5.MODELLO DINAMICO

5.MODELLO DINAMICO

Dopo aver sviluppato il modello statico è stato realizzato un modello dinamico sempre di un motore turbojet (figura 5.1).

Nello sviluppo di questo modello per descrivere il comportamento dei singoli

componenti che costituiscono il propulsore sono adottate le stesse ipotesi ed equazioni della termodinamica del modello statico.

Inoltre è stata aggiunta una equazione differenziale che rappresenta la dinamica del rotore.

Tale sistema di equazioni consente lo studio del transitorio quando il motore passa da una condizione di regime ad un’altra a causa di una variazione della quantità di carburante iniettata nella camera di combustione.

fig.5.1 Modello turbojet

5.1 Ipotesi Generali:

1. le trasformazioni sono tutte adiabatiche, con esclusione della camera di combustione, ma non isoentropiche

2. flusso mono dimensionale

3. la portata di massa cambia nel tempo, ma è uguale in tutto il motore 4. la portata di combustibile si trascura rispetto alla portata d’aria

( Q

 Q

)

5. variabili di stato prive di “inerzia” ad eccezione della velocità angolare 6. ugello critico

7. perdite meccaniche trascurabili

8. flussi di calore di raffreddamento trascurabili

9. perdita di pressione nella camera di combustione trascurabile

La quinta ipotesi comporta che in ogni elemento la pressione e la temperatura si adeguino

Le ipotesi precedenti, apparentemente restrittive, sono comunemente adottate in letteratura [4].

Prima di elencare quali sono le equazioni necessarie per poter creare il modello dinamico vogliamo far osservare che i pedici delle varie grandezze termodinamiche adoperate sono riferiti ai punti del motore dove queste sono valutate (figura 5.1).

5.2 Equazioni

In appendice A sono riportate le ipotesi e le equazioni di partenza che servono per descrivere il funzionamento del motore, oltre a tutti i passaggi matematici che devono essere svolti per poter ottenere dalle equazioni di partenza quelle che sono riportate all’interno di questo paragrafo.

• Condizioni Ambientali Ingressi: ,h v

All’interno troviamo il blocco predefinito “ISA atmosphere model” che calcola la pressione ambiente ( ), la temperatura ambiente ( ) e la velocità del suono ( a ).

P

T

Dati noti: γ

, m

= ( γ

− ¹ ) γ

Equazioni:

1. M

= v a 2.

1

1

1 2

ma

a

ta a a

P = P ⋅ + ⎛ ⎜ ⎝ γ − ⋅ M ⎞ ⎟ ⎠

3. 1 ¹

2

a

ta a a

T = ⋅ + T ⎛ ⎜ ⎝ γ − ⋅ M ⎞ ⎟ ⎠ Uscite: P

, T

.

• Presa d’aria Ingressi: P

, T

Dati noti: Π

Equazioni:

4. Π =

P

P

5. dovuto al fatto che si considera la trasformazione tra monte e valle della presa d’aria adiabatica, ma non isoentropica.

2

T

= T

Uscite: P

, T

.

• Compressore

Modello: Mappa di funzionamento semplificata del compressore riportata in figura 5.6 che lega tra loro le seguenti grandezze: Π Π

, Q

Q

, N

N

. Ingressi: Q

, N , T

, P

Dati noti: Π

, N

, Q

, T

P

, m

= ( γ

− ¹ ) γ

, η

, C

, η

. Equazioni:

6.

2 2

2

des des

t STD

rid aria t STD aria t t

des des des des des

rid aria t STD t STD aria t t

T T

Q Q P P Q T P

Q Q T T P P Q T P

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

2

7.

2 2

t STD

rid t

des des des

rid des t STD des t

T T

N N N T

N N T T N T

= ⋅ = ⋅

Si entra nella mappa con N

N

ottenendo Q

Q

e Π Π

. Dalla conoscenza di Π Π

e Π

si ricava il rapporto di pressione del compressore Π

; invece con Q

Q

e Q

si trova Q

(equazione 6).

8. Π =

P

P

9.

(

¹ )

c

T T T

= + η ⋅ Π − 10. W

= Q

⋅ C

⋅ ( T

− T

)

Uscite: T

, P

, W

.

• Camera di combustione Ingressi: T

, P

, f

Dati noti: h

, η

, ^C

⁼ ( ^C

^{+ C}

) ²

Equazioni:

11. Q

⋅ C

⋅ ( T

− T

) = Q

⋅ ⋅ h

η

12. Q

= ⋅Q f

13. P

= P

dovuto all’ipotesi nove Uscite: T

, P

.

• Turbina

Modello: Non si usa nessuna mappa di funzionamento per questo componente, in quanto il rapporto di pressione della turbina è imposto costante ed è determinato dal programma chiamato “Trim”.

Ingressi: N , Q

Dati noti: T

, P

, ^m

^{= −} ( ^{1 γ}

) ^γ

^{, C}

^{, η}

^{, η}

^{, Π}

Equazioni:

14. Π =

P

P

15. ^T

^{= T}

^{⋅ − ⋅ − Π ⎡} _⎣ ^{1 η}

( ¹

) ^⎤ _⎦

16. W

= Q

⋅ C

⋅ ( T

− T

) ⋅ η

Uscite: W

, T

, P

.

• Ugello di scarico Ingressi: T

, P

Dati noti: C

, η

, γ , ,

P

^m

^{= −} ( ^{1 γ}

) ^γ

Equazioni:

17.

(

)

5

2 1

g g

cr t

g

P P

γ γ

γ

⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎟ ⎠

Se P

≥ P

18. P

= P

altrimenti 19. P

= P

.

20. Π =

P

P

21. ^T

^{= T}

^{⋅ − ⋅ − Π ⎡} _⎣ ^{1 η}

( ¹

) ^⎤ _⎦

Adesso calcoliamo la velocità di scarico del gas combusto in uscita dall’ugello.

22. V

= 2 ⋅ C

⋅ ( T

−T

)

Uscite: P

, T

, V

.

• Portata del gas combusto e dell’aria Ingressi: P

, T

, V

, f

Dati noti: R , A

23.

6

P ρ = R T ⋅ 24. Q

= ρ

⋅ A V

⋅

25. ^Q

^{= Q}

( ^{1 + f} )

Uscite: Q

, Q

.

• Bilancio meccanico Ingressi: W

, W

Dati noti: I Equazioni:

26. (

) ¹

d W W

dt I

ω

= − ⋅ ω

⋅ 27. ω = 2 π ⋅ N 6 0 .

Si inserisce la 27 nella 26; dopo di che si integra l’equazione risultante ottenendo i giri attuali ( N ) del motore.

Uscite: N .

• Spinta

Ingressi: V

, , v Q

Equazioni:

28. T = Q

⋅ ( V

− v )

Uscite: T .

5.3 Modello Simulink

fig.5.2 Modello Complessivo

Il modello complessivo è costituito da blocchi e sottosistemi che rappresentano gli elementi costitutivi del motore come si può vedere dalla figura 5.2.

Per opportunità i sottosistemi sono spiegati in seguito, mentre adesso sono illustrati:

1. il blocco quota di volo 2. il blocco Mach di volo

3. il blocco step che rappresenta la variazione di combustibile immesso nella camera di combustione

4. il blocco memory 5. il blocco integrator

e dopo i bottoni Close All, Clear All, Design, TRIM e Grafici.

La quota e il Mach di volo determinano la condizione ambientale nella quale si ipotizza di far funzionare il motore.

Il blocco step definisce la variazione di combustibile iniettato nella camera di

combustione.

In questo comando è possibile fissare il valore iniziale ( f

= ) e il valore finale ( f

f

) del gradino e il tempo che deve trascorrere prima che avvenga il passaggio da f a

f

. L’elemento memory ha lo scopo di rompere i “loop” algebrici.

La rottura di questi è necessaria, altrimenti il Simulink non porta a termine la simulazione in quanto non ha a disposizione tutti i dati necessari per il calcolo della soluzione.

Il numero dei memory che devono essere inseriti nel modello dipende dal numero dei

“loop” algebrici presenti, che nel nostro caso è uno.

All’interno del memory è memorizzato il primo valore ( Q

) della variabile Q

che è la portata del gas combusto in uscita dall’ugello di scarico.

Dall’espressioni 26 e 27 otteniamo ^{N  =} { ( ) ⁶⁰

^⎡ _⎣ ^{I N ⋅ ⋅} ( ) ^{2 π}

^⎤ _⎦ } ^{⋅ ( W}

^{− W}

^{) che è la}

variazione dei giri del motore nell’unità di tempo.

Se si vuole conoscere l’evoluzione del numero dei giri partendo da un valore iniziale ( N

) si deve integrare N che può essere fatto tramite il blocco integrator.

L’operazione di integrazione in Simulink è molto potente in quanto permette di scegliere il metodo di integrazione e il tipo di passo che può essere variabile o fisso.

I metodi disponibili sono molti e vanno da uno semplice come quello di Eulero (ode 1) a complessi come quello di Runge-Kutta del quarto ordine (ode 4).

Per questo modello si è scelto di adoperare il metodo di Eulero a passo fisso in quanto è più che sufficiente per realizzare l’integrazione di con una buona accuratezza rispetto a metodi di integrazione più sofisticati con o senza passo fisso.

N

È bene sottolineare che i valori iniziali dei blocchi integrator, memory e step sono determinati dal programma che si occupa della ricerca del trim.

Per portare ha buon fine una simulazione occorre premere i tasti mostrati in figura 5.2 secondo questa sequenza: Design, TRIM e infine Grafici.

Il tasto Design richiama il programma denominato “Design” (il cui listato è riportato in appendice B) e dal quale si ottiene come dato fondamentale la sezione dell’ugello di scarico.

Ovviamente prima di eseguire il file “Design” premendo l’apposito bottone è necessario

aver definito nel file “Design_input” (il cui listato è riportato in appendice B) il punto di

progetto.

Dopo aver premuto il bottone Design si clicca sul bottone TRIM a cui è collegato il file

“Trim” (il cui listato è riportato in appendice B) che determina i dati necessari per inizializzare il modello dinamico.

Anche in questo caso prima di premere il bottone TRIM si deve fissare la condizione di volo rappresentata dalla quota (H) e dal Mach (M) oltre alla condizione di regime del compressore ( ) nel file chiamato “Trim_input” (il cui listato è riportato in appendice B).

O

_ N N

È utile sottolineare che i valori dei dati quota e Mach indicati nel file “Trim_input” sono gli stessi dei blocchi indicati dai simboli H e M in figura 5.2.

Adesso può essere lanciata la simulazione e al termine si preme il tasto Grafici (al quale è legato il programma chiamato “grafix” il cui listato è riportato in appendice B) che genera dei grafici a video nei quali sono riportati i risultati prodotti dalla simulazione.

Se si vuole lanciare una nuova simulazione occorre premere il bottone Close All che elimina tutti i grafici mostrati a video e poi si clicca il bottone Clear All che cancella tutte le variabili della precedente simulazione che sono contenute nello spazio di memoria denominato “workspace”.

Adesso se si vuole fare una altra simulazione occorre ripetere la procedura esposta sopra.

fig.5.3 Condizioni Ambientali

Il sottosistema delle “Condizioni Ambientali” ha come ingressi la quota e il Mach di volo

come si nota dalla figura 5.3.

Con il primo ingresso è ottenuta la pressione ambiente, la temperatura ambiente e la velocità del suono che combinate con il secondo ingresso determinano la temperatura totale ( T

), la pressione totale ( P

) e la velocità dell’aria a monte della presa d’aria.

Osservando la figura 5.3 si vede che la pressione ambiente, la temperatura ambiente e la velocità del suono per la quota fissata sono ottenute dall’uso di un blocco predefinito (ISA Atmosphere Model) che semplifica il sottosistema “Condizioni Ambientali” e questo garantisce una migliore leggibilità.

fig.5.4 Presa d’aria

Gli ingressi , provenienti da “Condizioni Ambientali” permettono di calcolare rispettivamente la pressione e la temperatura totale a valle della presa d’aria (figura 5.4).

P

T

La trasformazione all’interno di questo componente è considerata adiabatica, ma non isoentropica; di conseguenza T

= T

che in Simulink si realizza con un collegamento diretto tra l’inport T

e l’ouport T

.

fig.5.5 Compressore

Come si vede dalla figura 5.5 il sottosistema “Compressore” è formato da blocchi e

sottosistemi.

Per praticità è data prima una spiegazione dei blocchi esterni e successivamente dei blocchi che sono presenti all’interno dei sottosistemi.

L’espressioni di P_Pdesign, Q_Qdesign realizzano la retta di regime del compressore (figura 4.2).

Invece P_P determina il rapporto di pressione Π per una qualsiasi condizione in cui si

trova a funzionare questo componente.

Dalla sua definizione si vede che il valore che acquisisce Π dipende dal numero dei giri

motore ( N ) e dalla portata d’aria ( Q

).

Nella figura 5.6 è riportato un grafico che mostra la mappa di funzionamento del compressore basata seguenti sull’espressioni:

( )

( )

( ) ( )

0.4 1

_ 1 1

0.65 1 0.25 1

_ 1 1

0.65 1

_ _ 4 60 _

design

design

design design

P P N

Q Q N

P P P P Q Q Q

⎧ = + ⎛ ⎜ − ⎞ ⎟ ⋅ −

⎪ ⎝ − ⎠

⎪ ⎪ = + ⎛ − ⎞ ⋅ −

⎨ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠

⎪ ⎪ = − ⋅ −

⎪ ⎩

.

fig.5.6 Mappa normalizzata del compressore

I sottosistemi denominati “Portata Normalizzata” e “Giri Normalizzati” riportati nella

figura sottostante convertono Q

e N che sono gli ingressi della mappa di

funzionamento del compressore in grandezze normalizzate in quanto P_Pdesign, Q_Qdesign e P_P sono espresse rispetto a tali quantità.

Portata Normalizzata Giri Normalizzati

fig.5.7 Blocchi Portata Ridotta e Giri Ridotti

I blocchi della “Portata Normalizzata” e “Giri Normalizzati” rappresentano rispettivamente la equazione numero 6, 7 e come si nota dalla figura 5.7 la

normalizzazione è funzione della condizione di volo tramite , e del punto di progetto mediante , , e .

2

P

T

des

Q

N

T

P

fig.5.8 Grandezze termodinamiche e Potenza

Nella zona evidenziata della figura 5.8 è calcolata la potenza assorbita dal compressore

secondo l’espressione 10; mentre i restanti blocchi rappresentano le equazioni 8 e 9 con

le quali sono determinate le grandezze termodinamiche in uscita dal compressore.

fig.5.9 Camera di combustione

Nella camera di combustione non è stata considerata la perdita di pressione che nella realtà è presente e questo ha come conseguenza il collegamento diretto tra l’inport e l’outport .

3

P

P

Dalla figura 5.2 si vede che la in uscita dalla camera di combustione diventa un ingresso per il sottosistema “Turbina”.

4

P

È preferibile far passare la attraverso il blocco “Camera di combustione” e da lì farla giungere al blocco “Turbina”; anziché collegare direttamente la uscente dal blocco

“Compressore” con il blocco “Turbina”.

3

P

3

P

Perché tale tipo di collegamento della consente di modificare più facilmente il modello in particolare nel caso in cui ci sia la necessità di introdurre la perdita di pressione presente nella camera di combustione.

3

P

Inoltre è calcolata la temperatura che come si nota dal blocco “Fcn” (figura 5.9) dipende dalla quantità di carburante ( ), dal potere calorifico del combustibile (

4

T

f h

) e

dalle caratteristiche fisiche del gas presente all’interno della camera di combustione

attraverso il C

.

fig.5.10 Turbina

A differenza del compressore il rapporto di pressione della turbina non è determinato per mezzo di una mappa normalizzata, anche se semplificata, ma è imposto costante e il valore di Π

è fissato dal programma che ricerca la condizione di trim.

Nella zona evidenziata dal rettangolo rosso di figura 5.10 sono presenti gli elementi necessari affinché si possa inserire anche in questo componente una mappa di

funzionamento che fornisca il rapporto di pressione Π in base agli ingressi che sono il

numero di giri del motore ( N ) e la portata del gas combusto ( Q

).

La mappa di funzionamento per la turbina sarà espressa rispetto a grandezze ridotte di conseguenza la presenza dei blocchi “Nrid” e “Qrid” è necessaria per trasformare N e

Q

in quantità ridotte.

La figura 5.10 mostra gli ingressi e le uscite del blocco “Turbina” che sono

rispettivamente Π

, P

, T

, Q

e , oltre alla potenza generata dalla turbina ( ).

5

P

T

W

Gli elementi all’interno della linea rossa della figura 5.11 calcolano la potenza prodotta dalla turbina (espressione 16), mentre i restanti blocchi rappresentano le equazioni 14 e 15 che quantificano le grandezze termodinamiche in uscita da questo componente.

fig.5.12 Ugello di scarico

La figura 5.12 mostra quali e quanti sono i blocchi costituenti il sottosistema “Ugello di scarico” dove è fondamentale la determinazione di , perché da questa dipendono le uscite

P

ρ

e V

.

Il valore di si ottiene dal confronto tra la pressione critica ( ) e la pressione ambiente ( ), se è maggiore o uguale a allora

P

P

P

P

P

P

= P

altrimenti P

= P

. Il blocco “switch” e il sottosistema “If” sono gli strumenti messi a disposizione dal Simulink per poter associare a P

il valore di P

oppure di P

.

Tra le due scelte possibili è preferibile usare lo “switch” in quanto è facile da inserire nel modello.

Nello “switch” sono presenti tre ingressi; quello centrale è confrontato con una

condizione definita dall’utente che nel nostro caso è P

− P

≥ ; se questa è soddisfatta 0 allora l’ingresso più basso è bloccato di conseguenza è associato a il valore della pressione critica, invece se la condizione non è verificata è bloccato l’ingresso più in alto e diventa uguale alla pressione ambiente.

P

P

fig.5.13 Pressione critica

I blocchi della figura 5.13 rappresentano la equazione 17 che quantifica P

.

Come si vede la pressione critica è funzione della pressione totale a valle della turbina ( P

) e dalle caratteristiche fisiche con cui è schematizzato il gas combusto ( γ ).

fig.5.14 Spinta

Nel blocco di figura 5.14 è calcolata la spinta prodotta dal motore a un determinato istante della simulazione.

Inoltre è aggiornato Q

che è sfruttato come dato iniziale quando durante la simulazione c’è il passaggio da un passo temporale ( ) al successivo ( t

t

).

5.4 Uscite

A questo punto si riportano le uscite di una simulazione di durata 1,5 secondi in cui varia da 0,0326 a 0,02 con un ingresso a gradino.

f

fig.5.15 Rapporti di pressione

fig.5.16 Temperature alle varie stazioni del motore

fig.5.17 Pressioni delle varie stazioni del motore

fig.5.18 Portata d’aria e gas combusto

fig.5.19 Altre grandezze di interesse

Per sapere se le uscite prodotte da una simulazione sono corrette si possono fare tre verifiche.

Nella prima si confrontano le uscite del modello dinamico all’istante iniziale con quelle che sono memorizzate nel file “Trim_output”

e la differenza tra questi dati deve essere non significativa.

Nella seconda i giri del motore all’istante finale della simulazione sono utilizzati per determinare N

N

che assieme a f

e alla condizione di volo sono gli ingressi del programma “Trim”.

A questo punto non resta che comparare le uscite prodotte da “Trim” che possono essere lette nel file “Trim_output” con quelle del modello dinamico all’istante finale della simulazione e come per la prima verifica non devono esserci differenze rilevanti.

La terza è constatare se gli andamenti delle grandezze riportate nei grafici dalla figura 5.15 alla figura 5.19 sono coerenti con quelli che ci si aspetta di avere per il problema trattato.

Nel nostro caso data la variazione a gradino dell’ingresso tutte le grandezze di interesse devono avere un andamento come quello riportato in figura 5.20.

1

File di dati generato dal programma che ricerca la condizione di regime denominato “Trim”.

Nell’appendice B è riportato il listato del programma “Trim” assieme ai codici sui quali si appoggia per

fig.5.20 Andamento di riferimento

Il modello dinamico sviluppato in questo lavoro di tesi ha superato tutte e tre le verifiche per cui si può affermare che non ci sono errori nell’implementazione.

Per concludere questo capitolo sono state analizzate le parti più interessanti dei grafici contenuti nelle figure da 5.15 a 5.19.

In figura 5.15 si vede che durante la simulazione non cambia rispetto al valore iniziale, perché è sempre uguale il valore della pressione critica.

Π

P

L’andamento di mostrato in figura 5.16 è di tipo esponenziale, come quello riportato in figura 5.20 (B), e dipende da

3

T

Π che è funzione di e

N Q

.

Aspetteremmo degli andamenti di , , simili a quello ; invece come si vede dalla figura 5.16 sono differenti.

4

T

T

T

T

Perché su queste temperature non è il Π che incide profondamente sulla loro variazione

come avviene per , ma è il cambiamento della quantità di carburante immesso nella camera di combustione che si verifica durante la simulazione.

3

T

L’unico inconveniente riscontrato lo si vede in figura 5.18, infatti al momento della variazione della portata di combustibile si ha una discontinuità di Q

e che è imputabile al fatto che durante la simulazione

Q

Π resta costante.

Imporre il rapporto di pressione della turbina costante costituisce un limite del modello

dinamico, infatti nella realtà un qualsiasi cambiamento che si presenta in uno qualsiasi

dei componenti che costituiscono il motore si ripercuote sull’espansione che avviene in

turbina avendo così delle variazioni di Π .

Il salto di Q

e si riflette come si vede in figura 5.19 su , , e Spinta, ma non sul numero di giri e questo è dovuto all’operazione di integrazione che deve essere effettuata per poterli determinare.

Q

W

W

∆ W