I solidi della geometria
Prof. Daniele Ippolito
Liceo Scientifico “Amedeo di Savoia” di Pistoia
I solidi di cui principalmente ci occuperemo sono:
poliedri:
parti di spazio delimitate da poligoni, detti facce
solidi di rotazione:
solidi generati dalla rotazione di una curva (o di una retta) attorno ad un asse
I poliedri
• Prisma
• Piramide
• Poliedri regolari (solidi platonici)
Prisma
Dato un poligono, si considera un insieme di rette parallele, incidenti al piano del poligono e passanti per i suoi vertici.
Tali rette, prese a coppie, definiscono un insieme di facce piane, detto superficie prismatica indefinita.
Si dice prisma (finito) una parte di prisma indefinito delimitata da due piani paralleli al poligono di partenza.
Si dice prisma indefinito il poliedro delimitato da una
superficie prismatica indefinita.
Le facce parallele al poligono di partenza si dicono basi del prisma.
Le altre facce sono dette facce laterali.
La distanza tra le due basi è detta altezza del prisma.
Un prisma si dice retto se le sue facce laterali sono perpendicolari alle basi Un prisma si dice regolare se le sue basi sono poligoni regolari
h
Particolari prismi
Parallelepipedo: è un prisma avente per basi due parallelogrammi
Cubo: è un parallelepipedo
rettangolo avente facce quadrate Parallelepipedo rettangolo: è un parallelepipedo avente facce rettangolari
Piramide
Dato un poligono, si considera un insieme di semirette aventi origine in un medesimo punto, esterno al piano del
poligono, e passanti per i suoi vertici. Tali semirette, prese a coppie, definiscono un insieme di facce piane, detto
superficie piramidale indefinita.
Si dice piramide (finita) una parte di piramide indefinita
delimitata da un piano parallelo al poligono di partenza.
Si dice piramide indefinita il poliedro delimitato da una
superficie piramidale indefinita.
La faccia parallela al
poligono di partenza si dice base della
piramide. Le altre facce sono dette facce laterali.
La distanza tra il vertice e la base è detta altezza della piramide.
L’origine delle semirette è detto vertice della
piramide.
1) Se la base ha un centro di simmetria, una piramide si dice retta se la
perpendicolare dal vertice alla base passa per il centro di simmetria della base.
Piramidi rette
2) Se nella base è inscrivibile una
circonferenza, una piramide si dice retta se la perpendicolare dal vertice alla base passa per il centro della circonferenza.
Due possibili definizioni:
In una piramide regolare, l’altezza di
ciascuna faccia laterale è detta apotema della piramide (o apotema laterale).
Il raggio della circonferenza inscritta nella base è detta apotema di base.
Una piramide si dice regolare se è retta e la sua base è un poligono regolare.
Piramidi regolari
Vale la relazione pitagorica:
h2 + r2 = a2
Un poligono si dice regolare se ha angoli e lati congruenti.
Richiamo di geometria piana: poligoni regolari
Esistono infiniti poligoni regolari.
Poliedri convessi regolari
Sono i poliedri che hanno per facce poligoni convessi regolari congruenti ed angoli congruenti. Sono anche detti solidi
platonici.
Esistono cinque poliedri convessi regolari:
Tetraedro Esaedro Ottaedro
Dodecaedro Icosaedro
I solidi di rotazione
• Cilindro
• Cono
• Sfera
Cilindro
Dato un segmento e un asse parallelo ad esso, si dice cilindro il solido generato dalla rotazione completa del segmento
attorno all’asse.
Un cilindro può essere visto anche come un prisma la cui
base è un poligono regolare con un numero infinito di lati.
I due cerchi generati dalla
rotazione si dicono basi del cilindro.
La superficie descritta dalla rotazione del segmento di partenza si dice superficie laterale.
La distanza tra le due basi è detta altezza del cilindro.
Cono
Dato un segmento e un asse non parallelo ad esso, passante per uno dei due estremi del segmento, si dice cono il solido generato dalla rotazione completa del segmento attorno
all’asse.
Il punto fisso del segmento in
rotazione è detto vertice del cono.
Il cerchio generato dalla rotazione si dice base del cono. La superficie descritta dal segmento in rotazione è detta superficie laterale.
La distanza tra il vertice e la base è detta altezza del cono.
La distanza tra il vertice e un qualunque punto della circonferenza di base è detta apotema del cono.
Vale la relazione pitagorica:
h2 + r2 = a2
Sfera
Si dice sfera il solido generato dalla rotazione di 180° di una circonferenza attorno a un suo diametro.
Una sfera si può anche definire come un luogo di punti nello spazio equidistanti da un punto detto centro.
La distanza dei punti dal centro è detta raggio della sfera.
Altri solidi
Dai solidi che abbiamo qui definito, si possono poi definire altre figure.
Tronco di piramide
Altri solidi
Tronco di cono Calotta sferica Cilindro obliquo
