Matematica Discreta
Lezione del giorno 19 gennaio 2009
Per schematizzare un cammino in un grafo, useremo una rappresentazione “lineare” in cui gli archi del cammino sono disegnati uno di seguito all’altro (eventualmente ripetendo i vertici che il cammino toccasse più volte).
Per esempio, nel grafo dei ponti, una rappresentazione lineare del cammino:
1=
ab, 2=
ba, 1=
ab, 5=
bdsarebbe la seguente:
a 1 b 2 a 1 b 5 d
Teorema di Eulero (sull’esistenza di cammini ciclici Euleriani). Sia dato un grafo senza vertici isolati. Allora:
esiste nel grafo un cammino ciclico Euleriano il grafo è connesso e tutti i vertici hanno grado pari.
Dimostrazione:
(): Per ipotesi esiste nel grafo un cammino ciclico Euleriano, che percorre tutti gli archi del grafo, ognuno 1 sola volta, e ritorna al vertice di partenza. Se gli archi percorsi in ordine da tale cammino sono a
1, a
2, …. , a
n, una rappresentazione lineare del cammino è la seguente:
v
1a
1v
2a
2v
3a
3v
4………… v
n-1a
n-1v
n