ATTIVIT `A 11

ATTIVIT ` A 11

Calcolare i seguenti integrali impropri 1.

Z 1 0

2 x

x

³

+ 2x dx 2.

Z ₊₁

0

p 1

e

^x

1 dx

Stabilire se i seguenti integrali impropri risultano convergenti 3.

Z 1 0

cos p

x p

1 x

sinh x log(1 + x

³

) dx 4.

Z ₊₁

0

x + p x

log(1 + x) + x

³

dx

Stabilire per quali valori di ↵ 2 R i seguenti integrali impropri risultano convergenti 5.

Z 1 0

sin(sinh x) + log(1 + ↵x) x

²

log(1 + p

x) dx, ↵ > 0 6.

Z +1 0

e

^x

1 x

^↵

(cosh x 1) dx

Studiare la funzione integrale

^(m)

7. F (x) =

Z x 0

e

^t3

dt

(m)Questa tipologia di esercizio non `e stata svolta in aula ma avete tutti gli strumenti per risolverlo... Procedete come in un classico studio di funzione, cominciando a stabilire qual `e il suo dominio (ovvero dove la funzione integranda risulta definita e integrabile), se la funzione `e pari o dispari e qual `e il suo comportamento agli estremi del dominio (ovvero se il corrispondente integrale improprio converge o diverge). La funzione `e derivabile? Quanto vale la derivata e qual `e il suo segno? Potrete dunque studiarne la monotonia e l’esistenza di massimi e minimi relativi.

RISOLUZIONE 1. L’integrale

Z ₁

0

x 1

x

³

+ 2x dx `e definito come

Z 1

0

x 2

x

³

+ 2x dx = lim

a!0⁺

Z 1 a

x 2

x

³

+ 2x dx

dato che l’integranda `e definita e continua in (0, 1]. Per calcolarlo, determiniamo una primitiva di

_x^{x 2}3+2x

. Abbiamo

2 x

x

³

+ 2x = x 1 x(x

²

+ 2) = 1

x

x + 1 x

²

+ 2 pertanto

Z

2 x

x

³

+ 2x dx =

Z

1

x dx

Z

x + 1 x

²

+ 2 dx

= log |x|

¹₂

Z

2x x

²

+ 2 dx

Z

1

x

²

+ 2 dx

= log |x|

¹₂

log(x

²

+ 2)

Z _p¹

2

(

^px

2

)

²

+ 1 dx

= log |x|

¹₂

log(x

²

+ 2) arctan

p^x

2

+ c, c 2 R Dal Teorema fondamentale del calcolo otteniamo quindi che

Z 1 0

2 x

x

³

+ 2x dx = lim

a!0⁺

Z 1 a

2 x

x

³

+ 2x dx

= lim

a!0⁺

h

log |x|

¹₂

log(x

²

+ 2) arctan

p^x 2

i1 a

= lim

a!0⁺ 1

2

log 3 arctan

p¹

2

log a +

¹₂

log(a

²

+ 2) + arctan

p^a

2

= + 1 Osserviamo che per x ! 0

⁺

risulta

_x^{2 x}3+2x

⇠

²_x

e poich´e

^R₀^{1 1}_x

dx diverge, dal criterio del confronto asintotico anche l’integrale dato diverge. L’esercizio chiedeva per` o di calcolare l’integrale, non solo di stabilire se convergeva.

2. Per calcolare

Z ₊₁

0

p 1

e

^x

1 dx, osserviamo che l’integranda `e definita e continua in (0, + 1), l’integrale `e quindi dato da

Z ₊₁

0

p 1

e

^x

1 dx =

Z 1

0

p 1

e

^x

1 dx +

Z ₊₁

1

p 1

e

^x

1 dx

= lim

a!0⁺

Z ₁

a

p 1

e

^x

1 dx + lim

b!+1

Z ₊₁

1

p 1

e

^x

1 dx Per calcolare tali integrali determiniamo una primitiva della funzione

p¹

e^x 1

. A tale scopo, operando la sostituzione t = p

e

^x

1 (da cui x = log(1 + t

²

) e dunque dx =

_1+t^2t2

dt), otteniamo

Z

1

p e

^x

1 dx =

Z

1

t 2t

1 + t

²

dt = 2

Z

1

1 + t

²

dt

= 2 arctan t + c

= 2 arctan p

e

^x

1 + c

Ne segue che

Z +1

0

p 1

e

^x

1 dx = lim

a!0⁺

Z 1 a

p 1

e

^x

1 dx + lim

b!+1

Z +1 1

p 1

e

^x

1 dx

= lim

a!0⁺

î

2 arctan p

e

^x

1

^ó1

a

+ lim

b!+1

î

2 arctan p

e

^x

1

^ób

1

= lim

a!0⁺

2 arctan p

e 1 2 arctan p e

^a

1 + lim

b!+1

2 arctan

^p

e

^b

1 2 arctan p

e 1 = ⇡ Nota: osserviamo che l’integrale risulta infatti convergente, essendo

p¹

e^x 1

⇠

^p1_x

per x ! 0

⁺

e

R1

0 p1

x

dx convergente e lim

x!+1 p1

ex 1 1 xp

= lim

x!+1 x^p

pe^x 1

= 0 per ogni p > 1.

3. Per stabilire se l’integrale improprio

Z ₁

0

cos p

x p

1 x

x sinh x + log(1 + x

³

) dx converge, osserviamo che l’in- tegranda f (x) =

x sinh x+log(1+x^{cospx p1 x3})

`e funzione continua in (0, 1], studiamone il comportamento per x ! 0

⁺

.

Per x ! 0

⁺

abbiamo che cos p

x p

1 x = 1

^x₂

+

^x₂₄²

+ o(x

²

) (1

¹₂

x

^x₈²

+ o(x

²

)) =

^x₆²

+ o(x

²

) ⇠

^x₆²

mentre sinh x log(1 + x

³

) ⇠ x · x

³

= x

⁴

e dunque

f (x) ⇠

x² 6

x

⁴

= 1 6x

²

Essendo

^R₀¹_x¹2

dx divergente (poich´e 2 > 1), dal criterio del confronto asintotico deduciamo che anche l’integrale dato `e divergente.

4. L’integrale

Z +1

0

x + p x

log(1 + x) + x

³

dx converge. Notiamo infatti che la funzione integranda risulta continua su (0, + 1) e dunque l’integrale risulter`a convergente se e solo se risultano tali gli integrali

Z ₁

0

x + p x

log(1 + x) + x

³

dx e

Z ₊₁

1

x + p x

log(1 + x) + x

³

dx Per x ! 0

⁺

risulta x + p

x ⇠ p

x mentre log(1 + x) x

³

= x + o(x) x

³

= x + o(x) ⇠ x. Ne segue che

x + p x log(1 + x) x

³

⇠

p x x = 1

p x

Dal criterio del confronto asintotico segue allora che l’integrale

^R₀¹_{log(1+x) x}^x+px ₃

dx converge dato che

^R₀¹p¹

x

dx converge. Per x ! +1, risulta invece x + p

x ⇠ x mentre log(1 + x) + x

³

⇠ x

³

, quindi otteniamo

x + p x

log(1 + x) + x

³

⇠

_x^x3

= 1

x

²

Poich´e

^R₁⁺¹_x¹2

dx converge, dal criterio del confronto asintotico concludiamo che anche l’integrale

R₊₁

1

x+p x

log(1+x)+x³

dx converge.

Quanto sopra mostra che l’integrale proposto `e convergente.

5. Per stabilire per quali valori di ↵ 2 R l’integrale

^R0¹

sin(sinh ↵x)+log(1+x) x²log(1+p

x)

dx converge, osserviamo che l’integranda f

_↵

(x) =

sin(sinh ↵x)+log(1+x)

x²log(1+p

x)

`e continua in (0, 1]. Per x ! 0

⁺

abbiamo x

²

log(1 + p

x) ⇠ x

²

p x mentre

sin(sinh ↵x) + log(1 + x) = sinh ↵x + o(sinh

²

↵x) + x

^x₂²

+ o(x

²

)

= ↵x + o(x

²

) + o((↵x + o(x

²

))

²

) + x

^x₂²

+ o(x

²

)

= (↵ + 1)x

^x₂²

+ o(x

²

) ⇠

(

(↵ + 1)x se ↵ 6= 1

x²

2

se ↵ = 1

Ne segue che

sin(sinh ↵x) + log(1 + x) x

²

log(1 + p

x) ⇠

8<

:

(1+↵)x x²p

x

=

^(1+↵)_xp

x

se ↵ 6= 1

1 2 x²

x²p

x

=

¹₂p¹

x

se ↵ = 1 Dato che

^R₀¹ _xp¹

x

dx diverge mentre

^R₀¹ p¹

x

dx converge, dal criterio del confronto asintotico ne deduciamo che

Z ₁

0

f

↵

(x) dx converge se e solo se ↵ = 1.

6. Per stabilire per quali valori di ↵ 2 R l’integrale

^R₀⁺¹_x↵(cosh x 1)^{ex 1}

dx converge, osservato che la funzione integranda `e continua in (0, + 1), dobbiamo stabilire per quali valori di ↵ 2 R risultano convergenti entrambi gli integrali

Z 1 0

e

^x

1

x

^↵

(cosh x 1) dx e

Z +1 1

e

^x

1 x

^↵

(cosh x 1) dx Riguardo al primo integrale, osserviamo che

e

^x

1

x

^↵

(cosh x 1) ⇠ x

x

^{↵ x}₂²

= 2

x

^{↵ 1}

, per x ! 0

⁺

,

e ricordando che

^R₀¹ _x¹p

dx converge se e solo se p < 1, dal criterio del confronto asintotico otteniamo che

^R₀¹ _x↵(cosh x 1)^{ex 1}

dx converge se e solo se ↵ 1 < 1, ovvero ↵ < 2.

Riguardo all’integrale

^R₁⁺¹_x↵(cosh x 1)^{ex 1}

dx, osservato che cosh x =

^ex+e₂ ^x

⇠

^e₂^x

per x ! +1, si

ha e

^x

1

x

^↵

(cosh x 1) ⇠ e

^x

x

^{↵ e}₂^x

= 2

x

^↵

, per x ! +1.

Dal criterio del confronto asintotico, ricordando che

^R₁⁺¹_x¹p

dx converge se e solo se p > 1, otteniamo che

^R₁⁺¹_x↵(cosh x 1)^{ex 1}

dx converge se e solo se ↵ > 1.

Riunendo quanto trovato possiamo concludere che l’integrale dato converge se e solo se 1 < ↵ < 2.

7. La funzione F (x) =

Z x

0

e

^pt

dt `e definita in tutto [0, + 1) in quanto la funzione integranda

`e definita e continua in [0, + 1), dunque integrabile in ogni intervallo di [0, x] ⇢ [0, +1), con x 0. Dal Teorema sulla continuit` a della funzione integrale, abbiamo inoltre che F (x) risulta continua in [0, + 1). Il dominio non `e simmetrico, quindi la funzione non presenta simmetrie.

Abbiamo che F (0) = 0 e che F (x) > 0 per ogni x > 0 essendo e

^pt

> 0 per ogni t 0.

Dal criterio del confronto asintotico si ha lim

x!+1

F (x) =

^R₀⁺¹

e

^pt

dt = ` > 0 essendo

t!+1

lim e

^pt

1 t^p

= lim

t!+1

t

^p

e

^pt

= lim

s!+1

s

^2p

e

^s

= 0

per ogni p > 1

⁽ⁿ⁾

. La funzione ha pertanto come asintoto orizzontale per x ! +1 la retta y = `.

Riguardo la monotonia, osserviamo che dal Teorema fondamentale del calcolo integrale F (x) `e derivabile in (0, + 1) con

F

⁰

(x) = f (x) = e

^px

Osserviamo inoltre che lim

x!0⁺

F

⁰

(x) = 1, pertanto la funzione ammette derivata destra in x = 0 con F

₊⁰

(0) = 1. Abbiamo pertanto che F

⁰

(x) > 0 per ogni x > 0 e quindi, dal criterio di monotonia, che F (x) `e strettamente crescente in [0, + 1). Il punto x = 0 `e dunque punto di minimo assoluto mentre non esistono punti di massimo.

Infine, riguardo alla convessit` a, osserviamo che la funzione `e derivabile due volte con F

⁰⁰

(x) = f

⁰

(x) = 1

2x e

^px

, per ogni x > 0.

Quindi F

⁰⁰

(x) < 0 per ogni x > 0, dal criterio di convessit` a la funzione risulta quindi concava in (0, + 1) e non ammette punti di flesso.

(n)per ottenere una stima del limite, osserviamo che per ogni t > 1 risultap

t < t, dunque e ^pt> e ^te Z +1

1

e ^ptdt

Z +1 1

e ^t= lim

b!+1

Z b 1

e ^tdt = lim

b!+1

⇥ e ^t⇤b 1

= lim

b!+1e ¹ e ^b= ¹_e Ne segue che

` = lim

x!+1F (x) = Z +1

0

e ^ptdt = Z 1

0

e ^ptdt + Z +1

1

e ^ptdt Z 1

0

e ^ptdt +¹_e ¹_e