Esercizio 1 Determinare il numero delle radici a parte reale positiva ed il numero delle radici a parte reale negativa del seguente polinomio

(1)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito A 1

Esercizio 1 Determinare il numero delle radici a parte reale positiva ed il numero delle radici a parte reale negativa del seguente polinomio

s

⁵

+ 2s

⁴

+ s

³

+ s

²

+ s + 1 Soluzione : La tabella di Routh relativa al polinomio in oggetto `e la seguente:







s

⁵

1 1 1 s

⁴

2 1 1 s

³

1 2 1 2 0 s

²

−1 1 0

s 1 0 0

1 1 0 0







essendoci 2 variazioni e 3 permanenze nella prima colonna della tabella, ne deriva che il polinomio ha 2 radici a parte reale positiva e 3 radici a parte reale negativa.

Esercizio 2 Calcolare le funzioni antitrasformate di Laplace e Zeta, rispettivamente, delle seguenti funzioni X (s) = −2s

³

− 13s

²

− 25s − 2

(s + 1)

²

(s + 4) (s + 5) X(z) = 5z

⁴

+ 43z

³

+ 102z

²

+ 76z

(z + 1)

²

(z + 4) (z + 5) Soluzione : Le due scomposizioni in fratti semplici sono le seguenti:

X (s) = 1

(s + 1)

²

− 1

s + 1 + 2

s + 4 − 3 s + 5

X(z) = z 1

(z + 1)

²

+ 2

z + 1 + 4

z + 4 − 1 z + 5

!

e le rispettive antitrasformate di Laplace e Zeta sono date da:

x(t) = te

⁻^t

− e

⁻^t

+ 2e

⁻^4t

− 3e

⁻^5t

x(t) = 2 (−1)

^t

− (−1)

^t

t + 4 (−4)

^t

− (−5)

^t

Esercizio 3 Data la seguente matrice

A =





1 0 1

0 −2 0

0 0 1





utilizzando il metodo della trasformata di Laplace e della trasformata Zeta, calcolare e

^At

e A

^t

. Soluzione : La matrice (sI − A) pu`o essere facilmente determinata come segue:





s 0 0 0 s 0 0 0 s



 −





1 0 1

0 −2 0

0 0 1



 =





s − 1 0 −1

0 s + 2 0

0 0 s − 1





da cui, tramite Gauss-Jordan si possono calcolare le matrici (sI − A)

⁻¹

= L{e

^At

} e z(zI − A)

⁻¹

= Z{A

^t

} che risultano essere:

(sI − A)

⁻¹

=





 1

s − 1 0 1

(s − 1)

²

0 1

s + 2 0

0 0 1

s − 1







z(zI − A)

⁻¹

=





 z

z − 1 0 z

(z − 1)

²

0 z

z + 2 0

0 0 z

z − 1







(2)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito A 2

Infine, antitrasformando si ottengono le soluzioni cercate:

e

^At

=





e

^t

0 te

^t

0 e

⁻^2t

0 0 0 e

^t





A

^t

=





1 0 t

0 (−2)

^t

0 0 0 1





Esercizio 4 Dato il seguente schema a blocchi

(3)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito B 3

Esercizio 1 Determinare il numero delle radici a parte reale positiva ed il numero delle radici a parte reale negativa del seguente polinomio

s

⁵

+ s

⁴

+ 2s

³

+ s

²

+ s + 1 Soluzione : La tabella di Routh relativa al polinomio in oggetto `e la seguente:







s

⁵

1 2 1 s

⁴

1 1 1 s

³

1 0 0 s

²

1 1 0 s −1 0 0

1 1 0 0







essendoci 2 variazioni e 3 permanenze nella prima colonna della tabella, ne deriva che il polinomio ha 2 radici a parte reale positiva e 3 radici a parte reale negativa.

Esercizio 2 Calcolare le funzioni antitrasformate di Laplace e Zeta, rispettivamente, delle seguenti funzioni X (s) = s

³

+ 7s

²

+ 24s − 2

(s − 1)

²

(s + 4) (s + 5) X (z) = −2z

⁴

− 4z

³

+ 55z

²

− 69z

(z − 1)

²

(z + 4) (z − 5) Soluzione : Le due scomposizioni in fratti semplici sono le seguenti:

X (s) = 1

(s − 1)

²

+ 1

s − 1 − 2

s + 4 + 2 s + 5

X(z) = z 1

(z − 1)

²

− 2

z − 1 + 1

z + 4 − 1 z − 5

!

e le rispettive antitrasformate di Laplace e Zeta sono date da:

x(t) = te

^t

+ e

^t

− 2e

⁻^4t

+ 2e

⁻^5t

x(t) = −2 + t + (−4)

^t

− 5

^t

Esercizio 3 Data la seguente matrice

A =





−1 0 0

0 3 0

−1 0 −1





utilizzando il metodo della trasformata di Laplace e della trasformata Zeta, calcolare e

^At

e A

^t

. Soluzione : La matrice (sI − A) pu`o essere facilmente determinata come segue:





s 0 0 0 s 0 0 0 s



 −





−1 0 0

0 3 0

−1 0 −1



 =





s + 1 0 0

0 s − 3 0

1 0 s + 1





da cui, tramite Gauss-Jordan si possono calcolare le matrici (sI − A)

⁻¹

= L{e

^At

} e z(zI − A)

⁻¹

= Z{A

^t

} che risultano essere:

(sI − A)

⁻¹

=





 1

s + 1 0 0

0 1

s − 3 0

− 1

(s + 1)

²

0 1 s + 1







z(zI − A)

⁻¹

=





 z

z + 1 0 0

0 z

z − 3 0

− z

(z + 1)

²

0 z z + 1







(4)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito B 4

Infine, antitrasformando si ottengono le soluzioni cercate:

e

^At

=





e

⁻^t

0 0 0 e

^3t

0 −te

⁻^t

0 e

⁻^t





A

^t

=





(−1)

^t

0 0

0 3

^t

0 (−1)

^t

t 0 (−1)

^t





Esercizio 4 Dato il seguente schema a blocchi

(5)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito C 5

Esercizio 1 Determinare il numero delle radici a parte reale positiva ed il numero delle radici a parte reale negativa del seguente polinomio

s

⁵

+ s

⁴

+ s

³

+ 2s

²

+ s + 1 Soluzione : La tabella di Routh relativa al polinomio in oggetto `e la seguente:







s

⁵

1 1 1 s

⁴

1 2 1 s

³

−1 0 0 s

²

2 1 0

s 1

2 0 0

1 1 0 0







essendoci 2 variazioni e 3 permanenze nella prima colonna della tabella, ne deriva che il polinomio ha 2 radici a parte reale positiva e 3 radici a parte reale negativa.

Esercizio 2 Calcolare le funzioni antitrasformate di Laplace e Zeta, rispettivamente, delle seguenti funzioni X(s) = −2s

³

+ 12s

²

+ 7s − 34

(s − 2)

²

(s + 2) (s + 1) X (z) = 4z

³

− 3z

²

− 13z

(z − 1)

²

(z + 2) (z + 3) Soluzione : Le due scomposizioni in fratti semplici sono le seguenti:

X(s) = 1

(s − 2)

²

− 1

s + 2 + 2

s − 2 − 3 s + 1

X(z) = z − 1

(z − 1)

²

+ 1

z − 1 + 1

z + 2 − 2 z + 3

!

e le rispettive antitrasformate di Laplace e Zeta sono date da:

x(t) = te

^2t

+ 2e

^2t

− e

⁻^2t

− 3e

⁻^t

x(t) = 1 − t + (−2)

^t

− 2 (−3)

^t

Esercizio 3 Data la seguente matrice

A =





1 0 0

0 −2 0

1 0 1





utilizzando il metodo della trasformata di Laplace e della trasformata Zeta, calcolare e

^At

e A

^t

. Soluzione : La matrice (sI − A) pu`o essere facilmente determinata come segue:





s 0 0 0 s 0 0 0 s



 −





1 0 0

0 −2 0

1 0 1



 =





s − 1 0 0

0 s + 2 0

−1 0 s − 1





da cui, tramite Gauss-Jordan si possono calcolare le matrici (sI − A)

⁻¹

= L{e

^At

} e z(zI − A)

⁻¹

= Z{A

^t

} che risultano essere:

(sI − A)

⁻¹

=





 1

s − 1 0 0

0 1

s + 2 0 1

(s − 1)

²

0 1 s − 1







z(zI − A)

⁻¹

=





 z

z − 1 0 0

0 z

z + 2 0 z

(z − 1)

²

0 z z − 1







(6)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito C 6

Infine, antitrasformando si ottengono le soluzioni cercate:

e

^At

=





e

^t

0 0

0 e

⁻^2t

0 te

^t

0 e

^t





A

^t

=





1 0 0

0 (−2)

^t

0 t 0 1





Esercizio 4 Dato il seguente schema a blocchi

(7)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito D 7

Esercizio 1 Determinare il numero delle radici a parte reale positiva ed il numero delle radici a parte reale negativa del seguente polinomio

s

⁵

+ 2s

⁴

+ s

³

+ s

²

+ s + 2 Soluzione : La tabella di Routh relativa al polinomio in oggetto `e la seguente:







s

⁵

1 1 1 s

⁴

2 1 2 s

³

1 2 0 0

s

²

1 2 0 s −1 0 0

1 2 0 0







essendoci 2 variazioni e 3 permanenze nella prima colonna della tabella, ne deriva che il polinomio ha 2 radici a parte reale positiva e 3 radici a parte reale negativa.

Esercizio 2 Calcolare le funzioni antitrasformate di Laplace e Zeta, rispettivamente, delle seguenti funzioni X(s) = −2s

³

+ 6s

²

− 9s + 1

(s + 1)

²

(s − 1) (s − 2) X (z) = 5z

⁴

+ 6z

³

− 10z

²

+ 5z (z − 1)

²

(z + 1) (z + 2) Soluzione : Le due scomposizioni in fratti semplici sono le seguenti:

X (s) = 3

(s + 1)

²

− 2

s + 1 + 1

s − 1 − 1 s − 2

X(z) = z 1

(z − 1)

²

+ 2

z − 1 + 4

z + 1 − 1 z + 2

!

e le rispettive antitrasformate di Laplace e Zeta sono date da:

x(t) = 3te

⁻^t

− 2e

⁻^t

+ e

^t

− e

^2t

x(t) = 2 + t + 4 (−1)

^t

− (−2)

^t

Esercizio 3 Data la seguente matrice

A =





−1 0 −1

0 3 0

0 0 −1





utilizzando il metodo della trasformata di Laplace e della trasformata Zeta, calcolare e

^At

e A

^t

. Soluzione : La matrice (sI − A) pu`o essere facilmente determinata come segue:





s 0 0 0 s 0 0 0 s



 −





−1 0 −1

0 3 0

0 0 −1



 =





s + 1 0 1

0 s − 3 0

0 0 s + 1





da cui, tramite Gauss-Jordan si possono calcolare le matrici (sI − A)

⁻¹

= L{e

^At

} e z(zI − A)

⁻¹

= Z{A

^t

} che risultano essere:

(sI − A)

⁻¹

=





 1

s + 1 0 − 1

(s + 1)

²

0 1

s − 3 0

0 0 1

s + 1







z(zI − A)

⁻¹

=





 z

z + 1 0 − z

(z + 1)

²

0 z

z − 3 0

0 0 z

z + 1







(8)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito D 8

Infine, antitrasformando si ottengono le soluzioni cercate:

e

^At

=





e

⁻^t

0 −te

⁻^t

0 e

^3t

0 0 0 e

⁻^t





A

^t

=





(−1)

^t

0 (−1)

^t

t

0 3

^t

0 0 0 (−1)

^t





Esercizio 4 Dato il seguente schema a blocchi

(9)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito E 9

Esercizio 1 Determinare il numero delle radici a parte reale positiva ed il numero delle radici a parte reale negativa del seguente polinomio

s

⁵

+ s

⁴

+ 2s

³

+ s

²

+ s + 2 Soluzione : La tabella di Routh relativa al polinomio in oggetto `e la seguente:







s

⁵

1 2 1

s

⁴

1 1 2

s

³

1 −1 0

s

²

2 2 0

s −2 0 0

1 2 0 0







essendoci 2 variazioni e 3 permanenze nella prima colonna della tabella, ne deriva che il polinomio ha 2 radici a parte reale positiva e 3 radici a parte reale negativa.

Esercizio 2 Calcolare le funzioni antitrasformate di Laplace e Zeta, rispettivamente, delle seguenti funzioni X(s) = 2s

³

− 2s

²

− 17s + 23

(s − 2)

²

(s + 1) (s − 1) X (z) = 3z

⁴

+ z

³

− 37z

²

+ 42z (z − 2)

²

(z − 1) (z + 2) Soluzione : Le due scomposizioni in fratti semplici sono le seguenti:

X(s) = − 1

(s − 2)

²

+ 1

s − 2 − 2

s + 1 + 3 s − 1

X(z) = z − 1

(z − 2)

²

+ 2

z − 2 + 3

z − 1 − 2 z + 2

!

e le rispettive antitrasformate di Laplace e Zeta sono date da:

x(t) = −te

^2t

+ e

^2t

− 2e

⁻^t

+ 3e

^t

x(t) = 2 (2)

^t

− 1

2 2

^t

t + 3 − 2 (−2)

^t

Esercizio 3 Data la seguente matrice

A =





−1 0 0

0 −1 −1

0 0 −1





utilizzando il metodo della trasformata di Laplace e della trasformata Zeta, calcolare e

^At

e A

^t

. Soluzione : La matrice (sI − A) pu`o essere facilmente determinata come segue:





s 0 0 0 s 0 0 0 s



 −





−1 0 0

0 −1 −1

0 0 −1



 =





s + 1 0 0

0 s + 1 1

0 0 s + 1





da cui, tramite Gauss-Jordan si possono calcolare le matrici (sI − A)

⁻¹

= L{e

^At

} e z(zI − A)

⁻¹

= Z{A

^t

} che risultano essere:

(sI − A)

⁻¹

=





 1

s + 1 0 0

0 1

s + 1 − 1 (s + 1)

²

0 0 1

s + 1







z(zI − A)

⁻¹

=





 z

z + 1 0 0

0 z

z + 1 − z (z + 1)

²

0 0 z

z + 1







(10)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito E 10

Infine, antitrasformando si ottengono le soluzioni cercate:

e

^At

=





e

⁻^t

0 0 0 e

⁻^t

−te

⁻^t

0 0 e

⁻^t





A

^t

=





(−1)

^t

0 0

0 (−1)

^t

(−1)

^t

t

0 0 (−1)

^t





Esercizio 4 Dato il seguente schema a blocchi

(11)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito F 11

Esercizio 1 Determinare il numero delle radici a parte reale positiva ed il numero delle radici a parte reale negativa del seguente polinomio

2s

⁵

+ 2s

⁴

+ 2s

³

+ s

²

+ 2s + 1 Soluzione : La tabella di Routh relativa al polinomio in oggetto `e la seguente:







s

⁵

2 2 2 s

⁴

2 1 1 s

³

1 1 0 s

²

−1 1 0

s 2 0 0

1 1 0 0







essendoci 2 variazioni e 3 permanenze nella prima colonna della tabella, ne deriva che il polinomio ha 2 radici a parte reale positiva e 3 radici a parte reale negativa.

Esercizio 2 Calcolare le funzioni antitrasformate di Laplace e Zeta, rispettivamente, delle seguenti funzioni X(s) = 2s

³

+ 6s

²

− 5s + 7

(s − 3)

²

(s + 1) (s + 2) X(z) = −z

³

+ 5z

²

+ 5z

(z + 2)

²

(z − 1) Soluzione : Le due scomposizioni in fratti semplici sono le seguenti:

X (s) = 5

(s − 3)

²

+ 2

s − 3 + 1

s + 1 − 1 s + 2

X(z) = z 3

(z + 2)

²

− 2

z + 2 + 1 z − 1

!

e le rispettive antitrasformate di Laplace e Zeta sono date da:

x(t) = 5te

^3t

+ 2e

^3t

+ e

⁻^t

− e

⁻^2t

x(t) = −2 (−2)

^t

− 3

2 (−2)

^t

t + 1

Esercizio 3 Data la seguente matrice

A =





−1 0 0

1 −1 0

0 0 −1





utilizzando il metodo della trasformata di Laplace e della trasformata Zeta, calcolare e

^At

e A

^t

. Soluzione : La matrice (sI − A) pu`o essere facilmente determinata come segue:





s 0 0 0 s 0 0 0 s



 −





−1 0 0

1 −1 0

0 0 −1



 =





s + 1 0 0

−1 s + 1 0

0 0 s + 1





da cui, tramite Gauss-Jordan si possono calcolare le matrici (sI − A)

⁻¹

= L{e

^At

} e z(zI − A)

⁻¹

= Z{A

^t

} che risultano essere:

(sI − A)

⁻¹

=





 1

s + 1 0 0

1 (s + 1)

²

1 s + 1 0

0 0 1

s + 1







z(zI − A)

⁻¹

=





 z

z + 1 0 0

z (z + 1)

²

z

z + 1 0

0 0 z

z + 1







(12)

Secondo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/04/2003 - Compito F 12