1. Diciamo che vale se: A per ogni numero reale positivo si può sempre determinare un intorno completo

1. Diciamo che vale  

0

lim

x x_ f x l^

 

se:

A

per ogni numero reale positivo  si può sempre determinare un intorno completo I di

x₀

, tale che risulti ^{0  f x}   ^{  l } per ogni x del dominio appartenente a I, escluso al più

x₀

.

B

per ogni numero reale positivo  si può sempre determinare un intorno completo I di

x₀

, tale che risulti ^{| f x}   ^{  l | } per ogni x del dominio appartenente a I, escluso al più

x₀

.

C

per ogni numero reale positivo  si può sempre determinare un intorno sinistro I di

x₀

, tale che risulti ^{l  f x}   ^{  l } per ogni x del dominio appartenente a I.

D

per ogni numero reale positivo  si può sempre determinare un intorno destro I di

x₀

, tale che risulti ^{l  f x}   ^{  l } per ogni x del dominio appartenente a I.

E

per ogni numero reale positivo  si può sempre determinare un numero reale positivo

c_

tale che risulti ^{| f x}   ^{  l |  per ogni}

^x^c

.

2. Per verificare il limite

 

²

1

lim 1

x^ x 1  



quale delle seguenti disequazioni dobbiamo risolvere?

A

 

²

1 1

1

x   

 .

B

 

²

1

1 M

x 



.

C

 

²

1

1 M

x  



.

D

 

²

1 1

M x

 

.

E

 

²

1

1 M

x  



.

3. La scrittura

₂

1

lim 1 1 2

x^ x x  

  

significa:

A

fissato   0 , fra le soluzioni della disequazione   





 1

2 1

1 x

2

x vi è un intervallo illimitato a sinistra.

B

fissato   0 , fra le soluzioni della disequazione 1

₂

1 2x x   1 

   vi è un intervallo illimitato a destra.

C

fissato M  0 , fra le soluzioni della disequazione 1

₂

1 2 M

x x  

   vi è un intorno di –1 privato di –1.

D

fissato M  0 , fra le soluzioni della disequazione

¹ ₂

1 2 M

x x 

  

vi è un intorno di –1 privato di –1.

E

fissato M  0 , fra le soluzioni della disequazione

¹ ₂

1 2 M

x x  

  

vi è un intorno di –1 privato

di –1.

4. Se  

 

²

5 1 f x

x

  

è definita sull’intervallo   0; 2 privato del punto interno 1 e se per ogni numero reale positivo M si può sempre determinare un intorno I di 1 tale che risulti

 

²

5 1

M x

  



per ogni ^{x   I}   ^{a b ; }   ¹ , allora vale:

A ¹

 

²

lim 5

1

x M

  x  



.

B

 

²

lim 5

x 1 M

 x  



.

C

 

²

lim 5

x^ x 1  



.

D ¹

 

²

lim 5

x^  x 1  



.

E ¹

 

²

lim 5

x^  x 1  



.

5. L’insieme {1;

¹

4

;

¹

9

;

¹

16

; … } ha come punto di accumulazione A 0 B 1 C

¹

𝑛²

, ∀𝑛 ∈ 𝑁 D tutti i numeri naturali E non ha punti di accumulazione

6. Dire che c è un punto di accumulazione per l’insieme 𝐴 = {𝑥_𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁} equivale a

A ∀𝜀 > 0, ∃𝑘 ∈ 𝑁: 𝑥𝑛 < 𝜀 B ∀𝜀 > 0, ∃𝑘 ∈ 𝑁: |𝑥𝑛− 𝑐| < 𝜀 C ∀𝜀 > 0, ∃𝑘 ∈ 𝑁: 𝑥𝑛< 𝑐 D ∀𝜀 > 0, ∃𝑘 ∈ 𝑁: |𝑥_𝑛− 𝑐| < 𝑘 E nessuna delle precedenti

7. Se c è un punto isolato per l’insieme A allora A in ogni intorno di c, privato di c, cade solo un punto di A B in ogni intorno di c cade solo un punto di A

C in ogni intorno di c cade solo c come punto di A

D sicuramente in ogni intorno di c non possono cadere punti di A E nessuna delle precedenti

8. Sia f (x) una funzione definita per i reali positivi e tutta invertibile. Stabilisci il valore di verità delle seguenti affermazioni.

i) ¹

0

lim ( ) lim ( ) 0

x x

f x f x ^





      ii) ¹

0

lim ( ) lim ( ) 0

x x

f x f x ^





     

iii) ¹

0

lim ( ) lim ( ) 0

x x

f x f x ^





     

A FFF B FFV C VVF D VVV E nessuna delle precedenti 9. Per la funzione 𝑓(𝑥) = 𝑒^{𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥} si ha

A

2

lim ( )

x e

 f x



  B

2

lim ( )

x e

 f x

 

  C

2

lim ( ) 2 x e

f x e













D lim ( ) ²

x f x e



  E nessuna delle precedenti 10. La funzione 𝑓(𝑥) = ¹

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥

A ha un asintoto orizzontale perché

0

lim ( )

x

 f x

   e

0

lim ( )

x

 f x

  

B ha un asintoto verticale perché

0

lim ( )

x

 f x

   e

0

lim ( )

x

 f x

  

C non ha asintoti perché lim ( )

x f x

  

D ha un asintoto orizzontale perché lim ( ) 0

x f x

 

E non ha asintoto orizzontale perché lim ( ) 0

x f x

 

QUESITI

(15 p.ti per ogni quesito corretto e completo) Di una funzione y = f (x) sappiamo che:

 𝐷 = (−∞; 0] ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞);

 𝐴(0;-2); B(-2; 0)

 𝑦 > 0 𝑠𝑒 𝑥 ∈ (−∞; −2) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞)

 (i) lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥) = 1; (ii) lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = 0⁺; (iii) lim

𝑥→0⁺𝑓(𝑥) = 1; (iv) lim

𝑥→1𝑓(𝑥) = +∞

a) Traccia un possibile grafico della funzione.

Rispondi, poi, alle seguenti domande:

b) Traccia il grafico della funzione 𝑦 = ln (𝑓(𝑥)) e calcola il limite lim

𝑥→0⁺ln (𝑓(𝑥)), giustificando opportunamente la risposta. Si può dire qualcosa sul limite lim

𝑥→0⁺𝑓(𝑙𝑛𝑥)?

c) Traccia il grafico della funzione 𝑦 = 𝑓⁻¹(𝑥) e calcola il limite lim

𝑥→+∞𝑓⁻¹(𝑥) e il limite , lim

𝑥→0⁺𝑓⁻¹(𝑥) giustificando opportunamente la risposta.

d) Enuncia e dimostra uno dei tre teoremi studiati (unicità del limite, permanenza del segno, due carabinieri)