 `e stato seguito il protocollo riportato di seguito.

Passo 1 Posizionamento manuale del pistone a met`a circa della corsa (x ' 0).

9 L’overlapping `e evidenziato anche all’interno del datasheet dell’elettrovalvola, riportato in

APPENDICE B.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

0.2 Velocità pistone vs Tensione u elettrovalvola

u in V

m/s

STD dati sperimentali Dati sperimentali Curva di interpolazione

Figura 4.13: Grafico della curva caratteristica Velocit`a pistone ˙x vs Tensione elettrovalvola.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

55 60 65 70 75 80 85 90 95

m/s

N

Forza di attrito vs Velocità

STD dati sperimentali Dati sperimentali Curva di interpolazione

Figura 4.14: Grafico della curva caratteristica dell’attrito statico-dinamico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

0.5 1 1.5 2 2.5

x 10

u in V

C1

C1 vs Tensione u elettrovalvola

STD dati sperimentali Dati sperimentali Curva di interpolazione

Figura 4.15: Grafico del parametro C1 al variare della tensione u di alimentazione dell’elettrovalvola.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10

u in V

C2

C2 vs Tensione u elettrovalvola

STD dati sperimentali Dati sperimentali Curva di interpolazione

Figura 4.16: Grafico del parametro C2 al variare della tensione u di alimentazione

dell’elettrovalvola.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 80

90 100 110 120 130

140 Forza motrice vs tempo

secondi

Newton

Realizzazione 2 (u=1.5)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

2.4 2.6 2.8 3 3.2

3.4 x 10

Posizione vs tempo

secondi

metri

.START POINT

.END POINT Realizzazione 2 (u=1.5)

Figura 4.17: Grafico di F _m ² vs t e x ² vs t per u = 1.5V .

Passo 2 Movimentzione del pistone imponendo valori di u costanti nel range −0.5 ÷

−8.5V , con passo 0.5V . Durante la movimentazione, da x ' 0 a x ' 2.5, si effettua l’acuisizione a 1KHz dei seguenti sensori: potenziometro lineare per il monitoraggio della posizione x(t), i sensori di pressione relativi all’alimentazione P S (t), alla riserva P _T (t), alla camera 1 P ₁ (t), alla camera 2 P ₂ (t).

Passo 3 Per ciascun valore di u la procedura `e ripetuta 4 volte (4 realizzazioni) al fine di verificare la ripetibilit`a del sistema.

Passo 4 Elaborazione dei dati mediante opportune routine sviluppate ad hoc in ambiente Matlab.

Anche in questo caso le prove sono state effettuate a vuoto.

4.4.4 Risultati

L’elaborazione dei dati `e stata eseguita con le medesime routine Matlab utilizzate per i

dati ottenuti con valori di u ≥ 0. Quindi, al fine di snellire la trattazione, si riportano

direttamente i risultati riassuntivi, ottenuti con il file Summary.m.

m 3 −3.526 · 10 ⁻⁹ n ₃ −7.538 · 10 ⁻⁹ m 4 −3.144 · 10 ⁻⁹ n ₄ −6.164 · 10 ⁻⁹

Tabella 4.4: Tabella dei coefficienti m 3 , n 3 , m 4 , n 4 .

Curva tensione/velocit` a In Figura 4.18 `e riportata la curva caratteristica velocit`a del pistone vs alimentazione elettrovalvola. I dati sono interpolati con un polinomio di IV grado:

˙x = −7.914 · 10 ⁻⁵ u ⁴ − 0.002 · u ³ − 0.01712u ² − 0.03749u − 0.02089 (4.51) La bont`a dell’interpolazione `e espressa dal RMSE= 0.0007544.

Attrito Anche in questo caso si pu`o indagare l’andamento del termine di attrito (Figura 4.19). Il termine di attrito `e stimato con il seguente polinomio di II grado:

B f = B s ˙x + B ac sign( ˙x) = −1721 ˙x ² − 106.4 ˙x − 29.82 (4.52) con RMSE= 3.298. Per stimare il termine di smorzamento si ricorre alla derivazione di ambo i membri rispetto a ˙x, e si ottiene:

B s = −3442 ˙x − 106.4 (4.53)

e per ˙x = −0.11ms ⁻¹ si ha una stima di B s ' 280Nsm ⁻¹ .

Coefficiente C 3 In Figura 4.20 `e riportato l’andamento del coefficiente C 3 al variare di u. I dati sono interpolati da una retta di equazione C ₃ (u) = m ₃ u + n ₃ , con RMSE= 4.699 · 10 ⁻¹⁰ . I coefficienti m 3 ed n 3 sono riportati nella Tabella 4.4.

Coefficiente C 4 In Figura 4.21 `e riportato l’andamento del coefficiente C 4 al variare

di u. I dati sono interpolati da una retta di equazione C ₄ (u) = m ₄ u + n ₄ , con

RMSE= 6.241 · 10 ⁻¹⁰ . I coefficienti m ₄ ed n ₄ sono riportati nella Tabella 4.4.

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02

Velocità pistone vs Tensione u elettrovalvola

u in V

m/s

STD dati sperimentali Dati sperimenteli Curva di interpolazione

Figura 4.18: Grafico della curva caratteristica Velocit`a pistone ˙x vs Tensione elettrovalvola.

−0.14 −0.12 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02

−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

m/s

N

Forza di attrito vs Velocità

STD dati sperimentali Dati sperimentali Curva di interpolazione

Figura 4.19: Grafico della curva caratteristica dell’attrito statico-dinamico.

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

3 x 10

u in V

C3

C3 vs Tensione u elettrovalvola

STD dati sperimentali Dati sperimentali Curva di interpolazione

Figura 4.20: Grafico del parametro C3 al variare della tensione u di alimentazione dell’elettrovalvola.

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10

u in V

C4

C4 vs Tensione u elettrovalvola

STD dati sperimentali Dati sperimentali Curva di interpolazione

Figura 4.21: Grafico del parametro C4 al variare della tensione u di alimentazione

dell’elettrovalvola.

4.4.5 Discussione

La caratterizzazione sperimentale `e stata di importanza cruciale per una conoscenza completa del sistema di attuazione. I risultati raggiunti si possono riassumere in 3 punti:

1. i coefficienti C _i hanno, in prima approssimazione, una dipendenza lineare dalla tensione u, e ci`o consente di invertire agevolmente le relazioni (4.16-4.19);

2. l’andamento del termine di attrito B f `e non lineare, per`o `e possibile fare una stima di B s sia per valori di tensione positivi che negativi. Chiaramente, nell’ottica di avere un valore di B s da inserire nel modello (simulatore) ed in base al quale effettuare la sintesi del controllore, si `e deciso di calcolarne la stima per i valori di velocit`a per cui `e pi` u alta la forza di smorzamento viscoso. Questo `e equivalente a stimare B s nella condizione peggiore. Siccome per u ≥ 0 si `e stimato B <sup>s</sup> ' 152Nsm <sup>−1</sup> e per u < 0 un B <sub>s</sub> ' 280Nsm <sup>−1</sup> , `e ragionevole scegliere lo smorzamento viscoso, da inserire nel simulatore, come B s = 300N sm ⁻¹ : la logica seguita `e quella di stimare per eccesso per poi sintetizzare il controllore in modo che sia robusto rispetto ai disturbi parametrici.

3. le curve riguardanti la relazione tra tensione e velocit`a del pistone sono un risul- tato ulteriore della caratterizzazione e non utilizzate per il Low Level Control, ma utilizzabili in futuro per l’implementazione di nuovi schemi di controllo. Infatti, esse possono essere utilizzate come look-up table l’implementazione di controllori di posizione o velocit`a.

4.5 Sintesi del Controllore

Per la sintesi del controllore si fa riferimento alla funzione di trasferimento G(s) definita nella (4.36) oppure alla forma per β → ∞, definita nella 4.38. In entrambi i casi l’approccio rimane quello classico: la sintesi di un controllore C(s) che permetta l’inseguimento del riferimento mediante la chiusura di un anello di controllo a feed-back negativo (Figura 4.22).

Siccome il controllo `e sintetizzato a partire dalla G(s), l’uscita del controllore C(s)

`e 4q(s). Ma la variabile di controllo fisicamente gestibile `e la tensione di alimentazione

Figura 4.22: Anello di controllo a feed-back negativo.

dell’elettrovalvola u. Per questo motivo, una volta che il controllore calcola il 4q(s) di controllo, `e necessario succcessivamente trasformare tale segnale in tensione u. Per fare ci`o si ricorre ad un algoritmo di conversione non lineare. A partire dalle equazioni (4.16-4.19) e dalle rette di interpolazione dei coefficienti C _i , sottintendendo la dipendenza da t, si ottiene, per u ≥ 0:

q ₁ = (m ₁ u + n ₁ )pP S − P 1 (4.54)

q ₂ = −(m 2 u + n ₂ )pP ₂ − P ^T (4.55) da cui, si calcola:

4q = (m 1 u + n ₁ )pP S − P 1 + (m ₂ u + n ₂ )pP ₂ − P ^T (4.56) e semplificando si ottiene:

u = 4q − n 1 √

P S − P 1 − n 2 √

P ₂ − P ^T m ₁ √

P S − P 1 + m ₂ √

P ₂ − P ^T (4.57)

Con metodo analogo, si ottiene per u < 0 che:

u = −4q − n 3 √

P ₁ − P ^T − n 4 √

P S − P 2

m ₃ √

P ₁ − P ^T + m ₄ √

P S − P 2

(4.58)

4.5.1 Specifiche per la sintesi del controllore

Nella sintesi del controllore C(s) `e necessario tener conto di 5 specifiche basilari:

1. stabilit`a del sistema in anello chiuso;

2. margini di ampiezza e di fase il pi` u possibile elevati in modo da garantire robustez-

za nei confronti dei disturbi (sia quelli parametrici che quelli generati sulla catena

diretta dal moto degli organi di trasmissione);

3. assenza di overshoot nella risposta al gradino, ovvero poli reali per il sistema in anello chiuso;

4. banda passante B Hz a −3dB di 5Hz, corrispondente nella risposta al gradino ad un tempo di salita t s = 7 · 10 ⁻² s;

5. errore a regime nullo.

La necessit`a di volere la banda passante a 5Hz pu`o essere giustificata nel seguente modo. In primo luogo, al fine di poter trascurare nel modello del sistema di attuazione la dinamica dello spool valve `e necessario che il tempo di risposta del loop di controllo di basso livello sia di un ordine di grandezza pi` u alto che quello dell’elettrovalvola (che `e di 10 <sup>−3</sup> s). Questo si traduce in un primo limite da imporre alla banda passante ovvero che non superi i 35Hz, ovvero che t s non sia minore di 10 <sup>−2</sup> s. In secondo luogo, siccome la velocit`a del pistone `e limitata (−0.12ms <sup>−1</sup> per u < 0 e 0.18ms <sup>−1</sup> per u > 0), per effettuare una commutazione <sup>10</sup> da 0 a −250N sono necessari all’incirca 7 · 10 <sup>−2</sup> s ipotizzando che il pistone vada alla massima velocit`a per tutta la durata della commutazione (si tenga conto della costante K di elasticit`a della molla e della (4.21)). In questo modo, tanto maggiore

`e l’escursione tanto maggiore `e il tempo di risposta, con un comportamento che `e non omogeneo. Per evitare tale disomogeneit`a `e preferibile fissare la banda passante ¹¹ a 5Hz e quindi t s a 7 · 10 ⁻² s, qualunque sia l’escursione nell’intervallo 0 ÷ −250N.

Per agevolare la trattazione della sintesi del controllore, si indica con G ₁ (s) la fun- zione di trasferimento espressa nella (4.36), e con G ₂ (s) quella descritta nella (4.38). Di conseguenza si indicano con C ₁ (s) e C ₂ (s) i controllori sintetizzati per le due funzioni di trasferimento.

4.5.2 Sintesi di C ₁ (s)

Si parte con il riscrivere la funzione di trasferimento G 1 (s) nel seguente modo:

G ₁ (s) = G ₁₀

s(s ² + a 1 s + a 0 ) (4.59)

10 In virt` u dell’attuazione dei giunti in modalit` a agonista-antagonista, pu` o essere necessaria una tale forza per ottenere un range dinamico per le coppie, compatibile con quello fisiologico.

11 Si precisa che il tempo di salita t s `e definito come l’intervallo necessario affinch`e il sistema passi dal

10% al 90% del valore di regime.

con G ₁₀ = 2.029 · 10 ¹⁶ , a ₁ = 2727.16 e a ₂ = 3749.27 · 10 ⁵ . Come precedentemente eviden- ziato, G ₁ (s) ha un polo nell’origine e due poli complessi coniugati in (−0.1364 ∓ 1.9314i) · 10 ⁴ .

Siccome i poli complessi sono a parte reale negativa, sono entrambi poli stabili. Per questo motivo, la sintesi del controllore, nel rispetto delle specifiche, `e stata effettuata per cancellazione. Alla luce delle specifiche e della tecnica scelta per la sintesi, il controllore deve possedere le seguenti caratteristiche:

• due zeri complessi coniugati al fine di cancellare i due poli di G 1 (s);

• non deve avere zeri nell’origine in modo tale che nella catena diretta C 1 (s)G ₁ (s) ci sia un polo nell’origine, che consenta di avere errore nullo a regime;

• un guadagno opportuno in modo tale da rispettare la specifica sulla banda passante:

la funzione C ₁ (s)G ₁ (s) deve attraversare l’asse a 0dB, con pendenza −20dB/dec e fase −π/2 alla pulsazione ω = 2πB ^Hz = 10π;

• 3 poli ad alta frequenza, che oltre a rendere causale il controllore allorch`e digitaliz- zato, permettano di avere margini di ampiezza e di fase comunque elevati e i poli del sistema in anello chiuso reali negativi.

Il controllore C 1 (s) ha quindi la seguente struttura:

C ₁ (s) = C ₁₀ s ² + a ₁ s + a ₀

(s + p ₁ )(s + p ₂ )(s + p ₃ ) (4.60) dove:

C ₁₀ = γ ₁ p ₁ p ₂ p ₃

G ₁₀ (4.61)

Il prodotto p ₁ p ₂ p ₃ consente di gestire il guadagno statico di C ₁ (s)G ₁ (s) mentre γ ₁ definisce la banda passante. Ricordandosi che la banda passante `e definita come la ω per cui localmente il prodotto C ₁ (s)G ₁ (s) si comporta come un integratore, si sceglie:

γ 1 = 10 20log10(10π)

20 = 31.416 (4.62)

I poli possono essere posti ad almeno una decade di distanza (verso le alte frequenze) da B Hz , in modo da non condizionare la fase del sistema nelle frequenze di funzionamento.

Per aumentare il margine di sicurezza, si `e scelto: p ₁ = 10 ⁴ , p ₂ = 2 · 10 ⁴ e p ₃ = 3 · 10 ⁴ .

Figura 4.23: Diagramma di Bode della funzione C 1 (s)G 1 (s).

In questo modo, i poli del sistema in anello chiuso sono reali e negativi: ci`o garantisce stabilit`a e assenza di overshoot nella risposta al gradino. In definitiva, in termini numerici, C ₁ (s) `e definito come di seguito:

C ₁ (s) = 0.0093 s ² + 2727.16s + 3749.27 · 10 ⁵

s ³ + 6 · 10 ⁴ s ² + 11 · 10 ⁸ s + 6 · 10 ¹² (4.63) Per la sintesi del controllore si `e fatto ricorso al Sisotool di Matlab ¹² . In Figura 4.23,

`e riportato il diagramma di Bode di C <sub>1</sub> G <sub>1</sub> come da interfaccia Sisotool. In questa Figura sono evidenziati i margini di ampiezza e di fase, rispettivamente pari a 54.5dB e 89.7 <sup>◦</sup> . Inoltre `e possibile osservare come il sistema si comporti localmente come un integratore per ω = 10π. Nella Figura 4.24 `e riportato il luogo delle radici con evidenziati i poli (quadrati) del sistema in anello chiuso, tutti sull’asse reale negativa. Inoltre sono evidenziati anche gli zeri (cerchi) complessi coniugati di C <sub>1</sub> (s) che hanno cancellato i poli complessi coniugati di G <sub>1</sub> (s). Nella Figura 4.25 `e riportato un dettaglio del diagramma di Bode del sistema in anello chiuso al fine di evidenziare la banda passante a −3dB.

12 Oltre al Sisotool `e stato utilizzato un file Matlab di supporto Sintesi del controllore.m il cui listato

`e riportato nell’APPENDICE C.

Figura 4.24: Luogo delle radici della funzione C 1 (s)G 1 (s).

Figura 4.25: Dettaglio del diagramma di Bode del sistema in anello chiuso.

4.5.3 Sintesi di C 2 (s)

La sintesi del controllore C ₂ (s) `e molto pi` u semplice, questo perch`e la G <sub>2</sub> (s) `e di fatti, a meno di una costante, un integratore. Per chiudere un anello di controllo a feed-back nega- tivo su un processo che `e un integratore con guadagno, e contemporanemente rispettare le specifiche definite precedentemente, `e sufficiente un controllore puramente proporzionale.

Quindi essendo G ₂ (s) = G ₂₀ /s, il controllore avr`a la seguente struttura:

C ₂ (s) = C ₂₀ = γ 2

G ₂₀ (4.64)

dove γ 2 , settato opportunamente, consente di rispettare il vincolo sulla banda passante:

γ 2 = γ 1 = 31.416; (4.65)

In definitiva si ha che:

C ₂ (s) = 31.416

5.41 · 10 ⁷ = 5.80 · 10 ⁻⁷ (4.66)

In Figura 4.26 sono riportati il diagramma di Bode ed il luogo delle radici di C ₂ G ₂ : il polo a ciclo chiuso `e sull’asse reale negativo, il margine di fase `e infinito e quello di ampiezza

`e −90 <sup>◦</sup> . In Figura 4.27 `e riportato il diagramma di Bode del sistema in anello chiuso: la banda a −3dB `e a ω = 10 · π.

4.6 Sviluppo dell’ambiente di simulazione

Sviluppare un ambiente di simulazione per il blocco di attuazione relativo al singolo ca- vo `e fondamentale per la sintesi del controllore. Infatti, la valutazione preliminare del controllore in un simulatore consente:

• di appurare l’effettivo rispetto di tutte quante le specifiche;

• la riduzione dei rischi di rottura dell’hardware come effetto di instabilit`a o oscillazioni dovute ad una non corretta scelta dei coefficienti del controllore;

• la verifica della robustezza del sistema ai possibili disturbi.

Figura 4.26: Diagramma di Bode e luogo delle radici di C 2 (s)G 2 (s).

Figura 4.27: Diagramma di Bode del sistema in anello chiuso.

Figura 4.28: Struttura generale del simulatore del blocco di attuazione in ambiente Matlab Simulink ^r .

Il simulatore, del blocco di attuazione e del controllore, `e stato realizzato in ambiente Matlab Simulink <sup>r</sup> . Il simulatore, la cui struttura `e riportata in Figura 4.28, `e costituito da 4 subsystem ¹³ .

I quattro sottosistemi, di seguito descritti nel dettaglio, sono: il Controller, la Chamber 1, la Chamber 2, e l’Hydraulic cylinder.

Il Controller (Figura 4.29) implementa:

• uno dei due controllori C ⁱ (s);

• la funzione U_electrovalve per la commutazione in tensione u del segnale di con- trollo 4q, in accordo alle (4.57 e 4.58);

• le funzioni Q_1 e Q_2 per la determinazione dei flussi q ¹ e q 2 a partire dalle pressioni P ₁ , P ₂ e dal valore di tensione u; si sottolinea come la tensione sia limitata nel range

−8.5 ÷ 8.5V , da un opportuno blocco di saturazione ¹⁴ ;

13 In Simulink un blocco Subsystem consente di raggruppare un insieme di funzioni che operano a partire da uno o pi` u ingressi e forniscono uno o pi` u uscite.

14 E opportuno notare che, in Simulink, per l’implementazione di una funzione si deve far ricorso all’u- `

Figura 4.29: Struttura del subsystem Controller.

La Chamber 1 e la Chamber 2 (Figura 4.30 e 4.31) implementano la dinamica delle pressioni nelle due camere, ovvero le relazioni (4.11) e (4.13), trascurando i termini di trafilamento parassito.

Il blocco Hydraulic cylinder implementa la dinamica del pistone descritta dalla (4.8):

il doppio blocco di integrazione consente di ottenere prima la velocit`a ˙x(t), e poi la po- sizione x(t) del pistone. Nell’implementazione si `e tenuto conto anche di una forza di pretensionamento di −20N.

4.6.1 Parametri della simulazione

Per le differenti simulazioni, sono stati adottati i seguenti Simulation Parameters (Figura 4.33):

• algoritmo di integrazione ode1 (Euler) di tipo Fixed-step, per approssimare al meglio la condizione di reale implementazione del sistema fisico: per un corretto funzion- amento del metodo di integrazione a passo fisso `e preferibile discretizzare tutti i blocchi integratori utilizzando il tool Model discretizer

tilizzo di blocchi MATLAB function con cui richiamare degli opportuni file .m (riportati in APPENDICE

C).

Figura 4.30: Struttura del subsystem Chamber 1.

Figura 4.31: Struttura del subsystem Chamber 2.

Figura 4.32: Struttura del subsystem Hydraulic cylinder.

Figura 4.33: Interfaccia grafica di Matlab Simulink per definire i parametri di simulazione.

• passo di campionamento T = 10 ⁻⁶ s, per poter simulare al meglio la dinamica del pistone;

• modalit`a di esecuzione Single-Tasking, per ridurre il rumore di simulazione.

4.6.2 Simulazione dei controllori C ₁ (s) e C ₂ (s)

Per verificare l’efficacia dei controllori C i (s) sono state condotte le seguenti simulazioni:

• inseguimento di un profilo di forza desiderata F d (t) = F ₀ + F _alt sin(2πf t), per f = 5Hz, F 0 = −50N e F ^alt = 30N ;

• risposta al gradino con commutazione da −20N a −60N;

• reiezione di un distubo di forza a gradino (in modulo pari a 30N) sulla catena diretta;

In Figura 4.34, 4.36 e 4.35 sono riportati gli andamenti della forza F (t) e di quella desiderata F d (t) nei tre casi sopra definiti sia per il controllore C ₁ (s) che per C ₂ (s). Da queste figure `e possibile verificare:

• il comportamento del tutto sovrapponibile dei due controllori, il che dimostra come

il blocco di attuazione si possa approssimare ad un integratore per frequenze relati-

vamente basse;

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

s

N

Forza vs Tempo (Sinusoide a 5 Hz)

Forza desiderata Forza con controllore C1 Forza con controllore C2

Figura 4.34: Risposta ad una sinusoide con frequenza 5Hz ed ampiezza pari a 30N .

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

s

N

Forza vs Tempo (Risposta al gradino)

Forza desiderata Forza con controllore C1 Forza con controllore C2

Figura 4.35: Risposta ad un gradino per la simulazione di una commutazione da −20N a −60N.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

−60

−50

−40

−30

−20

−10

s

N

Forza vs Tempo (Reiezione del disturbo)

Forza desiderata Forza con controllore C1 Forza con controllore C2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

−40

−30

−20

−10 0 10

s

N

Disturbo a gradino

Figura 4.36: Reiezione di un disturbo di forza a gradino sulla catena diretta.

• il rispetto della specifica sulla banda passante, infatti l’ampiezza della sinusoide a 5Hz viene attenuata da 30N a 21.28N , il che equivale ad una attenuazione di circa

−3dB e d’altra parte il tempo di salita nella risposta al gradino `e pari a circa 7·10 ⁻² s;

• il sistema reagisce al disturbo senza oscillazione e preservando la stabilit`a.

4.7 Validazione sperimentale del controllo di basso livello

Entrambi i controllori C ₁ (s) e C ₂ (s) sono stati validati direttamente sulla piattaforma

NEURArm. L’implementazione `e stata effettuata con una routine scritta con il software

Labview 8. Per l’implementazione i controllori sono stati discretizzati mantenendo l’in-

varianza al gradino (metodo di discretizzazione di tipo zero order hold). In altri termini

questo significa passare dalla variabile di Laplace s a quella z usata per la descrizione dei