Esame di ALGEBRA E LOGICA 22 SETTEMBRE 2014

Esame di ALGEBRA E LOGICA 22 SETTEMBRE 2014

COGNOME: NOME: MATR.:

AVVERTENZA: -1. TRATTARE GLI ARGOMENTI CON ORDINE ED IN MODO LOGICO.

-2) ALLEGARE I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO.

-3. LA PROVA ORALE SI DOVRA’ SOSTENERE ALLA DATA PRO- GRAMMATA.

PROBLEMA 1. Siano A, ¯ A, B, ¯ B insiemi tale che A ⊂

A, A ⊂ ¯

A ed ¯ f : ¯ ¯ A −→ ¯ B, f : A −→ B, funzioni tale che la restrizione di ¯ f ad A sia la funzione f .

-a) Supponendo che funzione f sia iniettiva, cosa si puo dire della funzione f (si dia la risposta con esempio/controesempio). ¯

-b) Supponendo che funzione ¯ f sia suriettiva, cosa si puo dire della funzione f (si dia la risposta con esempio/controesempio).

-c) Supponendo che funzione ¯ f sia corrispondenza biunivoca, cosa si puo dire della funzione f ? (si dia la risposta con esempio/controesempio).

PROBLEMA 2. Siano A, B due insiemi.

-a) Dare la definizione de prodotto cartesiano A × B di qualsiasi due insiemi A e B.

-b) Supponendo che gli insiemi A e B siano numerabili, dimostrare che l’insieme A × B e’ un’insieme numerabile.

PROBLEMA 3. -a) Sia n > 0 un numero naturale.

Utilizzando l’algoritmo di Euclide si dimostri che i numeri n ed n + 1 sono primi tra loro.

-b) Si trovino due numeri interi a e b tali che a.n + b.(n + 1) = 1.

-c) Si dica, con dimostrazione, se esistono due numeri interi α e β tali che α.n + β.(n + 1) = 10.

Nel caso affermativo si trovino questi numeri.

PROBLEMA 4. Sia R[X] l’insieme dei polinomi di incognita X a coefficienti reali.

-a) Si consideri su R[X] l’operazione binaria definita dall’abituale somma di polinomi.

Si dimostri che R[X], munito di tale operazione, e’ un gruppo comutativo.

-b) Sia λ un numero reale fissato. Si introduce la seguente relazione ∼ su R[X]

P (X) ∼ Q(X) se e solo se P (X) = λ.Q(X).

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Si trovino i valori di λ (se esistono) tale che ∼ sia una relazione di equivalenza.

Si effettuino tutte le verifiche necessarie.

-c) Si dimostri che la relazione di equivalenza trovata al punto -b) e’ com- patibile con l’operazione di somma di polinomi.

-d) Si descriva l’insieme delle classi di equivalenza R[X]/ ∼.

-e) Sia π : R[X] −→ R[X]/ ∼ la proiezione canonica.

Si dimostri che π e’ un’omomorfismo di gruppi e si trovi Ker π.

PROBLEMA 5. Dimostrare che i gruppi Z

, Z

⊕ Z

sono isomorphi indi- cando la funzione che realizza l’isomorphismo (con tutte le verifiche).

PROBLEMA 6. Siano M ed N due insiemi NON vuoti, con M sotto- insieme di N.

Si sa’ che esistono sotto-insiemi di N che hanno 6 elementi. Si sa’ anche che scelti qualunque 6 elementi dell’insieme N, almeno 2 di questi elementi appartengono all’insieme M ed almeno 3 elementi non appartengono all’insieme M.

Determinare il numero minimo e massimo di elementi dei due insiemi.

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