Lezione del 09/02/2011 Stage di Trieste Progetto Olimpiadi Algebra

Algebra

Lezione del 09/02/2011

Stage di Trieste Progetto Olimpiadi

Polinomi

• Un polinomio è un oggetto del tipo P(x)=a

x

+…+a

x

+a

x+a

• Gli a

sono detti coefficienti del polinomio

• n è il grado del polinomio

• Il polinomio è detto monico se a

=1

• Il grado di una somma di polinomi è minore o uguale del massimo dei gradi degli addendi

• Il grado di un prodotto di polinomi è la somma

dei gradi dei moltiplicandi

Principio di identità dei polinomi

• Due polinomi sono uguali, cioè assumono lo stesso valore in ogni punto, se e solo se hanno gli stessi coefficienti

• Se del polinomi di grado n assumono gli stessi valori in n+1 punti, allora tali polinomi sono uguali e assumono lo stesso valore in ogni punto

• Quindi se assegno n+1 valori determino

univocamente un polinomio di grado <=n

Divisione Euclidea

• Come nella divisione fra numeri, dato un

dividendo p(x) e un divisore r(x), si ottiene un quoziente q(x) e un resto r(x). La caratteristica del resto è che ha grado strettamente minore del divisore.

• Quindi nel dividere per un polinomio di grado 1 il resto ha grado 0 quindi è un numero.

• Se il resto è 0 si dice che il polinomio è

divisibile per q(x)

Teorema di Ruffini

• Se P(a)=0 allora P(x) è divisibile per x-a, ovvero P(x)=(x-a)*q(x)

• In generale considerando come divisore il

polinomio x-a, si ha che P(x)=(x-a)*q(x)+P(a)

per un qualche q(x)

Radici del Polinomio

• Si dice radice del polinomio P(x) un numero a tale che P(a)=0, per cui P(x)=(x-a)*q(x)

• Si dice molteplicità della radice a il numero

intero m tale che P(x)=(x-a) ^m *q(x) con q(a)≠0

Fattorizzazione

• Alcuni prodotti notevoli

• a ² -b ² =(a+b)(a-b)

• a ⁿ -b ⁿ =(a-b)(a ^n-1 +a ^n-2 b+…+b ^n-1 )

• Per n dispari, posso sostituire b->-b e ottengo

• a ⁿ +b ⁿ =(a+b)(a ^n-1 -a ^n-2 b+…+b ^n-1 )

• Esercizio: fattorizzare a ⁴ +4b ⁴

Teorema Fondamentale dell’Algebra

• Fattorizzazione sui reali: ogni polinomio può essere fattorizzato in modo univoco come

prodotto di una costante per termini di primo e polinomi di secondo grado senza radici reali

• P(x)=a

(x-a

)

*(x-a

)

*…*((x-b

)

+c

)*…

• Fattorizzazione sui complessi: ogni polinomi può essere fattorizzato in modo univoco come

prodotto di una costante per termini di primo grado. Le radici complesse appaiono sempre assieme alle loro complesse coniugate

• P(x)=a

*(x-a

)

*(x-a

)

*…

Relazioni Radici/Coefficienti

• In un polinomio monico, il termine noto è il prodotto delle radici

• Il termine di grado inferire al massimo di 1 è la somma delle radici

• Gli altri termini, di grado i, sono le somme di

tutti i possibili prodotti di n-1 radici, contate

con molteplicità

Somme di interi e Progressioni

• La somma dei primi n interi è n(n+1)/2

• La somma dei primi n quadrati è n(n+1)(2n+1)/6

• La somma dei primi n cubi è (n(n+1)/2) ²

• Da queste si ricavano le somme delle

progressioni aritmetiche del tipo a _n+1 =a _n +r e le formule esplicite e le somme delle

progressioni del tipo a _n+1 =a _n +nr o del tipo

a _n+1 =b*a _n +r