5. MODELLO EULERIANO

(1)

5. MODELLO EULERIANO

5.1 LE BASI TEORICHE 5.1.1 Le equazioni

La base teorica di ogni modello di tipo euleriano è l’equazione che esprime il bilancio istantaneo di massa scritta per le varie sostanze inquinanti che si è interessati a simulare. Se si considerano N specie inquinanti, per una generica sostanza i-esima tale equazione risulta essere, una volta trascura la diffusione molecolare, la seguente:

( ) ( ) ( )

i

(

N

)

i i

i

i R c c c E S

z wc y

vc x

uc t

c = + −

∂ +∂

∂

∂ ₁, ₂_,..., [5.1]

In questa equazione il termine R_i, che a priori dipende dalla concentrazione istantanea di tutte le sostanze presenti, rappresenta sinteticamente tutta la cinetica chimica considerata, mentre il termine E_i rappresenta le sorgenti di inquinanti ed il termine S_i tiene conto globalmente di tutti i processi di rimozione che hanno luogo in atmosfera. Va subito rilevato che la generica concentrazione ci è una concentrazione molare (espressa quindi come moli⋅m^-3). Ovviamente si hanno tante equazioni quanti sono le specie inquinanti ed il sistema è chiuso se è noto il campo di vento.

Nel Cap.2 si è spiegata la ragione dell’impossibilità dell’impiego diretto di questa equazione e della necessità di utilizzare l’ipotesi di Reynolds secondo cui ogni variabile (anche la concentrazione dei vari inquinanti, quindi) risulta pari alla sovrapposizione di un valore medio lentamente variabile nel tempo ed una fluttuazione turbolenta a media nulla. Applicando tale ipotesi e facendo la media, dopo alcune semplificazioni (Seinfeld e Pandis, 1998) si ottiene la relazione seguente:

(

N

)

i i

i

i i

i i i

i i

S E c c c R

y c v y

c v x

c u x

w c x v c x u c t c

− +

=













∂ +∂

∂

− ∂



 





∂ + ∂

∂

..., ,

' '

'

2 1

' '

'

[5.2a]

Analizzando questa equazione si possono fare le osservazioni seguenti:

• il primo termine a sinistra rappresenta l’evoluzione nel tempo della concentrazione media,

• il secondo termine a sinistra rappresenta il trasporto dell’inquinante causato dal moto medio delle masse d’aria (avvezione),

• il terzo termine rappresenta l’interazione con la turbolenza atmosferica e viene indicato col termine diffusione turbolenta,

• il primo termine di destra, che rappresenta globalmente le reazioni chimiche, dipende, con le limitazioni sottolineate da Seinfeld e Pandis (1998), dalla concentrazione media delle varie specie inquinanti.

(2)

Anche in questo caso si hanno tante equazioni quante sono le sostanze inquinanti considerate, tuttavia in questo caso, anche se si ipotizza di conoscere il campo medio del vento, il sistema non è chiuso per la presenza delle covarianza tra le componenti della velocità del vento e la concentrazione, cioè dei flussi turbolenti.

Si è ritornati al problema già studiato a proposito del modello di PBL ed anche in questo caso ciò che consente a questo modello differenziale di poter essere usato in concreto è la sua chiusura. Anche se sono possibili soluzioni di elevato grado di complessità e di notevole realismo, è consueto chiudere queste equazioni con relazioni del primo ordine che esprimono i flussi turbolenti sulla base del gradiente locale della concentrazione, in pratica relazioni di chiusura di tipo K:

x K c c

u _i _xx ⁱ

∂

− ∂

=

' '

y K c c

v _i _yy ⁱ

∂

− ∂

=

' '

z K c c

w _i _zz ⁱ

∂

− ∂

=

' ' [5.2.b]

dove i coefficienti Kxx, Kyy e Kzz sono i coefficienti di diffusività turbolenta. Con questa ipotesi il modello euleriana K per il trasporto e la dispersione degli inquinanti è costituito dal sistema seguente:

(

N

)

i i

i

i zz i

yy i

xx i i

i i

S E c c c R

y K c z y K c y x K c x

x w c x v c x u c t c

− +

+













∂

∂ + ∂













∂

∂ + ∂













∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

..., ,

2 1

' '

'

[5.2c]

dove i = 1,2,..,N. In questo sistema di equazioni, oltre al campo medio del vento ottenibile da un modello di PBL, sono presenti come variabili solo la concentrazione media dei vari inquinanti e quindi tale sistema è chiuso e teoricamente risolubile. La sua risoluzione produrrà la distribuzione spazio- temporale di ciascun inquinante considerato in ogni punto di un opportuno dominio di calcolo. Da ultimo va rilevato che, se non si considera la chimica dell’atmosfera (e ciò è giustificato quando si sta simulando la dispersione di un inquinante chimicamente poco reattivo), ogni singola equazione del sistema risulta indipendente dalle altre e può essere risolta separatamente. Per semplicità, nel seguito si considererà questo caso particolare, salvo riprendere in considerazione il problema nel suo complesso nel Cap.8.

5.1.2 Il dominio di calcolo e le coordinate

Se si trascura la chimica (o che è lo stesso, se si considera un inquinante poco reattivo) il suo modello euleriana di dispersione in aria è costituito da una delle equazioni (2.5c). tale equazione verrà risolta in generale numericamente in un dominio di calcolo opportuno. Tale dominio di calcolo può essere visto, in generale, come una porzione di spazio di forma parallelepipeda avente come superficie inferiore il suolo, come superficie superiore una superficie piana posta ad una quota o coincidente o superiore alla sommità del PBL. Supponendo per il momento che la superficie inferiore sia piana, per ragioni connesse coi metodi numerici usati per la risoluzione dell’equazione del trasporto e della diffusione, a tale dominio di calcolo sarà sovrapposta una griglia regolare tridimensionale che lo ripartirà in celle elementari aventi spigoli ∆x, ∆y e ∆z nelle tre direzioni coordinate.

(3)

La frontiera inferiore, raramente sarà una superficie piana; in generale sarà presente dell’orografia che può essere rappresentata matematicamente mediante la quota orografica:

( )

^x ^y

h

Z= , [5.3]

E’ possibile mantenere le coordinate cartesiane anche quando è presente l’orografia (Fig.5.1a), anche se molto scomodo, visto che alcune celle del dominio di calcolo risulterebbero localizzate al di sotto del suolo. Normalmente si preferisce realizzare una trasformazione di coordinate in cui le coordinate orizzontali restano inalterate, mentre la coordinata verticale, in qualche modo, cerca di seguire le irregolarità orografiche. Questa famiglia di coordinate prende il nome di coordinate terrain-following. Se si ipotizza che la superficie superiore del dominio di calcolo stia alla quota assoluta (rispetto al livello del mare) H e se si indica con z la quota assoluta (rispetto al livello del mare), una possibile trasformazione della coordinata verticale è la seguente:

( ) ( )

^x ^y

h H

y x h z

, ,

−

= −

ζ [5.4a]

e si adotta tale trasformazione, ζ varia tra 0 alla base e 1 alla sommità del dominio di calcolo.

Una trasformazione decisamente più semplice è la seguente:

( )

^x ^y

h z

z'= − , [5.4b]

La proprietà più interessante di questa trasformazione, al di là della sua semplicità analitica, sta nel fatto che z’ mantiene le coordinate di un’altezza e non è un numero tra 0 e 1. In Fig.5.1 è presentato tutto ciò nel caso di un dominio bidimensionale.

Fig.5.1: coordinate terrain-following. a) orografia in coordinate cartesiane, b) trasformazione (5.4a); c) trasformazione (5.4b); d) risultato ottenuto dopo la trasformazione (Seinfeld e Pandis, 1998)

Queste trasformazioni inducono un cambio di espressione e di significato alla componente verticale del vento. In particolare, le componenti cartesiane (u,v,uz) si trasformeranno nelle componenti (u,v,w). Se si considera la trasformazione (5.4a) si ha che:

(4)



 





∂

∆

− ∂



 





∂

∆ + ∂

∂

⋅ ∂

−



 





∂

∆ + ∂

∂

⋅ ∂

−

∆ ⋅

= t

z H y z H y v h x z H x u h H u

w 1 _z

[5.5a]

dove ∆H = H - h(x,y). Nel caso, invece, si utilizzi la (5.4b), si ha che:

y v H x u H u

w _z

∂

∆

⋅∂

∂ −

∆

⋅∂

−

= [5.5b]

la trasformazione di variabili produce un’alterazione anche nell’espressione del coefficiente di diffusività turbolenta verticale. In effetti, nel caso si adotti la (5.4a), si ha che:

H2

K

K_ζζ = _zz ∆ [5.5c]

mentre l’adozione della (5.4b) non comporta alcun tipo di variazione nel coefficiente di diffusività verticale.

5.1.3 La concentrazione in termini di mixing ratio

Fin qui la concentrazione utilizzata nelle equazioni precedenti è sempre stata espressa in termini di concentrazione molare. Spesso, tuttavia, si utilizza il concetto di rapporto di mescolanza (mixing ratio) ξ_i al posto della concentrazione molare c_i (per una sostanza i). Il rapporto tra le due quantità è dato da:

aria

i c

=c

ξ [5.6a]

Rimandando a Seinfel e Pandis (1998) per i dettagli, l’equazione del trasporto e della diffusione della sostanza i con la chiusura K si trasforma nel modo seguente se si utilizza il concetto di mixing ratio:

(

N

)

i i

i

zz yy

xx

S E c c c R

K y z K y

y K x

x w x v x

u x t

− +

+



 



 



 





∂

∂ + ∂



 





∂

∂ + ∂



 





∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

..., ,

1

2 1

ρ ξ ρ ξ

x y t

)

c _x, , , = _y₁ , ,

dove Lx e Ly sono rispettivamente l’estensione massima dell’asse x e y nel dominio di calcolo.

Sfortunatamente è praticamente impossibile conoscere i campi di concentrazione delle varie sostanze in tutti i punti della frontiera laterale ed anche in questo caso risulta quindi indispensabile dedurle dalle poche misure disponibili, localizzate quasi esclusivamente al suolo.

A differenza delle condizioni iniziali però, le condizioni al contorno, specialmente quelle sopravvento continuano ad influenzare tutta la simulazione senza mai calare il proprio effetto.

Proprio per questo è conveniente porre i confini laterali del dominio di calcolo in luoghi relativamente puliti (caratterizzati da bassi valori di concentrazione) dove gli eventuali errori di stima dovrebbero essere di ridotta intensità.

La trattazione delle condizioni sulla frontiera superiore ed inferiore è notevolmente differente.

Normalmente si sceglie una riflessione totale alla sommità del PBL se esso coincide con la sommità del dominio di calcolo, ottenendo la condizione seguente:

=0









∂

=H z

zz z

K c [5.9a]

Una formulazione più realistica è la seguente:

( )

[ ]











≤

=









∂

 >









∂

= ∂

=

−

= ⋅

0 per 0

0 per

z zz

a H z

z u K c

z u K c H z c c u

[5.9b]

dove cia è la concentrazione dell’inquinante considerato sopra il dominio di calcolo.

(6)

Per quanto riguarda la frontiera inferiore, una condizione che tiene conto contemporaneamente sia delle sorgenti al suolo che dei processi di deposizione è la seguente:

i zz

d E

z K c c

v =









∂

− ∂ [5.10]

5.2 METODI NUMERICI DI RISOLUZIONE

In questa sede non è possibile trattare compiutamente il problema della risoluzione numerica di questo tipo di sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali. Approfondimenti su tale tema possono essere trovati in Jacobson (2000). Qui ci si limiterà ad una esposizione puramente elementare e didattica, per il momento limitata al solo caso in cui non siano presenti le relazioni chimiche. In questo caso, come si è visto, le singole equazioni che compongono il sistema (una per ciascun inquinante) risultano disaccoppiate e ciò ci permette di considerarne una alla volta.

Oltre a ciò, per semplicità di notazione con c si designerà la concentrazione media dell’inquinante in esame. Sempre per semplicità espositiva, si ipotizza che il suolo sia privo di orografia.

Il primo passo della risoluzione numerica è costituito dalla definizione di un sistema di assi cartesiani ortogonali che segue le convenzioni aeronautiche e dalla definizione di un appropriato dominio di calcolo, con i lati orientati secondo gli assi coordinati, che normalmente:

• ha la forma di un parallelepipedo regolare,

• ha un’estensione orizzontale normalmente piuttosto ampia (dell’ordine, per esempio di 10 x 100 km)

• ha un’estensione verticale che comprende sicuramente tutto il PBL e una parte più o meno rilevante dell’atmosfera libera.

Il modo più semplice per organizzare il dominio di calcolo è quello di porre l’origine del sistema di riferimento nell’angolo SW del dominio stesso.

Il dominio di calcolo viene suddiviso in celle elementari normalmente regolari di lato ∆x, ∆y,

∆z e tutti i calcoli che si realizzeranno verranno riferiti al centro di ciascuna cella. Ogni cella sarà definita da tre indici i, j, k che hanno il significato seguente:

• la cella sta nella posizione i rispetto all’asse x (in direzione Est)

• la cella sta nella posizione j rispetto alla direzione y (nella direzione Nord)

• la cella sta nella posizione k rispetto al suolo e pertanto le coordinate del suo centro risultano pari a:

( ( ) )

(

¹¹

)

²²

2 1

z z k

z

y y j

y

x x i

x

∆ +

∆

⋅

−

=

∆ +

∆

⋅

−

=

∆ +

∆

⋅

−

=

[5.11]

Oltre che lo spazio, anche il tempo viene quantizzato e pertanto i calcoli vengono realizzati in corrispondenza di ogni istante t_n dove t_n = t_n-1 + ∆t, dove ∆t, l’intervallo tra due calcoli consecutive, è il time-step di calcolo.

(7)

L’equazione che si prende a riferimento è la (5.2c) in cui si trascura il termine che tiene conto delle trasformazioni chimiche. Tale equazione presenta alcuni termini tipici:

• la derivata rispetto al tempo della concentrazione che rappresenta l’evoluzione prognostica del fenomeno di dispersione, cioè la sua evoluzione nello spazio e nel tempo;

• i tre termini avvettivi (uno per ciascuna direzione) che rappresentano il trasporto dell’inquinante dovuto al moto medio delle masse d’aria. Va notato che il termine di trasporto verticale normalmente è molto inferiore agli altri e viene quindi trascurato;

• i tre termini che descrivono la diffusione turbolenta (il principale è normalmente il termine verticale);

• il termine di sorgente che rappresenta l’introduzione di inquinante nel dominio di calcolo.

La presenza contemporanea di tutti questi termini produce una complicazione numerica molto elevata, dato che il calcolo Numerico ha messo a punto metodi specializzati per problemi differenziali alle derivate parziali o solo di trasporto o solo di diffusione. Per questo è stato necessario mettere a punto metodi di soluzione numerica in grado di trattare contemporaneamente sia i termini avvettivi che quelli diffusivi in modo abbastanza efficiente e con risultati caratterizzati da una sufficiente precisione.

La maggior parte dei metodi impiegati si basa sul Metodo delle Differenze Finite che ha il compito di approssimare le varie derivate parziali presenti attraverso rapporti incrementali realizzati in maniera tale che sia noto e garantito l’errore di approssimazione intrinseco ad ogni schema di discretizzazione.

Questo metodo opera nel modo seguente:

• si consideri un generico istante tn. A questo istante sia nota la concentrazione C in _ijkⁿ ogni cella della griglia di calcolo di indici i,j,k;

• all’istante t_n+1= t_n+∆t, la concentrazione nella cella (i,j,k) viene calcolata col metodo fractional time. Secondo tale metodo si immagina che i fenomeni rappresentati dai differenti termini presenti nell’equazione agiscano uno dopo l’altro in successione, cioè:

1. si emette l’inquinante dalle sorgenti attive presenti entro il dominio di calcolo, 2. si calcola il trasporto lungo l’asse x,

3. si calcola il trasporto lungo l’asse y,

4. si calcola il trasporto lungo l’asse z (se necessario), 5. si calcola la diffusione lungo la direzione x, 6. si calcola la diffusione lungo la direzione y, 7. si calcola la diffusione lungo la direzione z.

Questo metodo sostituisce quindi all’equazione originaria del trasporto e della diffusione un insieme di equazioni molto più semplici e per cui sono noti metodi numerici di risoluzione robusti ed efficienti. Ciascuna di queste equazioni viene risolta usando come condizione iniziale proprio il campo elaborato dall’equazione che la precede nella lista. Il campo prodotto dall’ultima delle equazioni della lista (in questo

(8)

caso l’equazione del trasporto in senso verticale) è la concentrazione finale prevista per l’istante t_n+1.

Molti sono gli schemi numerici che sono stati proposti per risolvere adeguatamente i singoli problemi parziali della lista. Qui di seguito vengono presentati alcuni di essi con intenti puramente didattici, senza peraltro considerarli opportuni per una pratica applicazione. Una descrizione finalizzata agli schemi più adatti all’applicazione pratica, si faccia riferimento a Jacobson (2000).

5.2.1 Il termine di sorgente

In ciascuna cella del dominio di calcolo al tempo t_n è nota la concentrazione C_iⁿ_,_j_,_kche è il risultato finale del passo temporale precedente. Il termine di sorgente opera su tale campo e calcola il primo campo intermedio risolvendo l’equazione:

( ) (

t x x_s

) (

y y_s

) (

z z_s

)

t S

C = − − −

∂

∂ δ δ δ [5.12a]

dove S(t) è l’emissione, variabile nel tempo, della sorgente localizzata alle coordinate (xs,ys,zs) e δ è la funzione Delta de Dirac. La soluzione numerica di questa equazione può essere la seguente:

• in ogni cella in cui risiede una sorgente di inquinante, il campo intermedio risulterà pari a:

z y x t Q C

C_i_j_k _iⁿ_j_k ⁱ^j^k

∆

∆ ∆ +

= _, _, ^, ^,

) 1 (

,

, [5.12b]

dove Q_i,j,k è la quantità di inquinante che la fonte emette entro la cella.

• in tutte le celle in cui non sono localizzate delle emissioni:

n k j i k j

i C

C⁽_,¹⁾_, = _, _, [5.12c]

Qui si vede immediatamente la limitazione del modello euleriana: l’intera emissione di una sorgente viene rimescolata istantaneamente nella cella in cui si trova e pertanto risulta impossibile stimare le variazioni del campo di concentrazione nei pressi delle sorgenti. Questo errore si propaga, poi nelle celle circostanti, determinando un campo di concentrazione in diminuzione con l’allontanarsi dal punto di emissione. Tale errore risulta maggiore per le sorgenti di tipo puntuale e molto meno per le sorgenti di tipo area, soprattutto quando l’estensione orizzontale della sorgente è dell’ordine di grandezza dell’estensione orizzontale della cella di calcolo.

5.2.2 Il Trasporto in direzione x

A questo punto si considera il trasporto dell’inquinante lungo la direzione x dato dall’equazione:

x U C t C

∂

− ∂

∂ =

∂ [5.13a]

dove U è la componente media del vento lungo l’asse x.

(9)

Lo schema numerico opera sul campo intermedio C⁽¹⁾, generando un nuovo campo intermedio C⁽²⁾. Sono molti i modi per fare ciò e nessuno veramente convincente fino in fondo (questo è uno dei problemi di più difficile soluzione della parte di analisi numerica dedicata alle equazioni differenziali alle derivate parziali). Uno dei più semplici porta all’equazione seguente:









∆ <

−

∆ >

−

•

−

∆ =

−

+

−

0 U si

) 1 ( ) 1 (

1 ) 1 (

1 ) 1 ( )

1 ( ) 2 (

x C

C x

C C t U

C C

ijk jk i

jk i ijk ijk ijk

ijk [5.13b]

dove Uijk è la velocità del vento lungo la direzione x nella cella ijk. Si può dimostrare che questo schema numerico è stabile solo se:

1

|

|U_ijk ∆t ∆x≤ [5.13c]

Se non si verifica questa condizione, è necessario utilizzare in alternativa uno schema differente come per esempio il seguente:

(

⁽²1⁾ ⁽¹⁾

)

) 1 (

1 ) 2 (

ijk jk i ijk jk i

ijk C C

t U C x

C −

∆

− ∆

= ₋ ₋ [5.13d]

Alla fine viene ricostruito il campo C⁽² che sarà la base su cui operare col prossimo operatore differenziale.

5.2.3 Il Trasporto nelle direzioni y e z

Il trasporto lungo la direzione y ha luogo subito dopo nello schema numerico considerato e si basa sull’equazione:

y V C t C

∂

− ∂

∂ =

∂ [5.13e]

per la cui risoluzione si può usare lo schema numerico visto a proposito del trasporto nella direzione x, generando alla fine il campo intermedio C⁽³⁾. Anche se a rigore si dovrebbe a questo punto tener conto del trasporto nella direzione verticale, dato che in generale essa è di piccola entità, è possibile trascurarla completamente.

5.2.4 La diffusione nella direzione x

Il fenomeno di diffusione turbolenta è descritto dall’equazione:

2 2

x K C t

C x

∂

= ∂

∂

∂ [5.14a]

Per tener conto di questo processo è necessario uno schema un po’ più complesso con cui approssimare la derivata seconda. Lo schema numeri usato più frequentemente in questo tipo di problema è lo schema di Crank-Nicolson che si presenta nella forma seguente:

(10)

[

₁ ₂

]

) 3 ( ) 4 (

2

1 D D

C

C_jijk = _ijk + + [5.14b]

dove

2 ) 4 (

1 ) 4 ( )

4 (

1

1 ( )

2 x

C C K C

D _ijk^x ⁱ ^jk ^ijk ⁱ ^jk

∆ +

= ⁺ − ⁻ [5.14c]

2 ) 3 (

1 ) 3 ( )

3 (

1

1 ( )

2 x

C C K C

D _ijk^x ⁱ ^jk ^ijk ⁱ ^jk

∆ +

= ⁺ − ⁻ [5.14d]

come si può vedere, questo schema è implicito e per determinare il campo intermedio C⁽⁴⁾è necessario ottenere la soluzione numerica di un sistema di equazioni algebriche triangolari.

Fortunatamente sono stati messi a punto dal calcolo Numerico algoritmi risolutori notevolmente efficienti per questo tipo di problema. Nonostante la complicazione numerica comune ad ogni metodo di risoluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine, questo metodo è numericamente stabile e sufficientemente preciso.

5.2.4 La diffusione nelle direzioni y e z

La diffusione turbolenta lungo la direzione y è descritta dall’equazione:

2 2

y K C t

C _y

∂

= ∂

∂

∂ [5.15a]

per la cui risoluzione si applica lo schema numerico visto al paragrafo precedente, ottenendo un nuovo campo intermedio C⁽⁵⁾.

Per la diffusione turbolenta lungo l’asse z (il termine più importante dei tre) vale la relazione:

2 2

z K C t

C _z

∂

= ∂

∂

∂ [5.15b]

che si risolve anch’essa col metodo proposto al paragrafo precedente. A questo punto si è esaurita la lista degli operatori differenziali con cui si è scomposta l’equazione originaria del trasporto e della dispersione degli inquinanti e si è giunti pertanto al campo finale Cⁿ⁺¹ che è la previsione per l’istante tn+1.

5.2.5 Considerazioni conclusive

La prima considerazione da fare è che l’ordine con cui si realizza lo schema di frazionamento del tempo non è rigido e si può organizzare in maniere differenti. Spesso si utilizza una sequenza (per esempio quella presentata nei paragrafi precedenti) ad un certo passo temporale e nel passo successivo la si inverte e così nei passi successivi. Questo metodo consente di minimizzare le instabilità ancora presenti nella soluzione numerica.

Un elemento importante nello schema numerico è costituito dalle condizioni iniziali, cioè lo stabilire quale concentrazione caratterizza ciascuna cella del dominio di calcolo all’inizio della

(11)

simulazione. Come si è visto la determinazione delle condizioni iniziali dipende dalle informazioni che risultano disponibili:

• se si dispone di alcuni dati sperimentali rilevati in alcuni punti del dominio di calcolo, si può interpolare questi valori in tutto il dominio e utilizzare questa interpolazione come condizione iniziale;

• se non si hanno informazioni, si può porre a zero il campo di concentrazione iniziale e si può ripetere la simulazione dell’istante temporale iniziale finché non si raggiunge una situazione di equilibrio.

Delle condizioni al contorno già si è parlato in precedenza.

Da ultimo vanno considerati i coefficienti di diffusività turbolenta Kxx, Kyy e Kzz. Sono molte le relazioni proposte per la loro stima. Qui vengono presentate solo quelle che tengono conto esplicitamente delle differenti condizioni di turbolenza del PBL.

Per quanto riguarda K_zz sono disponibili forme funzionali differenti a seconda dello stato di turbolenza del PBL. In particolare:

• nelle situazioni convettive

4 3 1

4

* 1 15

5 .

2 

 −



 



= 

L z z

k z z w K

i i

zz per z/zi <0.1 [5.16a]

(

i

)

i

zz w z f z z

K = _* per z/zi ≥0.1

dove la funzione f(z/zi) risulta pari a:

( )

⁰^.⁰²¹ ⁰^.⁴⁰⁸ ¹^.³⁵¹ ² ⁴^.⁰⁹⁶ ³ ²^.⁵⁶⁰ _⁴



 

 + 



 



− 



 

 + 



 

 + 

=

i i

i z

z z

z z z

f [5.16b]

quando 0.6 > z/zi ≥ 0.1,

( )















 



− 

=

i

i z

z z z

f 0.2exp 6 10 [5.16c]

quando 1.1 > z/z_i ≥ 0.6 da

(

z z_i

)

=0.0013

f [5.16d]

quando z/zi > 1.1 da

• nelle situazioni adiabatiche la relazione per Kz_z è la seguente:

=> nel Surface Layer:

(12)

z ku

K_zz = _* [5.17a]

=> quando z/z_i < 1.1

(

i

)

zz ku z z z

K = _* 1.1− [5.17b]

=> quando z/z_i > 1.1 .

=0

Kzz [5.17c]

• nelle situazioni stabili K_zz vale:

( )

^_^⁻ ^_^

= +

*

* 8

7 exp . 4 74 .

0 u

fz L

z z

K_zz ku [5.17e]

dove f è il parametro di Coriolis.

Per quanto riguarda i coefficienti di diffusività orizzontale K_xx e K_yy, si può dire che:

• normalmente si considerano uguali,

• e differenti da zero solo nelle situazioni convettive ed entro il PBL, dove si può usare la relazione:

i yy

xx K w z

K = =0.1 _* [5.18]