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{x ∈ X|P (x)} `e un insieme

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Academic year: 2021

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Roma, 11 ottobre 2013 Esercitazioni di algebra 1 (Damiani) 2a lezione 1) Siano X un insieme e P una propriet`a; {x ∈ X|P (x)} `e un insieme.

Descrivere {x ∈ X|x 6= x} e {x ∈ X|x 6∈ X}

2) Dimostrare che esiste al pi`u un insieme (denotato con ∅) con la propriet`a che x6∈ ∅ ∀x; ∅ si chiama l’insieme vuoto. Dimostrare che se esiste un insieme (assioma di esistenza) esiste anche ∅.

3) Dire se la frase “∀x ∈ ∅ vale P (x)” sia vera o falsa, e scrivere la sua negazione.

4) Siano X, Y insiemi; descrivere {x ∈ X|x ∈ Y };

5) Siano I un insieme non vuoto, i0 ∈ I, Yi un insieme per ogni i ∈ I e si definisca

i∈IYi = {x ∈ Yi0|x ∈ Yi ∀i ∈ I}.

i) Dimostrare che questa definizione non dipende dall’elemento i0 scelto.

ii) sia J ⊆ I; dimostrare che ∩i∈IYi ⊆ ∩i∈JYi;

iii) siano J1, J2 insiemi tali che I = J1∪ J2; dimostrare che ∩i∈IYi = (∩i∈J1Yi) ∩ (∩i∈J2Yi);

iv) si pu`o definire ∩i∈∅Yi in modo coerente con i punti ii) e iii)?

6) ∀r ∈ R siano Sr = {(x, y) ∈ R2|x2+ y2 ≤ r2} e Dr = {(x, y) ∈ R2|x2+ y2 <

r2}.

Determinare ∩r∈RSr, ∩r∈RDr, ∩r>0Sr, ∩r>0Dr e, per s ∈ R, ∩r≥sSr, ∩r≥sDr,

r>sSr, ∩r>sDr;

7) (Paradosso di Russell) Siano U l’insieme di tutti gli insiemi e F = {x ∈ U |x 6∈

x}. Dire se F ∈ F e dedurre che la collezione di tutti gli insiemi non esiste (non `e un insieme).

8) Siano I un insieme e Yi un insieme per ogni i ∈ I. Si chiama unione degli Yi, e si indica con ∪i∈IYi, un insieme con la propriet`a x ∈ ∪i∈IYi ⇔ ∃i ∈ I tale che x∈ Yi. ∪i∈IYi `e un insieme (assioma dell’unione).

Dimostrare che per ogni famiglia di funzioni fi : Yi → X tale che fi

Yi∩Yj = fj

Y

i∩Yj esiste un unica funzione f : ∪i∈IYi → X tale che f Y

i = fi ∀i ∈ I.

9) Con le notazioni dell’esercizio 6) descrivere ∪r∈RSr, ∪r∈RDr, ∪r>0Sr, ∪r>0Dr e, per s ∈ R, ∪r≤sSr, ∪r≤sDr, ∪r<sSr, ∪r<sDr.

10) Siano I un insieme e Yiun insieme per ogni i ∈ I. Si chiama unione disgiunta degli Yi, e si indica con `

i∈IYi, un insieme con funzioni γi : Yi → `j∈IYj, con la seguente propriet`a: per ogni famiglia di funzioni fi : Yi → X esiste un’unica funzione f :`

i∈IYi → X tale che fγi = fi ∀i ∈ I.

i) Osservare che se Yi∩ Yj = ∅ ∀i 6= j allora `

i∈IYi = ∪i∈IYi;

ii) in generale dimostrare che γi`e iniettiva per ogni i ∈ I, che γi(Yi) ∩ γj(Yj) = ∅

∀i 6= j ∈ I e che `

i∈IYi = ∪i∈Iγi(Yi);

iii) siano X un insieme ed fi : Yi → X funzioni iniettive tali che fi(Yi)∩fj(Yj) = ∅

∀i 6= j ∈ I; dimostrare che ∪i∈Ifi(Yi) =`

i∈IYi;

iv) in generale dimostrare che esiste un’unica funzione π : `

i∈I Yi → ∪i∈IYi tale che per ogni i ∈ I πγi sia l’inclusione di Yi in ∪i∈IYi; dimostrare che π `e suriettiva;

v) in generale descrivere `

i∈IYi come sottoinsieme di (∪i∈IYi) × I.

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