BB$ "B  B  B 1 2) Rappresentare graficamente una funzione che soddisfi alla seguente À a  b&amp

(1)

COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2002/03 Prova Intermedia Novembre 02-Compito 

1) Determinare il valore dei seguenti limiti: 1 2 1; 1 .

lim lim 3

BÄ0 BÄ∞

È Œ

& BB$

"B

 B  B

1

2) Rappresentare graficamente una funzione che soddisfi alla seguente À a  b& 0 $ & À0 B k k $ & Ê 0 B k k &.

3) Dati tre generici insiemi  ß e , valutare se e quale relazione insiemistica intercorre tra‚ l'insieme V  ÏV ∪‚ e l'insieme V Ï ∪‚ .

Ï indica la differenza tra insiemi e (..) il complementareV

4) Date le funzioni 0 e , si determini

0 B œ B  " ß 1 B œ " À B 0 2 B œ B

 " À B 

k k œ ^#

l'espressione delle funzioni composte: 0 1 2 B ß 1 2 0 B e 2 0 1 B .

5) Data 1 , facendo riferimento al campo d'esistenza ed alla invertibilità 0 B œ 1 /

Ê  /^sen_sen^B_B

della funzione 0 B œsen , determinare un intervallo a cui appartenga il punto B B œ 0 nel quale la funzione sia invertibile e se ne determini l'espressione della funzione inversa.

6) Sia œ  "ß "c d e sia data la relazione e À Ä così definitaÀ B Ce se k k k kB Ÿ C Þ Determinare le proprietà a cui soddisfa tale relazione.

7) Esaminare i punti di discontinuità della funzione sen 1 .

0 B œ B  B 

B B  $B  #

# 2

Prova Intermedia Novembre 02-Compito 

1) Determinare il valore dei seguenti limiti: 1 1; 1 .

lim lim

BÄ0 BÄ∞

È Œ

$ BB#

B"

 $B 

B #

1

2) Rappresentare graficamente una funzione che soddisfi alla seguente À a  b& 0 $ & À B k k $ & Ê 0 B k k &.

3) Dati tre generici insiemi  ß e , valutare se e quale relazione insiemistica intercorre tra‚ l'insieme V  ÏV ∩‚ e l'insieme V Ï ∩‚ .

Ï indica la differenza tra insiemi e (..) il complementareV

4) Date le funzioni 0 e , si determini

0 B œ B  " ß 1 B œ " À B 0 2 B œ B

 " À B 

k k œ ^#

l'espressione delle funzioni composte: 0 2 1 B ß 1 0 2 B e 2 1 0 B .

5) Data 1 , facendo riferimento al campo d'esistenza ed alla invertibilità 0 B œ 1 /

 /

È È

cos cos B B

della funzione 0 B œcos , determinare un intervallo a cui appartenga il punto B B œ 0 nel quale la funzione sia invertibile e se ne determini l'espressione della funzione inversa.

6) Sia œ  "ß "c d e sia data la relazione e À Ä così definitaÀ B Ce se k k k kB  C Þ Determinare le proprietà a cui soddisfa tale relazione.

7) Esaminare i punti di discontinuità della funzione 3 1. 0 B œ  "  B  #B 

B B  B  #

B #

2

Gennaio 03 Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B $^"BÞ

(2)

2) Data la funzione , se ne disegni il grafico, e si de- log

0 B œ

# À B   "

 B " " À  " Ÿ B Ÿ "

# #

B À "  B ÚÝ

ÛÝ Ü

B

terminino i punti in cui la funzione non è continua e quelli in cui non è derivabile.#

3) Data la funzione 0 B œlog " logB , determinare dove risulta invertibile e l'espressione della sua funzione inversa.

4) Determinare il valore di per il quale α lim esiste finito e diverso da zero.

BÄ!

B B

/  "

B

sen α

5) Determinare la funzione derivata della funzione 0 B œ $B  B  #ˆ ^# ‰^B^#^log^B.

6) Sapendo che la retta tangente al grafico di 0 B œ BlogB  B nel punto ha equazioneB_! C œ  ", trovare .B_!

7) Calcolare log d (1

È/ B

B B Þ

8) Verificare se è vero cheÀ B −V  ∩ ∪ Í B Â eB Â  .

9) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  $B  'C^$ ^$ ^# ^#, determinarne gli eventuali punti di massimo e di minimo.

10) Data la matrice ed il vettore , determinare il va-

1 1

0 1

1 1 1

œ —œ

 # B

5  B

 B

â â â â

"

#

$

lore di sapendo che 5  —† œ—, nonchè tutti i vettori che rendono vera tale uguaglianza.— Gennaio 03 Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ "  B † $ Þ^B

2) Data la funzione , se ne disegni il grafico, e si determi- log

0 B œ

# À B Ÿ !

" "

'B  # À !  B  $

B À $ Ÿ B

ÚÝ ÛÝ Ü

B

nino i punti in cui la funzione non è continua e quelli in cui non è derivabile.$

3) Data la funzione 0 B œlog logB  " , determinare dove risulta invertibile e l'espressione della sua funzione inversa.

4) Determinare il valore di per il quale α lim esiste finito e diverso da zero.

BÄ!

BB B

/  "

B

cos α

5) Determinare la funzione derivata della funzione 0 B œˆ4B  B ^# 3‰^B^sen^B.

6) Sapendo che la retta tangente al grafico di 0 B œ B^#log nel punto ha equazioneB B_!

C œ  " B

#/, trovare ._! 7) Calcolare arctg d

(!

"

#

B

"  B B Þ

8) Verificare se è vero cheÀ B ÂV  ∪ ∩ Í B Â oB Â  .

9) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  $B  *C^$ ^$ ^#, determinarne gli eventuali punti di massimo e di minimo.

10) Data la matrice ed il vettore , determinare il valore 1

0 1

1 1 1

œ —œ

7 $ B

"  B

 B

â â â â

"

#

$

di sapendo che 7  —† œ—, nonchè tutti i vettori che rendono vera tale uguaglianza.—

(3)

Febbraio 1-03 Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^#B /^B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti: e 1 sen ; 1

lim tg lim

BÄ B

# BÄ∞ #

B 0

  B

B Œ"  B Þ

$

3) Date le due funzioni 0 B œ B log e B 1 B œ Blog , determinare l'espressione delleB funzioni composte: 0 1 B , 1 0 B , 0 0 B e 1 1 B Þ

4) Determinare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione 0 B œ /  /^#B ^B nel punto B œ !, e trovare poi l'equazione della retta perpendicolare alla tangente nel punto di tangenza.

5) Calcolare ( d

"

∞

#

"

"  B B Þ

6) Si considerino le seguenti proposizioni:

 À 0 B è continua in ma non è derivabile in ;B_! B_!

 Àogni numero intero è il logaritmo in base di un numero reale;#

‚À se un punto è d'accumulazione per l'insieme allora è anche di frontiera per .— —

Dopo aver stabilito per ciascuna di esse se sia vera, oppure falsa, oppure talvolta vera e talvolta falsa, stabilire verità e falsità della proposizioneÀ Ê‚ e ‚Ê .

7) Dati —œ Bß " ß œ / / e ˜œ , determinare i valori di che risolvo-B

 B B

"

l l ºº ^B^# ^Bºº ºº ºB º no l'equazione —  ˜† † œ ! Þ

8) Data la funzione 0 B œ #senB cos$B, se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di terzo grado.

9) Si calcoli lim e si verifichi, mediante la definizione di limite, il risultato trovato.

BÄ!/^B#¹

10) Data la funzione 0 Bß C œ B  %B  &B  C  C^$ ^# ^# ^$, determinarne gli eventuali punti di massimo e di minimo.

Febbraio 1-03 Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^#B /^B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti: e 1 tg ; 1

lim sen lim

BÄ B

# BÄ∞ $

B 0

  B

B Œ"  B Þ

#

3) Date le due funzioni 0 B œ /  B^B e 1 B œ B /^B, determinare l'espressione delle funzioni composte: 0 1 B , 1 0 B , 0 0 B e 1 1 B Þ

4) Determinare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione 0 B œ /  /^#B ^B nel punto B œ !, e trovare poi l'equazione della retta perpendicolare alla tangente nel punto di tangenza.

5) Calcolare ( d

!

∞/"$B B Þ

6) Si considerino le seguenti proposizioni:

 À 0 B è derivabile in ma non è continua in ;B_! B_!

 Àogni numero naturale è esprimibile come potenza in base di un numero reale;#

‚À un punto è d'accumulazione per l'insieme ed è anche interno a .— —

Dopo aver stabilito per ciascuna di esse se sia vera, oppure falsa, oppure talvolta vera e talvolta falsa, stabilire verità e falsità della proposizioneÀ Ê‚ e ‚Ê .

(4)

7) Dati e , determinare i valori di che risol-

—œ "ß B ß œ logB  B ˜œ B

B B

B

"

l l ºº ^#ºº ºº ºº

vono l'equazione —  ˜† † œ ! Þ

8) Data la funzione 0 B œ $cosB sen#B, se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di terzo grado.

9) Si calcoli log 1 e si verifichi, mediante la definizione di limite, il risultato trovato.

BÄ!lim ŒB#

10) Data la funzione 0 Bß C œ B  B  C  #C  C^$ ^# ^# ^$, determinarne gli eventuali punti di massimo e di minimo.

Febbraio 2-03 Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /  "Þ /

$B B

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: lim ; lim

BÄ BÄ∞

BB 0 "  $B ^#^B "  B ^#Þ

3) Determinare in quale punto e per quale valore del parametro la retta B_! 5 C œ 5  B è tangente alla funzione 0 B œ /^#BÞ

4) Dire se è applicabile il Teorema di Lagrange o del Valor Medio alla funzione 0 B œlog nell'intervallo B c d"ß / , traendo, se del caso, le opportune conseguenze.

5) Dopo aver disegnato il grafico della funzione 0 B œ , dire do-

 B À B Ÿ  "

#  B À  "  B  "

"

B À " Ÿ B ÚÝ

Ý ÛÝ ÝÜ

#

ve tale funzione è continua, dove è derivabile, dove è crescente e dove è convessa.

6) Trovare almeno una funzione 0 B per la quale sia vero che 0 B µ sen per B B Ä ! e 0 B œ 9 B per B Ä  ∞ Þ

7) Determinare se esiste ( d

!

∞B /$B^# B Þ

8) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  $B  #(C^$ ^$ , determinarne gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo.

9) Date le matrici e , fate le vostre osservazioni sul ri 1

œ œ

" # $ ! " !

% & ' " ! !

( ) * ! !

â â â â

â â â â -

sultato dei prodotti  † e  † .

10) Dati tre generici insiemi , e , verificare se è vero che   ‚ c  ‚Ï Ï  Ï d §. Febbraio 2-03 Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /  "Þ /

B

#B

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: lim ; lim

BÄ BÄ∞

B B 0 "  #B ^"^B B  " ^# Þ

3) Determinare in quale punto e per quale valore del parametro la retta B_! 5 C œ 5  B è tangente alla funzione 0 B œ /^"BÞ

4) Dire se è applicabile il Teorema di Lagrange o del Valor Medio alla funzione 0 B œ /^B nell'intervallo c "ß "d, traendo, se del caso, le opportune conseguenze.

(5)

5) Dopo aver disegnato il grafico della funzione , dire log

0 B œ

 B  " À B Ÿ  "

B  " À  "  B  "

B À " Ÿ B Ú

ÛÜ

#

dove tale funzione è continua, dove è derivabile, dove è crescente e dove è convessa.

6) Trovare almeno una funzione 0 B per la quale sia vero che 0 B µ cos per B B Ä ! e 0 B œ 9 B per B Ä  ∞ Þ

!

∞

B /B B Þ

8) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  "#B  $C^$ ^$ , determinarne gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo.

9) Date le matrici œ e œ , fate le vostre osservazioni sul ri

" # $ " ! !

% & ' ! ! "

( ) * ! " !

â â â â

â â â â -

sultato dei prodotti  † e  † .

10) Dati tre generici insiemi , e , verificare se è vero che   ‚ c  ‚Ï Ï  Ï d §. Giugno 1-03

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B /^B^#Þ 2) Determinare se esiste ( d

!

∞B /B^# B Þ

3) Determinare il valore dei seguenti limiti: cos ;

lim sen lim

BÄ # BÄ∞

B 0

"  &B "

B Œ"  B Þ

#

4) Data 0 B œ B " ^$ logB ^%, determinarne gli eventuali punti di massimo e minimo, sia relativi che assoluti.

5) Determinare l'equazione della retta tangente nonchè l'espressione del polinomio di Taylor di II grado per la funzione 0 B œ log^#B nel punto B œ / Þ

6) Data la matrice œ ed il vettore —œ , calcolare  —† e

$  " " "

! # ! "

"  " $ !

â â â â

  —† † . Quale relazione intercorre tra i due risultati ?

7) Data , determinarne il campo d'esistenza e verificare

0 À Ä ß 0 Bß C œ log B  C B  C

‘^# ‘ È

se esiste f0 "ß " Þ

8) Date le due proposizioni:

Àse è punto interno ad B_! §‘ allora è punto di accumulazione per ;B_! 

Àse è punto di frontiera per B_! §‘ allora è punto di accumulazione per ;B_!  stabilire se la proposizione c Ê o non Ê d risulta vera o falsa.

9) Data l'equazione 0 B œ B  / œ !^$ ^B , verificare, mediante il Teorema degli zeri, che essa ammette almeno una soluzione, verificando poi, mediante lo studio della monotonia, che tale soluzione è anche unica.

10) Data 0 B œ B², sapendo che d0 B_! œ $ per un incremento dB œ !ß &, si trovi .B_! Giugno 2-03

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /  #. /  $

B B

(6)

2) Data la funzione 0 B œ /  #, anche usando i risultati dell'esercizio precedente, si de- /  $

B B

termini dove la funzione risulta invertibile, nonchè l'espressione, il dominio e il codominio dell'inversa.

3) Determinare il valore dei seguenti limiti: log cos ;

lim log lim

BÄ BÄ∞

B #

B $

0^

"  B $  B

B #  B Þ

4) Data la funzione 0 B œ (B  )B⁾ ⁽, se ne determini la natura dei suoi punti stazionari nonchè gli eventuali punti di flesso.

5) Data 0 B œsen , invece di calcolare B 0 se ne calcoli un valore approssimato usan- Š ‹1$

do la differenziabilità della funzione data nel punto B œ . Quanto vale l'errore che si com-

% 1 mette ?

∞

∞ $

%

B

"  B B Þ

7) Dato il vettore —œ "ß #ß  # , trovare tutti i vettori, paralleli ad e di modulo pari a .— "

Trovare poi almeno un vettore perpendicolare a e di modulo pari a — È#Þ

8) Data 0 À‘^# Ä‘ß 0 Bß C œ B  %BC  C^% ^%, determinarne gli eventuali punti di massimo e di minimo.

9) Dati tre generici insiemi , e , si determini quale relazione insiemistica intercorre tra  ‚ l'insieme ∪‚ Ï e l'insieme Ï ∩‚ .

10) Determinare, anche graficamente, la soluzione della disequazione: ¸B  " Ÿ #B^# ¸ k k, de- terminando anche se tale soluzione costituisce un insieme aperto o chiuso, limitato o illimita- to.

Luglio 03

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ Blog^$B.

2) Data 0 Bß C œ BlogB  Clog , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o diC minimo.

3) Data 0 B œ /^{B B}^$ ^#, determinarne gli eventuali punti di massimo e di minimo, stabilendo anche se questi risultano assoluti o relativi. Quanti sono, al minimo, i punti di flesso della funzione ?

4) Calcolare il valore dei limiti: ;

sen sen sen log

lim lim log

BÄ

# $ B # $

# $ BÄ∞ B $ #

0

B  B  B #  B  B

B  B  B #  B  BÞ

5) Data la matrice œ e il vettore —œ "ß #ß  $ , si determini il valo-

$ " "

# % #

"  &  "

â â

re del parametro per cui vale l'uguaglianza 5  —† œ 5—. Per quali valori di il vettore 5 5— ha il modulo pari a ?"

6) E' vero o no che  Ï œÏ  Ï ? 7) Calcolare ( log d .

"

/

B  B B

8) Determinare l'espressione del polinomio di Mac Laurin di ° grado di $ 0 B œ /^BB^#. 9) Disegnare il grafico di una funzione 0 B che soddisfa alle seguenti due condizioni:

a) 0a  b& $ & À B k k $ & Ê 0 Bß C  àk k &

b) 0a  b& $ & À B k k $ & Ê 0 Bß C k k &.

(7)

10) Una volta verificata l'applicabilità del Teorema di Lagrange alla funzione 0 B œ B^# nel- l'intervallo c d!ß ", si scriva l'equazione delle due rette, la secante e la tangente, oggetto del Teorema.

Settembre 1-03

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlog "  /^B . 2) Calcolare il valore dei limiti: sen ; log log

lim lim

BÄ∞ BÄ∞

# # #

B " B  # B Þ

B B  B

3) Determinare tutti gli asintoti per il grafico della funzione log .

0 B œ B  B

B

#

4) Data la funzione 0 B œ #B  $B^' ^%, studiarne i punti stazionari nonchè i punti di flesso.

5) Date le due funzioni 0 B œ /^B e 1 B œ B^#, si determini il punto d'incontro delle tangenti al grafico di tali funzioni nel punto B œ ".

6) Calcolare ( cos sen d .

!

1

%

B  B B

7) Data 0 Bß C œ B /^{$ BC #C}^# , verificare che tale funzione presenta un punto di minimo.

8) Determinare se esistono valori di per cui 5 † œ

" 5 $ "

$ " 5  "

5 $ " !

â â â â â â

â â â â â

ââââ ââ

 "

5

 "

. 9) Date le tre proposizioni:

À 0 B œ " a B −‘à

la funzione B è continua

 Àla funzione 1 B œ Bk k non è sempre derivabileà

‚ Àse due funzioni sono derivabili, anche il loro prodotto è una funzione derivabileà determinare verità o falsità della proposizioneÀ  9 Ê non ‚9 .

10) Data 0 B œ /^$B", si determini l'espressione del polinomio di Taylor di III^ grado di tale funzione nel punto

B œ 3"Þ

Settembre 2-03

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^BˆB  "^# ‰. 2) Calcolare il valore dei limiti: log ;

lim lim

BÄ! # BÄ∞ B B

B B B B

"  B  B #  #  $  $

B $  # Þ

3) Si determini l'equazione della retta tangente alla funzione 0 B œ B^# in un generico punto B_!. Sapendo che tale retta tangente passa anche per il punto #ß $ , si determinino i possibili valori di .B_!

4) Data la funzione 0 B œlogB log "  B , dopo averne determinato il campo d'esistenza, studiare dove la funzione è convessa.

5) Calcolare ( d .

!

" #

$

#B

"  B B

6) Dopo aver determinato l'espressione del Polinomio di Mac Laurin di III° grado per la funzione 0 B œ / ^B cos , si verifichi se è vero che B 0 B µ B^# per B Ä !.

7) Date le funzioni 0 B œ B^#, 1 B œ B e 2 B œsen , si determini l'espressione delleB funzioni composte , , 0 1 2 B 2 1 0 B 0 0 0 B e .2 1 1 B

8) Data 0 Bß C œ B  $B ^$ ^# log^#C, dopo averne studiato il campo di esistenza, si determini la presenza di eventuali punti di massimo e/o di minimo.

(8)

9) Data la matrice  œ , , si determini sotto quale condizione per i parametri e ri-+ ,

»»+ »»

"

$ #

$

sulta che  † œ.

10) Dati tre generici insiemi , e , si determini la relazione insiemistica che intercorre tra  ‚ l'insieme V Ï ∪‚ e l'insieme V ∩‚ Ï.

Dicembre 03

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlogˆB  "^# ‰.

2) Si determini il punto in cui si incontrano le rette tangenti nei due punti di flesso al grafico della funzione 0 B œ logˆB  "^# ‰.

3) Calcolare il valore dei limiti: ;

arctg sen

lim lim log

BÄ!

B # B

BÄ∞ $

#  " B  "  B  #

B B  B  $ Þ

sen

4) Determinare dove risulta convessa la funzione 0 B œ B †^# log^%B.

5) Si determini, per la funzione 0 B œ È^$ "  B^%, l'espressione del Polinomio di Mac Laurin di II grado. Può essere utile tale polinomio ?

6) Calcolare ( d .

!

"

#

"  B

"  B B

7) Data 0 Bß C œ /  B #C  C^B ˆ ^#‰, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

8) Date œ " #  " , œ e ‚œ " # , calcolare   ‚† †

 " # " # "

# #

"  "

 " "

ºº ºº ºº ºº

â â

e ‚  † † . Quali osservazioni si possono fare su tali risultati ?

9) Data log , determinare dove essa risulta invertibile nonchè l'espressione 0 B œ logB  #

B  "

della sua funzione inversa.

10) Dati tre generici insiemi , e , verificare se   ‚ c ∪ Ï‚d c∩ ∪‚ Ïd è un sotto- insieme di oppure di oppure di .  ‚

BB$ &#34;B  B  B 1 2) Rappresentare graficamente una funzione che soddisfi alla seguente À a  b&amp

BB$ "B  B  B 1 2) Rappresentare graficamente una funzione che soddisfi alla seguente À a  b&amp