Lezione 4
Proprietà fondamentali di un plasma II
G. Bosia
Universita’ di Torino
Interfaccia elettrico tra plasma e “prima parete” solida
Quando un plasma e’ in contatto con un corpo solido, (quale la parete del contenitore), il solido tende ad assorbire le particelle del plasma. Le particelle cariche del plasma entrano in contatto con il solido, trasferiscono la loro energia cinetica e si neutralizzano ricombinandosi con quelle della superficie solida.
Dal punto di vista elettrico si osservano i seguenti fenomeni:
1. Il plasma e’ in generale carico positivamente rispetto al solido
2. Nella zona di contatto e’ presente una distribuzione di potenziale come quella mostrata in figura (sheath).
La ragione risiede nella diversa di velocità di ioni ed elettroni. La teoria cinetica dei gas ci insegna infatti che, se il campo elettrico nel doppio strato fosse uniforme, elettroni ed ioni colpirebbero la parete solida con una frequenza casuale per unità di superficie
Dove la velocità media
Potenziale di plasma
A causa della differenza di massa tra ioni ed elettroni, questi ultimi si muovono più rapidamente e pertanto escono dal plasma più velocemente degli ioni. Il plasma si carica pertanto positivamente generando un campo elettrico che si oppone all’
uscita degli elettroni, fino a ridurre la corrente elettronica a zero.
Stima del potenziale:
Flusso di uscita degli elettroni alla superficie solida Flusso di uscita degli ioni: alla superficie solida Fattore di Bolzmann applicato agli elettroni
dove φS e’ il potenziale del corpo solido rispetto ad una distanza infinita nel plasma Assumiamo n’i ~ n ∞
Potenziale di plasma
La densità di corrente totale e’
Se si impone che j si annulli per un potenziale φS :
Per un plasma di H (mi/me=1800 ossia ½ ln(mi/me) = -3.75).
Il potenziale della superficie rispetto a quello del plasma e’ circa – 4Te/e
Frequenza di plasma
Ci si può chiedere qual e’ il comportamento dinamico di un plasma quando in una sua parte la neutralità sia violata, con la conseguente generazione di un campo elettrico, che, come visto prima, tenderà ad opporsi alla perturbazione.
Ancora una volta assumiamo una geometria mono-dimensionale e supponiamo che il moto degli ioni possa essere trascurato a causa della differenza di massa.
Consideriamo solo il moto degli elettroni.
Definendo : n = ne = Z ni, la densità di carica superficiale e’
σ (t) = ne e δ (t),
il campo elettrico prodotto dalla separazione di carica in figura e’
E(x.t) = 4π σ = 4π e ne (t) δ (t) E(x.t) = e/ε0 ne (t)δ (t) Il potenziale e’
V(x,t) = E(x,t) l = 4π ne e δ(τ) l V(x,t) = E(x,t) l = e/ε0 ne e δ(τ) l E
V
+ + + + +
- - - - -
E(x,t)
δ l δ
x MKS x
CGS
Frequenza di plasma
Il campo elettrico tra le armature del condensatore e’ costante. Pertanto :
x E = 0 anche dB/dt = - x E = 0 : la perturbazione ha un carattere puramente elettrostatico (ovvero il campo magnetico non ha ruolo nella dinamica degli elettroni) La densità di corrente che viene generata dal moto degli elettroni dovuto alla
perturbazione di separazione di carica e’
Je = - enve
Dato che il campo magnetico non entra in gioco, il termine x B = 0 . Pertanto
e sostituendosi ottiene in forma esplicita l’ equazione del moto degli elettroni:
Il moto e’ un’oscillazione armonica alla “frequenza di plasma”
ωp
4⋅π⋅n⋅e2 m e
J 1
ε 0
δE x t( , ) δt
⋅
+ 0
4⋅π
c ⋅J 1 c
δE x t( , ) δt
⋅
+ 0
CGS MKS
t2v e d d
2 4⋅π⋅n⋅e2 m e
− ⋅v e 2
t v e d d
2 n e⋅ 2 m⋅ε0
− ⋅v e
ω p
m⋅ε 0
n e⋅ 2 f p 9000 n e⋅
(
cm− 1⋅sec− 1)
Frequenza di plasma
In caso di violazione di neutralità, il plasma tende ad oscillare ad una frequenza (angolare)
ωp = 5.64 104 ne ½ (ne in cm-3)
La frequenza di plasma (introdotta da Langmuir) è una frequenza nel range delle centinaia di GHz per plasmi a densità di interesse termonucleare:
per ne = 1014 cm-3 wp = 5.6 1011 s-1
L’ inverso della frequenza di plasma tp = ωe-1 può essere interpretato come il tempo caratteristico di separazione delle cariche nel plasma.
Nel nostro modello le oscillazioni di plasma non sono smorzate perché il modello non contiene alcun meccanismo di dissipazione di energia, che invece esiste ed ed e’ costituito dalle collisioni elettrone-elettrone ed elettrone-ione. Quanto più elevata e’ la frequenza di collisione tanto più rapidamente la neutralità e’ ristabilita dall’ inizio della perturbazione .
Condizione di plasma
A densità costante , se la temperatura del plasma aumenta (e quindi ND = n λD3) gli effetti collisionali diminuiscono e il comportamento del plasma tende a essere dominato dalle interazioni dovute ai campi collettivi . Si parlerà di comportamento
“non collisionale” del plasma con gli effetti delle collisioni piccoli o addirittura trascurabili.
Perché gli effetti collettivi abbiano un peso nella dinamica delle componenti del plasma e’ dunque necessario che la frequenza con cui avvengono le collisioni e la frequenza di plasma abbiano valori vicini ovvero ωp τc~ 1
Alla luce di quanto discusso possiamo definire un gas ionizzato in condizioni di plasma quando :
λD<< L ND >>1 ωτc>1
Confronto tra i parametri fisici di alcuni tipi di plasma
Equazioni di stato di un plasma
Per un plasma di interesse nucleare, nella maggior parte dei casi :
• Le forze gravitazionali possono essere considerate trascurabili rispetto a quelle elettromagnetiche
• I momenti delle particelle sono elevati e le densita’ sufficientemente basse in modo che λDeBroglie = h /<p> << d ~ n –1/3 distanza media tra particelle, e pertanto gli effetti quanistici sono trascurabili
• le energie delle particelle in gioco sono non-relativistiche
Il sistema di equazioni che descrive il comportamento di un plasma deve accoppiare le equazioni di Maxwell (che descrivono i campi di forze
elettromagnetiche presenti) alle equazioni del moto per ogni particella
Nota: per un plasma di protoni di interesse termonucleare (mp= 1.6 10 –24 g) T = 10 keV e n=1014 cm-3 , p ~(mT)1/2 ~(104 x1.6 10-12(erg/eV) x1.6 10-24g )1/2 ~10-16gms-1 λDeBroglie= h/p ~ (1.05 10-27/10-16) ~ 10-11 cm da confrontare con una distanza media tra particelle d = 10 -5 cm
Equazioni di stato di un plasma
• I campi EM all’ interno e all’esterno del plasma possono essere calcolati, se si conoscono le distribuzioni di carica e di corrente ρ(r,t) e J (r,t) le
condizioni al contorno e condizioni iniziali.
• Se i campi sono noti, e’ possibile calcolare l’equazione del moto per ogni particella con carica qi massa mi dall’ equazione del moto
• Per ottenere auto consistenza e’ necessario definire una densita’ di carica e di corrente all’ interno del plasma come
•
che si possono ottenere dall’equazione del moto, che fornisce come soluzione la posizione e la velocita’ di tutte le cariche presenti
c
Le sommatorie sono estese a volumi “opportunamente piccoli” in modo che densità di carica e di corrente possano essere considerate costanti nel volume, ma che contengano un numero abbastanza grande di particelle per permettere variazioni macroscopiche continue nello spazio. Definiremo in modo piu preciso questo concetto più avanti
Il sistema di equazioni e’ completo, nel senso che descrive il comportamento del plasma in modo auto-consistente a partire dall’equazione di campi o dalle equazioni del moto
Se sono presenti densità di carica o di corrente associate a conduttori esterni (come e’
sempre avviene nel caso di un plasma termonucleare che e’ confinato da campi magnetici esterni le densità di carica e di correnti diventano
Equazioni di stato di un plasma
Equazioni fondamentali della Fisica del plasma
E
⋅ 4⋅ ρπ⋅ x B
⋅ 4⋅π
c ⋅J 1 c
δ E
⋅ δ⋅t
⋅ + x E
⋅ 1
−c δ E
⋅ δ⋅t
⋅ B
µ H
⋅ B
⋅ 0 D ε E
⋅
c
CGS MKS
Equazioni di stato di un plasma
Dato che il numero di particelle e’ molto elevato e’ in pratica impossibile risolvere in un modo esatto l’ insieme di equazioni descritto nelle diapositive precedenti
Per questo sono stati sviluppati metodi di soluzione approssimate facendo ricorso alle tecniche matematiche utilizzate nella meccanica statistica
In generale questi modelli valgono per uno specifico intervallo parametri di plasma , e saranno discussi piu’ avanti.
Teorie a particella singola Utilizzate per studiare eventi locali
Teorie cinetiche Derivate dalla teoria cinetica dei gas risolvono le equazioni di plasma utilizzando funzioni di distribuzione per ciascuna specie . Utilizzate principalmente per studiare il trasporto dell’ energia
Teorie fluide Derivate dalla teoria cinetica permettono una descrizione macroscopica del plasma in condizioni stazionarie ed il calcolo dei valori medi dei parametri del plasma i
Sistemi di unità
La Fisica del Plasma Termonucleare si e’ sviluppata contemporaneamente in luoghi diversi US, UK, F, URSS, JA e, fino agli anni ’60, in un modo indipendente, dal
momento gli studi erano classificati per motivi militari.
Una conseguenza e’ che spesso, nella bibliografia, gli stessi argomenti sono spesso trattati con formalismi diversi e in particolare utilizzando diversi sistemi di unità (MKS e CGS).
Nella maggior parte dei libri di Fisica del Plasma di applicazione fusionistica si trovano appendici con tavole che riscrivono le equazioni di stato e i parametri fisici che caratterizzano un plasma fronte a fronte nei due sistemi.
In queste lezioni utilizzerò prevalentemente il sistema MKS. Tuttavia, dato che in queste lezioni prendo spunto da diversi testi, ho deciso di mantenere nelle mie trasparenze il sistema di unità originale, perché la consultazione dei testi di origine possa essere fatta con più facilità e (soprattutto) per abituare eventuali futuri
ricercatori alla dura realtà di dover ragionare un giorno in un sistema ed un giorno in un altro.
Ho tuttavia provveduto anche io a fornirvi di tavole comparative (copiate dal libro di F. Chen) delle relazioni più importanti nei due sistemi, che troverete nelle prossime 7 trasparenze.
