Esame di ALGEBRA E LOGICA 8 SETTEMBRE 2014

Esame di ALGEBRA E LOGICA 8 SETTEMBRE 2014

COGNOME: NOME: MATR.:

AVVERTENZA: -1. TRATTARE GLI ARGOMENTI CON ORDINE ED IN MODO LOGICO.

-2) ALLEGARE I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO.

-3. LA PROVA ORALE SI DOVRA’ SOSTENERE ALLA DATA PRO- GRAMMATA.

PROBLEMA 1. -a) Costruire una corrispondenza biunivoca f tra gli insiemi Z ⊕ Z

e Z.

-b) Dimostrare che la funzione f non e’ un’omomorrfismo di gruppi.

PROBLEMA 2. Si diano due definizioni della funzione inversa e si dimostri la loro equivalenza.

PROBLEMA 3. -a) Utilizzando l’algoritmo di Euclide si trovi il massimo comune divisore dei numeri 900 e 1420.

-b) Si trovino due numeri interi a e b tali che 900a + 1420b = M CD(900, 1420).

-c) Si dica, con dimostrazione, se esistono due numeri interi α e β tali che 900α + 1420β = 480.

PROBLEMA 4. Sia M := R[X] l’insieme dei polinomi di incognita X a coefficienti reali.

Sia R(X) un fissato polinomio di M .

Sull’insieme M si introduce la relazione: i polinomi P ed Q sono in relazione P ∼ Q se e solo se

P (X).R(X) = Q(X).R(X) (1)

-a) Si dimostri che l’insieme P[X].R[X], dove P e’ un polinomio arbitrario, e’ un gruppo commutativo rispetto l’operazione di somma di polinomi.

-b) Si affermi, con dimostrazione, se ∼ e’ una relazione di equivalenza.

-c) Si descrivano le classi di equivalenza della relazione ∼ in funzione deila scelta del polinomio R.

-d) Si dimostri che la relazione di equivalenza ∼ e’ compatibile con l’operazione di somma di polinomi.

-e) Si definisca l’operazione di somma sulle classi di equivalenza di ∼.

-f) Si determini il gruppo quoziente M/ ∼ in funzione deila scelta del poli- nomio R.

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PROBLEMA 5. -a) Stabilire se i gruppi Z

, Z

⊕ Z

sono isomorfi oppure no. Nel caso affermativo, costruire effettivamente tale isomorrfismo, svolgendo tutte le verifiche necessarie.

PROBLEMA 6. Sia M un’insieme non vuoto. Sia P una proprieta’ definita sugli elementi dell’insieme M .

Si sa’ che per ogni sottoinsieme di 5 elementi estratti dall’insieme M , almeno due di questi elementi hanno la proprieta’ P mentre almeno altri due non hanno la proprieta’ P .

-a) Cosa si puo dire del quinto elemento del sottoinsieme ?

-b) Si determini, con dimostrtazione, il numero minimo e massimo di ele- menti contenuti nell’insieme M e si indichi quanti tali elementi hanno, rispetti- vamente non hanno, la proprieta’ P .

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